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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex index 9953339..a6efdbf 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex @@ -4,4 +4,4 @@ % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\usepackage{tikz-3dplot} +\usepackage{dsfont} diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib index aa7eb14..0d4e30a 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib +++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib @@ -4,6 +4,19 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % +@book{punktgruppen:pinter-algebra, + title = {A Book of Abstract Algebra}, + author = {Charles C. Pinter}, + publisher = {Dover Publications Inc.; 2. Edition}, + year = {2010}, + month = {1}, + day = {10}, + isbn = {978-0486474175}, + inseries = {Dover Books on Mathematics}, + volume = {1} +} + + @online{punktgruppen:bibtex, title = {BibTeX}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, @@ -32,4 +45,3 @@ pages = {607--627}, url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } - diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 9a1a945..58950da 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -86,18 +86,60 @@ nun eingeführt wird. \begin{definition}[Symmetriegruppe] Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt. Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\) - als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\) - bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. + als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter + Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. \end{definition} Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir \(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe \[ - C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} + C_n = \langle r \rangle + = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} + = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \] -die Zyklische Gruppe heisst. - -\begin{definition}[Gruppenwirkung] +die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte +Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die +Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet. +Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer +Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet +werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}. Die Reflexionssymmetriegruppe ist +nicht so interessant, da sie nur +\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit +der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe +\[ + D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle + . +\] +Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich +möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende +Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? +Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. +\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus] + Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\) + bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass + für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man + sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass + \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}. \end{definition} +\begin{beispiel} + Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine + Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix + \[ + \Phi(r^k) = \begin{pmatrix} + \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\ + \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n) + \end{pmatrix} + \] + definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von + \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und + die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass + \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). +\end{beispiel} +\begin{beispiel} + Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen + Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem + komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) + ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. +\end{beispiel} % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: |