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Skalare, Vektoren oder Matrizen sind daher auch Tensoren. Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe. \index{Stufe}% Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden. -Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar. +Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufiger als ein Skalar. Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden. -Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor. +Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufiger als ein Vektor. Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor. Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln. So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2. Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben. -In den 40er Jahren des 19.~Jahrhunderts wurde der Begriff Tensor von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt. -\index{Hamilton, Rowan}% +In den 40er Jahren des 19.~Jahrhunderts wurde der Begriff Tensor von William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt. +\index{Hamilton, William Rowan}% James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben. \index{Maxwell, James Clerk}% Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert. diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index b260b6f..fec0120 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -4,17 +4,17 @@ Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.30\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} - \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen} + \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchens} \label{fig:infinitesimalerWuerfel} \end{figure} Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben. -Um den 3D-Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. +Um den 3D-Spannungszustand als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. Die Spannungen sind durch die zwei Indizes \( i, j\in\left\{1, 2, 3\right\} \) definiert. -Daher ergeben sich die neun Spannungen. +Daher ergeben sich die $9$ Spannungen. Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben. Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit \[ @@ -48,7 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.~Stufe und kann somit auch als $3\ \] dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand. -Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. +Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welcher ein Spaltenvektor ist. Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt. So ergibt sich der Spannungsvektor @@ -114,8 +114,8 @@ Dieser ist im 1D-Spannungszustand ein Tensor 0.~Stufe und somit ein Skalar, der Dieser Elastizitätstensor 4.~Stufe kann als Tensor 2.~Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert. -Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen neun Dehnungen mit Konstanten erfassen. -Dies bedeutet um eine von neun Spannungen berechnen zu können müssen alle neun Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. +Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen $9$ Dehnungen mit Konstanten erfassen. +Dies bedeutet um eine von $9$ Spannungen berechnen zu können müssen alle $9$ Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den vier Indizes \( i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} @@ -354,14 +354,19 @@ beziehungsweise \sigma_{12} \end{pmatrix} = +%\left( +%\begin{array}{ccc|ccc} \begin{pmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ +%\hline C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212} \end{pmatrix} +%\end{array} +%\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ @@ -417,14 +422,19 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: \end{pmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} -\begin{pmatrix} +\left( +\begin{array}{ccc|ccc} +%\begin{pmatrix} 1- 2\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ \nu & 1- 2\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\ \nu & \nu & 1- 2\nu & 0 & 0 & 0\\ +\hline 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} -\end{pmatrix} +%\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ @@ -468,14 +478,19 @@ Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung: \end{pmatrix} = \frac{1}{E} -\begin{pmatrix} +\left( +\begin{array}{ccc|ccc} +%\begin{pmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ +\hline 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu -\end{pmatrix} +%\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index c68c0d1..147fe01 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Folglich gilt: \] Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht. Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden. -Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung +Die erste Invariante ist die volumetrische oder auch hydrostatische Spannung \begin{equation} p = @@ -76,8 +76,8 @@ Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so als \] eingeführt werden, mit \begin{align*} - \varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\ - \varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].} + \varepsilon_{v} &= \text{hydrostatische Dehnung [-]} \\ + \varepsilon_{s} &= \text{deviatorische Dehnung [-].} \end{align*} Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ mit einer Verzerrung verglichen werden. @@ -105,6 +105,7 @@ vereinfachen. Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen ($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$). -Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. +Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch. -Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. +In Abschnitt~\ref{spannung:section:Oedometrischer Elastizitätsmodul} +wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index 2e0de45..06d67c9 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -78,5 +78,5 @@ Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{\text{OED}}$ und $\si Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden. Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{fig:DiagrammOedometer-Versuch}). Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. -Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. +Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen in der Geotechnik durchführen. |