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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 0a9d3b6..1ba5466 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -1,9 +1,11 @@ \section{Kristalle} +\index{Kristalle}% Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist. Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist jedoch genau diese Frage äusserst relevant. Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. \begin{definition}[Kristall] Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt. +\index{periodisch}% \end{definition} \begin{figure} @@ -15,18 +17,22 @@ Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. } \end{figure} \subsection{Kristallgitter} +\index{Kristallgitter}% Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}. Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen. Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. +\index{Gitterpunkt}% Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{a}_3\) also \[ \vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i \] erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind. Sind die Vektoren \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +\index{Grundvektor}% \subsection{Translationssymmetrie} +\index{Translationssymmetrie}% Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{translationssymmetrisch} in der Translation @@ -54,6 +60,7 @@ Dabei sollte erwähnt werden, dass eine Translationssymmetrie nur in unendlich g \end{figure} \begin{satz} \label{thm:punktgruppen:crystal-restriction} +\index{Rotationssymmetrie} Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt. Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von 0\(^{\circ}\), @@ -122,6 +129,7 @@ ein. \end{figure} \subsection{Kristallklassen} +\index{Kristallklasse}% Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können. @@ -138,13 +146,21 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri \end{figure} \subsubsection{Schönflies-Symbolik} - +\index{Schönflies-Symbol}% Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet. Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat. +\index{Schönflies, Arthur Moritz}% Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen sind. \begin{itemize} \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden. +\index{Drehgruppe}% +\index{Diedergruppe}% +\index{Drehspiegelgruppe}% +\index{Tetraedergruppe}% +\index{Oktaedergruppe}% Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher in der Kristallographie nicht relevant. +\index{Ikosaedergruppe}% +\index{Kugelgruppe}% \item Dank Abschnitt \ref{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie. Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen, da \(360^\circ/5 = 72^\circ\) was nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist. @@ -159,6 +175,7 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklas \item[\(d\)] symbolisiert eine diagonale Symmetrieebene. Es wird ersichtlich wie diagonal gemeint ist, wenn man \(D_2\) zu \(D_{2d}\) vergleicht. \item[\(i\)] steht für ein Inversionszentrum. Hat eine Symmetriegruppe ein Inversionszentrum, bedeutet dies dass sie im Ursprung punktsymmetrisch ist. +\index{Inversionszentrum}% \end{itemize} \end{itemize} Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex index e3f0226..f11a346 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex @@ -1,14 +1,19 @@ \section{Einleitung} Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren. +\index{Kristall}% Auch wenn man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen, sich mit Kristallen zu beschäftigen. In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt. Zu Beginn werden wir zeigen, was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen. Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben. +\index{Symmetrie}% Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht. +\index{Kristallographie}% Diese erlauben alle möglichen Kristalle nach ihren Symmetrien in erstaunlich wenige Klassen zu kategorisieren. +\index{Kristallklasse}% Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf physikalische Eigenschaften schliessen. Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität. +\index{Piezoelektrizität}% Piezoelektrizität beschreibt einen Effekt, ohne welchen diverse Altagsgegenständen nicht besonders nützlich wären. Zum Beispiel sorgt er in den allermeisten Feuerzeugen für die Zündung. Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex index 1cf9b98..cc4272b 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex @@ -1,5 +1,8 @@ \section{Piezoelektrizität} +\index{Piezoelektrizität}% Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn mechanischer Druck auf sie ausgeübt wird. +\index{elektrische Spannung}% +\index{mechanischer Druck}% \begin{figure} \centering @@ -9,9 +12,10 @@ Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle ein \end{figure} \subsection{Polarisierung} - +\index{Polarisierung}% Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht (siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}). Dieses Ungleichgewicht resultiert, weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positive Ionen näher an die Oberfläche gelangen, wärend auf der gegenüberliegenden Seite dasselbe mit negativen Ionen passiert. +\index{Ionen}% Es besitzt jedoch nicht jeder Kristall eine atomare Struktur, welche sich unter Druck genau so verformt. Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes. @@ -41,6 +45,8 @@ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass ro Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die Ladungsträger ganz links und rechts weiter auseinander gedrückt werden. +\index{elektrisches Feld}% +\index{Ladungsträger}% Als Hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. @@ -60,7 +66,7 @@ Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie bestätigt sich auch wenn \subref{fig:punkt Piezoelektrische Kristalle können nicht punktsymmetrisch sein. Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden. -Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden. +In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden. Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles wie \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} vor Augen führen, welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt. Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den positiven auf der anderen Seite landen, was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht. @@ -69,9 +75,11 @@ Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so Piezoelektrizität hat durchaus Nutzen im Alltag. Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, sondern ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität. +\index{Feuerzeug}% Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu einer konfigurierten Spannung. Drückt der Nutzende stärker zu, entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer, welcher auf das Piezoelement aufschlägt. Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung. Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden. + Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich mit dem anderen zu versuchen. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 4a8d911..ec06046 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -22,18 +22,23 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an der es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt. -Das letzte Beispiel auf der rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. +Das letzte Beispiel in Abbildung~\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. + Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. Zum Beispiel kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden. Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. \begin{definition}[Symmetriegruppe] +\index{Symmetriegruppe}% Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, sogenannte Symmetrieoperationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. +\index{Komposition}% \end{definition} Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. +\index{neutrales Element}% +\index{1@$\mathds{1}$}% Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die rückgängig macht, was \(g\) getan hat. Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden. @@ -41,11 +46,16 @@ Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inv Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. +\index{Potenzen von Symmetrieoperationen}% +\index{wiederholte Komposition}% \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] +\index{zyklische Gruppe}% +\index{Erzeuger}% Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \{ g^k : k \in \mathbb{Z} \}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. +\index{g@$\langle g\rangle$}% \end{definition} \begin{beispiel} Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\). @@ -53,12 +63,14 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine \end{beispiel} \begin{beispiel} Als anschaulicheres Beispiel können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren. +\index{n-Gon@$n$-Gon}% Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ C_n = \langle r \rangle = \{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\} \] +\index{Cn@$C_n$}% der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant, enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). @@ -104,14 +116,17 @@ Die anschliessende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, m Die Antwort lautet natürlich ja. Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus] +\index{Gruppenhomomorphismus}% \(G\) und \(H\) seien Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). +\index{Homomorphismus}% Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert. \end{definition} \begin{beispiel} Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht genau dem komplexen Einheitskreis. - Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. +\index{Cunendlich@$C_{\infty}$}% + Der Homomorphismus \(\varphi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\varphi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. \end{beispiel} \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe] @@ -131,7 +146,7 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n) \end{pmatrix} \] - definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). + definierte Funktion von \(C_n\) nach \(\operatorname{O}(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} |