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path: root/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
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-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex290
1 files changed, 148 insertions, 142 deletions
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
index 943f2da..c215e66 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
@@ -14,8 +14,8 @@
\institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
\date{26.04.2021}
\subject{Mathematisches Seminar}
- \setbeamercovered{transparent}
- %\setbeamercovered{invisible}
+ %\setbeamercovered{transparent}
+ \setbeamercovered{invisible}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\begin{frame}[plain]
\maketitle
@@ -64,22 +64,22 @@
\begin{center}
\begin{tabular}{ c c c }
\hline
- ``Nutzlas´´ & Fehler & Versenden \\
+ Nutzlas & Fehler & Versenden \\
\hline
3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
-\visible<2->{3}&
-\visible<2->{3}&
-\visible<3->{9 Werte eines Polynoms vom Grad 2} \\
+\visible<1->{3}&
+\visible<1->{3}&
+\visible<1->{9 Werte eines Polynoms vom Grad 2} \\
&&\\
-\visible<4->{$k$} &
-\visible<4->{$t$} &
-\visible<4->{$k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$} \\
+\visible<1->{$k$} &
+\visible<1->{$t$} &
+\visible<1->{$k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$} \\
\hline
&&\\
&&\\
\multicolumn{3}{l} {
- \visible<4>{Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!}
+ \visible<1>{Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!}
}
\end{tabular}
\end{center}
@@ -194,21 +194,21 @@
\begin{itemize}
\onslide<1->{\item Warum endliche Körper?}
- \onslide<1->{\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler}
+ \onslide<2->{\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler}
- \onslide<1->{\qquad digitale Fehlerkorrektur}
+ \onslide<3->{\qquad digitale Fehlerkorrektur}
- \onslide<1->{\qquad bessere Laufzeit}
+ %\onslide<4->{\qquad bessere Laufzeit}
\vspace{10pt}
- \onslide<1->{\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil}
+ \onslide<4->{\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil}
\vspace{10pt}
- \onslide<1->{\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden}
+ \onslide<5->{\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden}
- \onslide<1->{\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom}
+ \onslide<6->{\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom}
% \vspace{10pt}
@@ -232,33 +232,33 @@
\begin{itemize}
- \only<1->{\item endlicher Körper $q = 11$}
+ \onslide<1->{\item endlicher Körper $q = 11$}
- \only<1->{ist eine Primzahl}
+ \onslide<2->{ist eine Primzahl}
- \only<1->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+ \onslide<3->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen
+ \onslide<4->{\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen}
- $n = q - 1 = 10$ Zahlen}
+ \onslide<5->{$n = q - 1 = 10$ Zahlen}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Max.~Fehler $z = 2$
+ \onslide<6->{\item Max.~Fehler $t = 2$}
- maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können}
+ \onslide<7->{maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
+ \onslide<8->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
- \only<1->{Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen}
+ \onslide<9->{Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen}
- \only<1->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+ \onslide<10->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
- \only<1->{als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+ \onslide<11->{als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
\end{itemize}
@@ -269,31 +269,31 @@
\frametitle{Codierung}
\begin{itemize}
- \only<1->{\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation}
+ \onslide<1->{\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$}
+ \onslide<2->{\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken
+ \onslide<3->{\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken}
- $\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$}
+ \onslide<4->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Wir wählen $a = 8$}
+ \onslide<5->{\item Wir wählen $a = 8$}
- \only<1->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$}
+ \onslide<6->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$}
- \only<1->{$8$ ist eine primitive Einheitswurzel}
+ \onslide<7->{$8$ ist eine primitive Einheitswurzel}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$}
+ \onslide<8->{\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$}
- \only<1->{$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben}
+ \onslide<9->{$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben}
\end{itemize}
@@ -303,14 +303,14 @@
\frametitle{Codierung}
\begin{itemize}
- \only<1->{\item Übertragungsvektor $v$}
+ \onslide<1->{\item Übertragungsvektor $v$}
- \only<1->{\item $v = A \cdot m$}
+ \onslide<2->{\item $v = A \cdot m$}
\end{itemize}
\[
- \only<1->{
+ \onslide<3->{
v = \begin{pmatrix}
8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
@@ -329,11 +329,11 @@
\end{pmatrix}
}
\]
- \only<1->{
+
\begin{itemize}
- \item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+ \onslide<4->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
\end{itemize}
- }
+
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\section{Decodierung ohne Fehler}
@@ -341,41 +341,44 @@
\frametitle{Decodierung ohne Fehler}
\begin{itemize}
- \only<1->{\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor
- $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+ \onslide<1->{\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$}
+ \onslide<2->{\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$}
\vspace{10pt}
\end{itemize}
\begin{columns}[t]
- \begin{column}{0.50\textwidth}
- \only<1->{
- Inverse der Fouriertransformation
+ \begin{column}{0.55\textwidth}
+ \onslide<3->{ Inverse der Fouriertransformation}
\vspace{10pt}
+ \onslide<4->{
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
\]
+ }
\vspace{10pt}
+ \onslide<5->{
\[
\mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
\]
}
\end{column}
- \begin{column}{0.50\textwidth}
- \only<1->{
- Inverse von $a$}
+ \begin{column}{0.45\textwidth}
+ \onslide<6->{Inverse von $a$}
+
\vspace{10pt}
- \only<1->{
+
+ \onslide<7->{
\[
8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
\]
}
- \only<1->{Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus}
+
+ \onslide<8->{Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus}
\vspace{10pt}
\end{column}
\end{columns}
@@ -407,7 +410,7 @@
\begin{column}{0.50\textwidth}
\begin{center}
- \only<1->{
+ \onslide<1->{
\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
\hline
$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
@@ -417,17 +420,18 @@
$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
- $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor<3->{blue}{$-4$}& \textcolor<3->{red}{$3$}\\
+ $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor<2->{blue}{$-4$}& \textcolor<2->{red}{$3$}\\
$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
\hline
\end{tabular}
}
+
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{rcl}
- \only<1->{$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
- \only<1->{$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
- \only<1->{$8^{-1}$ &$=$& $7$}
+ \onslide<3->{$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \onslide<4->{$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \onslide<5->{$8^{-1}$ &$=$& $7$}
\end{tabular}
@@ -442,16 +446,16 @@
\frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}
\begin{itemize}
- \only<1->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+ \onslide<1->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
- \only<1->{\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+ \onslide<2->{\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
- \only<1->{\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+ \onslide<3->{\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
\end{itemize}
- \only<1->{
+ \onslide<4->{
\[
- m = \begin{pmatrix}
+ m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\
7^0& 7^1& 7^2& 7^3& 7^4& 7^5& 7^6& 7^7& 7^8& 7^9\\
7^0& 7^2& 7^4& 7^6& 7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
@@ -469,11 +473,11 @@
\end{pmatrix}
\]
}
- \only<1->{
+
\begin{itemize}
- \item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
+ \onslide<5->{\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
\end{itemize}
- }
+
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\section{Decodierung mit Fehler}
@@ -481,48 +485,46 @@
\frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}
\begin{itemize}
- \only<1->{\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+ \onslide<1->{\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
- \only<1->{\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+ \onslide<2->{\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
- \only<1->{\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$}
+ \onslide<3->{\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$}
\end{itemize}
- \only<1->{Wie finden wir die Fehler?}
+ \onslide<4->{Wie finden wir die Fehler?}
- \only<1->{
\begin{itemize}
- \item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
+ \onslide<5->{\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
- \item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$
+ \onslide<6->{\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$}
%\only<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
- \item $e(X) = r(X) - m(X)$
+ \onslide<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
\end{itemize}
- }
\begin{center}
- \only<1->{
+ \onslide<8->{
\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
\hline
$i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
\hline
- $r(a^{i})$& \only<1->{$5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$}\\
- $m(a^{i})$& \only<1->{$5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$}\\
- $e(a^{i})$& \only<1->{$0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$}\\
+ $r(a^{i})$& \onslide<9->{$5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$}\\
+ $m(a^{i})$& \onslide<10->{$5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$}\\
+ $e(a^{i})$& \onslide<11->{$0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$}\\
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
- \only<1->{
+
\begin{itemize}
- \item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler
+ \onslide<12->{\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler}
\end{itemize}
- }
+
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
@@ -530,31 +532,31 @@
\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
\begin{itemize}
- \only<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+ \onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+ \onslide<2->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \onslide<3->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \onslide<4->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat}
+ \onslide<5->{\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat}
\vspace{10pt}
- \only<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \onslide<6->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$}
@@ -567,39 +569,39 @@
\begin{itemize}
- \item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+ \onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
\vspace{10pt}
- \item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$
+ \onslide<1->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$}
\vspace{10pt}
- \item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \onslide<1->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
- \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
\vspace{10pt}
- \item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \onslide<1->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
- \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
\vspace{10pt}
- \item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können
+ \onslide<1->{\item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können}
\vspace{10pt}
- $\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+ \onslide<2->{$\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
- \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$}
- $= d(X) \cdot e(X)$
+ \onslide<3->{$= d(X) \cdot e(X)$}
\vspace{10pt}
- \item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$
+ \onslide<4->{\item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
\end{itemize}
@@ -610,29 +612,29 @@
\begin{itemize}
- \only<1->{\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite}
+ \onslide<1->{\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?}
+ \onslide<2->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+ \onslide<3->{\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$}
+ \onslide<4->{\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$}
+ \onslide<5->{\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen}
+ \onslide<6->{\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen}
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -640,8 +642,8 @@
\begin{frame}
\frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
- \only<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$}
- \only<1->{
+ \onslide<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$}
+ \onslide<2->{
\[
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
@@ -653,7 +655,7 @@
\end{array}
\]
}
- \only<1->{
+ \onslide<3->{
\[
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
@@ -665,11 +667,11 @@
}
\vspace{10pt}
- \only<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$}
+ \onslide<4->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{ $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen }
+ \onslide<5->{ $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen }
\end{frame}
@@ -695,20 +697,22 @@
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{ll}
- \only<1->{Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\}
- \only<1->{Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\}
- \only<1->{Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$}
+ \onslide<3->{Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\}
+ \onslide<4->{Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\}
+ \onslide<5->{Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$}
\end{tabular}
\vspace{10pt}
- \only<1->{
+
+ \onslide<6->{
\begin{center}
$a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
$a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
\end{center}
- }
- \only<1->{$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+ }
+
+ \onslide<7->{$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
@@ -718,12 +722,12 @@
\begin{itemize}
- \only<1->{\item $w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$}
+ \onslide<1->{\item $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
- \only<1->{\item $d(X) = (X-\textcolor<4->{red}{a^3})(X-\textcolor<4->{red}{a^8})$}
+ \onslide<2->{\item $d(X) = (X-\textcolor<4->{red}{a^3})(X-\textcolor<4->{red}{a^8})$}
\end{itemize}
- \only<1->{
+ \onslide<3->{
\[
\textcolor{gray}{
\begin{pmatrix}
@@ -751,11 +755,11 @@
\end{pmatrix}
\]
}
- \only<1->{
+
\begin{itemize}
- \item Fehlerstellen entfernen
+ \onslide<5->{\item Fehlerstellen entfernen}
\end{itemize}
- }
+
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
@@ -767,25 +771,25 @@
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor<3->{green}{8^0}& \textcolor<3->{green}{8^0}& \textcolor<3->{green}{8^0}& \textcolor<3->{green}{8^0}\\
- 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor<3->{green}{8^6}& \textcolor<3->{green}{8^7}& \textcolor<3->{green}{8^8}& \textcolor<3->{green}{8^9}\\
- 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor<3->{green}{8^{12}}& \textcolor<3->{green}{8^{14}}& \textcolor<3->{green}{8^{16}}& \textcolor<3->{green}{8^{18}}\\
- 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor<3->{green}{8^{24}}& \textcolor<3->{green}{8^{28}}& \textcolor<3->{green}{8^{32}}& \textcolor<3->{green}{8^{36}}\\
- 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor<3->{green}{8^{30}}& \textcolor<3->{green}{8^{35}}& \textcolor<3->{green}{8^{40}}& \textcolor<3->{green}{8^{45}}\\
- 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor<3->{green}{8^{36}}& \textcolor<3->{green}{8^{42}}& \textcolor<3->{green}{8^{48}}& \textcolor<3->{green}{8^{54}}\\
- 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor<3->{green}{8^{42}}& \textcolor<3->{green}{8^{49}}& \textcolor<3->{green}{8^{56}}& \textcolor<3->{green}{8^{63}}\\
- 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor<3->{green}{8^{54}}& \textcolor<3->{green}{8^{63}}& \textcolor<3->{green}{8^{72}}& \textcolor<3->{green}{8^{81}}\\
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor<4->{green}{8^6}& \textcolor<4->{green}{8^7}& \textcolor<4->{green}{8^8}& \textcolor<4->{green}{8^9}\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor<4->{green}{8^{12}}& \textcolor<4->{green}{8^{14}}& \textcolor<4->{green}{8^{16}}& \textcolor<4->{green}{8^{18}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor<4->{green}{8^{24}}& \textcolor<4->{green}{8^{28}}& \textcolor<4->{green}{8^{32}}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor<4->{green}{8^{30}}& \textcolor<4->{green}{8^{35}}& \textcolor<4->{green}{8^{40}}& \textcolor<4->{green}{8^{45}}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{48}}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{49}}& \textcolor<4->{green}{8^{56}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}& \textcolor<4->{green}{8^{72}}& \textcolor<4->{green}{8^{81}}\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor<2->{green}{m_6} \\ \textcolor<2->{green}{m_7} \\ \textcolor<2->{green}{m_8} \\ \textcolor<2->{green}{m_9} \\
\end{pmatrix}
\]
- \only<1->{
+
\begin{itemize}
- \item Nullstellen entfernen
+ \onslide<3->{\item Nullstellen entfernen}
\end{itemize}
- }
+
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
@@ -793,7 +797,7 @@
\[
\begin{pmatrix}
- 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor<2->{red}{7} \\ \textcolor<2->{red}{4} \\
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor<3->{red}{7} \\ \textcolor<3->{red}{4} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
@@ -803,8 +807,8 @@
8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
- \textcolor<2->{red}{8^0}& \textcolor<2->{red}{8^7}& \textcolor<2->{red}{8^{14}}& \textcolor<2->{red}{8^{21}}& \textcolor<2->{red}{8^{28}}& \textcolor<2->{red}{8^{35}}\\
- \textcolor<2->{red}{8^0}& \textcolor<2->{red}{8^9}& \textcolor<2->{red}{8^{18}}& \textcolor<2->{red}{8^{27}}& \textcolor<2->{red}{8^{36}}& \textcolor<2->{red}{8^{45}}\\
+ \textcolor<3->{red}{8^0}& \textcolor<3->{red}{8^7}& \textcolor<3->{red}{8^{14}}& \textcolor<3->{red}{8^{21}}& \textcolor<3->{red}{8^{28}}& \textcolor<3->{red}{8^{35}}\\
+ \textcolor<3->{red}{8^0}& \textcolor<3->{red}{8^9}& \textcolor<3->{red}{8^{18}}& \textcolor<3->{red}{8^{27}}& \textcolor<3->{red}{8^{36}}& \textcolor<3->{red}{8^{45}}\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
@@ -813,11 +817,11 @@
\]
\vspace{5pt}
- \only<1->{
+
\begin{itemize}
- \item Matrix in eine Quadratische Form bringen
+ \onslide<2->{\item Matrix in eine Quadratische Form bringen}
\end{itemize}
- }
+
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
@@ -845,7 +849,7 @@
\vspace{5pt}
\begin{itemize}
- \item Matrix Invertieren
+ \onslide<2->{\item Matrix Invertieren}
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -873,9 +877,10 @@
\]
\begin{center}
- $\Downarrow$
+ \onslide<2->{$\Downarrow$}
\end{center}
\[
+ \onslide<3->{
\begin{pmatrix}
m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
\end{pmatrix}
@@ -892,6 +897,7 @@
\begin{pmatrix}
5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
\end{pmatrix}
+ }
\]
\end{frame}
@@ -919,7 +925,7 @@
\]
\begin{itemize}
- \item $m = [4,7,2,5,8,1]$
+ \onslide<2->{\item $m = [4,7,2,5,8,1]$}
\end{itemize}
\end{frame}
generated by cgit v1.2.1 (git 2.18.0) at 2024-07-01 13:42:33 +0200