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diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/Makefile index 9c96e88..4be963e 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile +++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile @@ -4,6 +4,52 @@ # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller # -images: - @echo "no images to be created in reedsolomon" +SOURCES := \ + anwendungen.tex \ + codebsp.tex \ + decmitfehler.tex \ + decohnefehler.tex \ + dtf.tex \ + einleitung.tex \ + endlichekoerper.tex \ + hilfstabellen.tex \ + idee.tex \ + main.tex \ + packages.tex \ + rekonstruktion.tex \ + restetabelle1.tex \ + restetabelle2.tex \ + standalone.tex \ + zusammenfassung.tex + +TIKZFIGURES := \ + tikz/polynom2.tex \ + tikz/fourier.tex + +FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) + + +all: images standalone + + +.PHONY: images +images: $(FIGURES) + +figures/%.pdf: tikz/%.tex + mkdir -p figures + pdflatex --output-directory=figures $< + +.PHONY: standalone +standalone: standalone.tex $(SOURCES) $(FIGURES) + mkdir -p standalone + cd ../..; \ + pdflatex \ + --halt-on-error \ + --shell-escape \ + --output-directory=papers/reedsolomon/standalone \ + papers/reedsolomon/standalone.tex; + cd standalone; \ + bibtex standalone; \ + makeindex standalone; + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex index 8430ebd..eb4e82f 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex @@ -76,7 +76,7 @@ dar. \subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation \label{reedsolomon:subsection:diskFT}} -In einem vorherigen Abschnitt \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. +Im vorherigen Abschnitt \ref{reedsolomon:section:dtf} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken. Dazu ändern wir die Darstellung von \[ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index a111527..7c88c16 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,55 +1,122 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% dtf.tex -- Idee mit DFT % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Diskrete Fourier Transformation +\section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. -Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauch -für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. -wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt +durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden. +Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, +sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. +\par +Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, +eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. +Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist, + vorausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. +\par +Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation +für Codierung und Decodierung zu verwenden. -\subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang -\label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als - \[ - \label{ft_discrete} - \hat{c}_{k} - = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} - {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} - \] -, wenn man nun - \[ - w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} - \] -ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man - \[ - \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) - \] -was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -\subsection{Übertragungsabfolge -\label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} +\subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation +\label{reedsolomon:subsection:sendbsp}} -\begin{enumerate}[1)] -\item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. -Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. -\item Nun wurde mittels der schnellen diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. -Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. -\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. -\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert. -\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96. -\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, auch Syndrom genannt, und Transformiert diese. -\item Bekommt man die Fehlerstellen im Locator wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkkent man wo die Fehler stattgefunden haben. -\end{enumerate} +Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. +Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, +der später erklärt wird, analog ist. +\par +Der Auftrag ist nun 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler zu erkennen und 16 Fehler zu rekonstruieren. +Mit Hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. +Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\begin{figure} +\begin{figure}%[!ht] \centering - \resizebox{0.9\textwidth}{!}{ - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/plot.pdf} - \input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + \resizebox{\textwidth}{!}{ + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/fourier} + %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } - \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} + \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}} \label{fig:sendorder} -\end{figure}
\ No newline at end of file +\end{figure} +In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt illustriert. +In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: +\begin{enumerate}[(1)] + \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10. + Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. + Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. + Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$. + \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. + Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. + \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene + Werte durch Fehler verändert werden. + \par + Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 6, 20 und 74 (\textcolor{red}{rote Kurve}), + die um einen Betrag verändert werden. + Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. + Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch inverse Fourier-Transformation vollständig + wiederhergestellt werden. + Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. + \par + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen Werte abweichend von Null auftreten. + Somit haben wir bereits Fehler erkannt. + \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom. + Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt. + \item Um die Fehler zu rekonstruieren, kann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. + Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler. + Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu lokalisieren. +\end{enumerate} +Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, +dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind. +\par +Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. +Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. + +\subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}} +Im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:polynomansatz} +wurden Werte eines Polynoms zur Codierung verwendet. +Die 7 Übertragungspunkte könnten ein Polynom +\begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{p(x)} + = + \textcolor{blue}{a_0} + \textcolor{blue}{a_1}x + \textcolor{blue}{a_2}x^2 + + \textcolor{gray}{a_3}x^3 + \textcolor{gray}{a_4}x^4 + \textcolor{gray}{a_5}x^5 + + \textcolor{gray}{a_6}x^6 +\label{reedsolomon:equationpoly} +\end{equation} +sechsten Grades bestimmen. +Durch die Wahl von $\textcolor{gray}{a_3=0}$, $\textcolor{gray}{a_4=0}$, $\textcolor{gray}{a_5=0}$, $\textcolor{gray}{a_6=0}$ +erzeugen wir die für die Fehlerkorrektur nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. +\par +Die Analogie geht aber noch weiter. + Schreibt man + \( w = + e^{-\frac{2\pi j}{N} k}\) + \label{reedsolomon:DFT_summand}, damit wird aus der Formel + \begin{equation} + \hat{c}_{k} + = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} + {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} + ,\label{reedsolomon:DFT} + \end{equation} + für die diskrete-Fourier-Transformation das Polynom + \begin{equation} + q(w)= + \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1}. + \label{reedsolomon:DFT_polynom} + \end{equation} + Im Beispiel werden aber Werte des Polynoms + \begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{q(w)}= + \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + + \frac{\textcolor{blue}{{f}_{63}}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{64}}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} + \label{reedsolomon:DFT_polynom2} + \end{equation} + für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt. +Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) +\par +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen. +Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, +dann müssen wir von den reeleen Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. +Dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 2b1d878..04f1fe2 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,14 +6,12 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um, -das Problem der Fehler, bei der Datenübertragung, zu lösen. -In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus erklärt. +Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt. +Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst. +In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, +Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. -Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, -und so jeweilige Fehler zu erkennen. -Doch nur schon um weinige Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index 1d196fd..3019dd7 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -3,21 +3,63 @@ % % (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % -\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern +\section{Reed-Solomon in endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} \rhead{Reed-Solomon in endlichen Körpern} -\[ -\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} -\] -Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: +Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit nur ungefähre Angaben haben, wo sich Fehler aufhalten. +Um dies zu ändern wechseln wir vom komplexen Zahlenraum in endliche Körper. +In endlichen Körpern gibt es keine Approximationen wie bei den rationalen und reellen Zahlen. +Alle Zahlen sind richtig oder falsch, ``fast richtig'' gibt es nicht. +Zudem beschränken sich die arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. +Wir können also nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. +Dies erleichtert auch die Umsetzung auf ein digitales System, da Computer in der Regel lieber mit ganzen als mit gebrochenen oder komplexen Zahlen arbeiten. -\begin{itemize} - \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. - - \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. - -\end{itemize} +Um jetzt eine Nachricht in einem endlichen Körpern zu konstruieren gehen, wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. +Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil. +Diese Nachricht wird codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. +In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation zur Hilfe nehmen. +Wir müssen also eine Alternative finden, welche die gleichen Eigenschaften wie die Fouriertransformation aufweist, aber im endlichen Körper verwendet werden kann. +Auch beim Decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, wenn die Vorgehensweise mit dem Lokator auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. -Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen. - -Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. +% +%Damit all diese Probleme möglichst verständlich +% +% +%Um all diese Probleme und möglichst +% +% +%um Fehler zu erkennen und mittels Lokatorpolynom +% +% +% ein Lokatorpolynom zu finden. +% +% +% +% Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenanteil und einem Fehlerkorrekturteil, +% +% +% +%In diesem Zahlenraum gibt es nur Natürliche Zahlen und es darf nur Addiert oder Multipliziert werden. +%Der grosse Vorteil an endlichen Körper ist, dass dich der einfacher Digital umsetzen lässt. +% +% +%Dieser Zahlenraum bringt eine Menge von neuen Regeln mit sich. +%So gibt es dort nur Natürliche Zahlen und die Arithmetischen Rechenoperationen sind beschränkt auf die Addition und Multiplikation. +% +% +% +%\[ +%\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} +%\] +%Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: +% +%\begin{itemize} +% \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. +% +% \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. +% +%\end{itemize} +% +%Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen. +% +%Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex index 2196c82..4b156bb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex @@ -90,7 +90,7 @@ \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); %item - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west)+(1,0) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4995141 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..80adafb --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..55a50ac --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 39adbbf..6ee42ef 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -1,72 +1,94 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% idee.tex -- Polynom Idee % \section{Idee \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} +Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweils einzelne Fehler erkennen. +Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden soll und sogar noch das Orginal rekonstruiert werden soll, +dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. +Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, -zu Übertragen und Fehler zu erkennen. -Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, -man kann sogar einige Fehler korrigieren. + zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. +Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert. +Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert. +Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung. +In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} + ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. +Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. +\subsection{Polynom-Ansatz +\label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist aus den Daten -ein Polynom zu bilden. -Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt. -Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, -welche uns dann das Polynom +Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. +Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen. +\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, + welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom \begin{equation} p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} \label{reedsolomon:equation1} -\end{equation} -ergeben. -Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. -Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, -mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, -\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, -\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, -\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ -Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. -Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. - -\subsection{Beispiel} -Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, -ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen, -da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. -(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte}) -Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? -Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, -gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} -Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. -Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. +\end{equation}. +\par +Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. +Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragene Werte + das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. +Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus Punkte wieder Polynom zu berechnen. +Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +\par +Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? +Versuchen wir doch mehr Werte zu übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. +Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} + dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7. +In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, + die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün. +Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. +Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punkte nicht auf der Parabel liegen. +Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. +Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren? +Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: +\begin{itemize} + \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. + Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. + Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. + \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden. + Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. + \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. + Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. + Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. + Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. + \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier, kann es noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. + \item[\textit{5 Fehler}] Bei Fünf, kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. +\end{itemize} -\begin{figure} +\begin{figure}%[!ht] \centering - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} - \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} - \caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}} + %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} + \input{papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex} + \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} +\qedhere +\end{beispiel} -\section{Fehlerbestimmung -\label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}} -So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann, -wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen. -Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können. -Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), -die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) ) -Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen. -Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen, -$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. - -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } +\section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen +\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} +Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, + muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. +Die Anzahl Datenwerte, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. +Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, + erkennt man almählich ein Muster. +\begin{table}%[!ht] + \centering + \begin{tabular}{ c c | c} \hline Nutzlas & Fehler & Übertragen \\ \hline @@ -77,12 +99,22 @@ $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ \hline \end{tabular} -\end{center} + \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} + \label{tab:fehlerkorrekturstellen} +\end{table} +\par +Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. +Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr. +Wie in der Tabelle ergibt sich diese \textcolor{darkgreen}{Übertragungsanzahl} +\begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{u}= + \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. + \label{reedsolomon:equation2} +\end{equation} -Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. -Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, -können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen -und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert. -Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, -doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig. +Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. +Für die Polynomkoeffizente nach der Übertragung zu rekonstruieren, + haben wir jedes mal die Polynominterpolationmethode angewendet. +Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig. +Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex deleted file mode 100644 index 83a89eb..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex +++ /dev/null @@ -1,89 +0,0 @@ -% -% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT -% -\begin{tikzpicture}[] - -%--------------------------------------------------------------- - %Knote -\matrix[draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ - \node(signal) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis} - [title = {\Large {Signal}}, - xlabel={Anzahl Übertragene Zahlen}, - xtick={0,20,40,64,80,98},] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/signal.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(codiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/codiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; \\ - - &\node(fehler) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}, - xtick={7,21,75}] - \addplot[red] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/fehler.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(decodiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/decodiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(empfangen) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/empfangen.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(syndrom) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/syndrom.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(locator) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/locator.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ -}; -%------------------------------------------------------------- - %FFT & IFFT deskription - -\draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); -\node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; -\draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); -\node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; -\draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); - -\draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); -%Arrows -\draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); -\draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); -\draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); -\draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); -\draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); -\draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; -\draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); - -%item -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; -\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index ab4e4be..017fe94 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -8,29 +8,9 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Joshua Bär und Michael Steiner} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - % Joshua \input{papers/reedsolomon/einleitung.tex} \input{papers/reedsolomon/idee.tex} -%\input{papers/reedsolomon/teil2.tex} \input{papers/reedsolomon/dtf.tex} % Michael diff --git a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex index b84e228..40c6ea3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex @@ -10,3 +10,5 @@ \usepackage{pgfplots} \usepackage{filecontents} +\usepackage{xr} + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex b/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex new file mode 100644 index 0000000..c850d1f --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +\documentclass{book} + +\input{common/packages.tex} + +% additional packages used by the individual papers, add a line for +% each paper +\input{papers/common/addpackages.tex} + +% workaround for biblatex bug +\makeatletter +\def\blx@maxline{77} +\makeatother +\addbibresource{chapters/references.bib} + +% Bibresources for each article +\input{papers/common/addbibresources.tex} + +% make sure the last index starts on an odd page +\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} +\makeindex + +%\pgfplotsset{compat=1.12} +\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning +\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} + +\begin{document} + \input{common/macros.tex} + \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} + \input{papers/reedsolomon/main.tex} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..dfa9eea --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile new file mode 100644 index 0000000..1753f37 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile @@ -0,0 +1,7 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +fourier.pdf: fourier.tex + pdflatex fourier.tex diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt index 4a481d8..4a481d8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/decodiert.txt index f6221e6..f6221e6 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/decodiert.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/empfangen.txt index 38c13b0..38c13b0 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/empfangen.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt index 23f1a83..23f1a83 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7e0198b --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex new file mode 100644 index 0000000..7b4ccea --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -0,0 +1,139 @@ +% +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{pgfplotstable} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{filecontents} + +\def\plotwidth{7.5cm} +\def\plotheight{5.5cm} +\def\xverschiebung{4.5cm} +\def\yverschiebung{-7cm} +\def\yyverschiebung{-14cm} + +\def\marke#1{ + \coordinate (M) at (-0.8,4.6); + \fill[color=lightgray] (M) circle[radius=0.3]; + \draw (M) circle[radius=0.3]; + \node at (M) {#1}; +} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\fill[color=blue!10] (-5.7,-14.5) rectangle (2.6,5.0); +\fill[color=darkgreen!10] (2.6,-14.5) rectangle (11.1,5.0); + +\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.9) -- (2.6,-14.4); +\coordinate (B) at (2.6,-1.3); +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich\strut}; + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] + \begin{axis} + [title = {\large Signal\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] + {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \marke{1} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] + \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] + table[col sep=comma] + {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \marke{2} + \draw[->,line width=1pt] (3,-0.4) -- node[right] {Übertragung} (3,-2.2); +\end{scope} + +\definecolor{pink}{rgb}{0.6,0.2,1} + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] + %\fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + \begin{axis}[title = {\large Decodiert\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[blue,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \marke{4} + \draw[color=pink] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + \draw[->,color=pink,line width=1pt] + (4.65,-0.15) to[out=-90,in=90] (3,-2.2); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] + \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehlern}\strut}, + xtick={0,96}, + axis background/.style={fill=white}, + axis y line*=left, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] + table[col sep=comma] + {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={6,20,74}, axis y line*=right, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[red,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \marke{3} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] + \begin{axis}[title = {\large \color{pink}Syndrom\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[pink,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \marke{5} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}, + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; + \end{axis} + \begin{axis}[title = {\large Lokator\strut},axis y line*=left, + xtick={0,6,20,74,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[gray,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \marke{6} +\end{scope} + +% Fourier-Transformations-Pfeile + +\draw[->,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT\strut} (3.8,2); + +\begin{scope}[yshift=\yverschiebung] +\draw[<-,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT$\mathstrut^{-1}$} (3.8,2); +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=\yyverschiebung] +\draw[->,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT\strut} (3.8,2); +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt index b28988c..b28988c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex new file mode 100644 index 0000000..77c4dc3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -0,0 +1,104 @@ +% +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{pgfplotstable} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{filecontents} + + + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[] + + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix(m) [draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xtick={0,20,40,64,80,98}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture}[] + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}] + \addplot[color=white] {0}; + \end{axis} + + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert}}, axis y line*=left] + \addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}]; + \addplot[color=black!60] {0.3}; + \end{axis} + + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}},axis y line*=left] + \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); + \node(IFFT) [scale=0.9] at (0,9.3) {IFFT}; + \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); + + %Arrows + \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); + \draw[thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw[thick](decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {6}; +\end{tikzpicture} +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex new file mode 100644 index 0000000..db35734 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex @@ -0,0 +1,81 @@ + +\begin{tikzpicture}[] + + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix(m) [draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xtick={0,20,40,64,80,98}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture}[] + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); + \node(IFFT) [scale=0.9] at (0,9.3) {IFFT}; + \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); + + \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); + %Arrows + \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); + \draw[thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw[thick](decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex new file mode 100644 index 0000000..80557fb --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex @@ -0,0 +1,60 @@ +% polynome +%------------------- + +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} + + +\begin{document} +% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 +\newcommand{\teiler}{40} + + +%////////////////////////////////////// + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,] + \draw[color=blue, line width=1.4pt] + plot[domain=0:8, samples=100] + ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); + + \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; + + \def\punkt#1{ + \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \def\hellpunkt#1{ + \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; + \draw[gray] #1 circle[ radius=0.07]; + } + + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + + \punkt{(1,8/\teiler)} + \hellpunkt{(2,15/\teiler)} + \hellpunkt{(3,26/\teiler)} + \punkt{(4,41/\teiler)} + \punkt{(5,60/\teiler)} + \punkt{(6,83/\teiler)} + \punkt{(7,110/\teiler)} + + + + \def\erpunkt#1{ + \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \erpunkt{(2,50/\teiler)} + \erpunkt{(3,37.66/\teiler)} + + \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; + \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; +\end{tikzpicture} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex index 288b51c..02968fd 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex @@ -1,12 +1,11 @@ -% polynome -%------------------- -% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 +% polynomraw + \newcommand{\teiler}{40} %////////////////////////////////////// -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,] \draw[color=blue, line width=1.4pt] plot[domain=0:8, samples=100] ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); @@ -21,9 +20,14 @@ \def\hellpunkt#1{ \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; + \draw[gray] #1 circle[ radius=0.07]; } + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + \punkt{(1,8/\teiler)} \hellpunkt{(2,15/\teiler)} \hellpunkt{(3,26/\teiler)} @@ -32,9 +36,7 @@ \punkt{(6,83/\teiler)} \punkt{(7,110/\teiler)} - \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] - plot[domain=0.5:7, samples=100] - ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + \def\erpunkt#1{ \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; @@ -45,5 +47,4 @@ \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; -\end{tikzpicture} -%\end{document} +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt index c4fa5f8..c4fa5f8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt index 8ca9eed..8ca9eed 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt index 4a481d8..4a481d8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt index f6221e6..f6221e6 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt index 38c13b0..38c13b0 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt index 23f1a83..23f1a83 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt index b28988c..b28988c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt index c4fa5f8..c4fa5f8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt index 8ca9eed..8ca9eed 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt |