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diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index e5574b8..a9080ea 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -1,98 +1,110 @@ -\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}} -\rhead{Invarianten} -Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden. -Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf: +\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}} +\rhead{Die geotechnischen Invarianten} +In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche. +Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$, +wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht. +Folglich gilt: \[ \sigma_{22} = \sigma_{33} -\] . - -Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht. -In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33. -Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe. - -Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein. -Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus: - -\[ +\] +Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht. +Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden. +Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung +\begin{equation} p = \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3} -\] - -oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ : - +\label{spannung:Invariante_p} +, +\end{equation} +welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist. +Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung +\begin{equation} +q += +\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}} +\label{spannung:Invariante_q} +. +\end{equation} +Diese Zusammenhänge werden im Skript \cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik} aufgezeigt. +Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als \[ p = \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3} \] - +vereinfacht werden. +Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q} als \[ q = \sigma_{11}-\sigma_{33} \] -. - -p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel. -q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3. -Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen. - -Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen. -Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen. -Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt. -Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden. -Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen +vereinfacht. Man kann $p$ als Druck und $q$ als Schub betrachten. +Die Invarianten $p$ und $q$ können mit der Spannungsgleichung \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden. +Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren. +Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten. +So ergibt sich \[ -\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} +\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{\displaystyle{p}} = -\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}} +\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\displaystyle{{\varepsilon_{v}}}} \] - +und \[ -\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} +\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{\displaystyle{q}} = -\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}} +\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\displaystyle{\varepsilon_{s}}} +. \] - +Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit \[ -\varepsilon_{s} +\varepsilon_{v} = -\text{Hydrostatische Dehnung} [-] -\] - -\[ -\varepsilon_{\nu} +(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33}) +\qquad +\text{und} +\qquad +\varepsilon_{s} = -\text{Deviatorische Dehnung} [-] +\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33}) \] - -werden. - -Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix -\[ +eingeführt werden, mit +\begin{align*} + \varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\ + \varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].} +\end{align*} +Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und +die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ mit einer Verzerrung verglichen werden. + +Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise +\begin{equation} \begin{pmatrix} q\\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\ - 0 & \frac{E}{3(1-2\nu)} + \displaystyle{\frac{3E}{2(1+\nu)}} & 0 \\ + 0 & \displaystyle{\frac{E}{3(1-2\nu)}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{s}\\ - \varepsilon_{\nu} + \varepsilon_{v} \end{pmatrix} -\] -einsetzen. -Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor. - -Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen. -Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch. -Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
\ No newline at end of file +\label{spannung:Matrixschreibweise} +\end{equation} +vereinfachen. + +Änderungen des Spannungszustandes können mit diesen Gleichungen vollumfänglich erfasst werden. +Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig +wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen +($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$). +Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. +Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch. +Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. |