aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
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124 files changed, 11496 insertions, 845 deletions
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+++ b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
@@ -0,0 +1,2 @@
+TODO...
+GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains. \ No newline at end of file
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Quaternionen}
+\rhead{Quaternionen}
+Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den 3 dimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft.
+Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung.
+Die Quaternionen werden so definiert.
+\begin{align}
+ q = w + xi + yj + zk; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{H}
+\end{align}
+Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht.
+\begin{align} \label{QuatRot}
+ \begin{split}
+ &v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\
+ &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1)
+ \end{split}
+\end{align}
+Die Quaternionen besitzen im Gegensatz zu dem komplexen Zahlen 3 imaginäre Einheiten $i,j,k$. Wieso 3? Weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Nun haben wir ein kleines Problem. Wie sollen wir die Quaternionen darstellen? Wir bräuchten 4 Achsen für die 3 Imaginären Einheiten und die eine reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht.
+
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $\mathbb{G}_3^+ \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $\mathbb{G}_3$ befinden haben wir 3 Basisvektoren $e_1, e_2, e_3$ und können somit 3 Bivektoren bilden $e_{12}, e_{23}, e_{31}$.
+\begin{align}
+ \mathbf{q} = w + x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{G}_3^+
+\end{align}
+Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen.
+\\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\
+Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse.
+\\BILD?\\
+In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternion, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
+\begin{align}
+ \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}})
+\end{align}
+wobei definiert ist, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag immer 1.
+\begin{align}
+ |q| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1
+\end{align}
+Man verwendet um einen Vektor zu drehen wieder die gleiche Formel, wie auch schon im 2 dimensionalen Fall.
+\begin{align} \label{QuatRot}
+ \begin{split}
+ &v'' = qvq^{-1}\\
+ &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1)
+ \end{split}
+\end{align}
+Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann
+
+\subsection{Gimbal-Lock und Interpolation}
+
+\subsection{Fazit}
+andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme
+
+
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[thin,gray!40] (-3,-3) grid (3,3);
+ \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$};
+ \draw[<->] (0,-3)--(0,3) node[above]{$y$};
+ \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(1,1) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-1,-1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{-u}$};
+\end{tikzpicture} \ No newline at end of file
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index 0000000..88a5789
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
@@ -0,0 +1,71 @@
+\section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}}
+\rhead{Vektoroperationen}
+\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
+Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren dargestellt werden
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{a}
+ &=
+ \begin{pmatrix}
+ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n
+ \end{pmatrix}
+ =
+ a_1 \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ a_2\begin{pmatrix}
+ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
+ \end{pmatrix} + \dots
+ +
+ a_n\begin{pmatrix}
+ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
+ \end{pmatrix} \\\
+ &=
+ a_1\textbf{e}_1
+ +
+ a_2\textbf{e}_2
+ +
+ \dots + a_n\textbf{e}_n
+ =
+ \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+ \qquad
+ a_i \in \mathbb{R}
+ , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n.
+ \end{split}
+\end{equation}
+Diese Basisvektoren sollen orthonormal sein und um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, ...$ ersetzt.
+\begin{beispiel}
+Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$
+ \begin{equation}
+ \begin{pmatrix}
+ 42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4
+ \end{pmatrix}
+ =
+ 42 \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ 2 \begin{pmatrix}
+ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ 1291
+ \begin{pmatrix}
+ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ 4 \begin{pmatrix}
+ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1
+ \end{pmatrix}
+ =
+ 42\textbf{e}_1
+ +
+ 2\textbf{e}_2
+ +
+ 1291\textbf{e}_3
+ +
+ 4\textbf{e}_4
+ \end{equation}
+\end{beispiel}
+Wobei Beispiel für einen vier dimensionalen Vektor ist, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
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index 0000000..cfb05d6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
@@ -0,0 +1,110 @@
+\subsection{Quadrat von Vektoren}
+Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
+Was soll es schon heissen zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren?
+\newline
+Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen.
+\newline
+Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation ist.
+Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen, auch so definiert ist.
+\newline
+Zusätzlich wollen wir auch das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz für Skalare beibehalten. Wobei das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, in der geometrischen Algebra im generellen nicht mehr gilt. Das heisst wir dürfen ausklammern \ref{eq:assoziativ} und die Position von Skalaren im Produkt ändern \ref{eq:kommSkalar}, allerdings nicht die Position der Vektoren \ref{eq:kommVector}.
+\begin{equation}
+ \label{eq:assoziativ}
+ \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k)
+ =
+ \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \label{eq:kommSkalar}
+ a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j
+ =
+ ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \label{eq:kommVector}
+ \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \neq
+ \textbf{e}_j\textbf{e}_i
+\end{equation}
+Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors.
+\begin{align}
+ \textbf{a}^2 &=
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+ \right )
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+ \right )
+ \label{eq:quad_a_1}
+ \\
+ &=
+ \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2}
+ +
+ \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j }
+ \label{eq:quad_a_2}
+ \\
+ &= \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
+ \label{eq:quad_a_3}
+\end{align}
+
+\begin{beispiel}
+Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{a}^2
+ &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\
+ &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2}
+ + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} \\\
+ & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}
+ \end{split}
+\end{equation}
+
+\end{beispiel}
+Der Vektor wird in \ref{eq:quad_a_1} als Linearkombination geschrieben.
+Das Quadrat kann, wie in \ref{eq:quad_a_2} gezeigt, in zwei Summen aufteilen werden , wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet.
+\newline
+Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, da zuvor vorausgesetzt wurde, dass man mit orthonormalen Einheitsvektoren arbeitet, wird dies nun eingesetzt ergibt sich \ref{eq:quad_a_3}
+\newline
+Die hellblaue Teil ist nun bereits Länge im Quadrat eines Vektors, also das Ziel der Multiplikation.
+Daher muss der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben.
+Aus dieser Erkenntnis leiten wir in \ref{eq:Mischterme_Null} weitere Eigenschaften für die Multiplikation her.
+\begin{equation}
+ \label{eq:Mischterme_Null}
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0
+\end{equation}
+Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich
+\begin{equation}
+\begin{split}
+ a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\
+ a_1a_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -a_1a_2\textbf{e}_2\textbf{e}_1 \\
+ \textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -\textbf{e}_2\textbf{e}_1.
+\end{split}
+\end{equation}
+\begin{satz}
+ Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind.
+ \begin{equation}
+ \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \qquad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j
+ \end{equation}
+\end{satz}
+Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
+\begin{table}
+\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren}
+\label{tab:multip_vec}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| }
+ \hline
+ & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & 1 & $\dots$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\dots$ & $1$ & $\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ & $\dots$ & $-\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ & 1 \\
+ \hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
@@ -0,0 +1,175 @@
+\subsection{Multiplikation von Vektoren}
+Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipliziert werden?
+\begin{equation}
+ \textbf{u} =
+ \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i
+ \qquad
+ \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{u}\textbf{v}
+ =
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i
+ \right )
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
+ \right)
+ =
+ \sum_{i=1}^n u_iv_i\underbrace{\textbf{e}_i^2}_{1}
+ + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \end{split}
+\end{equation}
+\begin{beispiel}
+ Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$
+\end{beispiel}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{u}\textbf{v}
+ &=
+ (u_1\textbf{e}_1 + u_2\textbf{e}_2)(v_1\textbf{e}_1 + v_2\textbf{e}_2)
+ =
+ u_1v_1\textbf{e}_1^2
+ +
+ u_2v_2\textbf{e}_2^2
+ +
+ u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2
+ +
+ u_2v_1\underbrace{\textbf{e}_2\textbf{e}_1}_{-\textbf{e}_1\textbf{e}_2}
+ \\\
+ &=
+ \underbrace{(u_1v_1 + u_2v_2)}_{\text{Skalarprodukt}}
+ +
+ \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}
+ \end{split}
+\end{equation}
+Der linke Teil dieser Multiplikation ergibt das Skalarprodukt der zwei Vektoren, der rechte Term ergibt etwas neues das sich das äussere Produkt der zwei Vektoren nennt.
+\subsubsection{Äusseres Produkt}
+Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\wedge \textbf{v}
+ =
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+\begin{beispiel}
+Äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$
+\end{beispiel}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ u \wedge v
+ &=
+ u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2
+ +
+ u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3
+ +
+ u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3
+ +
+ u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1
+ +
+ u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1
+ +
+ u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\
+ &=
+ (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2
+ +
+ (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3
+ +
+ (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3
+ \end{split}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \ref{eq:u_wedge_v}-\ref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet.
+\begin{align}
+ \textbf{u}\wedge \textbf{v}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n
+ u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \label{eq:u_wedge_v}
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_1}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ +
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_2}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ +
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_3}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ -
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_4}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_5}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{align}
+Die Summe aus \ref{eq:u_wedge_v_1} wird in \ref{eq:u_wedge_v} in zwei verschiedene Summen aufgeteilt.
+Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat.
+\newline
+Bei \ref{eq:u_wedge_v_2} werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht, damit man nun bei beiden Teilen die gleiche Summe hat.
+Danach werden in \ref{eq:u_wedge_v_3}, mit Hilfe der Antikommutativität, die Einheitsvektoren der zweiten Summe vertauscht.
+\newline
+Nun können die Summen, wie in \ref{eq:u_wedge_v_4} wieder in eine Summe zusammengefasst werden.
+\newline
+Der Term in der Klammer in \ref{eq:u_wedge_v_4} kann auch als Determinante einer 2x2 Matrix dargestellt werden, was in \ref{eq:u_wedge_v_5} gemacht wird.
+\newline
+Die Determinante einer Matrix beschreibt welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+ \draw[<->] (0,0)--(4,0) ;
+ \draw[<->] (0,0)--(0,4) ;
+ \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+ \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+ west]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+ \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$\begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer 2x2 Matrix\label{figure:det}}
+\end{figure}
+\newline
+Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe
+ $\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n$
+ von Flächen
+ $\begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix}$, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht.
+Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung.
+Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird.
+Dies ist in \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird.
+Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist.
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+ \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$};
+ \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$};
+ \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+ \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+ west]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+ \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3);
+ \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$u\wedge v = \begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produkt in $\mathbb{R}^2$\label{figure:wedge}}
+\end{figure} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..a19e983
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+\subsection{Geometrisches Produkt}
+Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geometrische Produkt, dieses können wir nun als Summe aus dem Skalar- und dem äusseren Produkt darstellen
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\textbf{v} = \textbf{u}\cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v}.
+\end{equation}
+Dieses Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt ein Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurück gibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren?
+Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reelen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden.
+Dieses Objekt, also die Summe von verschiedenen Elemente der Clifford Algebra, wird Multivektor genannt.
+\begin{definition}
+Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektoren, Bivektoren oder Trivektoren (Volumen mit einer Richtung), der Clifford Algebra.
+\begin{equation}
+ M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right)
+\end{equation}
+\end{definition}
+Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $\mathbb{G}^n$ beschrieben.
+\begin{beispiel}
+Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$
+\begin{equation}
+ M = a
+ +
+ \underbrace{b\textbf{e}_1 + c\textbf{e}_2 + d\textbf{e}_3}_{\text{Vektorteil}}
+ +
+ \underbrace{f\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + g\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + h\textbf{e}_2\textbf{e}_3 }_{\text{Bivektorteil}}
+ +
+ \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}}
+\end{equation}
+\end{beispiel}
+\begin{definition}
+Um das Produkt von Basisvektoren in Zukunft darzustellen wird folgende Notation definiert
+ \begin{equation}
+ e_ie_j = e_{ij}
+ \end{equation}
+\end{definition}
+Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $\mathbb{G}^n$ erstellt werden. In \ref{tab:multip} ist dies für $\mathbb{G}^3$ gemacht.
+\begin{table}
+ \caption{Multiplikationstabelle für $\mathbb{G^3}$}
+ \label{tab:multip}
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| }
+ \hline
+ 1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{2}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+\end{table}
diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
new file mode 100644
index 0000000..80fb49f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+\subsection{Polare Darstellung des geometrischen Produktes}
+Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben. Das Skalarprodukt kann als
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
+\newline
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+\begin{equation}
+ \textbf{u} \wedge \textbf{v}
+ =
+ \begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ =
+ \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\textbf{v}
+ =
+ |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)}
+ +
+ |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ =
+ |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
+\end{equation} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
new file mode 100644
index 0000000..6417bb3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Dirac-Matrizen}
+\rhead{Dirac-Matrizen}
diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4942e0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Reflektion/ Spiegelung}
+\rhead{Reflektion/ Spiegelung}
+Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflektion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD
+\subsection{linearen Algebra}
+Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Reflektion wie folgt beschreiben kann.
+\begin{align} \label{RefLinAlg}
+ \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}
+\end{align}
+Dabei stellt $\mathbf{u}$ die Spiegelachse dar.
+Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Reflektionen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den Reflektierten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht.
+\\MATRIZEN O(2) und O(3) zeigen\\
+Diese Matrizen gehören der Matrizengruppe $O(n)$ an....
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel (\ref{RefLinAlg}) eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann.
+\begin{align}
+ \mathbf{v'} = \mathbf{uvu^{-1}}
+\end{align}
+wobei die Inverse eines Vektors so definiert ist, dass multipliziert mit sich selbst das neutrale Element 1 ergibt.
+\begin{align}
+ u^{-1} = \dfrac{u}{|u|^2} \Rightarrow uu^{-1} = 1
+\end{align}
+verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird somit die Formel reduziert zu einer beidseitigen Multiplikation von $\mathbf{\hat{u}}$.
+\begin{align}
+ \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
+\end{align}
+Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise.
+Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
+\\BEISPIEL? \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
new file mode 100644
index 0000000..c2928bf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Rotation}
+\rhead{Rotation}
+Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Reflektionen bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Reflektion schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Reflektion, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Reflektion invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt in 3D vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zwei mal invertiert wurde.
+\\BILD
+
+\subsection{linearen Algebra}
+In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $SO(n)$ beschrieben. Die SO(2) werden beispielsweise auf diese Weise gebildet.
+\begin{align}
+ D =
+ \begin{pmatrix}
+ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\
+ -sin(\alpha) & cos(\alpha)
+ \end{pmatrix}
+\end{align}
+
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Reflektionen gebildet werden kann, können wir die Rotation einfach herleiten.
+\begin{align} \label{rotGA}
+ v'' = wv'w^{-1} = w(uvu^{-1})w^{-1}
+\end{align}
+Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese versuchen wir jetzt noch zu verbessern. Dazu leiten wir zuerst die bekannte Polarform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e_{12}}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e_{ij}}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden)
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_2\right]
+\end{align}
+Dabei können wir ausnützen, dass $e_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $e_1$ aus.
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_1e_1e_2\right]
+\end{align}
+\begin{align} \label{e1ausklammern}
+ \mathbf{w} = |w|e_1\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) e_{12}\right]
+\end{align}
+Durch die Reihenentwicklung ist es uns jetzt möglich den Term in eckigen Klammern mit der e-Funktion zu schreiben.
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $e_1$ um die Länge w gestreckt und um $theta_w$ gedreht wird.
+Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $(wu)$ betrachten.
+\begin{align}
+ \mathbf{wu} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}||u||\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Um die beiden $\mathbf{e_1}$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des exponential Terms mit $\mathbf{e_1}$ wechseln, indem man bei der Gleichung (\ref{e1ausklammern}), anstatt mit $\mathbf{e_1e_1e_2}$ mit $\mathbf{e_2e_1e_1}$ erweitert.
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w|\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e_2e_1}\right]\mathbf{e_1}
+\end{align}
+Da $\mathbf{e_2e_1 = -e_{12}}$ können wir einfach den Winkel negieren.
+Jetzt können wir wieder $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die exponential Terme zusammengefasst werden.
+\begin{align}
+ \mathbf{wu} = |w||u|e^{-\theta_w \mathbf{e_{12}}}\mathbf{e_1}\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \mathbf{wu} = |w||u|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+der Term $\mathbf{u^{-1}w^{-1}}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden.
+\begin{align}
+ \mathbf{u^{-1}w^{-1}} = \dfrac{1}{|w||u|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung (\ref{rotGA}) ein.
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = |w||u|e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v \dfrac{1}{|w||u|}e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+HIER DEFINITION/IST WICHTIGE FORMEL
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht.
+\begin{align} \label{RotAufPerpPar}
+ \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert.
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle.
+\\BEISPIEL
+\begin{align}
+ \begin{split}
+ &\mathbf{v} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}; \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e_3}\\ &\mathbf{wu} = 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e_1}+\sin(-\pi/2)\mathbf{e_2}] = -\mathbf{e_2}; \\ &\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = 1e^{(\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = \mathbf{e_2}
+ \end{split}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \begin{split}
+ \mathbf{v''} = &\mathbf{(wu)v(u^{-1}w^{-1})} \\
+ &-\mathbf{e_2} (1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}) \mathbf{e_2} \\
+ & -1\mathbf{e_2e_1e_2} - 2\mathbf{e_2e_2e_2} - 3\mathbf{e_2e_3e_2} \\
+ & 1\mathbf{e_2e_2e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_2e_2e_3} \\
+ & 1\mathbf{e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}
+ \end{split}
+\end{align}
+Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
new file mode 100644
index 0000000..4dbab2c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{komplexe Zahlen}
+\rhead{komplexe Zahlen}
+Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist Komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbb{G}_2^+ \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grade 0) und einem Bivektor (Grade 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $g_n \in \mathbb{G}_2^+$.
+\begin{align}
+ a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 e_{12} = g_n;\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}
+\end{align}
+oder in Polarform.
+\begin{align}
+ |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta e_{12}} = g_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
+\end{align}
+Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $\mathbb{G}_2^+$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im 2 dimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen zahlen kennen.
+\begin{align}
+ \begin{split}
+ &(a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}}) = (c + d \mathbf{e_{12}})(a + b \mathbf{e_{12}})\\
+ &(a + b \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})(c + d \mathbf{e_{12}}) \not= (a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})
+ \end{split}
+\end{align}
+Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
+Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=c+dj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen.
+\begin{align}
+ c = (a + bj)(c + dj) = c\cdot(a+bj) + dj\cdot(a+bj)
+\end{align}
+Wobei $c\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $c$ steckt und $dj\cdot(a+bj)$ die um 90° im gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_1$ um den Faktor $d$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ drehgestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
diff --git a/buch/papers/clifford/Makefile.inc b/buch/papers/clifford/Makefile.inc
index 7b941b3..8cdd02e 100644
--- a/buch/papers/clifford/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/clifford/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,18 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-dependencies-clifford = \
+dependencies-clifford = \
papers/clifford/packages.tex \
papers/clifford/main.tex \
- papers/clifford/references.bib \
- papers/clifford/teil0.tex \
- papers/clifford/teil1.tex \
- papers/clifford/teil2.tex \
- papers/clifford/teil3.tex
-
+ papers/clifford/references.bib \
+ papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex \
+ papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex \
+ papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex \
+ papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex \
+ papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex \
+ papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex \
+ papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex \
+ papers/clifford/7_Reflektion.tex \
+ papers/clifford/8_Rotation.tex \
+ papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex \
+ papers/clifford/10_Quaternionen.tex
diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex
index 5533c55..46d04bd 100644
--- a/buch/papers/clifford/main.tex
+++ b/buch/papers/clifford/main.tex
@@ -3,34 +3,23 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Thema\label{chapter:clifford}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Clifford Algebra\label{chapter:clifford}}
+\lhead{Clifford Algebra}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Thierry Schwaller, Marius Baumann}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-\input{papers/clifford/teil0.tex}
-\input{papers/clifford/teil1.tex}
-\input{papers/clifford/teil2.tex}
-\input{papers/clifford/teil3.tex}
+\input{papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex}
+\input{papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex}
+\input{papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex}
+\input{papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex}
+\input{papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex}
+\input{papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex}
+\input{papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex}
+\input{papers/clifford/7_Reflektion.tex}
+\input{papers/clifford/8_Rotation.tex}
+\input{papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex}
+\input{papers/clifford/10_Quaternionen.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/clifford/packages.tex b/buch/papers/clifford/packages.tex
index 8abcef1..8fb4bd9 100644
--- a/buch/papers/clifford/packages.tex
+++ b/buch/papers/clifford/packages.tex
@@ -7,4 +7,3 @@
% if your paper needs special packages, add package commands as in the
% following example
%\usepackage{packagename}
-
diff --git a/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex b/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex
diff --git a/buch/papers/clifford/teil0.tex b/buch/papers/clifford/teil0.tex
deleted file mode 100644
index ac943f4..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{clifford:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{clifford:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil1.tex b/buch/papers/clifford/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 0674afb..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{clifford:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{clifford:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{clifford:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{clifford:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil2.tex b/buch/papers/clifford/teil2.tex
deleted file mode 100644
index bbcefb0..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{clifford:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil3.tex b/buch/papers/clifford/teil3.tex
deleted file mode 100644
index f50d42d..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{clifford:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg
new file mode 100644
index 0000000..d25381e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bee3bc0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
new file mode 100644
index 0000000..44319c3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass{standalone}
+
+\usepackage{pgfplots}
+
+\pgfplotsset{compat = newest}
+
+\begin{document}
+
+
+\begin{tikzpicture}
+
+
+\begin{axis}[
+ xmin = -1, xmax = 4,
+ ymin = -0.5, ymax = 2.50,
+ axis lines = center,
+ xlabel = $\sigma$,
+ ylabel = {$\mu$},
+]
+
+\addplot [
+ domain=-2:5,
+ samples=200,
+ color=orange,
+]
+{(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2))};
+
+\addplot [
+ domain=-2:5,
+ samples=200,
+ color=blue,
+ ]
+ {1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+\end{document} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e86a403
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex
new file mode 100644
index 0000000..85455ef
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass{standalone}
+
+\usepackage{pgfplots}
+
+\pgfplotsset{compat = newest}
+
+\begin{document}
+
+
+\begin{tikzpicture}
+
+
+\begin{axis}[
+ xmin = -1, xmax = 4,
+ ymin = -0.5, ymax = 2.50,
+ axis lines = center,
+ xlabel = $\sigma$,
+ ylabel = {$\mu$},
+]
+
+\addplot [
+ domain=-2:5,
+ samples=200,
+ color=orange,
+]
+{(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2))};
+
+\addplot [
+ domain=-2:5,
+ samples=200,
+ color=blue,
+ ]
+ {1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))};
+
+\addplot [
+ domain=-2:5,
+ samples=200,
+ color=red,
+ ]
+ {((1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))*(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2)))/0.1};
+
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+\end{document} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
index a89f303..0d21f84 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
@@ -3,16 +3,240 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Teil 1
-\label{erdbeben:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+
+
+\section{Kalman Filter}
+\subsection{Geschichte}
+Das Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
+
+\subsection{Wahrscheinlichkeit}
+Das Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt.
+
+
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf}
+ \caption{System}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+
+
+Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung.
+
+Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage:
+\begin{equation}
+{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}}
+\end{equation}
+und für die Messung:
+
+\begin{equation}
+{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
+\end{equation}
+
+Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren:
+\begin{equation}
+{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,}
+\end{equation}
+
+Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung.
+
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf}
+ \caption{System}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+
+Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt.
+
+\subsection{Anwendungsgrenzen}
+Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig
+
+
+\section{Aufbau}
+Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet.
+Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse in der regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal.
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
+ \caption{System}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Optionen}
+Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig!
+
+\section{Systemgleichung}
+Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, wird eine Gleichung, welche das System beschreibt. Das Kalman-Filter benötigt eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet:
+\begin{equation}
+m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f
+\end{equation}
+mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante.
+Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung:
+
+
+\begin{equation}
+{x_1}=x, \qquad
+{x_2}=\dot x, \qquad
+{x_3}=\ddot x\qquad \mid \quad \text {Substitution}
+\end{equation}
+
+
+\begin{equation}
+m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+{x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \qquad \mid \quad \text {nach} \quad{x_3}
+\end{equation}
+auch als Matrix-Vektor-Gleichung schreiben.
+Hierbei beschreibt die Matrix $A$ die gesamte Systemdynamik in der Form, wie sie ein Kalman-Filter benötigt.
+
+Um die lineare Differentialgleichung in das Kalman-Filter zu implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt.
+
+
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc}
+0 & 1& 0 \\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right).
+\end{equation}
+
+Durch die Rücksubstituion ergibt sich:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc}
+0 & 1& 0 \\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
+\end{equation}
+
+
+Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile später mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir.
+
+\section{Kalman Filter}
+Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, wofür sie nützlich sind.
+
+
+\subsection{Anfangsbedingungen}
+\subsubsection*{Anfangszustand $x$}
+Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erföhrt die Apparatur keine äussere Kraft.
+
+\begin{equation}
+{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)
+\end{equation}
+
+\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$}
+Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter einen Anfangsfehler eingeführt. Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen.
+In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix
+
+\begin{equation}
+{P_0 }=
+\left(
+\begin{array}{ccc}
+0 & 0 &0 \\
+0 &0 & 0 \\
+0 & 0 &0 \\
+\end{array}
+\right).
+\end{equation}
+Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt. Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert.. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln.
+
+
+\subsubsection*{Dynamikmatrix $A$}
+Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln.
+Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist.
+Die System Vektor-Gleichung lautet daher:
+
+
+\begin{equation}
+A = \left(
+ \begin{array}{ccc}
+0 & 1& 0 \\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+0 & 0& 0\\
+\end{array}\right)
+\end{equation}
+
+\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
+Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Systemzustand verändert. Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. Für uns wäre dies:
+\begin{equation}
+Q = \left(
+ \begin{array}{ccc}
+{\sigma_x }^2& 0& 0 \\
+0 & {\sigma_v }^2& 0\\
+0 & 0& {\sigma_f }^2\\
+\end{array}\right)
+\end{equation}
+
+Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die Messung.
+
+\subsubsection*{Messmatrix $H$}
+Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. In unserem Fall ist es nur die Position der Massen.
+
+\[ H = (1, 0, 0) \]
+
+
+\subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$}
+Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist dies lediglich:
+\begin{equation}
+R= ({\sigma_x}^2).
+\end{equation}
+Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt.
+
+\subsection{Fiter Algorithmus}
+Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
+
+
+\subsubsection*{Vorhersage}
+Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt:
+\begin{equation}
+{x_{t+1}}=A\cdot{x_t}.
+\end{equation}
+
+
+Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im Vorhersage grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
+
+\begin{equation}
+{P_{pred}}=APA^T+Q.
+\end{equation}
+
+wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
+
+\subsubsection*{Messen}
+Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
+Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$
+\begin{equation}
+w=Z-(H\cdot x)
+\end{equation}
+Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann.
+Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
+
+Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird.
+
+\subsubsection*{Korrigieren}
+Udpdate
+\section{Anfügen der Schwingung}
+
+Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung.
+Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort.
+Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist.
+Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen.
+
\begin{equation}
\int_a^b x^2\, dx
=
@@ -21,35 +245,20 @@ voluptatem sequi nesciunt
\frac{b^3-a^3}3.
\label{erdbeben:equation1}
\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
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-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{erdbeben:subsection:finibus}}
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-\ref{erdbeben:section:loesung}.
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-\ref{erdbeben:section:folgerung}.
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-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
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-asperiores repellat.
+
+\section{Erreger-Schwingung}
+Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird.
+Die Gleichung lautet
+
+\begin{equation}
+x(t)=Ae^{t/2}sin(t).
+\end{equation}
+
+Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt.
+Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert.
+
+Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten.
+
+
diff --git a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
new file mode 100644
index 0000000..bac3b42
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
@@ -0,0 +1,327 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Apr 18 08:58:30 2021
+
+@author: terminator
+"""
+import numpy as np
+from numpy.polynomial import Polynomial as Poly
+
+
+def gen_perm_M(n):
+ '''
+ generating random binary permutation matrix: https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix
+
+ Parameters
+ ----------
+ n : int
+ size of output matrix.
+
+ Returns
+ -------
+ perm_M : np.ndarray
+ binary permutation matrix.
+
+ '''
+ perm_M=np.zeros((n, n), dtype=int)
+ perm_V=np.random.default_rng().permutation(n)
+ perm_M[perm_V, np.r_[0:n]]=1
+ return perm_M
+
+
+
+def create_linear_code_matrix(n, k, g):
+ '''
+ create generator matrix for linear encoding
+ use this matrix to create code_vector: matrix @ data_vector=code_vector
+
+ Parameters
+ ----------
+ n : int
+ len of code_vector (matrix @ data_vector).
+ k : int
+ len of data_vector.
+ g : numpy.Polynominal
+ polynomina wich defines the the constellations of .
+
+ Returns
+ -------
+ np.ndarray
+ Generator matrix
+
+ '''
+ if n != k+len(g)-1:
+ raise Exception("n, k not compatible with degree of g")
+ rows=[]
+ for i in range(k): #create potences of p
+ row=np.r_[np.zeros(i), g.coef, np.zeros(n-k-i)]
+ rows.append(row)
+ return np.array(rows, dtype=int).T
+
+
+def gf2_inv(M, get_full=False):
+ '''
+ create inverse of matrix M in gf2
+
+ Parameters
+ ----------
+ M : numpy.ndarray
+ input Matrix.
+ get_full : Bool, optional
+ if Ture, return inverse of G with I on the left (if gaussian inversion successful) If True, vaidity is not proven. The default is False.
+
+ Returns
+ -------
+ np.ndarray or None
+ returns inverse if M was not singular in gf2, else None.
+
+ '''
+ size=len(M)
+ G=np.hstack((M, np.eye(size)))
+ G=np.array(G, dtype=int)
+ for n in range(size): #forward reduction
+ if G[n, n] == 0: #swap line if necessary
+ for i in range(n+1, size):
+ if G[i, n]:
+ G[i, :], G[n, :] = G[n, :].copy(), G[i, :].copy() #swap
+
+ for i in range(n+1, size): #downward reduction
+ if G[i, n]:
+ G[i, :] = G[i, :] ^ G[n, :]
+ #reached buttom_right with pivo
+ for n in range(size-1, -1, -1): #backwards
+ for i in range(n):
+ if G[i, n]:
+ G[i, :]= G[i, :] ^ G[n, :]
+
+
+
+ if get_full:
+ return G
+ else:
+ valid=np.sum(np.abs(G[:, :size]-np.eye(size))) == 0 #reduction successfull when eye left on the left of G
+ if not valid:
+ return None
+ else:
+ return G[:, size:]
+
+def create_rand_bin_M(n, with_inverse=False):
+ '''
+ create random binary matrix
+
+ Parameters
+ ----------
+ n : int
+ size.
+ with_inverse : bool, optional
+ if False, return only random binary matrix.
+ if True, return also inverse of random martix. for this purpose, random matrix will not be singular.
+ The default is False.
+
+ Returns
+ -------
+ M : TYPE
+ if with_inverse is True: return tuple(random_matrix, inverse_of_random_matrix)
+ else: return random_matrix
+
+ '''
+ inv=None
+ while type(inv) == type(None): #do it until inversion of m is successful wich means det(M)%2 != 0
+ M=np.random.randint(0,2, (n,n))
+ inv=gf2_inv(M)
+ if with_inverse:
+ return(M, inv)
+ else:
+ return M
+
+def create_syndrome_table(n, g):
+ '''
+ create syndrome table for correcting errors in linear code
+
+ Parameters
+ ----------
+ n : int
+ len of linear-code code_vector.
+ g : numpy.Polinominal
+ generator polynominal used by linear-code-encoder.
+
+ Returns
+ -------
+ list of error_vectors, one per syndrome.
+ get the corresponding error_vector by using the value represented by your syndrome as index of this list.
+
+ '''
+ zeros=np.zeros(n, dtype=int)
+ syndrome_table=[0 for i in range(n+1)]
+ syndrome_table[0]=zeros #when syndrome = 0, no bit-error to correct
+ for i in range(n):
+ faulty_vector=zeros.copy()
+ faulty_vector[i]=1
+ q, r=divmod(Poly(faulty_vector), g)
+ r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
+ index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
+ syndrome_table[index]=faulty_vector
+ return np.array(syndrome_table)
+
+
+def decode_linear_code(c, g, syndrome_table):
+ '''
+ function to decode codeword encoded with linear_code
+
+ Parameters
+ ----------
+ c : list or np.ndarray
+ code_vector.
+ g : numpy.Polynominal
+ generator polynominal, used to create code_vector.
+ syndrome_table : list of error_vectors
+ if codeword contains an error, syndrome_table is used to correct wrong bit.
+
+ Returns
+ -------
+ numpy.ndarray
+ data_vector.
+
+ '''
+ q, r=divmod(Poly(c), g)
+ q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)]
+ r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
+ syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
+ while syndrome_index > 0:
+ c=c ^ syndrome_table[syndrome_index]
+ q, r=divmod(Poly(c), g)
+ q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)]
+ r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
+ syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
+ return np.array(q, dtype=int)
+
+def encode_linear_code(d, G):
+ '''
+ uses generator matrix G to encode d
+
+ Parameters
+ ----------
+ d : numpy.ndarray
+ data_vector.
+ G : numpy.ndarray
+ generator matrix.
+
+ Returns
+ -------
+ c : numpy.ndarray
+ G @ d.
+
+ '''
+ c=(G @ d)%2
+ return c
+
+def encrypt(d, pub_key, t):
+ '''
+ encrypt data with public key, adding t bit-errors
+
+ Parameters
+ ----------
+ d : numpy.ndarray or list of numpy.ndarray
+ data_vector or list of data vectors to encrypt.
+ pub_key : numpy.ndarray
+ public key matrix used to encrypt data.
+ t : int
+ number of random errors to add to code_vector.
+
+ Returns
+ -------
+ numpy.ndarray or list of numpy.ndarray (depending on d)
+ encrypted data.
+
+ '''
+ if type(d) in (list,):
+ encrypted_list=[encrypt(data, pub_key, t) for data in d]
+ return encrypted_list
+ else:
+ c = np.array((pub_key @ d)%2, dtype=int)
+
+ indexes_of_errors=np.random.default_rng().permutation(pub_key.shape[0])[:t] #add t random errors to codeword
+ e=np.zeros(pub_key.shape[0], dtype=int)
+ e[indexes_of_errors]=1
+ c=c ^ e
+ return np.array(c, dtype=int)
+
+def decrypt(c, P_inv, linear_code_decoder, S_inv):
+ '''
+ decrypt encrypted message
+
+ Parameters
+ ----------
+ c : numpy.ndarray or list of numpy.ndarray
+ code_vector or list of code_vectors to decrypt.
+ P_inv : numpy.ndarray
+ inverted permutation matrix.
+ linear_code_decoder : function(x)
+ function to use to decode linear code.
+ S_inv : numpy.ndarray
+ inverted random binary matrix.
+
+ Returns
+ -------
+ numpy.ndarray or list of numpy.ndarray (depending on d)
+ decrypted data.
+
+ '''
+ if type(c) in (list,):
+ decrypted_list=[decrypt(codew, P_inv, linear_code_decoder, S_inv) for codew in c]
+ return decrypted_list
+ else:
+ c=np.array(P_inv @ c, dtype=int)%2
+ d=linear_code_decoder(c)
+ d=(S_inv @ d)%2
+ return np.array(d, dtype=int)
+
+def str_to_blocks4(string):
+ blocks=[]
+ for char in string:
+ bits=[int(value) for value in np.binary_repr(ord(char), 8)[::-1]] #lsb @ index 0
+ blocks.append(np.array(bits[:4], dtype=int)) #lower nibble first
+ blocks.append(np.array(bits[4:], dtype=int))
+ return blocks
+
+def blocks4_to_str(blocks):
+ string=''
+ for i in range(0, len(blocks), 2):
+ char=np.sum([b*2**i for i, b in enumerate(blocks[i])]) + \
+ np.sum([b*2**(i+4) for i, b in enumerate(blocks[i+1])])
+ string+=chr(char)
+ return string
+
+if __name__ == '__main__':
+
+ #shared attributes:
+ n=7
+ k=4
+ t=1
+
+ #private key(s):
+ g=Poly([1,1,0,1]) #generator polynom for 7/4 linear code (from table, 1.0 + 1.0·x¹ + 0.0·x² + 1.0·x³)
+ P_M=gen_perm_M(n) #create permutation matrix
+ G_M=create_linear_code_matrix(n, k, g) #linear code generator matrix
+ S_M, S_inv=create_rand_bin_M(k, True) #random binary matrix and its inverse
+ P_M_inv=P_M.T #inverse permutation matrix
+
+ syndrome_table=create_syndrome_table(n, g) #part of linear-code decoder
+ linear_code_decoder=lambda c:decode_linear_code(c, g, syndrome_table)
+
+ #public key:
+ pub_key=(P_M @ G_M @ S_M)%2
+
+
+ msg_tx='Hello World?'
+
+ blocks_tx=str_to_blocks4(msg_tx)
+ encrypted=encrypt(blocks_tx, pub_key, t)
+
+ blocks_rx=decrypt(encrypted, P_M_inv, linear_code_decoder, S_inv)
+ msg_rx=blocks4_to_str(blocks_rx)
+
+ print(f'msg_rx: {msg_rx}')
+
+ \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index 7c6e70d..b6a76c1 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,12 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-dependencies-punktgruppen = \
- papers/punktgruppen/packages.tex \
- papers/punktgruppen/main.tex \
- papers/punktgruppen/references.bib \
- papers/punktgruppen/teil0.tex \
- papers/punktgruppen/teil1.tex \
- papers/punktgruppen/teil2.tex \
- papers/punktgruppen/teil3.tex
+dependencies-punktgruppen = \
+ papers/punktgruppen/packages.tex \
+ papers/punktgruppen/main.tex \
+ papers/punktgruppen/intro.tex \
+ papers/punktgruppen/symmetry.tex \
+ papers/punktgruppen/crystals.tex \
+ papers/punktgruppen/piezo.tex \
+ papers/punktgruppen/references.bib
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
new file mode 100644
index 0000000..6de2bca
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+\section{Kristalle}
+Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
+Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
+Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
+\begin{definition}[Kristall]
+ Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
+\end{definition}
+
+
+Ein Zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid}.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Muster eines einzelnen XgrauenX Punktes gewählt in nur Zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren a und b sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Dadurch können von einem einzelnen XGrauenX Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid} können mit einer ganzzahligen Linearkombination von a und b alle anderen Gitterpunkte des Kristalles erreicht werden.
+Ein Kristallgitter kann eindeutig mit a und b und deren winkeln beschrieben werden weswegen a und b auch Gitterparameter genannt werden.
+Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor also FRMEL FÜR TRANSLATIONSVEKTOR erreicht werden.
+Da sich das Ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch die Eigenschaften eines Gitterpunktes Periodisch mit eiem
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
new file mode 100644
index 0000000..10dea79
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+\section{Einleitung}
+Es gibt viele möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
+Auch wen man nur die Mathematischen möglichkeiten in betracht zieht, hat man noch viel zu viele Möglichkeiten sich mit kristallen zu beschäftigen.
+In diesem Articel ist daher der Fokus "nur" auf die Symmetrie gelegt.
+Im Abschitt über Symmetrien werden wir sehen, wie eine Symmetrie eines Objektes weit
+2.ter versuch:
+Die Kristallographie ist ein grosses Thema, Symmetrien auch.
+Für beide bestehen schon bewährte Mathematische Modelle und Definitionen.
+Die
+
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index fc91913..d88e221 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -3,34 +3,19 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Thema\label{chapter:punktgruppen}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Crystal M\rotatebox[origin=c]{180}{a}th\label{chapter:punktgruppen}}
+\lhead{Crystal M\rotatebox[origin=c]{180}{a}th}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Tim T\"onz, Naoki Pross}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+\input{papers/punktgruppen/intro}
+\input{papers/punktgruppen/symmetry}
+\input{papers/punktgruppen/crystals}
+\input{papers/punktgruppen/piezo}
-\input{papers/punktgruppen/teil0.tex}
-\input{papers/punktgruppen/teil1.tex}
-\input{papers/punktgruppen/teil2.tex}
-\input{papers/punktgruppen/teil3.tex}
+\nocite{punktgruppen:pinter-algebra}
+\nocite{punktgruppen:sands-crystal}
+\nocite{punktgruppen:lang-elt2}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
index 971bcfe..a6efdbf 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
@@ -4,7 +4,4 @@
% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-% if your paper needs special packages, add package commands as in the
-% following example
-%\usepackage{packagename}
-
+\usepackage{dsfont}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
new file mode 100644
index 0000000..7ee4174
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -0,0 +1 @@
+\section{Piezoelektrizit\"at}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index aa7eb14..9edb8bd 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -4,32 +4,32 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
-@online{punktgruppen:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
- year = {2020},
- month = {2},
- day = {6}
+@book{punktgruppen:pinter-algebra,
+ title = {A Book of Abstract Algebra},
+ author = {Charles C. Pinter},
+ publisher = {Dover Publications Inc.; 2. Edition},
+ year = {2010},
+ month = {1},
+ day = {10},
+ isbn = {978-0-486-47417-5},
+ inseries = {Dover Books on Mathematics},
}
-@book{punktgruppen:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
+@book{punktgruppen:sands-crystal,
+ title = {Introduction to Crystallography},
+ author = {Donald E. Sands},
+ publisher = {Dover Publications Inc.},
+ year = {1993},
+ isbn = {978-0-486-67839-9},
+ inseries = {Dover Books on Science},
}
-@article{punktgruppen:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
- title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
- journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
- year = 2019,
- volume = 47,
- pages = {607--627},
- url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@book{punktgruppen:lang-elt2,
+ title = {Elektrotechnik 2},
+ author = {Hans-Dieter Lang},
+ publisher = {Fachhochschule Ostschweiz Rapperswil},
+ year = {2020},
+ month = {2},
+ inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT},
}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
new file mode 100644
index 0000000..db05ff5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -0,0 +1,182 @@
+\section{Symmetrie}
+Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
+ursprünglichen griechischen Wort
+\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
+präzise Bedeutung.
+\begin{definition}[Symmetrie]
+ Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
+ bestimmten Operation invariant ist.
+\end{definition}
+
+Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist
+vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte
+trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber
+zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen.
+
+\begin{figure}[h]
+ \centering
+ \begin{tikzpicture}[
+ node distance = 2cm,
+ shapetheme/.style = {
+ very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
+ minimum size = 2cm,
+ },
+ line/.style = {thick, draw = darkgray},
+ axis/.style = {line, dashed},
+ dot/.style = {
+ circle, draw = darkgray, fill = darkgray,
+ minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0,
+ },
+ ]
+
+ \node[
+ shapetheme,
+ rectangle
+ ] (R) {};
+ \node[dot] at (R) {};
+ \draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)};
+
+ \node[
+ shapetheme,
+ regular polygon,
+ regular polygon sides = 5,
+ right = of R,
+ ] (Ps) {};
+ \node[dot] (P) at (Ps) {};
+ \draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5);
+ \draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5);
+ \draw[line, ->] (P) ++(18:1.2)
+ arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)};
+
+ \node[
+ shapetheme,
+ circle, right = of P
+ ] (Cs) {};
+ \node[dot] (C) at (Cs) {};
+ \draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0);
+ \draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5);
+ \draw[line, ->] (C) ++(1.2,0)
+ arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)};
+
+ \end{tikzpicture}
+ \caption{
+ Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+ \label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+ }
+\end{figure}
+
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
+einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner. In Abbildung
+\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die
+offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um
+die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige
+Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
+Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
+einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
+Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
+\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Dies ist
+hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
+nun eingeführt wird.
+
+\begin{definition}[Symmetriegruppe]
+ Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
+ Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
+ als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
+ Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
+
+Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
+\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
+\[
+ C_n = \langle r \rangle
+ = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+ = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
+\]
+die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. Die
+Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
+\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
+der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
+\[
+ D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
+ = \left\{
+ \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+ \right\}.
+\]
+Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
+Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
+letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
+möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
+Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
+Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+ Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+ bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+ Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+ eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+ \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus
+ \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+ \(G\) ist.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+ Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
+ Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix
+ \[
+ \Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+ \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+ \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n)
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
+ \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
+ die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+ \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+ Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+ Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+ komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+ ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
+
+Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
+einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
+der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
+Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
+verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
+unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+ Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+ einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+ Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung
+\[
+ U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+\]
+für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+
+% \subsection{Sch\"onflies notation}
+
+% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil0.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 5a8278e..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{punktgruppen:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{punktgruppen:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil1.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 228af33..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{punktgruppen:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{punktgruppen:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{punktgruppen:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{punktgruppen:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{punktgruppen:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil2.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil2.tex
deleted file mode 100644
index b48e785..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{punktgruppen:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{punktgruppen:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil3.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 94abd74..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{punktgruppen:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{punktgruppen:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/.gitignor b/buch/papers/reedsolomon/.gitignor
new file mode 100644
index 0000000..52a02ac
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/.gitignor
@@ -0,0 +1,24 @@
+RS.aux
+RS.bbl
+RS.bib
+RS.blg
+RS.idx
+RS.ilg
+RS.ind
+RS.log
+RS.out
+RS.pdf
+RS.run.xml
+RS.toc
+*.aux
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.fls
+*.out
+*.toc
+*.fmt
+*.fot
+*.cb
+*.cb2
+.*.lb
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/README.txt b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/README.txt
new file mode 100644
index 0000000..4d0620f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/README.txt
@@ -0,0 +1 @@
+Dies ist die Presentation des Reed-Solomon-Code \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.aux b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.aux
new file mode 100644
index 0000000..065ba66
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.aux
@@ -0,0 +1,146 @@
+\relax
+\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
+\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
+\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
+\global\let\oldnewlabel\newlabel
+\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
+\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand*\HyPL@Entry[1]{}
+\bbl@beforestart
+\catcode `"\active
+\HyPL@Entry{0<</P(1)>>}
+\babel@aux{ngerman}{}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}}
+\HyPL@Entry{1<</P(2)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {1}{Einführung}{2}{0}{1}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {1}{Einführung}{2}{Einführung}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {1}{0}{1}{2/4}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {2}{4}}}
+\HyPL@Entry{4<</P(3)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {2}{Polynom Ansatz}{5}{0}{2}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {2}{4}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {2}{4}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {2}{Polynom Ansatz}{5}{Polynom Ansatz}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{1}{5/5}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {5}{5}}}
+\HyPL@Entry{5<</P(4)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{2}{6/8}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {6}{8}}}
+\HyPL@Entry{8<</P(5)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{3}{9/12}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {9}{12}}}
+\HyPL@Entry{12<</P(6)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {3}{Diskrete Fourier Transformation}{13}{0}{3}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {5}{12}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {5}{12}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {3}{Diskrete Fourier Transformation}{13}{Diskrete Fourier Transformation}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{1}{13/13}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {13}{13}}}
+\HyPL@Entry{13<</P(7)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{2}{14/20}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {14}{20}}}
+\HyPL@Entry{20<</P(8)>>}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {ft_discrete}{21}}
+\newlabel{ft_discrete}{{8}{21}{Diskrete Fourier Transformation}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{3}{21/23}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {21}{23}}}
+\HyPL@Entry{23<</P(9)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{4}{24/24}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {24}{24}}}
+\HyPL@Entry{24<</P(10)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{5}{25/26}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {25}{26}}}
+\HyPL@Entry{26<</P(11)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{27}{0}{4}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {13}{26}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {13}{26}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{27}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{27/27}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {27}{27}}}
+\HyPL@Entry{27<</P(12)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{2}{28/28}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {28}{28}}}
+\HyPL@Entry{28<</P(13)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {5}{Codierung eines Beispiels}{29}{0}{5}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {27}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {27}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {5}{Codierung eines Beispiels}{29}{Codierung eines Beispiels}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{29/29}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {29}{29}}}
+\HyPL@Entry{29<</P(14)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{2}{30/30}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {30}{30}}}
+\HyPL@Entry{30<</P(15)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {6}{Decodierung ohne Fehler}{31}{0}{6}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {29}{30}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {29}{30}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {6}{Decodierung ohne Fehler}{31}{Decodierung ohne Fehler}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{31/31}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {31}{31}}}
+\HyPL@Entry{31<</P(16)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{32/34}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {32}{34}}}
+\HyPL@Entry{34<</P(17)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{3}{35/35}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {35}{35}}}
+\HyPL@Entry{35<</P(18)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {7}{Decodierung mit Fehler}{36}{0}{7}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {31}{35}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {31}{35}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {7}{Decodierung mit Fehler}{36}{Decodierung mit Fehler}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{1}{36/36}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {36}{36}}}
+\HyPL@Entry{36<</P(19)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{2}{37/37}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {37}{37}}}
+\HyPL@Entry{37<</P(20)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{3}{38/38}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {38}{38}}}
+\HyPL@Entry{38<</P(21)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{4}{39/39}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {39}{39}}}
+\HyPL@Entry{39<</P(22)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{5}{40/40}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {40}{40}}}
+\HyPL@Entry{40<</P(23)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{6}{41/42}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {41}{42}}}
+\HyPL@Entry{42<</P(24)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {8}{Nachricht Rekonstruieren}{43}{0}{8}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {36}{42}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {36}{42}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {8}{Nachricht Rekonstruieren}{43}{Nachricht Rekonstruieren}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{1}{43/46}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {43}{46}}}
+\HyPL@Entry{46<</P(25)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{2}{47/49}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {47}{49}}}
+\HyPL@Entry{49<</P(26)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{3}{50/51}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {50}{51}}}
+\HyPL@Entry{51<</P(27)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{4}{52/52}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {52}{52}}}
+\HyPL@Entry{52<</P(28)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{5}{53/53}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {53}{53}}}
+\HyPL@Entry{53<</P(29)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{6}{54/54}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {54}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {43}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {43}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\gdef \inserttotalframenumber {29}}}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.log
new file mode 100644
index 0000000..6042adc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.log
@@ -0,0 +1,1252 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25) 23 APR 2021 10:48
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**RS.tex
+(./RS.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamer.cls
+Document Class: beamer 2019/09/29 v3.57 A class for typesetting presentations
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemodes.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count80
+)
+\beamer@tempbox=\box27
+\beamer@tempcount=\count81
+\c@beamerpauses=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasedecode.sty
+\beamer@slideinframe=\count83
+\beamer@minimum=\count84
+\beamer@decode@box=\box28
+)
+\beamer@commentbox=\box29
+\beamer@modecount=\count85
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+\headdp=\dimen102
+\footheight=\dimen103
+\sidebarheight=\dimen104
+\beamer@tempdim=\dimen105
+\beamer@finalheight=\dimen106
+\beamer@animht=\dimen107
+\beamer@animdp=\dimen108
+\beamer@animwd=\dimen109
+\beamer@leftmargin=\dimen110
+\beamer@rightmargin=\dimen111
+\beamer@leftsidebar=\dimen112
+\beamer@rightsidebar=\dimen113
+\beamer@boxsize=\dimen114
+\beamer@vboxoffset=\dimen115
+\beamer@descdefault=\dimen116
+\beamer@descriptionwidth=\dimen117
+\beamer@lastskip=\skip41
+\beamer@areabox=\box30
+\beamer@animcurrent=\box31
+\beamer@animshowbox=\box32
+\beamer@sectionbox=\box33
+\beamer@logobox=\box34
+\beamer@linebox=\box35
+\beamer@sectioncount=\count86
+\beamer@subsubsectionmax=\count87
+\beamer@subsectionmax=\count88
+\beamer@sectionmax=\count89
+\beamer@totalheads=\count90
+\beamer@headcounter=\count91
+\beamer@partstartpage=\count92
+\beamer@sectionstartpage=\count93
+\beamer@subsectionstartpage=\count94
+\beamer@animationtempa=\count95
+\beamer@animationtempb=\count96
+\beamer@xpos=\count97
+\beamer@ypos=\count98
+\beamer@ypos@offset=\count99
+\beamer@showpartnumber=\count100
+\beamer@currentsubsection=\count101
+\beamer@coveringdepth=\count102
+\beamer@sectionadjust=\count103
+\beamer@tocsectionnumber=\count104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoptions.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks14
+))
+\beamer@paperwidth=\skip42
+\beamer@paperheight=\skip43
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2018/04/16 v5.8 Page Geometry
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
+Package: ifvtex 2016/05/16 v1.6 Detect VTeX and its facilities (HO)
+Package ifvtex Info: VTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+\Gm@cnth=\count105
+\Gm@cntv=\count106
+\c@Gm@tempcnt=\count107
+\Gm@bindingoffset=\dimen118
+\Gm@wd@mp=\dimen119
+\Gm@odd@mp=\dimen120
+\Gm@even@mp=\dimen121
+\Gm@layoutwidth=\dimen122
+\Gm@layoutheight=\dimen123
+\Gm@layouthoffset=\dimen124
+\Gm@layoutvoffset=\dimen125
+\Gm@dimlist=\toks15
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo
+File: size11.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen126
+\Gin@req@width=\dimen127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen128
+\pgfutil@tempdimb=\dimen129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box36
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen130
+\pgf@y=\dimen131
+\pgf@xa=\dimen132
+\pgf@ya=\dimen133
+\pgf@xb=\dimen134
+\pgf@yb=\dimen135
+\pgf@xc=\dimen136
+\pgf@yc=\dimen137
+\pgf@xd=\dimen138
+\pgf@yd=\dimen139
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count108
+\c@pgf@countb=\count109
+\c@pgf@countc=\count110
+\c@pgf@countd=\count111
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count112
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count113
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count114
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count115
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen140
+\pgfmath@count=\count116
+\pgfmath@box=\box37
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count117
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen141
+\pgf@picmaxx=\dimen142
+\pgf@picminy=\dimen143
+\pgf@picmaxy=\dimen144
+\pgf@pathminx=\dimen145
+\pgf@pathmaxx=\dimen146
+\pgf@pathminy=\dimen147
+\pgf@pathmaxy=\dimen148
+\pgf@xx=\dimen149
+\pgf@xy=\dimen150
+\pgf@yx=\dimen151
+\pgf@yy=\dimen152
+\pgf@zx=\dimen153
+\pgf@zy=\dimen154
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen155
+\pgf@path@lasty=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen157
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen158
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box38
+\pgf@hbox=\box39
+\pgf@layerbox@main=\box40
+\pgf@picture@serial@count=\count118
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen160
+\pgf@pt@y=\dimen161
+\pgf@pt@temp=\dimen162
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen163
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen164
+\pgf@sys@shading@range@num=\count119
+\pgf@shadingcount=\count120
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box41
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/xxcolor.sty
+Package: xxcolor 2003/10/24 ver 0.1
+\XC@nummixins=\count121
+\XC@countmixins=\count122
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty
+Package: atbegshi 2016/06/09 v1.18 At begin shipout hook (HO)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
+Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
+Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2019/09/28 v7.00a Hypertext links for LaTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
+Package: hobsub-hyperref 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset hyperref (HO)
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty
+Package: hobsub-generic 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset generic (HO)
+Package: hobsub 2016/05/16 v1.14 Construct package bundles (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `infwarerr' (already loaded).
+Package hobsub Info: Skipping package `ltxcmds' (already loaded).
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+Package hobsub Info: Skipping package `ifvtex' (already loaded).
+Package: intcalc 2016/05/16 v1.2 Expandable calculations with integers (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `ifpdf' (already loaded).
+Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
+Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO)
+Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO)
+Package: pdftexcmds 2019/07/25 v0.30 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
+)
+Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
+Package pdftexcmds Info: pdfTeX >= 1.30 not detected.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode not found.
+Package: pdfescape 2016/05/16 v1.14 Implements pdfTeX's escape features (HO)
+Package: bigintcalc 2016/05/16 v1.4 Expandable calculations on big integers (HO
+)
+Package: bitset 2016/05/16 v1.2 Handle bit-vector datatype (HO)
+Package: uniquecounter 2016/05/16 v1.3 Provide unlimited unique counter (HO)
+)
+Package hobsub Info: Skipping package `hobsub' (already loaded).
+Package: letltxmacro 2016/05/16 v1.5 Let assignment for LaTeX macros (HO)
+Package: hopatch 2016/05/16 v1.3 Wrapper for package hooks (HO)
+Package: xcolor-patch 2016/05/16 xcolor patch
+Package: atveryend 2016/05/16 v1.9 Hooks at the very end of document (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `atbegshi' (already loaded).
+Package: refcount 2016/05/16 v3.5 Data extraction from label references (HO)
+Package: hycolor 2016/05/16 v1.8 Color options for hyperref/bookmark (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/auxhook.sty
+Package: auxhook 2016/05/16 v1.4 Hooks for auxiliary files (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO)
+)
+\@linkdim=\dimen165
+\Hy@linkcounter=\count123
+\Hy@pagecounter=\count124
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+)
+\Hy@SavedSpaceFactor=\count125
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+)
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `implicit' set `false' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4540.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4545.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4548.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4555.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4560.
+Package hyperref Info: Implicit mode OFF; no redefinition of LaTeX internals.
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4793.
+\c@Hy@tempcnt=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip10
+Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 5152.
+\XeTeXLinkMargin=\dimen166
+\Fld@menulength=\count127
+\Field@Width=\dimen167
+\Fld@charsize=\dimen168
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6423.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6428.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6431.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6438.
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6443.
+Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6448.
+Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6453.
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6493.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6497.
+\Hy@abspage=\count128
+
+
+Package hyperref Message: Stopped early.
+
+)
+Package hyperref Info: Driver (autodetected): hxetex.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
+File: hxetex.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref driver for XeTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+File: puenc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDF Unicode definition (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty
+Package: stringenc 2016/05/16 v1.11 Convert strings between diff. encodings (HO
+)
+)
+\pdfm@box=\box42
+\c@Hy@AnnotLevel=\count129
+\HyField@AnnotCount=\count130
+\Fld@listcount=\count131
+\c@bookmark@seq@number=\count132
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty
+Package: rerunfilecheck 2016/05/16 v1.8 Rerun checks for auxiliary files (HO)
+Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2
+82.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def
+File: se-ascii-print.def 2016/05/16 v1.11 stringenc: Printable ASCII characters
+
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaserequires.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecompatibility.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasefont.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
+\@emptytoks=\toks26
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/sansmathaccent/sansmathaccent.sty
+Package: sansmathaccent 2013/03/28
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/filehook/filehook.sty
+Package: filehook 2019/10/03 v0.6 Hooks for input files
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetranslator.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator.sty
+Package: translator 2019-05-31 v1.12a Easy translation of strings in LaTeX
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemisc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetwoscreens.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoverlay.sty
+\beamer@argscount=\count133
+\beamer@lastskipcover=\skip44
+\beamer@trivlistdepth=\count134
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetitle.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasesection.sty
+\c@lecture=\count135
+\c@part=\count136
+\c@section=\count137
+\c@subsection=\count138
+\c@subsubsection=\count139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframe.sty
+\beamer@framebox=\box43
+\beamer@frametitlebox=\box44
+\beamer@zoombox=\box45
+\beamer@zoomcount=\count140
+\beamer@zoomframecount=\count141
+\beamer@frametextheight=\dimen169
+\c@subsectionslide=\count142
+\beamer@frametopskip=\skip45
+\beamer@framebottomskip=\skip46
+\beamer@frametopskipautobreak=\skip47
+\beamer@framebottomskipautobreak=\skip48
+\beamer@envbody=\toks27
+\framewidth=\dimen170
+\c@framenumber=\count143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseverbatim.sty
+\beamer@verbatimfileout=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframesize.sty
+\beamer@splitbox=\box46
+\beamer@autobreakcount=\count144
+\beamer@autobreaklastheight=\dimen171
+\beamer@frametitletoks=\toks28
+\beamer@framesubtitletoks=\toks29
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframecomponents.sty
+\beamer@footins=\box47
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecolor.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenotes.sty
+\beamer@frameboxcopy=\box48
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetoc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetemplates.sty
+\beamer@sbttoks=\toks30
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseauxtemplates.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseboxes.sty
+\bmb@box=\box49
+\bmb@colorbox=\box50
+\bmb@boxshadow=\box51
+\bmb@boxshadowball=\box52
+\bmb@boxshadowballlarge=\box53
+\bmb@temp=\dimen172
+\bmb@dima=\dimen173
+\bmb@dimb=\dimen174
+\bmb@prevheight=\dimen175
+)
+\beamer@blockheadheight=\dimen176
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaselocalstructure.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
+Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
+\@enLab=\toks31
+)
+\c@figure=\count145
+\c@table=\count146
+\abovecaptionskip=\skip49
+\belowcaptionskip=\skip50
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenavigation.sty
+\beamer@section@min@dim=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetheorems.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip51
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks32
+\ex@=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen179
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count147
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count148
+\leftroot@=\count149
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count150
+\DOTSCASE@=\count151
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box54
+\strutbox@=\box55
+\big@size=\dimen180
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count152
+\c@MaxMatrixCols=\count153
+\dotsspace@=\muskip11
+\c@parentequation=\count154
+\dspbrk@lvl=\count155
+\tag@help=\toks33
+\row@=\count156
+\column@=\count157
+\maxfields@=\count158
+\andhelp@=\toks34
+\eqnshift@=\dimen181
+\alignsep@=\dimen182
+\tagshift@=\dimen183
+\tagwidth@=\dimen184
+\totwidth@=\dimen185
+\lineht@=\dimen186
+\@envbody=\toks35
+\multlinegap=\skip52
+\multlinetaggap=\skip53
+\mathdisplay@stack=\toks36
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+Package: amsthm 2017/10/31 v2.20.4
+\thm@style=\toks37
+\thm@bodyfont=\toks38
+\thm@headfont=\toks39
+\thm@notefont=\toks40
+\thm@headpunct=\toks41
+\thm@preskip=\skip54
+\thm@postskip=\skip55
+\thm@headsep=\skip56
+\dth@everypar=\toks42
+)
+\c@theorem=\count159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasethemes.sty))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemedefault.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerfontthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemedefault.sty
+\beamer@dima=\dimen187
+\beamer@dimb=\dimen188
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemedefault.sty)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks43
+\inpenc@posthook=\toks44
+
+
+Package inputenc Warning: inputenc package ignored with utf8 based engines.
+
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 48.
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+lmss on input line 1
+05.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmss.fd
+File: t1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/lmodern.sty
+Package: lmodern 2009/10/30 v1.6 Latin Modern Fonts
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font) OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font) OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 32.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/lmr/m/it on input line 33.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 34.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 35.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 36.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/lmr/bx/it on input line 37.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 38.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2019/10/15 3.35 The Babel package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def
+File: switch.def 2019/10/15 3.35 Babel switching mechanism
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngerman.ldf
+Language: ngerman 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogra
+phy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngermanb.ldf
+Language: ngermanb 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogr
+aphy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2019/10/15 3.35 Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count160
+\U@D=\dimen189
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/xebabel.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def))
+LaTeX Info: Redefining \textlatin on input line 2185.
+\bbl@dirlevel=\count161
+)
+Package babel Info: Making " an active character on input line 121.
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box56
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen190
+\pgf@nodesepend=\dimen191
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen192
+\pgffor@skip=\dimen193
+\pgffor@stack=\toks45
+\pgffor@toks=\toks46
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count162
+\pgfplotmarksize=\dimen194
+)
+\tikz@lastx=\dimen195
+\tikz@lasty=\dimen196
+\tikz@lastxsaved=\dimen197
+\tikz@lastysaved=\dimen198
+\tikz@lastmovetox=\dimen199
+\tikz@lastmovetoy=\dimen256
+\tikzleveldistance=\dimen257
+\tikzsiblingdistance=\dimen258
+\tikz@figbox=\box57
+\tikz@figbox@bg=\box58
+\tikz@tempbox=\box59
+\tikz@tempbox@bg=\box60
+\tikztreelevel=\count163
+\tikznumberofchildren=\count164
+\tikznumberofcurrentchild=\count165
+\tikz@fig@count=\count166
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count167
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count168
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count169
+)
+\tikz@expandcount=\count170
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemeHannover.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemesidebar.sty
+\beamer@sidebarwidth=\dimen259
+\beamer@headheight=\dimen260
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemeseahorse.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemecircles.sty))
+(./RS.aux)
+\openout1 = `RS.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+
+*geometry* driver: auto-detecting
+*geometry* detected driver: xetex
+*geometry* verbose mode - [ preamble ] result:
+* driver: xetex
+* paper: custom
+* layout: <same size as paper>
+* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt)
+* modes: includehead includefoot
+* h-part:(L,W,R)=(59.22636pt, 381.79135pt, 14.22636pt)
+* v-part:(T,H,B)=(0.0pt, 256.0748pt, 0.0pt)
+* \paperwidth=455.24408pt
+* \paperheight=256.0748pt
+* \textwidth=381.79135pt
+* \textheight=227.62207pt
+* \oddsidemargin=-13.04362pt
+* \evensidemargin=-13.04362pt
+* \topmargin=-72.26999pt
+* \headheight=14.22636pt
+* \headsep=0.0pt
+* \topskip=11.0pt
+* \footskip=14.22636pt
+* \marginparwidth=4.0pt
+* \marginparsep=10.0pt
+* \columnsep=10.0pt
+* \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+* \hoffset=0.0pt
+* \voffset=0.0pt
+* \mag=1000
+* \@twocolumnfalse
+* \@twosidefalse
+* \@mparswitchfalse
+* \@reversemarginfalse
+* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt)
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+\AtBeginShipoutBox=\box61
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2019/09/16 v2.46 Cross-referencing by name of section
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty
+Package: gettitlestring 2016/05/16 v1.5 Cleanup title references (HO)
+)
+\c@section@level=\count171
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 9.
+ (./RS.out) (./RS.out)
+\@outlinefile=\write5
+\openout5 = `RS.out'.
+
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/lmr/m/n --> OT1/cmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/lmr/bx/n --> OT1/cmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 9.
+\symnumbers=\mathgroup6
+\sympureletters=\mathgroup7
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `normal'
+(Font) OT1/lmss/m/n --> T1/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font) OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font) OT1/lmss/m/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/lmss/bx/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathit on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font) OT1/lmr/m/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/lmr/bx/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font) OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `numbers' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `pureletters' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `bold'
+(Font) OT1/lmss/bx/n --> T1/lmr/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) T1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/bx/n on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-basic-dictionary-En
+glish.dict
+Dictionary: translator-basic-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-bibliography-dictio
+nary-English.dict
+Dictionary: translator-bibliography-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-environment-diction
+ary-English.dict
+Dictionary: translator-environment-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-months-dictionary-E
+nglish.dict
+Dictionary: translator-months-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-numbers-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-numbers-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-theorem-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-theorem-dictionary, Language: English
+) (./RS.nav)
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfauthor' has already been used,
+(hyperref) setting the option has no effect on input line 10.
+
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfsubject' has already been used,
+(hyperref) setting the option has no effect on input line 16.
+
+[1
+
+]
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OT1+lmss on input line
+32.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/ot1lmss.fd
+File: ot1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OML+lmm on input line 3
+2.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omllmm.fd
+File: omllmm.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMS+lmsy on input line
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omslmsy.fd
+File: omslmsy.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMX+lmex on input line
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omxlmex.fd
+File: omxlmex.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <10.95> on input line 32.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <8> on input line 32.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <6> on input line 32.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
+)
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10.95> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <8> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <6> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+ [2
+
+] [3
+
+] [4
+
+] [5
+
+]
+[6
+
+]
+File: images/polynom1.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/polynom1.pdf>
+ [7
+
+]
+File: images/polynom2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/polynom2.pdf>
+ [8
+
+] [9
+
+] [10
+
+] [11
+
+] [12
+
+] [13
+
+]
+File: images/fig1.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig1.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[14
+
+]
+File: images/fig2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig2.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[15
+
+]
+File: images/fig3.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig3.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[16
+
+]
+File: images/fig4.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig4.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[17
+
+]
+File: images/fig5.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig5.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[18
+
+]
+File: images/fig6.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig6.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[19
+
+]
+File: images/fig7.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig7.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[20
+
+] [21
+
+] [22
+
+] [23
+
+] [24
+
+] [25
+
+] [26
+
+] [27
+
+] [28
+
+]
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+lmr on input line 30
+0.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+) [29
+
+] [30
+
+]
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+euf on input line 383
+.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2013/01/14 v3.01 Euler Fraktur
+)
+Overfull \hbox (1.42268pt too wide) detected at line 383
+\U/euf/m/n/10.95 F[]\OT1/lmss/m/n/10.95 (\T1/lmss/m/sl/10.95 F\OT1/lmss/m/n/10.
+95 (\OML/lmm/m/it/10.95 !\OT1/lmss/m/n/10.95 )) = \T1/lmss/m/sl/10.95 f\OT1/lms
+s/m/n/10.95 (\T1/lmss/m/sl/10.95 t\OT1/lmss/m/n/10.95 ) = [] [][] \T1/lmss/m/sl
+/10.95 F\OT1/lmss/m/n/10.95 (\OML/lmm/m/it/10.95 !\OT1/lmss/m/n/10.95 )\T1/lmr/
+m/n/10.95 e[]\T1/lmss/m/sl/10.95 d\OML/lmm/m/it/10.95 !
+ []
+
+[31
+
+] [32
+
+] [33
+
+] [34
+
+] [35
+
+] [36
+
+] [37
+
+] [38
+
+]
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <14.4> on input line 638.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <10> on input line 638.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <7> on input line 638.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <14.4> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 638.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 638.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <7> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 638.
+ [39
+
+]
+Overfull \hbox (2.91844pt too wide) detected at line 674
+[]
+ []
+
+[40
+
+] [41
+
+] [42
+
+] [43
+
+] [44
+
+] [45
+
+] [46
+
+] [47
+
+] [48
+
+] [49
+
+] [50
+
+] [51
+
+] [52
+
+] [53
+
+] [54
+
+]
+\tf@nav=\write6
+\openout6 = `RS.nav'.
+
+\tf@toc=\write7
+\openout7 = `RS.toc'.
+
+\tf@snm=\write8
+\openout8 = `RS.snm'.
+
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 928.
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 928.
+
+(./RS.aux)
+Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryEndDocument' on input line 928.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 928.
+Package rerunfilecheck Info: File `RS.out' has not changed.
+(rerunfilecheck) Checksum: CBEDF1F633104E8EE4EB074E401487DA.
+ )
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 24528 strings out of 492483
+ 453801 string characters out of 6132858
+ 557615 words of memory out of 5000000
+ 28488 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 82614 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 58i,15n,61p,796b,566s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on RS.pdf (54 pages).
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@@ -0,0 +1,8 @@
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.1}{Einführung}{}% 1
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.2}{Polynom\040Ansatz}{}% 2
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.3}{Diskrete\040Fourier\040Transformation}{}% 3
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{}% 4
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.5}{Codierung\040eines\040Beispiels}{}% 5
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.6}{Decodierung\040ohne\040Fehler}{}% 6
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.7}{Decodierung\040mit\040Fehler}{}% 7
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.8}{Nachricht\040Rekonstruieren}{}% 8
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.pdf
Binary files differ
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.snm
@@ -0,0 +1 @@
+\beamer@slide {ft_discrete}{21}
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.synctex.gz
Binary files differ
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index 0000000..6ee6cc7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
@@ -0,0 +1,934 @@
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+ \author{Joshua Bär und Michael Steiner}
+ \title{Reed-Solomon-Code}
+ \subtitle{}
+ \logo{}
+ \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+ \date{26.04.2021}
+ \subject{Mathematisches Seminar}
+ %\setbeamercovered{transparent}
+ \setbeamercovered{invisible}
+ \setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+ \begin{frame}[plain]
+ \maketitle
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Einführung}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Reed-Solomon-Code:}
+ \begin{itemize}
+ \visible<1->{\item Für Übertragung von Daten}
+ \visible<2->{\item Ermöglicht Korrektur von Übertragungsfehler}
+ \visible<3->{\item Wird verwendet in: CD, QR-Codes, Voyager-Sonde, etc.}
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Polynom Ansatz}
+ \begin{frame}
+ \begin{itemize}
+ \item Beispiel $2, 1, 5$ versenden und auf 2 Fehler absichern
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel}
+ Übertragen von
+ ${f}_2=\textcolor{blue}{2}$, ${f}_1=\textcolor{blue}{1}$, ${f}_0=\textcolor{blue}{5}$
+ als $ p(w) = \textcolor{blue}{2}w^2 + \textcolor{blue}{1}w + \textcolor{blue}{5} $.
+
+
+ Versende $ (p(1),p(2),\dots,p(7))$
+ \visible<2->{ = (\textcolor{green}{8},}
+ \only<2>{\textcolor{green}{15},}
+ \only<3>{\textcolor{red}{50},}
+ \only<2>{\textcolor{green}{26},}
+ \only<3>{\textcolor{red}{37},}
+ \visible<2->{\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60},
+ \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})}
+ \only<2>{\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom1.pdf}}
+ \only<3>{\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom2.pdf}}
+ \visible<3>{
+ \newline
+ \textcolor{green}{7} Zahlen versenden, um \textcolor{blue}{3} Zahlen gegen \textcolor{red}{2} Fehlern abzusichern.}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Parameter}
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{ c c c }
+ \hline
+ Nutzlas & Fehler & Versenden \\
+ \hline
+ 3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
+ 4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+\visible<1->{3}&
+\visible<1->{3}&
+\visible<1->{9 Werte eines Polynoms vom Grad 2} \\
+ &&\\
+\visible<1->{$k$} &
+\visible<1->{$t$} &
+\visible<1->{$k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$} \\
+ \hline
+ &&\\
+ &&\\
+ \multicolumn{3}{l} {
+ \visible<1>{Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!}
+ }
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\section{Diskrete Fourier Transformation}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Idee}
+ \begin{itemize}
+ \item Fourier-transformieren
+ \item Übertragung
+ \item Rücktransformieren
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \begin{figure}
+ \only<1>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig1.pdf}
+ }
+ \only<2>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig2.pdf}
+ }
+ \only<3>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig3.pdf}
+ }
+ \only<4>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig4.pdf}
+ }
+ \only<5>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig5.pdf}
+ }
+ \only<6>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig6.pdf}
+ }
+ \only<7>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig7.pdf}
+ }
+ \end{figure}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+ \begin{itemize}
+ \item Diskrete Fourier-Transformation gegeben durch:
+ \visible<1->{
+ \[
+ \label{ft_discrete}
+ \hat{c}_{k}
+ = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
+ {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
+ \]}
+ \visible<2->{
+ \item Ersetzte
+ \[
+ w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
+ \]}
+ \visible<3->{
+ \item Wenn $N$ konstant:
+ \[
+ \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
+ \]}
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ \hat{c}_1 \\\hat{c}_2 \\\hat{c}_3 \\ \vdots \\\hat{c}_n
+ \end{pmatrix}
+ = \frac{1}{N}
+ \begin{pmatrix}
+ w^0 & w^0 & w^0 & \dots &w^0 \\
+ w^0 & w^1 &w^2 & \dots &w^{N-1} \\
+ w^0 & w^2 &w^4 & \dots &w^{2(N-1)} \\
+ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
+ w^0 & w^{1(N-1)}&w^{2(N-1)}& \dots &w^{(N-1)(N-1)} \\
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \textcolor{blue}{f_0} \\
+ \textcolor{blue}{f_1} \\
+ \textcolor{blue}{f_2} \\
+ \vdots \\
+ 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Probleme und Fragen}
+
+ Wie wird der Fehler lokalisiert?
+ \visible<2>{
+ \newline
+ Indem in einem endlichen Körper gerechnet wird.
+ }
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Warum endliche Körper?}
+
+ \onslide<2->{\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler}
+
+ \onslide<3->{\qquad digitale Fehlerkorrektur}
+
+ %\onslide<4->{\qquad bessere Laufzeit}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden}
+
+ \onslide<6->{\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom}
+
+% \vspace{10pt}
+
+% \onslide<1->{\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die fehlerhaften Stellen beinhaltet}
+
+% Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+
+ \end{itemize}
+
+% TODO
+
+% erklärung und einführung der endlichen körper, was wollen wir erreichen?
+
+% wir versenden im endefekt mehr daten als unsere nachricht umfasst, damit die korrektur sichergestellt werden kann
+
+% sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Definition eines Beispiels}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item endlicher Körper $q = 11$}
+
+ \onslide<2->{ist eine Primzahl}
+
+ \onslide<3->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen}
+
+ \onslide<5->{$n = q - 1 = 10$ Zahlen}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{\item Max.~Fehler $t = 2$}
+
+ \onslide<7->{maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<8->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
+
+ \onslide<9->{Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen}
+
+ \onslide<10->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+
+ \onslide<11->{als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Codierung eines Beispiels}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Codierung}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<3->{\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken}
+
+ \onslide<4->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item Wir wählen $a = 8$}
+
+ \onslide<6->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$}
+
+ \onslide<7->{$8$ ist eine primitive Einheitswurzel}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<8->{\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$}
+
+ \onslide<9->{$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Codierung}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Übertragungsvektor $v$}
+
+ \onslide<2->{\item $v = A \cdot m$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \[
+ \onslide<3->{
+ v = \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ 8^0& 8^3& 8^6& 8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ 8^0& 8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<4->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung ohne Fehler}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung ohne Fehler}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \end{itemize}
+
+ \begin{columns}[t]
+ \begin{column}{0.55\textwidth}
+ \onslide<3->{ Inverse der Fouriertransformation}
+ \vspace{10pt}
+ \onslide<4->{
+ \[
+ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
+ \]
+ }
+ \vspace{10pt}
+ \onslide<5->{
+ \[
+ \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+ \]
+ }
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.45\textwidth}
+ \onslide<6->{Inverse von $a$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<7->{
+ \[
+ 8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
+ \]
+ }
+
+ \onslide<8->{Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus}
+ \vspace{10pt}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
+
+ \begin{columns}[t]
+ \begin{column}{0.50\textwidth}
+
+ Recap aus der Vorlesung:
+
+ Gegeben $a \in \mathbb{F}_p$, finde $b = a^{-1} \in \mathbb{F}_p$
+
+ \begin{tabular}{rcl}
+ $a b$ &$\equiv$& $1 \mod p$\\
+ $a b$ &$=$& $1 + n p$\\
+ $a b - n p$ &$=$& $1$\\
+ &&\\
+ $\operatorname{ggT}(a,p)$&$=$& $1$\\
+ $sa + tp$&$=$& $1$\\
+ $b$&$=$&$s$\\
+ $n$&$=$&$-t$
+ \end{tabular}
+
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.50\textwidth}
+
+ \begin{center}
+ \onslide<1->{
+ \begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+ \hline
+ $k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+ \hline
+ & & & & $1$& $0$\\
+ $0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+ $1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+ $2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+ $3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+ $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor<2->{blue}{$-4$}& \textcolor<2->{red}{$3$}\\
+ $5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ }
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{tabular}{rcl}
+ \onslide<3->{$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \onslide<4->{$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \onslide<5->{$8^{-1}$ &$=$& $7$}
+
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+
+ \onslide<2->{\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+
+ \onslide<3->{\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+
+ \end{itemize}
+ \onslide<4->{
+ \[
+ m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+ 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\
+ 7^0& 7^1& 7^2& 7^3& 7^4& 7^5& 7^6& 7^7& 7^8& 7^9\\
+ 7^0& 7^2& 7^4& 7^6& 7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+ 7^0& 7^3& 7^6& 7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+ 7^0& 7^4& 7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+ 7^0& 7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+ 7^0& 7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+ 7^0& 7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+ 7^0& 7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+ 7^0& 7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ }
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<5->{\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung mit Fehler}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+
+ \onslide<2->{\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+
+ \onslide<3->{\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \onslide<4->{Wie finden wir die Fehler?}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<5->{\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+
+ \onslide<6->{\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$}
+
+ %\only<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+
+ \onslide<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \begin{center}
+ \onslide<8->{
+ \begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+ \hline
+ $i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+ \hline
+ $r(a^{i})$& \onslide<9->{$5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$}\\
+ $m(a^{i})$& \onslide<10->{$5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$}\\
+ $e(a^{i})$& \onslide<11->{$0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$}\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ }
+ \end{center}
+
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<12->{\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler}
+ \end{itemize}
+
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<3->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{$\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$}
+
+ \onslide<3->{$= d(X) \cdot e(X)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Kennen wir $e(X)$?}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<3->{\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+
+ In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
+
+ \onslide<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$}
+ \onslide<2->{
+ \[
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+ X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-9}
+ && 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ && 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\ \cline{3-9}
+ & & & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ \end{array}
+ \]
+ }
+ \onslide<3->{
+ \[
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ 5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+ 5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5}
+ && 7X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ \end{array}
+ \]
+ }
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{ $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen }
+
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Erweiterte Euklidische Algorithmus}
+
+ \begin{center}
+
+ \begin{tabular}{| c | c | c c |}
+ \hline
+ $k$ & $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+ \hline
+ & & $0$& $1$\\
+ $0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+ $1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+ $2$& & \textcolor<2->{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{tabular}{ll}
+ \onslide<3->{Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\}
+ \onslide<4->{Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\}
+ \onslide<5->{Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$}
+ \end{tabular}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{
+ \begin{center}
+ $a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+
+ $a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
+ \end{center}
+ }
+
+ \onslide<7->{$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Nachricht Rekonstruieren}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+
+ \onslide<2->{\item $d(X) = (X-\textcolor<4->{red}{a^3})(X-\textcolor<4->{red}{a^8})$}
+
+ \end{itemize}
+ \onslide<3->{
+ \[
+ \textcolor{gray}{
+ \begin{pmatrix}
+ a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor<4->{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor<4->{red}{a^8} \\ a^9 \\
+ \end{pmatrix}}
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor<4->{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor<4->{red}{1} \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ \textcolor<4->{red}{8^0}& \textcolor<4->{red}{8^3}& \textcolor<4->{red}{8^6}& \textcolor<4->{red}{8^9}& \textcolor<4->{red}{8^{12}}& \textcolor<4->{red}{8^{15}}& \textcolor<4->{red}{8^{18}}& \textcolor<4->{red}{8^{21}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{27}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ \textcolor<4->{red}{8^0}& \textcolor<4->{red}{8^8}& \textcolor<4->{red}{8^{16}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{32}}& \textcolor<4->{red}{8^{40}}& \textcolor<4->{red}{8^{48}}& \textcolor<4->{red}{8^{56}}& \textcolor<4->{red}{8^{64}}& \textcolor<4->{red}{8^{72}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ }
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<5->{\item Fehlerstellen entfernen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor<4->{green}{8^6}& \textcolor<4->{green}{8^7}& \textcolor<4->{green}{8^8}& \textcolor<4->{green}{8^9}\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor<4->{green}{8^{12}}& \textcolor<4->{green}{8^{14}}& \textcolor<4->{green}{8^{16}}& \textcolor<4->{green}{8^{18}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor<4->{green}{8^{24}}& \textcolor<4->{green}{8^{28}}& \textcolor<4->{green}{8^{32}}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor<4->{green}{8^{30}}& \textcolor<4->{green}{8^{35}}& \textcolor<4->{green}{8^{40}}& \textcolor<4->{green}{8^{45}}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{48}}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{49}}& \textcolor<4->{green}{8^{56}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}& \textcolor<4->{green}{8^{72}}& \textcolor<4->{green}{8^{81}}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor<2->{green}{m_6} \\ \textcolor<2->{green}{m_7} \\ \textcolor<2->{green}{m_8} \\ \textcolor<2->{green}{m_9} \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<3->{\item Nullstellen entfernen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor<3->{red}{7} \\ \textcolor<3->{red}{4} \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \textcolor<3->{red}{8^0}& \textcolor<3->{red}{8^7}& \textcolor<3->{red}{8^{14}}& \textcolor<3->{red}{8^{21}}& \textcolor<3->{red}{8^{28}}& \textcolor<3->{red}{8^{35}}\\
+ \textcolor<3->{red}{8^0}& \textcolor<3->{red}{8^9}& \textcolor<3->{red}{8^{18}}& \textcolor<3->{red}{8^{27}}& \textcolor<3->{red}{8^{36}}& \textcolor<3->{red}{8^{45}}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \vspace{5pt}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<2->{\item Matrix in eine Quadratische Form bringen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \vspace{5pt}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<2->{\item Matrix Invertieren}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\
+ 1& 8& 9& 6& 4& 10\\
+ 1& 9& 4& 3& 5& 1\\
+ 1& 4& 5& 9& 3& 1\\
+ 1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+ 1& 3& 9& 5& 4& 1\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{center}
+ \onslide<2->{$\Downarrow$}
+ \end{center}
+ \[
+ \onslide<3->{
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \]
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<2->{\item $m = [4,7,2,5,8,1]$}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.toc b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.toc
new file mode 100644
index 0000000..095b5e6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.toc
@@ -0,0 +1,9 @@
+\babel@toc {ngerman}{}
+\beamer@sectionintoc {1}{Einführung}{2}{0}{1}
+\beamer@sectionintoc {2}{Polynom Ansatz}{5}{0}{2}
+\beamer@sectionintoc {3}{Diskrete Fourier Transformation}{13}{0}{3}
+\beamer@sectionintoc {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{27}{0}{4}
+\beamer@sectionintoc {5}{Codierung eines Beispiels}{29}{0}{5}
+\beamer@sectionintoc {6}{Decodierung ohne Fehler}{31}{0}{6}
+\beamer@sectionintoc {7}{Decodierung mit Fehler}{36}{0}{7}
+\beamer@sectionintoc {8}{Nachricht Rekonstruieren}{43}{0}{8}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.aux b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.aux
new file mode 100644
index 0000000..41ccfb5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.aux
@@ -0,0 +1,143 @@
+\relax
+\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
+\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
+\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
+\global\let\oldnewlabel\newlabel
+\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
+\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand*\HyPL@Entry[1]{}
+\bbl@beforestart
+\catcode `"\active
+\HyPL@Entry{0<</P(1)>>}
+\babel@aux{ngerman}{}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}}
+\HyPL@Entry{1<</P(2)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {1}{Einführung}{2}{0}{1}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {1}{Einführung}{2}{Einführung}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {1}{0}{1}{2/2}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {2}{2}}}
+\HyPL@Entry{2<</P(3)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {2}{Polynom Ansatz}{3}{0}{2}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {2}{2}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {2}{2}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {2}{Polynom Ansatz}{3}{Polynom Ansatz}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{1}{3/3}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {3}{3}}}
+\HyPL@Entry{3<</P(4)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{2}{4/4}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {4}{4}}}
+\HyPL@Entry{4<</P(5)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {3}{Diskrete Fourier Transformation}{5}{0}{3}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {3}{4}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {3}{4}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {3}{Diskrete Fourier Transformation}{5}{Diskrete Fourier Transformation}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{1}{5/5}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {5}{5}}}
+\HyPL@Entry{5<</P(6)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{2}{6/12}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {6}{12}}}
+\HyPL@Entry{12<</P(7)>>}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {ft_discrete}{13}}
+\newlabel{ft_discrete}{{7}{13}{Diskrete Fourier Transformation}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{3}{13/13}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {13}{13}}}
+\HyPL@Entry{13<</P(8)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{4}{14/14}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {14}{14}}}
+\HyPL@Entry{14<</P(9)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{5}{15/15}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {15}{15}}}
+\HyPL@Entry{15<</P(10)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{16}{0}{4}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {5}{15}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {5}{15}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{16}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{16/16}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {16}{16}}}
+\HyPL@Entry{16<</P(11)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{2}{17/17}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {17}{17}}}
+\HyPL@Entry{17<</P(12)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {5}{Codierung eines Beispiels}{18}{0}{5}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {16}{17}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {16}{17}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {5}{Codierung eines Beispiels}{18}{Codierung eines Beispiels}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{18/18}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {18}{18}}}
+\HyPL@Entry{18<</P(13)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{2}{19/19}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {19}{19}}}
+\HyPL@Entry{19<</P(14)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {6}{Decodierung ohne Fehler}{20}{0}{6}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {18}{19}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {18}{19}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {6}{Decodierung ohne Fehler}{20}{Decodierung ohne Fehler}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{20/20}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {20}{20}}}
+\HyPL@Entry{20<</P(15)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{21/21}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {21}{21}}}
+\HyPL@Entry{21<</P(16)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{3}{22/22}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {22}{22}}}
+\HyPL@Entry{22<</P(17)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {7}{Decodierung mit Fehler}{23}{0}{7}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {20}{22}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {20}{22}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {7}{Decodierung mit Fehler}{23}{Decodierung mit Fehler}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{1}{23/23}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {23}{23}}}
+\HyPL@Entry{23<</P(18)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{2}{24/24}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {24}{24}}}
+\HyPL@Entry{24<</P(19)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{3}{25/25}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {25}{25}}}
+\HyPL@Entry{25<</P(20)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{4}{26/26}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {26}{26}}}
+\HyPL@Entry{26<</P(21)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{5}{27/27}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {27}{27}}}
+\HyPL@Entry{27<</P(22)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{6}{28/28}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {28}{28}}}
+\HyPL@Entry{28<</P(23)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {8}{Nachricht Rekonstruieren}{29}{0}{8}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {23}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {23}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {8}{Nachricht Rekonstruieren}{29}{Nachricht Rekonstruieren}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{1}{29/29}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {29}{29}}}
+\HyPL@Entry{29<</P(24)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{2}{30/30}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {30}{30}}}
+\HyPL@Entry{30<</P(25)>>}
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+\HyPL@Entry{31<</P(26)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{4}{32/32}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {32}{32}}}
+\HyPL@Entry{32<</P(27)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{5}{33/33}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {33}{33}}}
+\HyPL@Entry{33<</P(28)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{6}{34/34}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {34}{34}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{34}}}
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+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {29}{34}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {34}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\gdef \inserttotalframenumber {28}}}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.log
new file mode 100644
index 0000000..988a7c5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.log
@@ -0,0 +1,1198 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25) 24 APR 2021 15:25
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**RS_handout.tex
+(./RS_handout.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamer.cls
+Document Class: beamer 2019/09/29 v3.57 A class for typesetting presentations
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemodes.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count80
+)
+\beamer@tempbox=\box27
+\beamer@tempcount=\count81
+\c@beamerpauses=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasedecode.sty
+\beamer@slideinframe=\count83
+\beamer@minimum=\count84
+\beamer@decode@box=\box28
+)
+\beamer@commentbox=\box29
+\beamer@modecount=\count85
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+\headdp=\dimen102
+\footheight=\dimen103
+\sidebarheight=\dimen104
+\beamer@tempdim=\dimen105
+\beamer@finalheight=\dimen106
+\beamer@animht=\dimen107
+\beamer@animdp=\dimen108
+\beamer@animwd=\dimen109
+\beamer@leftmargin=\dimen110
+\beamer@rightmargin=\dimen111
+\beamer@leftsidebar=\dimen112
+\beamer@rightsidebar=\dimen113
+\beamer@boxsize=\dimen114
+\beamer@vboxoffset=\dimen115
+\beamer@descdefault=\dimen116
+\beamer@descriptionwidth=\dimen117
+\beamer@lastskip=\skip41
+\beamer@areabox=\box30
+\beamer@animcurrent=\box31
+\beamer@animshowbox=\box32
+\beamer@sectionbox=\box33
+\beamer@logobox=\box34
+\beamer@linebox=\box35
+\beamer@sectioncount=\count86
+\beamer@subsubsectionmax=\count87
+\beamer@subsectionmax=\count88
+\beamer@sectionmax=\count89
+\beamer@totalheads=\count90
+\beamer@headcounter=\count91
+\beamer@partstartpage=\count92
+\beamer@sectionstartpage=\count93
+\beamer@subsectionstartpage=\count94
+\beamer@animationtempa=\count95
+\beamer@animationtempb=\count96
+\beamer@xpos=\count97
+\beamer@ypos=\count98
+\beamer@ypos@offset=\count99
+\beamer@showpartnumber=\count100
+\beamer@currentsubsection=\count101
+\beamer@coveringdepth=\count102
+\beamer@sectionadjust=\count103
+\beamer@tocsectionnumber=\count104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoptions.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks14
+))
+\beamer@paperwidth=\skip42
+\beamer@paperheight=\skip43
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2018/04/16 v5.8 Page Geometry
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
+Package: ifvtex 2016/05/16 v1.6 Detect VTeX and its facilities (HO)
+Package ifvtex Info: VTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+\Gm@cnth=\count105
+\Gm@cntv=\count106
+\c@Gm@tempcnt=\count107
+\Gm@bindingoffset=\dimen118
+\Gm@wd@mp=\dimen119
+\Gm@odd@mp=\dimen120
+\Gm@even@mp=\dimen121
+\Gm@layoutwidth=\dimen122
+\Gm@layoutheight=\dimen123
+\Gm@layouthoffset=\dimen124
+\Gm@layoutvoffset=\dimen125
+\Gm@dimlist=\toks15
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo
+File: size11.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen126
+\Gin@req@width=\dimen127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen128
+\pgfutil@tempdimb=\dimen129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box36
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen130
+\pgf@y=\dimen131
+\pgf@xa=\dimen132
+\pgf@ya=\dimen133
+\pgf@xb=\dimen134
+\pgf@yb=\dimen135
+\pgf@xc=\dimen136
+\pgf@yc=\dimen137
+\pgf@xd=\dimen138
+\pgf@yd=\dimen139
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count108
+\c@pgf@countb=\count109
+\c@pgf@countc=\count110
+\c@pgf@countd=\count111
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count112
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count113
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count114
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count115
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen140
+\pgfmath@count=\count116
+\pgfmath@box=\box37
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count117
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen141
+\pgf@picmaxx=\dimen142
+\pgf@picminy=\dimen143
+\pgf@picmaxy=\dimen144
+\pgf@pathminx=\dimen145
+\pgf@pathmaxx=\dimen146
+\pgf@pathminy=\dimen147
+\pgf@pathmaxy=\dimen148
+\pgf@xx=\dimen149
+\pgf@xy=\dimen150
+\pgf@yx=\dimen151
+\pgf@yy=\dimen152
+\pgf@zx=\dimen153
+\pgf@zy=\dimen154
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen155
+\pgf@path@lasty=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen157
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen158
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box38
+\pgf@hbox=\box39
+\pgf@layerbox@main=\box40
+\pgf@picture@serial@count=\count118
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen160
+\pgf@pt@y=\dimen161
+\pgf@pt@temp=\dimen162
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen163
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen164
+\pgf@sys@shading@range@num=\count119
+\pgf@shadingcount=\count120
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box41
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/xxcolor.sty
+Package: xxcolor 2003/10/24 ver 0.1
+\XC@nummixins=\count121
+\XC@countmixins=\count122
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty
+Package: atbegshi 2016/06/09 v1.18 At begin shipout hook (HO)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
+Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
+Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2019/09/28 v7.00a Hypertext links for LaTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
+Package: hobsub-hyperref 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset hyperref (HO)
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty
+Package: hobsub-generic 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset generic (HO)
+Package: hobsub 2016/05/16 v1.14 Construct package bundles (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `infwarerr' (already loaded).
+Package hobsub Info: Skipping package `ltxcmds' (already loaded).
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+Package hobsub Info: Skipping package `ifvtex' (already loaded).
+Package: intcalc 2016/05/16 v1.2 Expandable calculations with integers (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `ifpdf' (already loaded).
+Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
+Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO)
+Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO)
+Package: pdftexcmds 2019/07/25 v0.30 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
+)
+Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
+Package pdftexcmds Info: pdfTeX >= 1.30 not detected.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode not found.
+Package: pdfescape 2016/05/16 v1.14 Implements pdfTeX's escape features (HO)
+Package: bigintcalc 2016/05/16 v1.4 Expandable calculations on big integers (HO
+)
+Package: bitset 2016/05/16 v1.2 Handle bit-vector datatype (HO)
+Package: uniquecounter 2016/05/16 v1.3 Provide unlimited unique counter (HO)
+)
+Package hobsub Info: Skipping package `hobsub' (already loaded).
+Package: letltxmacro 2016/05/16 v1.5 Let assignment for LaTeX macros (HO)
+Package: hopatch 2016/05/16 v1.3 Wrapper for package hooks (HO)
+Package: xcolor-patch 2016/05/16 xcolor patch
+Package: atveryend 2016/05/16 v1.9 Hooks at the very end of document (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `atbegshi' (already loaded).
+Package: refcount 2016/05/16 v3.5 Data extraction from label references (HO)
+Package: hycolor 2016/05/16 v1.8 Color options for hyperref/bookmark (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/auxhook.sty
+Package: auxhook 2016/05/16 v1.4 Hooks for auxiliary files (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO)
+)
+\@linkdim=\dimen165
+\Hy@linkcounter=\count123
+\Hy@pagecounter=\count124
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+)
+\Hy@SavedSpaceFactor=\count125
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+)
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `implicit' set `false' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4540.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4545.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4548.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4555.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4560.
+Package hyperref Info: Implicit mode OFF; no redefinition of LaTeX internals.
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4793.
+\c@Hy@tempcnt=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip10
+Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 5152.
+\XeTeXLinkMargin=\dimen166
+\Fld@menulength=\count127
+\Field@Width=\dimen167
+\Fld@charsize=\dimen168
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6423.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6428.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6431.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6438.
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6443.
+Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6448.
+Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6453.
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6493.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6497.
+\Hy@abspage=\count128
+
+
+Package hyperref Message: Stopped early.
+
+)
+Package hyperref Info: Driver (autodetected): hxetex.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
+File: hxetex.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref driver for XeTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+File: puenc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDF Unicode definition (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty
+Package: stringenc 2016/05/16 v1.11 Convert strings between diff. encodings (HO
+)
+)
+\pdfm@box=\box42
+\c@Hy@AnnotLevel=\count129
+\HyField@AnnotCount=\count130
+\Fld@listcount=\count131
+\c@bookmark@seq@number=\count132
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty
+Package: rerunfilecheck 2016/05/16 v1.8 Rerun checks for auxiliary files (HO)
+Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2
+82.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def
+File: se-ascii-print.def 2016/05/16 v1.11 stringenc: Printable ASCII characters
+
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaserequires.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecompatibility.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasefont.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
+\@emptytoks=\toks26
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/sansmathaccent/sansmathaccent.sty
+Package: sansmathaccent 2013/03/28
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/filehook/filehook.sty
+Package: filehook 2019/10/03 v0.6 Hooks for input files
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetranslator.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator.sty
+Package: translator 2019-05-31 v1.12a Easy translation of strings in LaTeX
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemisc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetwoscreens.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoverlay.sty
+\beamer@argscount=\count133
+\beamer@lastskipcover=\skip44
+\beamer@trivlistdepth=\count134
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetitle.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasesection.sty
+\c@lecture=\count135
+\c@part=\count136
+\c@section=\count137
+\c@subsection=\count138
+\c@subsubsection=\count139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframe.sty
+\beamer@framebox=\box43
+\beamer@frametitlebox=\box44
+\beamer@zoombox=\box45
+\beamer@zoomcount=\count140
+\beamer@zoomframecount=\count141
+\beamer@frametextheight=\dimen169
+\c@subsectionslide=\count142
+\beamer@frametopskip=\skip45
+\beamer@framebottomskip=\skip46
+\beamer@frametopskipautobreak=\skip47
+\beamer@framebottomskipautobreak=\skip48
+\beamer@envbody=\toks27
+\framewidth=\dimen170
+\c@framenumber=\count143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseverbatim.sty
+\beamer@verbatimfileout=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframesize.sty
+\beamer@splitbox=\box46
+\beamer@autobreakcount=\count144
+\beamer@autobreaklastheight=\dimen171
+\beamer@frametitletoks=\toks28
+\beamer@framesubtitletoks=\toks29
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframecomponents.sty
+\beamer@footins=\box47
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecolor.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenotes.sty
+\beamer@frameboxcopy=\box48
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetoc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetemplates.sty
+\beamer@sbttoks=\toks30
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseauxtemplates.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseboxes.sty
+\bmb@box=\box49
+\bmb@colorbox=\box50
+\bmb@boxshadow=\box51
+\bmb@boxshadowball=\box52
+\bmb@boxshadowballlarge=\box53
+\bmb@temp=\dimen172
+\bmb@dima=\dimen173
+\bmb@dimb=\dimen174
+\bmb@prevheight=\dimen175
+)
+\beamer@blockheadheight=\dimen176
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaselocalstructure.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
+Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
+\@enLab=\toks31
+)
+\c@figure=\count145
+\c@table=\count146
+\abovecaptionskip=\skip49
+\belowcaptionskip=\skip50
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenavigation.sty
+\beamer@section@min@dim=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetheorems.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip51
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks32
+\ex@=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen179
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count147
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count148
+\leftroot@=\count149
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count150
+\DOTSCASE@=\count151
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box54
+\strutbox@=\box55
+\big@size=\dimen180
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count152
+\c@MaxMatrixCols=\count153
+\dotsspace@=\muskip11
+\c@parentequation=\count154
+\dspbrk@lvl=\count155
+\tag@help=\toks33
+\row@=\count156
+\column@=\count157
+\maxfields@=\count158
+\andhelp@=\toks34
+\eqnshift@=\dimen181
+\alignsep@=\dimen182
+\tagshift@=\dimen183
+\tagwidth@=\dimen184
+\totwidth@=\dimen185
+\lineht@=\dimen186
+\@envbody=\toks35
+\multlinegap=\skip52
+\multlinetaggap=\skip53
+\mathdisplay@stack=\toks36
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+Package: amsthm 2017/10/31 v2.20.4
+\thm@style=\toks37
+\thm@bodyfont=\toks38
+\thm@headfont=\toks39
+\thm@notefont=\toks40
+\thm@headpunct=\toks41
+\thm@preskip=\skip54
+\thm@postskip=\skip55
+\thm@headsep=\skip56
+\dth@everypar=\toks42
+)
+\c@theorem=\count159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasethemes.sty))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemedefault.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerfontthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemedefault.sty
+\beamer@dima=\dimen187
+\beamer@dimb=\dimen188
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemedefault.sty)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks43
+\inpenc@posthook=\toks44
+
+
+Package inputenc Warning: inputenc package ignored with utf8 based engines.
+
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 48.
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+lmss on input line 1
+05.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmss.fd
+File: t1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/lmodern.sty
+Package: lmodern 2009/10/30 v1.6 Latin Modern Fonts
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font) OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font) OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 32.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/lmr/m/it on input line 33.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 34.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 35.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 36.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/lmr/bx/it on input line 37.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 38.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2019/10/15 3.35 The Babel package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def
+File: switch.def 2019/10/15 3.35 Babel switching mechanism
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngerman.ldf
+Language: ngerman 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogra
+phy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngermanb.ldf
+Language: ngermanb 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogr
+aphy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2019/10/15 3.35 Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count160
+\U@D=\dimen189
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/xebabel.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def))
+LaTeX Info: Redefining \textlatin on input line 2185.
+\bbl@dirlevel=\count161
+)
+Package babel Info: Making " an active character on input line 121.
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box56
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen190
+\pgf@nodesepend=\dimen191
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen192
+\pgffor@skip=\dimen193
+\pgffor@stack=\toks45
+\pgffor@toks=\toks46
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count162
+\pgfplotmarksize=\dimen194
+)
+\tikz@lastx=\dimen195
+\tikz@lasty=\dimen196
+\tikz@lastxsaved=\dimen197
+\tikz@lastysaved=\dimen198
+\tikz@lastmovetox=\dimen199
+\tikz@lastmovetoy=\dimen256
+\tikzleveldistance=\dimen257
+\tikzsiblingdistance=\dimen258
+\tikz@figbox=\box57
+\tikz@figbox@bg=\box58
+\tikz@tempbox=\box59
+\tikz@tempbox@bg=\box60
+\tikztreelevel=\count163
+\tikznumberofchildren=\count164
+\tikznumberofcurrentchild=\count165
+\tikz@fig@count=\count166
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count167
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count168
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count169
+)
+\tikz@expandcount=\count170
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemeHannover.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemesidebar.sty
+\beamer@sidebarwidth=\dimen259
+\beamer@headheight=\dimen260
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemeseahorse.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemecircles.sty))
+(./RS_handout.aux)
+\openout1 = `RS_handout.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 9.
+
+*geometry* driver: auto-detecting
+*geometry* detected driver: xetex
+*geometry* verbose mode - [ preamble ] result:
+* driver: xetex
+* paper: custom
+* layout: <same size as paper>
+* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt)
+* modes: includehead includefoot
+* h-part:(L,W,R)=(59.22636pt, 381.79135pt, 14.22636pt)
+* v-part:(T,H,B)=(0.0pt, 256.0748pt, 0.0pt)
+* \paperwidth=455.24408pt
+* \paperheight=256.0748pt
+* \textwidth=381.79135pt
+* \textheight=227.62207pt
+* \oddsidemargin=-13.04362pt
+* \evensidemargin=-13.04362pt
+* \topmargin=-72.26999pt
+* \headheight=14.22636pt
+* \headsep=0.0pt
+* \topskip=11.0pt
+* \footskip=14.22636pt
+* \marginparwidth=4.0pt
+* \marginparsep=10.0pt
+* \columnsep=10.0pt
+* \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+* \hoffset=0.0pt
+* \voffset=0.0pt
+* \mag=1000
+* \@twocolumnfalse
+* \@twosidefalse
+* \@mparswitchfalse
+* \@reversemarginfalse
+* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt)
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+\AtBeginShipoutBox=\box61
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2019/09/16 v2.46 Cross-referencing by name of section
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty
+Package: gettitlestring 2016/05/16 v1.5 Cleanup title references (HO)
+)
+\c@section@level=\count171
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 9.
+
+(./RS_handout.out) (./RS_handout.out)
+\@outlinefile=\write5
+\openout5 = `RS_handout.out'.
+
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/lmr/m/n --> OT1/cmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/lmr/bx/n --> OT1/cmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 9.
+\symnumbers=\mathgroup6
+\sympureletters=\mathgroup7
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `normal'
+(Font) OT1/lmss/m/n --> T1/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font) OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font) OT1/lmss/m/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/lmss/bx/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathit on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font) OT1/lmr/m/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/lmr/bx/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font) OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `numbers' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `pureletters' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `bold'
+(Font) OT1/lmss/bx/n --> T1/lmr/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) T1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/bx/n on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-basic-dictionary-En
+glish.dict
+Dictionary: translator-basic-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-bibliography-dictio
+nary-English.dict
+Dictionary: translator-bibliography-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-environment-diction
+ary-English.dict
+Dictionary: translator-environment-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-months-dictionary-E
+nglish.dict
+Dictionary: translator-months-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-numbers-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-numbers-dictionary, Language: English
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-theorem-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-theorem-dictionary, Language: English
+) (./RS_handout.nav)
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfauthor' has already been used,
+(hyperref) setting the option has no effect on input line 10.
+
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfsubject' has already been used,
+(hyperref) setting the option has no effect on input line 16.
+
+[1
+
+]
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OT1+lmss on input line
+32.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/ot1lmss.fd
+File: ot1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OML+lmm on input line 3
+2.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omllmm.fd
+File: omllmm.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMS+lmsy on input line
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omslmsy.fd
+File: omslmsy.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMX+lmex on input line
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omxlmex.fd
+File: omxlmex.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <10.95> on input line 32.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <8> on input line 32.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <6> on input line 32.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
+)
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10.95> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <8> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <6> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+ [2
+
+]
+File: images/polynom2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/polynom2.pdf>
+ [3
+
+] [4
+
+] [5
+
+]
+File: images/fig1.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig1.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[6
+
+]
+File: images/fig2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig2.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[7
+
+]
+File: images/fig3.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig3.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[8
+
+]
+File: images/fig4.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig4.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[9
+
+]
+File: images/fig5.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig5.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[10
+
+]
+File: images/fig6.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig6.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[11
+
+]
+File: images/fig7.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig7.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[12
+
+] [13
+
+] [14
+
+] [15
+
+] [16
+
+] [17
+
+]
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+lmr on input line 28
+6.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+) [18
+
+] [19
+
+]
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+euf on input line 368
+.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2013/01/14 v3.01 Euler Fraktur
+) [20
+
+]
+[21
+
+] [22
+
+] [23
+
+] [24
+
+] [25
+
+]
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <14.4> on input line 618.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <10> on input line 618.
+LaTeX Font Info: External font `lmex10' loaded for size
+(Font) <7> on input line 618.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <14.4> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 618.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 618.
+LaTeX Font Info: Font shape `T1/lmss/m/it' in size <7> not available
+(Font) Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 618.
+ [26
+
+]
+Overfull \hbox (2.91844pt too wide) detected at line 653
+[]
+ []
+
+[27
+
+] [28
+
+] [29
+
+] [30
+
+] [31
+
+] [32
+
+] [33
+
+] [34
+
+]
+\tf@nav=\write6
+\openout6 = `RS_handout.nav'.
+
+\tf@toc=\write7
+\openout7 = `RS_handout.toc'.
+
+\tf@snm=\write8
+\openout8 = `RS_handout.snm'.
+
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 907.
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 907.
+ (./RS_handout.aux)
+Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryEndDocument' on input line 907.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 907.
+Package rerunfilecheck Info: File `RS_handout.out' has not changed.
+(rerunfilecheck) Checksum: CBEDF1F633104E8EE4EB074E401487DA.
+ )
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 24519 strings out of 492483
+ 453771 string characters out of 6132858
+ 551669 words of memory out of 5000000
+ 28480 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 82614 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 58i,15n,61p,804b,549s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on RS_handout.pdf (34 pages).
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.out
@@ -0,0 +1,8 @@
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.1}{Einführung}{}% 1
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.2}{Polynom\040Ansatz}{}% 2
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.3}{Diskrete\040Fourier\040Transformation}{}% 3
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{}% 4
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.5}{Codierung\040eines\040Beispiels}{}% 5
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.6}{Decodierung\040ohne\040Fehler}{}% 6
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.7}{Decodierung\040mit\040Fehler}{}% 7
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.8}{Nachricht\040Rekonstruieren}{}% 8
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.snm b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.snm
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.snm
@@ -0,0 +1 @@
+\beamer@slide {ft_discrete}{13}
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index 0000000..c28a28a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.synctex.gz
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.tex
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.tex
@@ -0,0 +1,907 @@
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+ \author{Joshua Bär und Michael Steiner}
+ \title{Reed-Solomon-Code}
+ \subtitle{}
+ \logo{}
+ \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+ \date{26.04.2021}
+ \subject{Mathematisches Seminar}
+ %\setbeamercovered{transparent}
+ \setbeamercovered{invisible}
+ \setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+ \begin{frame}[plain]
+ \maketitle
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Einführung}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Reed-Solomon-Code:}
+ \begin{itemize}
+ \item Für Übertragung von Daten
+ \item Ermöglicht Korrektur von Übertragungsfehler
+ \item Wird verwendet in: CD, QR-Codes, Voyager-Sonde, etc.
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Polynom Ansatz}
+ \begin{frame}
+ \begin{itemize}
+ \item $2, 1, 5$ versenden und auf 2 Fehler absichern
+ \end{itemize}
+ \frametitle{Beispiel}
+ Übertragen von
+ ${f}_2=\textcolor{blue}{2}$, ${f}_1=\textcolor{blue}{1}$, ${f}_0=\textcolor{blue}{5}$
+ als $ p(w) = \textcolor{blue}{2}w^2 + \textcolor{blue}{1}w + \textcolor{blue}{5} $.
+ \newline
+ Versende $ (p(1),p(2),\dots,p(7)) = (\textcolor{green}{8},
+ \textcolor{red}{50}, \textcolor{red}{37},
+ \textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60},
+ \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+ \includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom2.pdf}
+ \newline
+ \textcolor{green}{7} Zahlen versenden, um \textcolor{blue}{3} Zahlen gegen \textcolor{red}{2} Fehlern abzusichern.
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Parameter}
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{ c c c }
+ \hline
+ Nutzlas & Fehler & Versenden \\
+ \hline
+ 3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
+ 4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+ 3& 3& 9 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
+ &&\\
+ $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\
+ \hline
+ &&\\
+ &&\\
+ \multicolumn{3}{l} {
+ Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!
+ }
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\section{Diskrete Fourier Transformation}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Idee}
+ \begin{itemize}
+ \item Fourier-transformieren
+ \item Übertragung
+ \item Rücktransformieren
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \begin{figure}
+ \only<1>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig1.pdf}
+ }
+ \only<2>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig2.pdf}
+ }
+ \only<3>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig3.pdf}
+ }
+ \only<4>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig4.pdf}
+ }
+ \only<5>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig5.pdf}
+ }
+ \only<6>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig6.pdf}
+ }
+ \only<7>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig7.pdf}
+ }
+ \end{figure}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+ \begin{itemize}
+ \item Diskrete Fourier-Transformation gegeben durch:
+
+ \[
+ \label{ft_discrete}
+ \hat{c}_{k}
+ = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
+ {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
+ \]
+
+ \item Ersetzte
+ \[
+ w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
+ \]
+
+ \item Wenn $N$ konstant:
+ \[
+ \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
+ \]
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ \hat{c}_1 \\\hat{c}_2 \\\hat{c}_3 \\ \vdots \\\hat{c}_n
+ \end{pmatrix}
+ = \frac{1}{N}
+ \begin{pmatrix}
+ w^0 & w^0 & w^0 & \dots &w^0 \\
+ w^0 & w^1 &w^2 & \dots &w^{N-1} \\
+ w^0 & w^2 &w^4 & \dots &w^{2(N-1)} \\
+ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
+ w^0 & w^{1(N-1)}&w^{2(N-1)}& \dots &w^{(N-1)(N-1)} \\
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \textcolor{blue}{f_0} \\
+ \textcolor{blue}{f_1} \\
+ \textcolor{blue}{f_2} \\
+ \vdots \\
+ 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Probleme und Fragen}
+
+ Wie wird der Fehler lokalisiert?
+ \newline
+ Indem in einem endlichen Körper gerechnet wird.
+
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Warum endliche Körper?
+
+ \qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler
+
+ \qquad digitale Fehlerkorrektur
+
+ %\onslide<4->{\qquad bessere Laufzeit}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden
+
+ \qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom
+
+% \vspace{10pt}
+
+% \onslide<1->{\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die fehlerhaften Stellen beinhaltet}
+
+% Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+
+ \end{itemize}
+
+% TODO
+
+% erklärung und einführung der endlichen körper, was wollen wir erreichen?
+
+% wir versenden im endefekt mehr daten als unsere nachricht umfasst, damit die korrektur sichergestellt werden kann
+
+% sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Definition eines Beispiels}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \item endlicher Körper $q = 11$
+
+ ist eine Primzahl
+
+ beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen
+
+ $n = q - 1 = 10$ Zahlen
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Max.~Fehler $t = 2$
+
+ maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen
+
+ Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen
+
+ Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
+
+ als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Codierung eines Beispiels}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Codierung}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken
+
+ $\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Wir wählen $a = 8$
+
+ $\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$
+
+ $8$ ist eine primitive Einheitswurzel
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$
+
+ $\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Codierung}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Übertragungsvektor $v$
+
+ \item $v = A \cdot m$
+
+ \end{itemize}
+
+ \[
+ v = \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ 8^0& 8^3& 8^6& 8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ 8^0& 8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung ohne Fehler}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung ohne Fehler}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \end{itemize}
+
+ \begin{columns}[t]
+ \begin{column}{0.55\textwidth}
+ Inverse der Fouriertransformation
+ \vspace{10pt}
+
+ \[
+ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
+ \]
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \[
+ \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+ \]
+
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.45\textwidth}
+ Inverse von $a$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \[
+ 8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
+ \]
+
+ Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus
+ \vspace{10pt}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
+
+ \begin{columns}[t]
+ \begin{column}{0.50\textwidth}
+
+ Recap aus der Vorlesung:
+
+ Gegeben $a \in \mathbb{F}_p$, finde $b = a^{-1} \in \mathbb{F}_p$
+
+ \begin{tabular}{rcl}
+ $a b$ &$\equiv$& $1 \mod p$\\
+ $a b$ &$=$& $1 + n p$\\
+ $a b - n p$ &$=$& $1$\\
+ &&\\
+ $\operatorname{ggT}(a,p)$&$=$& $1$\\
+ $sa + tp$&$=$& $1$\\
+ $b$&$=$&$s$\\
+ $n$&$=$&$-t$
+ \end{tabular}
+
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.50\textwidth}
+
+ \begin{center}
+
+ \begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+ \hline
+ $k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+ \hline
+ & & & & $1$& $0$\\
+ $0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+ $1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+ $2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+ $3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+ $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor{blue}{$-4$}& \textcolor{red}{$3$}\\
+ $5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{tabular}{rcl}
+ $\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+ $7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+ $8^{-1}$ &$=$& $7$
+
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}
+
+ \begin{itemize}
+ \item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+
+ \item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$
+
+ \item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$
+
+ \end{itemize}
+
+ \[
+ m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+ 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\
+ 7^0& 7^1& 7^2& 7^3& 7^4& 7^5& 7^6& 7^7& 7^8& 7^9\\
+ 7^0& 7^2& 7^4& 7^6& 7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+ 7^0& 7^3& 7^6& 7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+ 7^0& 7^4& 7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+ 7^0& 7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+ 7^0& 7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+ 7^0& 7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+ 7^0& 7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+ 7^0& 7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung mit Fehler}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+
+ \item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$
+
+ \item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$
+
+ \end{itemize}
+
+ Wie finden wir die Fehler?
+
+ \begin{itemize}
+ \item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
+
+ \item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$
+
+ \item $e(X) = r(X) - m(X)$
+
+ \end{itemize}
+
+ \begin{center}
+
+ \begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+ \hline
+ $i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+ \hline
+ $r(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$\\
+ $m(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$\\
+ $e(a^{i})$& $0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler
+ \end{itemize}
+
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat
+
+ \vspace{10pt}
+
+ $\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können
+
+ \vspace{10pt}
+
+ $\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$
+
+ $= d(X) \cdot e(X)$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Kennen wir $e(X)$?}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+
+ In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
+
+ $\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$
+
+ \[
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+ X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-9}
+ && 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ && 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\ \cline{3-9}
+ & & & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ \end{array}
+ \]
+
+ \[
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ 5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+ 5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5}
+ && 7X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ \end{array}
+ \]
+
+ \vspace{10pt}
+
+ $\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$
+
+ \vspace{10pt}
+
+ $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen
+
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Erweiterte Euklidische Algorithmus}
+
+ \begin{center}
+
+ \begin{tabular}{| c | c | c c |}
+ \hline
+ $k$ & $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+ \hline
+ & & $0$& $1$\\
+ $0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+ $1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+ $2$& & \textcolor{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{tabular}{ll}
+ Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\
+ Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\
+ Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$
+ \end{tabular}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{center}
+ $a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+
+ $a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
+ \end{center}
+
+
+ $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Nachricht Rekonstruieren}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \item $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$
+
+ \item $d(X) = (X-\textcolor{red}{a^3})(X-\textcolor{red}{a^8})$
+
+ \end{itemize}
+
+ \[
+ \textcolor{gray}{
+ \begin{pmatrix}
+ a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\
+ \end{pmatrix}}
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^3}& \textcolor{red}{8^6}& \textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{12}}& \textcolor{red}{8^{15}}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{27}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^8}& \textcolor{red}{8^{16}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{32}}& \textcolor{red}{8^{40}}& \textcolor{red}{8^{48}}& \textcolor{red}{8^{56}}& \textcolor{red}{8^{64}}& \textcolor{red}{8^{72}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \item Fehlerstellen entfernen
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor{green}{8^0}& \textcolor{green}{8^0}& \textcolor{green}{8^0}& \textcolor{green}{8^0}\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor{green}{8^6}& \textcolor{green}{8^7}& \textcolor{green}{8^8}& \textcolor{green}{8^9}\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor{green}{8^{12}}& \textcolor{green}{8^{14}}& \textcolor{green}{8^{16}}& \textcolor{green}{8^{18}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{green}{8^{24}}& \textcolor{green}{8^{28}}& \textcolor{green}{8^{32}}& \textcolor{green}{8^{36}}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{green}{8^{30}}& \textcolor{green}{8^{35}}& \textcolor{green}{8^{40}}& \textcolor{green}{8^{45}}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{green}{8^{36}}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{48}}& \textcolor{green}{8^{54}}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{49}}& \textcolor{green}{8^{56}}& \textcolor{green}{8^{63}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{green}{8^{54}}& \textcolor{green}{8^{63}}& \textcolor{green}{8^{72}}& \textcolor{green}{8^{81}}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{green}{m_6} \\ \textcolor{green}{m_7} \\ \textcolor{green}{m_8} \\ \textcolor{green}{m_9} \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \item Nullstellen entfernen
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^7}& \textcolor{red}{8^{14}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{28}}& \textcolor{red}{8^{35}}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{27}}& \textcolor{red}{8^{36}}& \textcolor{red}{8^{45}}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \vspace{5pt}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Matrix in eine Quadratische Form bringen
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \vspace{5pt}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Matrix Invertieren
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\
+ 1& 8& 9& 6& 4& 10\\
+ 1& 9& 4& 3& 5& 1\\
+ 1& 4& 5& 9& 3& 1\\
+ 1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+ 1& 3& 9& 5& 4& 1\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{center}
+ $\Downarrow$
+ \end{center}
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \item $m = [4,7,2,5,8,1]$
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\end{document}
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+ /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
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+ /><glyph unicode="3" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.2031 18.8906 L12.9844 20.0625 Q14.5 12.5938 18.1406 9.2969 Q21.7812 6 27 6 Q33.2031 6 37.4766 10.2969 Q41.75 14.5938 41.75 20.9531 Q41.75 27 37.7969 30.9297 Q33.8438 34.8594 27.7344 34.8594 Q25.25 34.8594 21.5312 33.8906 L22.5156 41.6094 Q23.3906 41.5 23.9219 41.5 Q29.5469 41.5 34.0391 44.4297 Q38.5312 47.3594 38.5312 53.4688 Q38.5312 58.2969 35.2578 61.4766 Q31.9844 64.6562 26.8125 64.6562 Q21.6875 64.6562 18.2656 61.4297 Q14.8438 58.2031 13.875 51.7656 L5.0781 53.3281 Q6.6875 62.1562 12.3984 67.0156 Q18.1094 71.875 26.6094 71.875 Q32.4688 71.875 37.3984 69.3594 Q42.3281 66.8438 44.9453 62.5 Q47.5625 58.1562 47.5625 53.2656 Q47.5625 48.6406 45.0703 44.8281 Q42.5781 41.0156 37.7031 38.7656 Q44.0469 37.3125 47.5625 32.6953 Q51.0781 28.0781 51.0781 21.1406 Q51.0781 11.7656 44.2422 5.25 Q37.4062 -1.2656 26.9531 -1.2656 Q17.5312 -1.2656 11.3047 4.3516 Q5.0781 9.9688 4.2031 18.8906 Z"
+ /><glyph unicode="4" horiz-adv-x="55.615234" d="M32.3281 0 L32.3281 17.1406 L1.2656 17.1406 L1.2656 25.2031 L33.9375 71.5781 L41.1094 71.5781 L41.1094 25.2031 L50.7812 25.2031 L50.7812 17.1406 L41.1094 17.1406 L41.1094 0 L32.3281 0 ZM32.3281 25.2031 L32.3281 57.4688 L9.9062 25.2031 L32.3281 25.2031 Z"
+ /><glyph unicode="5" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 18.75 L13.375 19.5312 Q14.4062 12.7969 18.1406 9.3984 Q21.875 6 27.1562 6 Q33.5 6 37.8906 10.7891 Q42.2812 15.5781 42.2812 23.4844 Q42.2812 31 38.0625 35.3516 Q33.8438 39.7031 27 39.7031 Q22.75 39.7031 19.3359 37.7734 Q15.9219 35.8438 13.9688 32.7656 L5.7188 33.8438 L12.6406 70.6094 L48.25 70.6094 L48.25 62.2031 L19.6719 62.2031 L15.8281 42.9688 Q22.2656 47.4688 29.3438 47.4688 Q38.7188 47.4688 45.1641 40.9688 Q51.6094 34.4688 51.6094 24.2656 Q51.6094 14.5469 45.9531 7.4688 Q39.0625 -1.2188 27.1562 -1.2188 Q17.3906 -1.2188 11.2109 4.25 Q5.0312 9.7188 4.1562 18.75 Z"
+ /><glyph unicode="6" horiz-adv-x="55.615234" d="M49.75 54.0469 L41.0156 53.375 Q39.8438 58.5469 37.7031 60.8906 Q34.125 64.6562 28.9062 64.6562 Q24.7031 64.6562 21.5312 62.3125 Q17.3906 59.2812 14.9922 53.4688 Q12.5938 47.6562 12.5 36.9219 Q15.6719 41.75 20.2656 44.0938 Q24.8594 46.4375 29.8906 46.4375 Q38.6719 46.4375 44.8516 39.9688 Q51.0312 33.5 51.0312 23.25 Q51.0312 16.5 48.125 10.7188 Q45.2188 4.9375 40.1406 1.8594 Q35.0625 -1.2188 28.6094 -1.2188 Q17.625 -1.2188 10.6953 6.8594 Q3.7656 14.9375 3.7656 33.5 Q3.7656 54.25 11.4219 63.6719 Q18.1094 71.875 29.4375 71.875 Q37.8906 71.875 43.2891 67.1406 Q48.6875 62.4062 49.75 54.0469 ZM13.875 23.1875 Q13.875 18.6562 15.7969 14.5078 Q17.7188 10.3594 21.1875 8.1797 Q24.6562 6 28.4688 6 Q34.0312 6 38.0391 10.4922 Q42.0469 14.9844 42.0469 22.7031 Q42.0469 30.125 38.0859 34.3984 Q34.125 38.6719 28.125 38.6719 Q22.1719 38.6719 18.0234 34.3984 Q13.875 30.125 13.875 23.1875 Z"
+ /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+ /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
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+ /><glyph unicode="2" horiz-adv-x="55.615234" d="M50.3438 8.4531 L50.3438 0 L3.0312 0 Q2.9375 3.1719 4.0469 6.1094 Q5.8594 10.9375 9.8359 15.625 Q13.8125 20.3125 21.3438 26.4688 Q33.0156 36.0312 37.1172 41.625 Q41.2188 47.2188 41.2188 52.2031 Q41.2188 57.4219 37.4766 61.0078 Q33.7344 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.3906 64.5938 17.5781 60.7891 Q13.7656 56.9844 13.7188 50.25 L4.6875 51.1719 Q5.6094 61.2812 11.6641 66.5781 Q17.7188 71.875 27.9375 71.875 Q38.2344 71.875 44.2422 66.1641 Q50.25 60.4531 50.25 52 Q50.25 47.7031 48.4922 43.5547 Q46.7344 39.4062 42.6562 34.8125 Q38.5781 30.2188 29.1094 22.2188 Q21.1875 15.5781 18.9453 13.2109 Q16.7031 10.8438 15.2344 8.4531 L50.3438 8.4531 Z"
+ /><glyph unicode="3" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.2031 18.8906 L12.9844 20.0625 Q14.5 12.5938 18.1406 9.2969 Q21.7812 6 27 6 Q33.2031 6 37.4766 10.2969 Q41.75 14.5938 41.75 20.9531 Q41.75 27 37.7969 30.9297 Q33.8438 34.8594 27.7344 34.8594 Q25.25 34.8594 21.5312 33.8906 L22.5156 41.6094 Q23.3906 41.5 23.9219 41.5 Q29.5469 41.5 34.0391 44.4297 Q38.5312 47.3594 38.5312 53.4688 Q38.5312 58.2969 35.2578 61.4766 Q31.9844 64.6562 26.8125 64.6562 Q21.6875 64.6562 18.2656 61.4297 Q14.8438 58.2031 13.875 51.7656 L5.0781 53.3281 Q6.6875 62.1562 12.3984 67.0156 Q18.1094 71.875 26.6094 71.875 Q32.4688 71.875 37.3984 69.3594 Q42.3281 66.8438 44.9453 62.5 Q47.5625 58.1562 47.5625 53.2656 Q47.5625 48.6406 45.0703 44.8281 Q42.5781 41.0156 37.7031 38.7656 Q44.0469 37.3125 47.5625 32.6953 Q51.0781 28.0781 51.0781 21.1406 Q51.0781 11.7656 44.2422 5.25 Q37.4062 -1.2656 26.9531 -1.2656 Q17.5312 -1.2656 11.3047 4.3516 Q5.0781 9.9688 4.2031 18.8906 Z"
+ /><glyph unicode="4" horiz-adv-x="55.615234" d="M32.3281 0 L32.3281 17.1406 L1.2656 17.1406 L1.2656 25.2031 L33.9375 71.5781 L41.1094 71.5781 L41.1094 25.2031 L50.7812 25.2031 L50.7812 17.1406 L41.1094 17.1406 L41.1094 0 L32.3281 0 ZM32.3281 25.2031 L32.3281 57.4688 L9.9062 25.2031 L32.3281 25.2031 Z"
+ /><glyph unicode="5" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 18.75 L13.375 19.5312 Q14.4062 12.7969 18.1406 9.3984 Q21.875 6 27.1562 6 Q33.5 6 37.8906 10.7891 Q42.2812 15.5781 42.2812 23.4844 Q42.2812 31 38.0625 35.3516 Q33.8438 39.7031 27 39.7031 Q22.75 39.7031 19.3359 37.7734 Q15.9219 35.8438 13.9688 32.7656 L5.7188 33.8438 L12.6406 70.6094 L48.25 70.6094 L48.25 62.2031 L19.6719 62.2031 L15.8281 42.9688 Q22.2656 47.4688 29.3438 47.4688 Q38.7188 47.4688 45.1641 40.9688 Q51.6094 34.4688 51.6094 24.2656 Q51.6094 14.5469 45.9531 7.4688 Q39.0625 -1.2188 27.1562 -1.2188 Q17.3906 -1.2188 11.2109 4.25 Q5.0312 9.7188 4.1562 18.75 Z"
+ /><glyph unicode="6" horiz-adv-x="55.615234" d="M49.75 54.0469 L41.0156 53.375 Q39.8438 58.5469 37.7031 60.8906 Q34.125 64.6562 28.9062 64.6562 Q24.7031 64.6562 21.5312 62.3125 Q17.3906 59.2812 14.9922 53.4688 Q12.5938 47.6562 12.5 36.9219 Q15.6719 41.75 20.2656 44.0938 Q24.8594 46.4375 29.8906 46.4375 Q38.6719 46.4375 44.8516 39.9688 Q51.0312 33.5 51.0312 23.25 Q51.0312 16.5 48.125 10.7188 Q45.2188 4.9375 40.1406 1.8594 Q35.0625 -1.2188 28.6094 -1.2188 Q17.625 -1.2188 10.6953 6.8594 Q3.7656 14.9375 3.7656 33.5 Q3.7656 54.25 11.4219 63.6719 Q18.1094 71.875 29.4375 71.875 Q37.8906 71.875 43.2891 67.1406 Q48.6875 62.4062 49.75 54.0469 ZM13.875 23.1875 Q13.875 18.6562 15.7969 14.5078 Q17.7188 10.3594 21.1875 8.1797 Q24.6562 6 28.4688 6 Q34.0312 6 38.0391 10.4922 Q42.0469 14.9844 42.0469 22.7031 Q42.0469 30.125 38.0859 34.3984 Q34.125 38.6719 28.125 38.6719 Q22.1719 38.6719 18.0234 34.3984 Q13.875 30.125 13.875 23.1875 Z"
+ /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+ /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
+ /><glyph unicode="9" horiz-adv-x="55.615234" d="M5.4688 16.5469 L13.9219 17.3281 Q14.9844 11.375 18.0156 8.6875 Q21.0469 6 25.7812 6 Q29.8281 6 32.8828 7.8594 Q35.9375 9.7188 37.8906 12.8203 Q39.8438 15.9219 41.1641 21.1953 Q42.4844 26.4688 42.4844 31.9375 Q42.4844 32.5156 42.4375 33.6875 Q39.7969 29.5 35.2344 26.8828 Q30.6719 24.2656 25.3438 24.2656 Q16.4531 24.2656 10.3047 30.7109 Q4.1562 37.1562 4.1562 47.7031 Q4.1562 58.5938 10.5781 65.2344 Q17 71.875 26.6562 71.875 Q33.6406 71.875 39.4297 68.1172 Q45.2188 64.3594 48.2188 57.3984 Q51.2188 50.4375 51.2188 37.25 Q51.2188 23.5312 48.2422 15.4062 Q45.2656 7.2812 39.3828 3.0312 Q33.5 -1.2188 25.5938 -1.2188 Q17.1875 -1.2188 11.8672 3.4453 Q6.5469 8.1094 5.4688 16.5469 ZM41.4531 48.1406 Q41.4531 55.7188 37.4297 60.1562 Q33.4062 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.875 64.5938 17.5312 59.8125 Q13.1875 55.0312 13.1875 47.4062 Q13.1875 40.5781 17.3125 36.3047 Q21.4375 32.0312 27.4844 32.0312 Q33.5938 32.0312 37.5234 36.3047 Q41.4531 40.5781 41.4531 48.1406 Z"
+ /></font
+ ><font horiz-adv-x="75.0" id="font2"
+ ><font-face ascent="100.53711" descent="21.972656" units-per-em="100" style="font-style:normal; font-family:SansSerif; font-weight:bold;"
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+ /><glyph unicode="e" horiz-adv-x="55.615234" d="M37.2031 16.5 L50.875 14.2031 Q48.25 6.6875 42.5547 2.7578 Q36.8594 -1.1719 28.3281 -1.1719 Q14.7969 -1.1719 8.2969 7.6719 Q3.1719 14.75 3.1719 25.5312 Q3.1719 38.4219 9.9141 45.7266 Q16.6562 53.0312 26.9531 53.0312 Q38.5312 53.0312 45.2188 45.3906 Q51.9062 37.75 51.6094 21.9688 L17.2344 21.9688 Q17.3906 15.875 20.5625 12.4766 Q23.7344 9.0781 28.4688 9.0781 Q31.6875 9.0781 33.8828 10.8359 Q36.0781 12.5938 37.2031 16.5 ZM37.9844 30.375 Q37.8438 36.3281 34.9141 39.4297 Q31.9844 42.5312 27.7812 42.5312 Q23.2969 42.5312 20.3594 39.2656 Q17.4375 35.9844 17.4844 30.375 L37.9844 30.375 Z"
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+ /><glyph unicode="a" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.4375 36.0312 L4.9844 38.2812 Q7.0781 45.7969 12.2031 49.4141 Q17.3281 53.0312 27.4375 53.0312 Q36.625 53.0312 41.1172 50.8594 Q45.6094 48.6875 47.4375 45.3438 Q49.2656 42 49.2656 33.0625 L49.125 17.0469 Q49.125 10.2031 49.7812 6.9609 Q50.4375 3.7188 52.25 0 L38.6719 0 Q38.1406 1.375 37.3594 4.0469 Q37.0156 5.2812 36.8594 5.6719 Q33.3438 2.25 29.3438 0.5391 Q25.3438 -1.1719 20.7969 -1.1719 Q12.7969 -1.1719 8.1797 3.1719 Q3.5625 7.5156 3.5625 14.1562 Q3.5625 18.5625 5.6641 22 Q7.7656 25.4375 11.5469 27.2734 Q15.3281 29.1094 22.4688 30.4688 Q32.0781 32.2812 35.7969 33.8438 L35.7969 35.2031 Q35.7969 39.1562 33.8438 40.8438 Q31.8906 42.5312 26.4688 42.5312 Q22.7969 42.5312 20.75 41.0938 Q18.7031 39.6562 17.4375 36.0312 ZM35.7969 24.9062 Q33.1562 24.0312 27.4453 22.8047 Q21.7344 21.5781 19.9688 20.4062 Q17.2812 18.5 17.2812 15.5781 Q17.2812 12.7031 19.4297 10.6016 Q21.5781 8.5 24.9062 8.5 Q28.6094 8.5 31.9844 10.9375 Q34.4688 12.7969 35.25 15.4844 Q35.7969 17.2344 35.7969 22.1719 L35.7969 24.9062 Z"
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+ /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
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+></svg
+>
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.aux
@@ -0,0 +1 @@
+\relax
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.log
new file mode 100644
index 0000000..183eaea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.log
@@ -0,0 +1,747 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25) 21 APR 2021 12:27
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**polynom1.tex
+(./polynom1.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
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+Document Class: standalone 2018/03/26 v1.3a Class to compile TeX sub-files stan
+dalone
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/shellesc.sty
+Package: shellesc 2016/06/07 v0.02b unified shell escape interface for LaTeX
+Package shellesc Info: Restricted shell escape enabled on input line 72.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty
+Package: xkeyval 2014/12/03 v2.7a package option processing (HA)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkeyval.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkvutils.tex
+\XKV@toks=\toks14
+\XKV@tempa@toks=\toks15
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/keyval.tex))
+\XKV@depth=\count80
+File: xkeyval.tex 2014/12/03 v2.7a key=value parser (HA)
+))
+\sa@internal=\count81
+\c@sapage=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cfg
+File: standalone.cfg 2018/03/26 v1.3a Default configuration file for 'standalon
+e' class
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+Document Class: article 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX document class
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo
+File: size10.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count83
+\c@section=\count84
+\c@subsection=\count85
+\c@subsubsection=\count86
+\c@paragraph=\count87
+\c@subparagraph=\count88
+\c@figure=\count89
+\c@table=\count90
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen103
+\pgfutil@tempdimb=\dimen104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box27
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen105
+\Gin@req@width=\dimen106
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen107
+\pgf@y=\dimen108
+\pgf@xa=\dimen109
+\pgf@ya=\dimen110
+\pgf@xb=\dimen111
+\pgf@yb=\dimen112
+\pgf@xc=\dimen113
+\pgf@yc=\dimen114
+\pgf@xd=\dimen115
+\pgf@yd=\dimen116
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count91
+\c@pgf@countb=\count92
+\c@pgf@countc=\count93
+\c@pgf@countd=\count94
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count95
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count96
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count97
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count98
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen117
+\pgfmath@count=\count99
+\pgfmath@box=\box28
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count100
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen118
+\pgf@picmaxx=\dimen119
+\pgf@picminy=\dimen120
+\pgf@picmaxy=\dimen121
+\pgf@pathminx=\dimen122
+\pgf@pathmaxx=\dimen123
+\pgf@pathminy=\dimen124
+\pgf@pathmaxy=\dimen125
+\pgf@xx=\dimen126
+\pgf@xy=\dimen127
+\pgf@yx=\dimen128
+\pgf@yy=\dimen129
+\pgf@zx=\dimen130
+\pgf@zy=\dimen131
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen132
+\pgf@path@lasty=\dimen133
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen134
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen135
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box29
+\pgf@hbox=\box30
+\pgf@layerbox@main=\box31
+\pgf@picture@serial@count=\count101
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen136
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen137
+\pgf@pt@y=\dimen138
+\pgf@pt@temp=\dimen139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen140
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen141
+\pgf@sys@shading@range@num=\count102
+\pgf@shadingcount=\count103
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box32
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.te
+x
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box33
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen142
+\pgf@nodesepend=\dimen143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen144
+\pgffor@skip=\dimen145
+\pgffor@stack=\toks26
+\pgffor@toks=\toks27
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count104
+\pgfplotmarksize=\dimen146
+)
+\tikz@lastx=\dimen147
+\tikz@lasty=\dimen148
+\tikz@lastxsaved=\dimen149
+\tikz@lastysaved=\dimen150
+\tikz@lastmovetox=\dimen151
+\tikz@lastmovetoy=\dimen152
+\tikzleveldistance=\dimen153
+\tikzsiblingdistance=\dimen154
+\tikz@figbox=\box34
+\tikz@figbox@bg=\box35
+\tikz@tempbox=\box36
+\tikz@tempbox@bg=\box37
+\tikztreelevel=\count105
+\tikznumberofchildren=\count106
+\tikznumberofcurrentchild=\count107
+\tikz@fig@count=\count108
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count109
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count110
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count111
+)
+\tikz@expandcount=\count112
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+\sa@box=\box38
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks28
+\ex@=\dimen155
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count113
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count114
+\leftroot@=\count115
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count116
+\DOTSCASE@=\count117
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box39
+\strutbox@=\box40
+\big@size=\dimen157
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count118
+\c@MaxMatrixCols=\count119
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count120
+\dspbrk@lvl=\count121
+\tag@help=\toks29
+\row@=\count122
+\column@=\count123
+\maxfields@=\count124
+\andhelp@=\toks30
+\eqnshift@=\dimen158
+\alignsep@=\dimen159
+\tagshift@=\dimen160
+\tagwidth@=\dimen161
+\totwidth@=\dimen162
+\lineht@=\dimen163
+\@envbody=\toks31
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks32
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/psnfss/times.sty
+Package: times 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a (SPQR)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/txfonts.sty
+Package: txfonts 2008/01/22 v3.2.1
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `operators' on input line 21.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/txr/m/n --> OT1/txr/bx/n on input line 22.
+\symitalic=\mathgroup4
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `italic' in version `bold'
+(Font) OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 26.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 29.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathit on input line 30.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 31.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 40.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/txss/m/n --> OT1/txss/b/n on input line 41.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 50.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/txtt/m/n --> OT1/txtt/b/n on input line 51.
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `letters' on input line 58.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font) OML/cmm/m/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font) OML/cmm/b/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font) OML/txmi/m/it --> OML/txmi/bx/it on input line 59.
+\symlettersA=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold'
+(Font) U/txmia/m/it --> U/txmia/bx/it on input line 67.
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `symbols' on input line 77.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font) OMS/txsy/m/n --> OMS/txsy/bx/n on input line 78.
+\symAMSa=\mathgroup6
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold'
+(Font) U/txsya/m/n --> U/txsya/bx/n on input line 94.
+\symAMSb=\mathgroup7
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold'
+(Font) U/txsyb/m/n --> U/txsyb/bx/n on input line 103.
+\symsymbolsC=\mathgroup8
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold'
+(Font) U/txsyc/m/n --> U/txsyc/bx/n on input line 113.
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 120.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font) OMX/txex/m/n --> OMX/txex/bx/n on input line 121.
+\symlargesymbolsA=\mathgroup9
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold'
+(Font) U/txexa/m/n --> U/txexa/bx/n on input line 129.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \mathsterling on input line 164.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 591.
+LaTeX Info: Redefining \not on input line 1043.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgfplots/pgfplots.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.revision.tex)
+Package: pgfplots 2018/03/28 v1.16 Data Visualization (1.16)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscore.code.tex
+\t@pgfplots@toka=\toks33
+\t@pgfplots@tokb=\toks34
+\t@pgfplots@tokc=\toks35
+\pgfplots@tmpa=\dimen164
+\c@pgfplots@coordindex=\count125
+\c@pgfplots@scanlineindex=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgfplotssysgeneric.code.te
+x))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgfplotslibrary.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/oldpgfcompatib/pgfplotsoldpgfs
+upp_loader.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+cture.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+ctureext.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsarray.co
+de.tex
+\c@pgfplotsarray@tmp=\count127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsmatrix.c
+ode.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/numtable/pgfplotstableshared.c
+ode.tex
+\c@pgfplotstable@counta=\count128
+\t@pgfplotstable@a=\toks36
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsdeque.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.data.code.
+tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.verb.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgflibrarypgfplots.surfsh
+ading.code.tex
+\c@pgfplotslibrarysurf@no=\count129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-xetex.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-dvipdfmx.def
+\c@pgfplotslibrarysurf@streamlen=\count130
+))))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolormap.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolor.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsstackedplots.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsplothandlers.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplothandler.code.t
+ex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplotimage.code.tex
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.scaling.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscoordprocessing.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.errorbars.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.markers.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsticks.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.paths.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.t
+ex
+\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen165
+\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen166
+\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen167
+\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen168
+\pgf@decorate@distancetomove=\dimen169
+\pgf@decorate@repeatstate=\count131
+\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen170
+\pgfdecorationsegmentlength=\dimen171
+)
+\tikz@lib@dec@box=\box41
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathmorphing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathmorphing.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathreplacing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathreplacing.code.tex))
+\pgfplots@numplots=\count132
+\pgfplots@xmin@reg=\dimen172
+\pgfplots@xmax@reg=\dimen173
+\pgfplots@ymin@reg=\dimen174
+\pgfplots@ymax@reg=\dimen175
+\pgfplots@zmin@reg=\dimen176
+\pgfplots@zmax@reg=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryplotmarks.code.tex
+File: tikzlibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.
+tex
+File: pgflibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/csvsimple/csvsimple.sty
+Package: csvsimple 2019/04/09 version 1.21 LaTeX CSV file processing
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2014/09/29 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count133
+)
+\csv@file=\read2
+\c@csvinputline=\count134
+\c@csvrow=\count135
+\c@csvcol=\count136
+\csv@out=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryarrows.code.tex
+File: tikzlibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+File: pgflibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\arrowsize=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryintersections.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.c
+ode.tex
+\pgf@intersect@solutions=\count137
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarymath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryfpu.code.tex)
+\tikz@math@for@depth=\count138
+\tikz@math@dimen=\dimen179
+\tikz@math@toks=\toks37
+) (./polynom1.aux)
+\openout1 = `polynom1.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/txmi/m/it on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OML+txmi on input line
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omltxmi.fd
+File: omltxmi.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/txsy/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMS+txsy on input line
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omstxsy.fd
+File: omstxsy.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/txex/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMX+txex on input line
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omxtxex.fd
+File: omxtxex.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/txexa/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txexa on input line 1
+1.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxexa.fd
+File: utxexa.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for TU+txr on input line 11
+.
+LaTeX Font Info: No file TUtxr.fd. on input line 11.
+
+
+LaTeX Font Warning: Font shape `TU/txr/m/n' undefined
+(Font) using `TU/lmr/m/n' instead on input line 11.
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+
+Package pgfplots Warning: running in backwards compatibility mode (unsuitable t
+ick labels; missing features). Consider writing \pgfplotsset{compat=1.16} into
+your preamble.
+ on input line 11.
+
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OT1+txr on input line 2
+6.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/ot1txr.fd
+File: ot1txr.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txmia on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxmia.fd
+File: utxmia.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txsya on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsya.fd
+File: utxsya.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txsyb on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyb.fd
+File: utxsyb.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txsyc on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyc.fd
+File: utxsyc.fd 2000/12/15 v3.1
+) [1
+
+] (./polynom1.aux)
+
+LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
+
+ )
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 25076 strings out of 492483
+ 634297 string characters out of 6132858
+ 794987 words of memory out of 5000000
+ 29148 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 13575 words of font info for 45 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 68i,6n,98p,840b,724s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on polynom1.pdf (1 page).
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.pdf b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1f632d8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.synctex.gz b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.synctex.gz
new file mode 100644
index 0000000..578f2a3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.synctex.gz
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.tex
new file mode 100644
index 0000000..db83daa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+% polynome1
+%-------------------
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\newcommand{\teiler}{40}
+\begin{document}
+ %Übertragen von den Zahlen
+ %\textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}
+ %als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline
+ %Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8},
+ % \textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
+ % \textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60},
+ % \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+\draw[color=blue, line width=1.4pt]
+plot[domain=0:8, samples=100]
+ ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler});
+\draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}];
+\def\punkt#1{
+ \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08];
+ \draw #1 circle[radius=0.07];
+}
+\punkt{(1,8/\teiler)}
+\punkt{(2,15/\teiler)}
+\punkt{(3,26/\teiler)}
+\punkt{(4,41/\teiler)}
+\punkt{(5,60/\teiler)}
+\punkt{(6,83/\teiler)}
+\punkt{(7,110/\teiler)}
+%\draw[color=gray,line width=1pt,dashed]
+%plot[domain=0.5:7, samples=100]
+%({\x},{(0.1958*\x^2-1.2875*\x+3.0417)});
+%\def\erpunkt#1{
+% \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08];
+% \draw #1 circle[radius=0.07];
+%}
+%\erpunkt{(2,50/\teiler)}
+%\erpunkt{(3,0.9414)}
+%\punkt{(4,41/\teiler)}
+%\punkt{(5,60/\teiler)}
+
+\draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}];
+\draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}];
+
+
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.aux b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.aux
new file mode 100644
index 0000000..f23e546
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.aux
@@ -0,0 +1 @@
+\relax
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.log
new file mode 100644
index 0000000..169203e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.log
@@ -0,0 +1,747 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25) 21 APR 2021 12:28
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**polynom2.tex
+(./polynom2.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cls
+Document Class: standalone 2018/03/26 v1.3a Class to compile TeX sub-files stan
+dalone
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/shellesc.sty
+Package: shellesc 2016/06/07 v0.02b unified shell escape interface for LaTeX
+Package shellesc Info: Restricted shell escape enabled on input line 72.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty
+Package: xkeyval 2014/12/03 v2.7a package option processing (HA)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkeyval.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkvutils.tex
+\XKV@toks=\toks14
+\XKV@tempa@toks=\toks15
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/keyval.tex))
+\XKV@depth=\count80
+File: xkeyval.tex 2014/12/03 v2.7a key=value parser (HA)
+))
+\sa@internal=\count81
+\c@sapage=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cfg
+File: standalone.cfg 2018/03/26 v1.3a Default configuration file for 'standalon
+e' class
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+Document Class: article 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX document class
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo
+File: size10.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count83
+\c@section=\count84
+\c@subsection=\count85
+\c@subsubsection=\count86
+\c@paragraph=\count87
+\c@subparagraph=\count88
+\c@figure=\count89
+\c@table=\count90
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen103
+\pgfutil@tempdimb=\dimen104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box27
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen105
+\Gin@req@width=\dimen106
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen107
+\pgf@y=\dimen108
+\pgf@xa=\dimen109
+\pgf@ya=\dimen110
+\pgf@xb=\dimen111
+\pgf@yb=\dimen112
+\pgf@xc=\dimen113
+\pgf@yc=\dimen114
+\pgf@xd=\dimen115
+\pgf@yd=\dimen116
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count91
+\c@pgf@countb=\count92
+\c@pgf@countc=\count93
+\c@pgf@countd=\count94
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count95
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count96
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count97
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count98
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen117
+\pgfmath@count=\count99
+\pgfmath@box=\box28
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count100
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen118
+\pgf@picmaxx=\dimen119
+\pgf@picminy=\dimen120
+\pgf@picmaxy=\dimen121
+\pgf@pathminx=\dimen122
+\pgf@pathmaxx=\dimen123
+\pgf@pathminy=\dimen124
+\pgf@pathmaxy=\dimen125
+\pgf@xx=\dimen126
+\pgf@xy=\dimen127
+\pgf@yx=\dimen128
+\pgf@yy=\dimen129
+\pgf@zx=\dimen130
+\pgf@zy=\dimen131
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen132
+\pgf@path@lasty=\dimen133
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen134
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen135
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box29
+\pgf@hbox=\box30
+\pgf@layerbox@main=\box31
+\pgf@picture@serial@count=\count101
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen136
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen137
+\pgf@pt@y=\dimen138
+\pgf@pt@temp=\dimen139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen140
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen141
+\pgf@sys@shading@range@num=\count102
+\pgf@shadingcount=\count103
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box32
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.te
+x
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box33
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen142
+\pgf@nodesepend=\dimen143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen144
+\pgffor@skip=\dimen145
+\pgffor@stack=\toks26
+\pgffor@toks=\toks27
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count104
+\pgfplotmarksize=\dimen146
+)
+\tikz@lastx=\dimen147
+\tikz@lasty=\dimen148
+\tikz@lastxsaved=\dimen149
+\tikz@lastysaved=\dimen150
+\tikz@lastmovetox=\dimen151
+\tikz@lastmovetoy=\dimen152
+\tikzleveldistance=\dimen153
+\tikzsiblingdistance=\dimen154
+\tikz@figbox=\box34
+\tikz@figbox@bg=\box35
+\tikz@tempbox=\box36
+\tikz@tempbox@bg=\box37
+\tikztreelevel=\count105
+\tikznumberofchildren=\count106
+\tikznumberofcurrentchild=\count107
+\tikz@fig@count=\count108
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count109
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count110
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count111
+)
+\tikz@expandcount=\count112
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+\sa@box=\box38
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks28
+\ex@=\dimen155
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count113
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count114
+\leftroot@=\count115
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count116
+\DOTSCASE@=\count117
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box39
+\strutbox@=\box40
+\big@size=\dimen157
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count118
+\c@MaxMatrixCols=\count119
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count120
+\dspbrk@lvl=\count121
+\tag@help=\toks29
+\row@=\count122
+\column@=\count123
+\maxfields@=\count124
+\andhelp@=\toks30
+\eqnshift@=\dimen158
+\alignsep@=\dimen159
+\tagshift@=\dimen160
+\tagwidth@=\dimen161
+\totwidth@=\dimen162
+\lineht@=\dimen163
+\@envbody=\toks31
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks32
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/psnfss/times.sty
+Package: times 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a (SPQR)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/txfonts.sty
+Package: txfonts 2008/01/22 v3.2.1
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `operators' on input line 21.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font) OT1/txr/m/n --> OT1/txr/bx/n on input line 22.
+\symitalic=\mathgroup4
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `italic' in version `bold'
+(Font) OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 26.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 29.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathit on input line 30.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font) OT1/cmr/m/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/cmr/bx/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font) OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 31.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 40.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font) OT1/cmss/m/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/cmss/bx/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font) OT1/txss/m/n --> OT1/txss/b/n on input line 41.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 50.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font) OT1/txtt/m/n --> OT1/txtt/b/n on input line 51.
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `letters' on input line 58.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font) OML/cmm/m/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font) OML/cmm/b/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font) OML/txmi/m/it --> OML/txmi/bx/it on input line 59.
+\symlettersA=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold'
+(Font) U/txmia/m/it --> U/txmia/bx/it on input line 67.
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `symbols' on input line 77.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font) OMS/txsy/m/n --> OMS/txsy/bx/n on input line 78.
+\symAMSa=\mathgroup6
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold'
+(Font) U/txsya/m/n --> U/txsya/bx/n on input line 94.
+\symAMSb=\mathgroup7
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold'
+(Font) U/txsyb/m/n --> U/txsyb/bx/n on input line 103.
+\symsymbolsC=\mathgroup8
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold'
+(Font) U/txsyc/m/n --> U/txsyc/bx/n on input line 113.
+LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 120.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font) OMX/txex/m/n --> OMX/txex/bx/n on input line 121.
+\symlargesymbolsA=\mathgroup9
+LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold'
+(Font) U/txexa/m/n --> U/txexa/bx/n on input line 129.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \mathsterling on input line 164.
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 591.
+LaTeX Info: Redefining \not on input line 1043.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgfplots/pgfplots.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.revision.tex)
+Package: pgfplots 2018/03/28 v1.16 Data Visualization (1.16)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscore.code.tex
+\t@pgfplots@toka=\toks33
+\t@pgfplots@tokb=\toks34
+\t@pgfplots@tokc=\toks35
+\pgfplots@tmpa=\dimen164
+\c@pgfplots@coordindex=\count125
+\c@pgfplots@scanlineindex=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgfplotssysgeneric.code.te
+x))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgfplotslibrary.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/oldpgfcompatib/pgfplotsoldpgfs
+upp_loader.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+cture.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+ctureext.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsarray.co
+de.tex
+\c@pgfplotsarray@tmp=\count127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsmatrix.c
+ode.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/numtable/pgfplotstableshared.c
+ode.tex
+\c@pgfplotstable@counta=\count128
+\t@pgfplotstable@a=\toks36
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsdeque.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.data.code.
+tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.verb.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgflibrarypgfplots.surfsh
+ading.code.tex
+\c@pgfplotslibrarysurf@no=\count129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-xetex.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-dvipdfmx.def
+\c@pgfplotslibrarysurf@streamlen=\count130
+))))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolormap.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolor.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsstackedplots.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsplothandlers.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplothandler.code.t
+ex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplotimage.code.tex
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.scaling.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscoordprocessing.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.errorbars.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.markers.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsticks.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.paths.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.t
+ex
+\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen165
+\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen166
+\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen167
+\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen168
+\pgf@decorate@distancetomove=\dimen169
+\pgf@decorate@repeatstate=\count131
+\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen170
+\pgfdecorationsegmentlength=\dimen171
+)
+\tikz@lib@dec@box=\box41
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathmorphing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathmorphing.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathreplacing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathreplacing.code.tex))
+\pgfplots@numplots=\count132
+\pgfplots@xmin@reg=\dimen172
+\pgfplots@xmax@reg=\dimen173
+\pgfplots@ymin@reg=\dimen174
+\pgfplots@ymax@reg=\dimen175
+\pgfplots@zmin@reg=\dimen176
+\pgfplots@zmax@reg=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryplotmarks.code.tex
+File: tikzlibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.
+tex
+File: pgflibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/csvsimple/csvsimple.sty
+Package: csvsimple 2019/04/09 version 1.21 LaTeX CSV file processing
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2014/09/29 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count133
+)
+\csv@file=\read2
+\c@csvinputline=\count134
+\c@csvrow=\count135
+\c@csvcol=\count136
+\csv@out=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryarrows.code.tex
+File: tikzlibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+File: pgflibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\arrowsize=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryintersections.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.c
+ode.tex
+\pgf@intersect@solutions=\count137
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarymath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryfpu.code.tex)
+\tikz@math@for@depth=\count138
+\tikz@math@dimen=\dimen179
+\tikz@math@toks=\toks37
+) (./polynom2.aux)
+\openout1 = `polynom2.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/txmi/m/it on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OML+txmi on input line
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omltxmi.fd
+File: omltxmi.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/txsy/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMS+txsy on input line
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omstxsy.fd
+File: omstxsy.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/txex/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OMX+txex on input line
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omxtxex.fd
+File: omxtxex.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/txexa/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txexa on input line 1
+1.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxexa.fd
+File: utxexa.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for TU+txr on input line 11
+.
+LaTeX Font Info: No file TUtxr.fd. on input line 11.
+
+
+LaTeX Font Warning: Font shape `TU/txr/m/n' undefined
+(Font) using `TU/lmr/m/n' instead on input line 11.
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+
+Package pgfplots Warning: running in backwards compatibility mode (unsuitable t
+ick labels; missing features). Consider writing \pgfplotsset{compat=1.16} into
+your preamble.
+ on input line 11.
+
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for OT1+txr on input line 2
+6.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/ot1txr.fd
+File: ot1txr.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txmia on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxmia.fd
+File: utxmia.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txsya on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsya.fd
+File: utxsya.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txsyb on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyb.fd
+File: utxsyb.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+txsyc on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyc.fd
+File: utxsyc.fd 2000/12/15 v3.1
+) [1
+
+] (./polynom2.aux)
+
+LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
+
+ )
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 25292 strings out of 492483
+ 638772 string characters out of 6132858
+ 794987 words of memory out of 5000000
+ 29364 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 13575 words of font info for 45 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 68i,6n,98p,840b,724s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on polynom2.pdf (1 page).
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..05f4ba0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.synctex.gz b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.synctex.gz
new file mode 100644
index 0000000..24859aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.synctex.gz
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.tex
new file mode 100644
index 0000000..aa792ce
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+% polynome2
+%-------------------
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\newcommand{\teiler}{40}
+\begin{document}
+ %Übertragen von den Zahlen
+ %\textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}
+ %als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline
+ %Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8},
+ % \textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
+ % \textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60},
+ % \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+
+
+ \begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+ \draw[color=blue, line width=1.4pt]
+ plot[domain=0:8, samples=100]
+ ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler});
+ \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}];
+ \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}];
+ \def\punkt#1{
+ \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08];
+ \draw #1 circle[radius=0.07];
+ }
+ \punkt{(1,8/\teiler)}
+ %\punkt{(2,15/\teiler)}
+ %\punkt{(3,26/\teiler)}
+ \punkt{(4,41/\teiler)}
+ \punkt{(5,60/\teiler)}
+ \punkt{(6,83/\teiler)}
+ \punkt{(7,110/\teiler)}
+ \draw[color=gray,line width=1pt,dashed]
+ plot[domain=0.5:7, samples=100]
+ ({\x},{(0.1958*\x^2-1.2875*\x+3.0417)});
+ \def\erpunkt#1{
+ \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08];
+ \draw #1 circle[radius=0.07];
+ }
+ \erpunkt{(2,50/\teiler)}
+ \erpunkt{(3,0.9414)}
+
+
+ \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}];
+ \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}];
+
+
+
+
+ \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
new file mode 100644
index 0000000..262297e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Codierung eines Beispiels
+\label{reedsolomon:section:codebsp}}
+\rhead{Koerper Festlegen}
+
+Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten.
+Da wir in Endlichen Körpern Rechnen werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die \textcolor{red}{Definition 4.6 (wie verweist man auf eine definition?)} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen.
+Wir legen für unser Beispiel den endlichen Körper mit $q = 11$ fest.
+Zur Hilfestellung können dazu die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und
+\ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten sämtliche Resultate aller gültigen Operationen \textcolor{red}{(Notiz: nach meinem Wissen gibt es ja nur addition und multiplikation als gültige operationen)}, die in diesem Körper durchgeführt werden können.
+Aus der Definition der Endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folgt, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur verfügung stehen und somit $11 = 0$ gelten muss.
+
+% OLD TEXT
+%Alle folgenden Berechnungen wurden mit den beiden Restetabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und \ref{reedsolomon:subsection:mptab} durchgeführt.
+%Aus den Tabellen folgt auch, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur Verfügung stehen.
+
+% die beiden Restetabellen von F_11
+%\input{papers/reedsolomon/restetabelle1}
+%\input{papers/reedsolomon/restetabelle2}
+
+Anhand der Menge uns zur Verfügung stehenden Zahlen wird auch festgelegt, wie viele Zahlen ein Nachrichtenblock $n$, bestehend aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil, umfassen kann.
+Der Nachrichtenblock im Beispiel besteht aus
+\[
+n = q - 1 = 10 \text{ Zahlen},
+\]
+wobei die null weggelassen wird. Wenn wir versuchen würden, mit der null zu codieren, so stellen wir fest, dass wir wieder null an der gleichen Stelle erhalten und somit wäre die Codierung nicht eindeutig.
+
+% Notes
+%Da bei allen Codes, die codiert werden wird an der gleichen Stelle eine Nullstelle auftreten.
+
+% Old Text
+%Die grösse des endlichen Körpers legt auch fest, wie gross unsere Nachricht $n$ bestehend aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil sein kann und beträgt in unserem Beispiel
+%\[
+%n = q - 1 = 10 \text{ Zahlen}.
+%\]
+
+Im nächsten Schritt bestimmen wir, wie viele Fehler $t$ maximal während der Übertragung auftreten dürfen, damit wir sie noch korrigieren können.
+Unser Beispielcode sollte in der Lage sein
+\[
+t = 2
+\]
+Fehlerstellen korrigieren zu können.
+
+Die Grösse des Nutzdatenteils hängt von der Grösse des Nachrichtenblocks sowie der Anzahl der Fehlerkorrekturstellen ab. Je robuster der Code sein muss, desto weniger Platz für Nutzdaten $k$ bleibt in der Nachricht übrig.
+Bei maximal 2 Fehler können wir noch
+\[
+k = n - 2t = 6\text{ Zahlen}
+\]
+übertragen.
+
+Zusammenfassend haben wir einen Nachrichtenblock mit der Länge von 10 Zahlen definiert, der 6 Zahlen als Nutzlast beinhaltet und in der Lage ist aus 2 fehlerhafte Stellen im Block die ursprünglichen Nutzdaten zu rekonstruieren. Zudem werden wir im weiteren feststellen, dass dieser Code maximal vier Fehlerstellen erkennen, diese aber nicht rekonstruieren kann.
+
+Wir legen nun die Nachricht
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+fest, die wir gerne an einen Empfänger übertragen möchten, wobei die vorderen vier Stellen für die Fehlerkorrektur zuständig sind.
+Solange diese Stellen vor dem Codieren und nach dem Decodieren den Wert null haben, so ist die Nachricht Fehlerfrei übertragen worden.
+
+Da wir in den folgenden Abschnitten mit Polynomen arbeiten, stellen wir die Nachicht auch noch als Polynom
+\[
+m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1
+\]
+dar.
+
+% Old Text
+%Die Nachricht können wir auch als Polynom
+%\[
+%m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1
+%\]
+%darstellen.
+
+\subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation
+ \label{reedsolomon:subsection:diskFT}}
+
+In einem vorherigen Kapitel \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert.
+Wir legen deshalb die Zahl $a$ fest. Diese Zahl soll die gleichen aufgaben haben, wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der Diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ existiert. Dazu soll $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken, um
+\[
+\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+\]
+in
+\[
+\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}.
+\]
+umzuschreiben.
+% Old Text
+%Wir suchen also eine Zahl $a$, die in endlichen Körpern existiert und den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken kann.
+%Dazu schreiben wir
+%\[
+%\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+%\]
+%um in
+%\[
+%\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}.
+%\]
+%
+%Wenn wir alle möglichen Werte für $a$ einsetzen, also
+%\begin{align}
+%a = 0 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\} \\
+%a = 1 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\} \\
+%a = 2 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\} \\
+%a = 3 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\} \\
+%a = 4 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\} \\
+%a = 5 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\} \\
+%a = 6 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\} \\
+%a = 7 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\} \\
+%a = 8 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\} \\
+%a = 9 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\} \\
+%a = 10 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}
+%\end{align}
+
+\subsubsection{Die primitiven Einheitswurzeln
+ \label{reedsolomon:subsection:primsqrt}}
+
+Wenn wir jetzt sämtliche Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ in $a$ einsetzen
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c r c l}
+%$a = 0 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\}$ \\
+$a = 1 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ \\
+$a = 2 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\}$ \\
+$a = 3 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\}$ \\
+$a = 4 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\}$ \\
+$a = 5 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\}$ \\
+$a = 6 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\}$ \\
+$a = 7 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ \\
+$a = 8 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ \\
+$a = 9 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ \\
+$a = 10 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$
+\end{tabular}
+\end{center}
+so fällt uns auf, dass für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em Primitive Einheitswurzel \em genannt.
+Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere Endliche Körper an, so werden wir sehen, dass wir immer mindestens zwei solcher Einheitswurzel finden werden. Somit ist es uns überlassen, eine dieser Einheitswurzeln auszuwählen, mit der wir weiter rechnen wollen. Für das Beispiel wählen wir die Zahl $a^i = 8$.
+
+\subsubsection{Bildung einer Transformationsmatrix
+ \label{reedsolomon:subsection:transMat}}
+
+Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben ergibt sich daraus
+%
+%Damit wir unsere Nachricht codieren können, müssen wir $8^i$ in $m(X)$ einsetzen.
+%
+\begin{center}
+ \begin{tabular}{c}
+ $m(8^0) = 4 \cdot 1^5 + 7 \cdot 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1^1 + 1 = 5$ \\
+ $m(8^1) = 4 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^4 + 2 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 8 \cdot 8^1 + 1 = 3$ \\
+ \vdots \\
+ $m(8^9) = 4 \cdot 7^5 + 7 \cdot 7^4 + 2 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 8 \cdot 7^1 + 1 = 4$
+ \end{tabular}
+\end{center}
+unser Übertragungsvektor. Um das ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen und bildet so unsere Transformationsmatrix $A$.
+
+\subsection{Allgemeine Codierung
+ \label{reedsolomon:subsection:algCod}}
+
+Für die Codierung benötigen wir die Nachricht $m$, die Codiert werden soll sowie die Transformationsmatrix $A$. Daraus erhalten wir den Übertragungsvektor $v$. Setzen wir die Zahlen aus dem Beispiel ein erhalten wir folgende Darstellung.
+\[
+v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad v = \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ 8^0& 8^3& 8^6& 8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ 8^0& 8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ 1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Für unseren Übertragungsvektor resultiert
+\[
+v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4],
+\]
+den wir jetzt über einen beliebigen Nachrichtenkanal versenden können.
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
new file mode 100644
index 0000000..feaa027
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
@@ -0,0 +1,312 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Decodierung: Ansatz mit Fehlerkorrektur
+\label{reedsolomon:section:decmitfehler}}
+\rhead{fehlerhafte rekonstruktion}
+Bisher haben wir die Decodierung unter der Bedingung durchgeführt, dass der Übertragungsvektor fehlerlos versendet und empfangen wurde.
+In der realen Welt müssen wir uns jedoch damit abfinden, dass kein Übertragungskanal garantiert fehlerfrei ist und das wir früher oder später mit Fehlern rechnen müssen.
+Genau für dieses Problem wurden Fehler korrigierende Codes, wie der Reed-Solomon-Code, entwickelt.
+In diesem Abschnitt betrachten wir somit die Idee der Fehlerkorrektur und wie wir diese auf unser Beispiel anwenden können.
+Der Übertragungskanal im Beispiel weisst jetzt den Fehlervektor
+\[
+u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0]
+\]
+auf.
+
+Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten
+\begin{center}
+
+ \begin{tabular}{c | c r }
+ $v$ & & $[5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$\\
+ $u$ & $+$ & $[0,0,0,3,0,0,0,0,2,0]$\\
+ \hline
+ $w$ & & $[5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$\\
+ \end{tabular}
+
+ % alternative design
+ %\begin{tabular}{c | c cccccccccccc }
+ % $v$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$5,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$10,$&$4$&$]$\\
+ % $u$ & $+$ & $[$&$0,$&$0,$&$0,$&$3,$&$0,$&$0,$&$0,$&$0,$&$2,$&$0$&$]$\\
+ % \hline
+ % $w$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$8,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$1,$&$4$&$]$\\
+ %\end{tabular}
+
+\end{center}
+als neuen, fehlerbehafteten Übertragungsvektor $w$ auf der Empfängerseite.
+% Old Text
+%In diesem Abschnitt gehen wir genauer darauf ein, wie der Reed-Solomon-Code eine solche Feherkorrektur vornimt.
+%
+%In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem, dass während der Übertragung des Übertragungsvektors von unserem Beispiel
+%
+%
+%Zu diesem Zweck wurden Fehler korrigierende Codes entwickelt.
+%
+%Dieser Optimalfall kann jedoch mit keinem Übertragungskanal garantiert werden
+%
+%
+%Im zweiten Teil zur Decodierung betrachten wir den Fall, dass unser Übertragungskanal nicht fehlerfrei ist.
+%Wir legen daher den Fehlervektor
+%\[
+%u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0]
+%\]
+%fest, den wir zu unserem Übertragungsvektor als Fehler dazu addieren und somit
+%
+%\begin{center}
+%
+%\begin{tabular}{c | c r }
+% $v$ & & $[5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$\\
+% $u$ & $+$ & $[0,0,0,3,0,0,0,0,2,0]$\\
+% \hline
+% $w$ & & $[5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$\\
+%\end{tabular}
+%
+%% alternative design
+%%\begin{tabular}{c | c cccccccccccc }
+%% $v$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$5,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$10,$&$4$&$]$\\
+%% $u$ & $+$ & $[$&$0,$&$0,$&$0,$&$3,$&$0,$&$0,$&$0,$&$0,$&$2,$&$0$&$]$\\
+%% \hline
+%% $w$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$8,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$1,$&$4$&$]$\\
+%%\end{tabular}
+%
+%\end{center}
+%als Übertragungsvektor auf der Empfängerseite erhalten.
+Wir jetzt als Empfänger wissen jedoch nicht, dass der erhaltene Übertragungsvektor jetzt fehlerbehaftet ist und werden dementsprechend den Ansatz aus Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} anwenden.
+Wir stellen jedoch recht schnell fest, dass am decodierten Nachrichtenblock
+\[
+r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{\text{Syndrom}}5,4,5,7,6,7].
+\]
+etwas nicht in Ordnung ist, denn die vorderen vier Fehlerkorrekturstellen haben nicht mehr den Wert null.
+Der Nachrichtenblock weisst jetzt ein \em Syndrom \em auf, welches anzeigt, dass der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen wurde.
+% Old Text
+%Wenn wir den Übertragungsvektor jetzt Rücktransformieren wie im vorherigen Kapitel erhalten wir
+%\[
+%r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7].
+%\]
+Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie wir daraus den ursprünglich gesendeten Nachrichtenvektor zurückerhalten sollen. Laut der Definition über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes können wir aus den Fehlerkorrekturstellen ein ``Lokatorpolynom'' berechnen, welches die Information enthält, welche stellen innerhalb des empfangenen Übertragungsvektors fehlerhaft sind.
+
+\subsection{Das Fehlerstellenpolynom $d(X)$
+ \label{reedsolomon:subsection:fehlerpolynom}}
+Bevor wir unser Lokatorpolynom berechnen können, müssen wir zuerst eine Möglichkeit finden, die Fehlerhaften von den Korrekten Stellen im Übertragungsvektor unterscheiden zu können. In einem ersten Versuch könnten wir $d$ berechnen mit
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r c l}
+ $m(X)$ & $=$ & $4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$ \\
+ $r(X)$ & $=$ & $5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$ \\
+ $d(X)$ & $=$ & $r(X) - m(X)$.
+\end{tabular}
+\end{center}
+Dies wird uns zwar andere sorgen wegen $m(X)$ bereiten, wir werden werden deshalb erst in Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} darauf zurückkommen.
+
+Setzen wir jetzt noch unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir
+% Old Text
+%\begin{align}
+% m(X) & = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1 \\
+% r(X) & = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7 \\
+% e(X) & = r(X) - m(X).
+%\end{align}
+%Setzen wir jetzt unsere Einheitswurzel für $X$ ein, so erhalten wir
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+ \hline
+ $i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+ \hline
+ $r(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$\\
+ $m(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$\\
+ $d(a^{i})$& $0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$\\
+ \hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+und damit die Information, dass allen Stellen, die nicht Null sind, Fehler enthalten.
+Aus der Tabelle lesen wir, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind.
+
+Für das einfache Bestimmen von Hand mag dies ja noch ausreichen, jedoch können wir mit diesen Stellen nicht das Lokatorpolynom bestimmen, denn dafür bräuchten wir alle Nullstellen, an denen es Fehler gegeben hat (also sozusagen genau das umgekehrte). Um dies zu erreichen wenden wir eine andere Herangehensweise und nehmen uns den Satz von Fermat sowie den kleinsten gemeinsamen Teiler zur Hilfe.
+
+\subsection{Mit dem grössten gemeinsamen Teiler auf Nullstellenjagd
+\label{reedsolomon:subsection:ggT}}
+
+Zuerst betrachten wir mal den Satz von Fermat deren Funktionsweise wir in Abschnitt \ref{buch:section:galoiskoerper} kennengelernt haben. Der besagt, dass für
+\[
+f(X) = X^{q-1} -1 = 0
+\]
+wobei dies für jedes $q$ gilt. Setzen wir also das $q$ von unserem Beispiel ein
+\[
+f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+\]
+und stellen dies als Nullstellenform (\textcolor{red}{richtiger name für die Schreibweise?}) dar. So ergibt sich die Darstellung
+\[
+f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9).
+\]
+Zur Überprüfung können wir unsere Einheitswurzel in $a$ einsetzen und werden sehen, dass wir für $f(X) = 0$ erhalten werden.
+
+Wir können jetzt auch $d(X)$ nach der gleichen Überlegung darstellen als
+\[
+d(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)\textcolor{gray!40}{(X-a^3)}(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)\textcolor{gray!40}{(X-a^8)}(X-a^9) \cdot p(x),
+\]
+wobei diese Darstellung nicht mehr alle Nullstellen umfasst wie es noch in $f(X)$ der Fall war.
+Dies liegt daran, dass wir ja zwei Fehlerstellen (grau markiert) haben, die nicht Null sind. Diese fassen wir zum Restpolynom $p(X)$ (\textcolor{red}{eventuell farblich kennzeichnen?}) zusammen.
+Wenn wir jetzt den grössten gemeinsamen Teiler von $f(X)$ und $d(X)$ berechnen, so erhalten wir mit
+\[
+\operatorname{ggT}(f(X),d(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)\textcolor{gray!40}{(X-a^3)}(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)\textcolor{gray!40}{(X-a^8)}(X-a^9)
+\]
+eine Liste von Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat.
+Dies scheint zuerst nicht sehr hilfreich zu sein, da wir für das Lokatorpolynom ja eine Liste der Nullstellen suchen, an denen es Fehler gegeben hat. Aus diesem Grund berechnen wir im nächsten Schritt das kleinste gemeinsame Vielfache von $f(X)$ und $d(X)$.
+
+%Wir werden auch feststellen, das unsere Bemühungen bisher nicht umsonst waren.
+
+\subsection{Mit dem kgV fehlerhafte Nullstellen finden
+ \label{reedsolomon:subsection:kgV}}
+
+Das kgV hat nämlich die Eigenschaft sämtliche Nullstellen zu finden, also nicht nur die fehlerhaften sondern auch die korrekten, was in
+\[
+\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X).
+\]
+ersichtlich ist.
+Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir auch, dass $d(X)$ alle korrekten Nullstellen beinhaltet. Teilen wir das kgV jetzt auf in
+\[
+\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = d(X) \cdot l(X)
+\]
+sollten wir für $l(X)$ eine Liste mit allen fehlerhaften Nullstellen erhalten.
+Somit ist
+\[
+l(X) = (X-a^3)(X-a^8)
+\]
+unser gesuchtes Lokatorpolynom.
+Es scheint so als müssten wir nur noch an den besagten Stellen den Übertragungsvektor korrigieren und wir währen fertig mit der Fehlerkorrektur.
+Jedoch haben wir noch ein grundlegendes Problem, dass zu beginn aufgetaucht ist, wir aber beiseite geschoben haben. Die Rede ist natürlich vom Nachrichtenvektor $m(X)$, mit dem wir in erster Linie das wichtige Fehlerstellenpolynom $d(X)$ berechnet haben.
+
+\subsection{Der problematische Nachrichtenvektor $m(X)$
+ \label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}}
+
+In Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decmitfehler} haben wir
+\[
+d(X) = r(X) - m(X)
+\]
+in Abhängigkeit von $m(X)$ berechnet.
+Jedoch haben wir ausser acht gelassen, dass $m(X)$ auf der Empfängerseite nicht existiert und somit gänzlich unbekannt ist.
+Es scheint so als würde dieser Lösungsansatz, den wir bisher verfolgt haben, nicht funktioniert.
+Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Nachrichtenvektor im Beispiel wissen. Wenn wir noch einmal den Vektor betrachten als
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten 2t (im Beispiel vier) stellen.
+Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert null betragen und somit sind nur die letzten k stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als
+\[
+m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?].
+\]
+Wie der Zufall es so will liegt an diesen vier Stellen auch die Information, wo die Fehlerstellen liegen. Daher reicht es auch aus
+% darum werden die stellen auch als fehlerkorrekturstellen bezeichnet
+\[
+d(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)
+\]
+so zu berechnen, dass wir die wichtigen vier Stellen kennen, der Rest des Polynoms jedoch im unbekannten Restpolynom $p(X)$ enthalten ist.
+
+\textcolor{red}{ist das wechseln zwischen 2t,k aus dem allgemeinfall und vier,sechs aus dem beispiel zu verwirrend?}
+
+\subsection{Die Berechnung der Fehlerstellen
+ \label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}}
+
+Um die Fehlerstellen zu berechnen wenden wir die gleiche Vorgehensweise wie zuvor an, also zuerst den ggT, danach berechnen wir das kgV um am Ende das Lokatorpolynom zu erhalten.
+
+\subsubsection{Schritt 1: ggT}
+
+Wir berechnen den ggT von $f(X)$ und $d(X)$ mit
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r c l}
+ $f(X)$ & $=$ & $X^{10} - 1 = X^{10} + 10$ \\
+ $d(X)$ & $=$ & $5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$
+\end{tabular}
+\end{center}
+%
+%
+%
+%Das einzige Problem was jetzt noch bleibt ist, dass wir $e(X)$ berechnet haben aus
+%\[
+%e(X) = r(X) - m(X),
+%\]
+%wobei $m(X)$ auf der Empfängerseite unbekannt ist.
+%Es sieht danach aus, das wir diesen Lösungsansatz nicht verwenden können, da uns ein entscheidender Teil fehlt.
+%Bei einer näheren Betrachtung von $m(X)$ fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über $m(X)$ wissen.
+%Wir kennen nämlich die ersten vier Stellen, da diese für die Fehlerkorrektur zuständig sind und daher Null sein müssen.
+%\[
+%m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]
+%\]
+%An genau diesen Stellen liegt auch die Information, wo unsere Fehlerstellen liegen, was uns ermöglicht, den Teil von $e(X)$ zu berechnen, der uns auch interessiert.
+%
+%Wir können $e(X)$ also bestimmen als
+%\[
+%e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)
+%\]
+%wobei $p(X)$ wiederum ein unbekanntes Restpolynom ist und
+%\[
+%f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10
+%\]
+%ist können wir so in einer ersten Instanz den grössten gemeinsamen Teiler von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen.
+%Dafür nehmen wir uns wiederum den Euklidischen Algorithmus zur Hilfe und berechnen so
+%
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+ X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-9}
+ && 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ && 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\ \cline{3-9}
+ & & & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+\end{array}
+\]
+
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ 5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+ 5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5}
+ && 7X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\end{array}
+\]
+und erhalten
+\[
+\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8.
+\]
+
+\subsubsection{Schritt 2: kgV}
+
+Mit dem Resultat das wir vom ggT erhalten haben können wir jetzt das kgV berechnen. Dazu können wir jetzt den erweiterten Euklidischen Algorithmus verwenden, den wir in Abschnitt \ref{buch:subsection:daskgv} kennengelernt haben.
+%
+%Mit den Resultaten, die wir vom Rechenweg des grössten gemeinsamen Teiler erhalten haben können wir jetzt auch das kleinste Gemeinsame Vielfache berechnen. Eine detailliertere Vorgehensweise findet man in Kapitel ???.
+%
+%Aus diesem erweiterten Euklidischen Algorithmus erhalten wir
+\begin{center}
+
+ \begin{tabular}{| c | c | c c |}
+ \hline
+ $k$ & $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+ \hline
+ & & $0$& $1$\\
+ $0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+ $1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+ $2$& & \textcolor{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+
+\end{center}
+Daraus erhalten wir die Faktoren
+\[
+l(X) = 2X^2 + 5 \qquad \rightarrow \qquad l(X) = 2(X-5)(X-6).
+\]
+Unser gesuchtes Lokatorpolynom hat also die Form
+\[
+l(X) = (X-a^i)(X-a^j).
+\]
+Also brauchen wir nur noch $i$ und $j$ zu berechnen und wir haben unsere gesuchten Fehlerstellen.
+Diese bekommen wir recht einfach mit
+\begin{center}
+ $a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+
+ $a^j = 6 \qquad \Rightarrow \qquad j = 8$.
+\end{center}
+Schlussendlich erhalten wir
+\[
+d(X) = (X-a^3)(X-a^8)
+\]
+als unser Lokatorpolynom mit den fehlerhaften Stellen.
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b709f3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -0,0 +1,116 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler
+\label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
+\rhead{fehlerlose rekonstruktion}
+
+In diesem Abschnitt betrachten wie die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+
+Der Übertragungsvektor empfangen wir also als
+\[
+v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
+\]
+% Old Text
+%Im ersten Teil zur Decodierung des Übertragungsvektor betrachten wir den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+%Wir erhalten also unseren Übertragungsvektor
+%\[
+%v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
+%\]
+Nach einem banalen Ansatz ist die Decodierung die Inverse der Codierung. Dank der Matrixschreibweise lässt sich dies relativ einfach umsetzen.
+% Old Text
+%Gesucht ist nun einen Weg, mit dem wir auf unseren Nachrichtenvektor zurückrechnen können.
+%Ein banaler Ansatz ist das Invertieren der Glechung
+\[
+v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v
+\]
+Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir die Inverse von $A$ berechnen.
+Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen,
+jedoch betrachten wir jetzt deren Inverse.
+Definiert ist sie als
+\[
+F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
+\]
+Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:algdec} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$.
+\[
+8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}
+\]
+Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+
+% Old Text
+%Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+
+\subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel
+\label{reedsolomon:subsection:invEinh}}
+
+Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
+Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$).
+Daraus erhalten wir
+
+\begin{center}
+
+\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+ \hline
+ $k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+ \hline
+ & & & & $1$& $0$\\
+ $0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+ $1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+ $2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+ $3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+ $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor{blue}{$-4$}& \textcolor{red}{$3$}\\
+ $5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+ \hline
+\end{tabular}
+
+\end{center}
+\begin{center}
+
+\begin{tabular}{rcl}
+ $\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+ $7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+ $8^{-1}$ &$=$& $7$
+
+\end{tabular}
+
+\end{center}
+als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen.
+
+\subsection{Allgemeine Decodierung
+ \label{reedsolomon:subsection:algdec}}
+
+Wir haben jetzt fast alles für eine erfolgreiche Rücktransformation beisammen. Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor
+\[
+m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v
+\]
+den wir noch bestimmen müssen.
+Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt
+\[
+s = \frac{1}{10}.
+\]
+Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
+\[
+m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+ 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\
+ 7^0& 7^1& 7^2& 7^3& 7^4& 7^5& 7^6& 7^7& 7^8& 7^9\\
+ 7^0& 7^2& 7^4& 7^6& 7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+ 7^0& 7^3& 7^6& 7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+ 7^0& 7^4& 7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+ 7^0& 7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+ 7^0& 7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+ 7^0& 7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+ 7^0& 7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+ 7^0& 7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+und wir erhalten
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+als unsere Nachricht zurück. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
new file mode 100644
index 0000000..146067a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
@@ -0,0 +1,23 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern
+\label{reedsolomon:section:endlichekoerper}}
+\rhead{Problemstellung}
+
+\textcolor{red}{TODO: (warten auf den 1. Teil)}
+
+Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile:
+
+\begin{itemize}
+ \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten.
+
+ \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen.
+
+\end{itemize}
+
+Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen.
+
+Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind.
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m b/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m
new file mode 100644
index 0000000..6bdc741
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m
@@ -0,0 +1,61 @@
+#
+# f.m -- Reed-Solomon-Visualisierung mit FFT
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+N = 64;
+b = 32;
+l = N + b;
+
+signal = zeros(l,1);
+signal(1:N,1) = round(10 * rand(N,1));
+signal
+
+plot(abs(signal));
+xlim([1, l]);
+title("Signal");
+pause()
+
+codiert = fft(signal)
+
+plot(abs(codiert));
+xlim([1, l]);
+title("Codiert");
+pause()
+
+fehler = zeros(l,1);
+fehler(21,1) = 2;
+fehler(75,1) = 1;
+fehler(7,1) = 2;
+
+plot(fehler);
+xlim([1, l]);
+title("Fehler");
+pause()
+
+empfangen = codiert + fehler;
+
+plot(abs(empfangen));
+xlim([1, l]);
+title("Empfangen");
+pause()
+
+decodiert = ifft(empfangen)
+plot(abs(decodiert));
+xlim([1, l]);
+title("Decodiert");
+pause()
+
+syndrom = decodiert;
+syndrom(1:N,1) = zeros(N,1)
+plot(abs(syndrom));
+xlim([1, l]);
+title("Syndrom");
+pause()
+
+locator = abs(fft(syndrom))
+
+plot(locator);
+xlim([1, l]);
+title("Locator");
+pause()
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e39de5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+%
+% hilfstabellen.tex
+% Autor: Michael Steiner
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{$\mathbb{F}_{11}$ Hilfstabellen
+ \label{reedsolomon:section:hilfstabellen}}
+\rhead{Hilfstabellen}
+
+Um das rechnen zu erleichtern findet man in diesem Abschnitt die Resultate, die bei der Addition und der Multiplikation in $\mathbb{F}_{11}$ resultieren.
+
+\subsection{Additionstabelle
+ \label{reedsolomon:subsection:adtab}}
+\input{papers/reedsolomon/restetabelle1.tex}
+
+\subsection{Multiplikationstabelle
+ \label{reedsolomon:subsection:mptab}}
+\input{papers/reedsolomon/restetabelle2.tex} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
index c04be7f..fa20936 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
@@ -3,10 +3,10 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Thema\label{chapter:reedsolomon}}
+\chapter{Reed-Solomon-Code\label{chapter:reedsolomon}}
\lhead{Thema}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Joshua Bär und Michael Steiner}
Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
\begin{itemize}
@@ -27,10 +27,25 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
\end{itemize}
+% Joshua
\input{papers/reedsolomon/teil0.tex}
\input{papers/reedsolomon/teil1.tex}
\input{papers/reedsolomon/teil2.tex}
\input{papers/reedsolomon/teil3.tex}
+% Michael
+\input{papers/reedsolomon/endlichekoerper}
+\input{papers/reedsolomon/codebsp}
+\input{papers/reedsolomon/decohnefehler}
+\input{papers/reedsolomon/decmitfehler}
+\input{papers/reedsolomon/rekonstruktion}
+\input{papers/reedsolomon/nachschlagewerk}
+\input{papers/reedsolomon/hilfstabellen}
+%\input{papers/reedsolomon/anwendungen} -> geplant
+
+\nocite{reedsolomon:weitz}
+\nocite{reedsolomon:informationkommunikation}
+%\nocite{reedsolomon:mendezmueller}
+
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex b/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex
new file mode 100644
index 0000000..60b857e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex
@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Nachschlagewerk
+ \label{reedsolomon:section:nachschlagen}}
+\rhead{nachschlagewerk}
+todo: auflistung von z.b nachrichtenvektor, übertragungsvektor usw. inklusiver erklärung was es ist falls man beim lesen den faden verliert \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/references.bib b/buch/papers/reedsolomon/references.bib
index 38613bd..731bd35 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/references.bib
+++ b/buch/papers/reedsolomon/references.bib
@@ -4,32 +4,22 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
-@online{reedsolomon:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
- year = {2020},
- month = {2},
- day = {6}
+@online{reedsolomon:weitz,
+ title = {Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes},
+ url = {https://youtu.be/uOLW43OIZJ0},
+ date = {2021-06-10},
+ year = {2021},
+ month = {6},
+ day = {10}
}
-@book{reedsolomon:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
-}
-
-@article{reedsolomon:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
- title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
- journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
- year = 2019,
- volume = 47,
- pages = {607--627},
- url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@book{reedsolomon:informationkommunikation,
+ title = {Information und Kommunikation},
+ author = {Markus Hufschmid},
+ publisher = {Teubner},
+ year = {2007},
+ isbn = {978-3-8351-0122-7},
+ inseries = {},
+ volume = {1}
}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
new file mode 100644
index 0000000..89a700f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -0,0 +1,185 @@
+%
+% rekonstruktion.tex
+% Autor: Michael Steiner
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Nachricht Rekonstruieren
+\label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
+\rhead{Rekonstruktion}
+Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
+Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
+Das Lokatorpolynom
+\[
+l(X) = (X - a^3)(X-a^8)
+\]
+markiert dabei diese fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor
+\[
+w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4].
+\]
+Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor ursprünglich codiert haben.
+Unser Ziel ist es wie auch schon im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können.
+Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} angewendet haben.
+
+Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
+\[
+\textcolor{gray}{
+ \begin{pmatrix}
+ a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\
+\end{pmatrix}}
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^3}& \textcolor{red}{8^6}& \textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{12}}& \textcolor{red}{8^{15}}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{27}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^8}& \textcolor{red}{8^{16}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{32}}& \textcolor{red}{8^{40}}& \textcolor{red}{8^{48}}& \textcolor{red}{8^{56}}& \textcolor{red}{8^{64}}& \textcolor{red}{8^{72}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher kein weiterer Nutzen.
+Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
+Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
+
+Daraus resultiert
+\[
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst.
+Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen.
+Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht.
+\[
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor{darkgreen}{8^0}& \textcolor{darkgreen}{8^0}& \textcolor{darkgreen}{8^0}& \textcolor{darkgreen}{8^0}\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor{darkgreen}{8^6}& \textcolor{darkgreen}{8^7}& \textcolor{darkgreen}{8^8}& \textcolor{darkgreen}{8^9}\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor{darkgreen}{8^{12}}& \textcolor{darkgreen}{8^{14}}& \textcolor{darkgreen}{8^{16}}& \textcolor{darkgreen}{8^{18}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{darkgreen}{8^{24}}& \textcolor{darkgreen}{8^{28}}& \textcolor{darkgreen}{8^{32}}& \textcolor{darkgreen}{8^{36}}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{darkgreen}{8^{30}}& \textcolor{darkgreen}{8^{35}}& \textcolor{darkgreen}{8^{40}}& \textcolor{darkgreen}{8^{45}}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{darkgreen}{8^{36}}& \textcolor{darkgreen}{8^{42}}& \textcolor{darkgreen}{8^{48}}& \textcolor{darkgreen}{8^{54}}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{darkgreen}{8^{42}}& \textcolor{darkgreen}{8^{49}}& \textcolor{darkgreen}{8^{56}}& \textcolor{darkgreen}{8^{63}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{darkgreen}{8^{54}}& \textcolor{darkgreen}{8^{63}}& \textcolor{darkgreen}{8^{72}}& \textcolor{darkgreen}{8^{81}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{darkgreen}{m_6} \\ \textcolor{darkgreen}{m_7} \\ \textcolor{darkgreen}{m_8} \\ \textcolor{darkgreen}{m_9} \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Wir nehmen die entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+\[
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^7}& \textcolor{red}{8^{14}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{28}}& \textcolor{red}{8^{35}}\\
+ \textcolor{red}{8^0}& \textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{27}}& \textcolor{red}{8^{36}}& \textcolor{red}{8^{45}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die roten Zeilen können wir aufgrund der Überbestimmtheit ebenfalls entfernen und erhalten so die gesuchte quadratische Matrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Nun können wir den Gauss-Algorithmus anwenden um die Matrix zu Invertieren.
+\[
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\
+ 1& 8& 9& 6& 4& 10\\
+ 1& 9& 4& 3& 5& 1\\
+ 1& 4& 5& 9& 3& 1\\
+ 1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+ 1& 3& 9& 5& 4& 1\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Multiplizieren wir nun aus, erhalten wir unseren Nutzdatenteil
+\[
+m = [4,7,2,5,8,1]
+\]
+zurück, den wir ursprünglich versendet haben.
+
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
new file mode 100644
index 0000000..3969ef2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+% created by Michael Steiner
+%
+% Restetabelle von F_11: Addition
+
+% alternatives design
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+%\hline
+%+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
+%\hline
+%0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
+%1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0\\
+%2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1\\
+%3&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2\\
+%4&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3\\
+%5&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4\\
+%6&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5\\
+%7&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5&6\\
+%8&8&9&10&0&1&2&3&4&5&6&7\\
+%9&9&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
+%10&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\end{center}
+%\end{figure}
+
+\begin{center}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.45]
+\fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (18,-1.5);
+\fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (1.5,-18);
+\draw[step = 1.5, gray,very thin] (0,0) grid (18,-18);
+\draw[very thick] (0,0) rectangle (18,-18);
+\draw[very thick] (0,-1.5) -- (18,-1.5);
+\draw[very thick] (1.5,0) -- (1.5,-18);
+\node at (0.75,-0.75) {$+$};
+\foreach \x in {0,...,10}
+ \node at (2.25+\x*1.5,-0.75) {$\x$};
+\foreach \y in {0,...,10}
+ \node at (0.75,-2.25+\y*-1.5) {$\y$};
+% Row 0
+\node at ( 2.25,-2.25) {$0$};
+\node at ( 3.75,-2.25) {$1$};
+\node at ( 5.25,-2.25) {$2$};
+\node at ( 6.75,-2.25) {$3$};
+\node at ( 8.25,-2.25) {$4$};
+\node at ( 9.75,-2.25) {$5$};
+\node at (11.25,-2.25) {$6$};
+\node at (12.75,-2.25) {$7$};
+\node at (14.25,-2.25) {$8$};
+\node at (15.75,-2.25) {$9$};
+\node at (17.25,-2.25) {$10$};
+% Row 1
+\node at ( 2.25,-3.75) {$1$};
+\node at ( 3.75,-3.75) {$2$};
+\node at ( 5.25,-3.75) {$3$};
+\node at ( 6.75,-3.75) {$4$};
+\node at ( 8.25,-3.75) {$5$};
+\node at ( 9.75,-3.75) {$6$};
+\node at (11.25,-3.75) {$7$};
+\node at (12.75,-3.75) {$8$};
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+% Row 2
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+% Row 3
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+% Row 4
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+% Row 6
+\node at ( 2.25,-11.25) {$6$};
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+% Row 7
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+% Row 8
+\node at ( 2.25,-14.25) {$8$};
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+% Row 9
+\node at ( 2.25,-15.75) {$9$};
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+% Row 10
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+\end{tikzpicture}
+
+\end{center}
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+% created by Michael Steiner
+%
+% Restetabelle von F_11: Multiplikation
+
+% alternatives design
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+%\hline
+%\cdot&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
+%\hline
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+%10&0&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\end{center}
+%\end{figure}
+
+\begin{center}
+
+ \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.45]
+ \fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (18,-1.5);
+ \fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (1.5,-18);
+ \draw[step = 1.5, gray,very thin] (0,0) grid (18,-18);
+ \draw[very thick] (0,0) rectangle (18,-18);
+ \draw[very thick] (0,-1.5) -- (18,-1.5);
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+ \node at (0.75,-0.75) {$\cdot$};
+ \foreach \x in {0,...,10}
+ \node at (2.25+\x*1.5,-0.75) {$\x$};
+ \foreach \y in {0,...,10}
+ \node at (0.75,-2.25+\y*-1.5) {$\y$};
+ % Row 0
+ \node at ( 2.25,-2.25) {$0$};
+ \node at ( 3.75,-2.25) {$0$};
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+ % Row 1
+ \node at ( 2.25,-3.75) {$0$};
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+ % Row 2
+ \node at ( 2.25,-5.25) {$0$};
+ \node at ( 3.75,-5.25) {$2$};
+ \node at ( 5.25,-5.25) {$4$};
+ \node at ( 6.75,-5.25) {$6$};
+ \node at ( 8.25,-5.25) {$8$};
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+ \node at (11.25,-5.25) {$1$};
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+ \node at (17.25,-5.25) {$9$};
+ % Row 3
+ \node at ( 2.25,-6.75) {$0$};
+ \node at ( 3.75,-6.75) {$3$};
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+ \node at ( 8.25,-6.75) {$1$};
+ \node at ( 9.75,-6.75) {$4$};
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+ % Row 4
+ \node at ( 2.25,-8.25) {$0$};
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+ \node at (11.25,-8.25) {$2$};
+ \node at (12.75,-8.25) {$6$};
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+ % Row 5
+ \node at ( 2.25,-9.75) {$0$};
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+ \node at ( 6.75,-9.75) {$4$};
+ \node at ( 8.25,-9.75) {$9$};
+ \node at ( 9.75,-9.75) {$3$};
+ \node at (11.25,-9.75) {$8$};
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+ \node at (15.75,-9.75) {$1$};
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+ % Row 6
+ \node at ( 2.25,-11.25) {$0$};
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+ \node at ( 9.75,-11.25) {$8$};
+ \node at (11.25,-11.25) {$3$};
+ \node at (12.75,-11.25) {$9$};
+ \node at (14.25,-11.25) {$4$};
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+ % Row 7
+ \node at ( 2.25,-12.75) {$0$};
+ \node at ( 3.75,-12.75) {$7$};
+ \node at ( 5.25,-12.75) {$3$};
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+ \node at ( 9.75,-12.75) {$2$};
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+ % Row 8
+ \node at ( 2.25,-14.25) {$0$};
+ \node at ( 3.75,-14.25) {$8$};
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+ % Row 9
+ \node at ( 2.25,-15.75) {$0$};
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+ % Row 10
+ \node at ( 2.25,-17.25) {$0$};
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+ \node at (17.25,-17.25) {$1$};
+ \end{tikzpicture}
+
+\end{center} \ No newline at end of file
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index 0000000..0cb1433
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+\section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}}
+\rhead{Einleitung}
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt die Beziehung von Spannung und Dehnung von linear-elastischen Materialien im Eindimensionalen.
+In diesem Kapitel geht es darum das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben.
+Durch variable Krafteinwirkungen entstehen in jedem Punkt des Materials eine Vielzahl an unterschiedlichen Spannungen.
+In jedem erdenklichen Punkt im Dreidimensionalen herrscht daher ein entsprechender individueller Spannungszustand.
+Um das Hook'sche Gesetz für den 3D Spannungszustand formulieren zu können, reichen Skalare nicht aus.
+Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zur Hilfe gezogen.
+Mit diesen lässt sich eine Spannungsformel für den 3D Spannungszustand bilden.
+Diese Spannungsformel ist Grundlage für Computerprogramme und geotechnische Versuche, wie der Oedometer-Versuch.
+
+Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
+Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen.
+In diesem Kapitel gehen wir auch auf die Zusammenhänge von Spannung, Dehnungen und Verformungen an elastischen Materialien ein,
+wie sie in gängigen Lehrbüchern der Mechanik oder der Geotechnik behandelt werden, z.~B.~\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}.
+
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
+\rhead{Spannungsausbreitung}
+Die Geotechnik ist eine Ingenieurdisziplin, bei welcher man Erdbau und den Erdbau tangierende Bauwerke dimensioniert.
+Sie beinhaltet aber auch die statische Beurteilung von Boden und Fels.
+
+Belastet man den Boden mit einer Spannung
+\[
+\sigma
+=
+\frac{F}{A}
+,
+\]
+so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert.
+Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen.
+Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus.
+Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
+ \caption{Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden infolge einfacher Flächenlast}
+ \label{fig:Bild4}
+\end{figure}
+
+Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung 1.2).
+Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
+Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$.
+Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt.
+Das können beispielsweise jenste Bodenkennwerte oder auch der Wassergehalt sein.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
+ \caption{Funktionen der Spannung und Dehnung im Zusammenhang mit der Tiefe}
+ \label{fig:Bild5}
+\end{figure}
+
+Bei jeder dieser Zusatzspannung geht eine entsprechende Zusatzdehnung des Bodens einher, welche eine Setzung bedeutet.
+Im einfachsten Fall kann modellhaft mit
+\[
+\varepsilon
+=
+\frac{\sigma}{E}
+\]
+die Setzung an einem Punkt an der Bodenoberfläche mit
+\[
+s
+=
+\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\]
+berechnet werden mit:
+\begin{align*}
+ \varepsilon &= \text{Dehnung [$-$]} \\
+ \sigma &= \text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]} \\
+ E &= \text{Elastizitätsmodul; Young-Modul [\si{\kilo\pascal}]}\\
+ t &= \text{Tiefe [\si{\meter}]} \\
+ s &= \text{Setzung, Absenkung [m].}
+\end{align*}
+Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben.
+In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen.
+Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung 1.3).
+Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen.
+Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$.
+Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden.
+Diese beruht auf Annahmen nach Hooke auf einem linear-elastischen Boden.
+Generell wird im Ingenieurwesen versucht Phänomene möglichst nach dem Hook'schen Gesetz abbilden zu können.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
+ \caption{Beispiel eines Lastauftrags auf den Boden bei einer komplexeren Situation, welches kompliziertere Spannungsausbreitung zur Folge hat}
+ \label{fig:Bild3}
+\end{figure}
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png
Binary files differ
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index 0000000..d1321a4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png
Binary files differ
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
Binary files differ
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
Binary files differ
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index 0000000..6ee004d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
Binary files differ
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index 0000000..31505bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
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index 0000000..2c359e6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex
index b87a4d0..bbdf730 100644
--- a/buch/papers/spannung/main.tex
+++ b/buch/papers/spannung/main.tex
@@ -4,33 +4,18 @@
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
\chapter{Thema\label{chapter:spannung}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+% TODO Text
+\input{papers/spannung/Einleitung.tex}
\input{papers/spannung/teil0.tex}
\input{papers/spannung/teil1.tex}
\input{papers/spannung/teil2.tex}
\input{papers/spannung/teil3.tex}
+\input{papers/spannung/teil4.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/spannung/references.bib b/buch/papers/spannung/references.bib
index ed5703c..02f8d09 100644
--- a/buch/papers/spannung/references.bib
+++ b/buch/papers/spannung/references.bib
@@ -4,27 +4,46 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
-@online{spannung:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
- year = {2020},
- month = {2},
+@online{spannung:Tensor,
+ title = {Tensor},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor},
+ date = {2021-05-29},
+ year = {2021},
+ month = {5},
day = {6}
}
-@book{spannung:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
+@online{spannung:Voigtsche-Notation,
+ title = {Voigtsche Notation},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Voigtsche_Notation},
+ date = {2021-05-29},
+ year = {2021},
+ month = {5},
+ day = {6}
+}
+
+@book{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik,
+ title = {Grundlagen der Geotechnik},
+ author = {Hans-Henning Schmidt and Roland F. Buchmaier and Carola Vogt-Breyer},
+ publisher = {Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH},
+ year = {2017},
+ isbn = {978-3-658-14930-7},
+ inseries = {Geotechnik nach Eurocode},
+ volume = {5}
+}
+
+@book{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik,
+ title = {Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik},
+ author = {Carlo Rabaiotti and Alessio Höttges},
+ publisher = {Hochschule Rapperswil},
+ year = {2021},
+ isbn = {},
+ inseries = {},
+ volume = {}
}
@article{spannung:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+ author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
year = 2019,
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index cf47a18..ffc9009 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,22 +1,82 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{spannung:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{spannung:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
+\rhead{Der Spannungszustand}
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4).
+Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png}
+ \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen}
+ \label{fig:Bild2}
+\end{figure}
+Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen,
+sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist.
+Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$.
+Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt.
+So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind.
+Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
+Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
+Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
+
+\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
+\rhead{Spannungszustand}
+
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5).
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
+Nach Hooke gilt:
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+.
+\]
+Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man
+\[
+\frac{F}{A}
+=
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+=
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+und somit
+\[
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+,
+\]
+mit
+\begin{align*}
+ l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\
+ A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].}
+\end{align*}
+Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen.
+Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
+ \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
+ \label{fig:Bild1}
+\end{figure}
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
+\[
+\sigma
+=
+E\cdot\varepsilon
+\]
+beschreiben.
+Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch
+\[
+E
+=
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
+\]
+ausgedrückt werden. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 95e6f0a..74516c1 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,55 +1,24 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{spannung:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{spannung:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{spannung:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{spannung:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}}
+\rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren}
+Der Begriff Tensor kann als Überbegriff, der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
+Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet.
+Ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix ist daher auch ein Tensor.
+Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe.
+Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden.
+Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar.
+Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden.
+Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor.
+Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor.
+Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln.
+So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2.
+Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben.
+Der Begriff Tensor wurde 1840 von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt.
+James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben.
+Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
+Er hat in der Elastizitätstheorie als erstes Tensoren eingesetzt und beschrieben.
+Auch Albert Einstein hat solche Tensoren eingesetzt,
+um in der Relativitätstheorie die Änderung der 4D Raumzeit beschreiben zu können.
+\cite{spannung:Tensor}
+\cite{spannung:Voigtsche-Notation}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 37d3242..921d2b8 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,40 +1,491 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{spannung:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
+\rhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
+Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+ \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen}
+ \label{fig:infinitesimalerWuerfel}
+\end{figure}
+Ein Tensor 0. Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben.
+Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2. Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
+Die Spannungen sind durch die zwei Indizes
+\[
+i, j\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Daher ergeben sich die neun Spannungen.
+Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben.
+Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
+ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand.
+Die Dehnungen wirken in die gleichen Richtungen wie die korrespondierenden Spannungen und sind durch die zwei Indizes
+\[
+k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
+Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
+Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
+So ergibt sich der Spannungsvektor
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
+ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11}\\
+ \sigma_{12}\\
+ \sigma_{13}\\
+ \sigma_{21}\\
+ \sigma_{22}\\
+ \sigma_{23}\\
+ \sigma_{31}\\
+ \sigma_{32}\\
+ \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+und Dehnungsvektor
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} \\
+ \varepsilon_{12} \\
+ \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{21} \\
+ \varepsilon_{22} \\
+ \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{31} \\
+ \varepsilon_{32} \\
+ \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2. Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4. Stufe benötigt.
+Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0. Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$.
+
+Dieser Elastizitätstensor 4. Stufe kann als Tensor 2. Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden.
+So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert.
+Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen.
+Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
+Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes
+\[
+i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+,
+\]
+die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist.
+Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+C_{ijkl}
+=
+\begin{pmatrix}
+C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\
+C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
+C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
+C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
+C_{2211} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
+C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
+C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
+C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
+C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
+\end{pmatrix}
+\]
+geschrieben werden kann.
+Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein.
+Folglich gilt:
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{T}
+.
+\]
+Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
+\[
+\vec\sigma
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+.
+\]
+Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert.
+Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist,
+muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden.
+Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche durch
+\[
+\nu
+=
+\frac{\varepsilon_q}{\varepsilon}
+=
+\frac{\Delta b}{b_0}
+\]
+und
+\begin{align*}
+ \varepsilon &= \text{Längsdehnung [$-$]} \\
+ \varepsilon_q &= \text{Querdehnung [$-$]}
+\end{align*}
+definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich
+\[
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11}\\
+ \sigma_{12}\\
+ \sigma_{13}\\
+ \sigma_{21}\\
+ \sigma_{22}\\
+ \sigma_{23}\\
+ \sigma_{31}\\
+ \sigma_{32}\\
+ \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+ 1-2\nu & 0 & 0 & 0 & \nu & 0 & 0 & 0 & \nu \\
+ 0 &\frac{1}{4} & 0 &\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 &\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 &\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
+ 0 &\frac{1}{4} & 0 &\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+ \nu & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu & 0 & 0 & 0 & \nu \\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\frac{1}{4} & 0 &\frac{1}{4} & 0 \\
+ 0 & 0 &\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 &\frac{1}{4} & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\frac{1}{4} & 0 &\frac{1}{4} & 0 \\
+ \nu & 0 & 0 & 0 & \nu & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} \\
+ \varepsilon_{12} \\
+ \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{21} \\
+ \varepsilon_{22} \\
+ \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{31} \\
+ \varepsilon_{32} \\
+ \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+,
+\]
+welche ebenfalls als Indexnotation mit
+\[
+\sigma_{ij}
+=
+\sum_{k=1}^3
+\sum_{l=1}^3
+C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+\]
+ausgedrückt werden kann.
+Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
+\]
+berechnen.
+
+Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors.
+Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab.
+Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen.
+
+Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch Elastizitätstensor symmetrisch sind.
+Wäre dem nicht so, würde sich das Material je nach Richtung unterschiedlich elastisch verhalten.
+Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass
+\[
+\sigma_{12}
+=
+\sigma_{21}
+,
+\qquad
+\sigma_{13}
+=
+\sigma_{31}
+,
+\qquad
+\sigma_{23}
+=
+\sigma_{32}
+\]
+und folglich auch
+\[
+\varepsilon_{12}
+=
+\varepsilon_{21}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{13}
+=
+\varepsilon_{31}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{23}
+=
+\varepsilon_{32}
+\]
+gilt.
+Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation \cite{spannung:Voigtsche-Notation} ausgenutzt, um die Gleichung vereinfachen zu können.
+Durch diese Symmetrie gilt
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
+ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
+ & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+ \text{sym} & & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11}\\
+ \sigma_{22}\\
+ \sigma_{33}\\
+ \sigma_{23}\\
+ \sigma_{13}\\
+ \sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+und entsprechend
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
+ & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+ \text{sym} & & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} \\
+ \varepsilon_{22} \\
+ \varepsilon_{33} \\
+ \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+
+Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je sechs Einträgen darstellen.
+Der Elastizitätstensor kann entsprechend auf eine $6\times6$ Matrix reduziert werden.
+Es lässt sich nun eine reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
+\[
+\vec{\sigma}
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+\]
+beziehungsweise
+\[
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} \\
+ \sigma_{22} \\
+ \sigma_{33} \\
+ \sigma_{23} \\
+ \sigma_{13} \\
+ \sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
+ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\
+ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} \\
+ \varepsilon_{22} \\
+ \varepsilon_{33} \\
+ \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise erhält man, wenn man die sechs Produkte aus den Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$ summiert.
+Die Symmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors bleibt auch hier erhalten.
+Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11} \\
+ \sigma_{22} \\
+ \sigma_{33} \\
+ \sigma_{23} \\
+ \sigma_{13} \\
+ \sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+ & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+ & & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+ & & & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
+ & & & & C_{1313} & C_{1312} \\
+ \text{sym} & & & & & C_{1212}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11} \\
+ \varepsilon_{22} \\
+ \varepsilon_{33} \\
+ \varepsilon_{23} \\
+ \varepsilon_{13} \\
+ \varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert.
+Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
+\[
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11}\\
+ \sigma_{22}\\
+ \sigma_{33}\\
+ \sigma_{23}\\
+ \sigma_{13}\\
+ \sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+ 1- 2\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0\\
+ \nu & 1- 2\nu & \nu & 0 & 0 & 0\\
+ \nu & \nu & 1- 2\nu & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11}\\
+ \varepsilon_{22}\\
+ \varepsilon_{33}\\
+ \varepsilon_{23}\\
+ \varepsilon_{13}\\
+ \varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+
+Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben.
+Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die $3\times3$ Blöcke.
+
+Man betrachte als Beispiel die Berechnung von $\sigma_{33}$.
+Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss.
+Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss.
+
+Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man noch die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$ um die Gleichung umstellen zu können.
+Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung:
+
+\[
+\vec{\varepsilon}
+=
+\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11}\\
+ \varepsilon_{22}\\
+ \varepsilon_{33}\\
+ \varepsilon_{23}\\
+ \varepsilon_{13}\\
+ \varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{1}{E}
+\begin{pmatrix}
+ 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
+ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
+ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11}\\
+ \sigma_{22}\\
+ \sigma_{33}\\
+ \sigma_{23}\\
+ \sigma_{13}\\
+ \sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die zwei $3\times3$ Blöcke links unten und rechts oben sind folglich noch vorhanden.
+Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man die Dehnung
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+=
+\frac{1}{E}\cdot(\sigma_{22}-\nu\cdot\sigma_{11}-\nu\cdot\sigma_{33})
+.
+\]
+Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab.
+Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert.
+Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=0.5$.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index ce7d50f..8d99733 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,40 +1,105 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{spannung:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
+\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
+In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
+Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
+wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+Folglich gilt:
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+.
+\]
+Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
+Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
+Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+,
+\]
+welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
+Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
+\[
+q
+=
+\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+.
+\]
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
+\]
+vereinfacht werden.
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
+\[
+q
+=
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+\]
+vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
+Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
+So ergibt sich
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
+\]
+und
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+.
+\]
+Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
+\[
+\varepsilon_{v}
+=
+(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\varepsilon_{s}
+=
+\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
+\]
+eingeführt werden, mit
+\begin{align*}
+ \varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
+ \varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+\end{align*}
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
+Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
+\[
+\begin{pmatrix}
+ q\\
+ p
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\
+ 0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{s}\\
+ \varepsilon_{v}
+\end{pmatrix}
+\]
+(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
+
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..d524f13
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}}
+\rhead{Oedometer-Versuch}
+Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden.
+Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen.
+Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$.
+Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken.
+Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert.
+Die Probe wird sich so stetig verdichten.
+Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu.
+Unter diesen Bedingungen wird der oedometrische Elastizitätsmodul mit steigender Dehnung zunehmen.
+
+Da im Boden das umgebende Material ähnlich eine seitliche Verformung verhindert,
+bildet dieser oedometrische Elastizitätsmodul die Realität besser ab, als der gewöhnliche Elastizitätsmodul.
+Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\varepsilon_{33}
+=
+0
+\]
+aber auch
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+\neq 0
+.
+\]
+Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit
+\[
+\sigma_{11}
+=
+\frac{F}{A}
+\]
+und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet.
+Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung (Nrxxx) eingesetzt werden.
+Diese lautet nun:
+\[
+\begin{pmatrix}
+ \sigma_{11}-\sigma_{33} \\
+ \sigma_{11}+2\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\
+ 0 & \frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \varepsilon_{11}\\
+ \varepsilon_{11}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen
+\[
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+und
+\[
+\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+berechnen.
+Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
+Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7).
+Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+ \caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material}
+ \label{fig:DiagrammOedometer-Versuch}
+\end{figure} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/verkehr/Makefile.inc b/buch/papers/verkehr/Makefile.inc
index 7bd8de1..876d0df 100644
--- a/buch/papers/verkehr/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/verkehr/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,10 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-dependencies-verkehr = \
+dependencies-verkehr = \
papers/verkehr/packages.tex \
- papers/verkehr/main.tex \
- papers/verkehr/references.bib \
- papers/verkehr/teil0.tex \
- papers/verkehr/teil1.tex \
- papers/verkehr/teil2.tex \
- papers/verkehr/teil3.tex
+ papers/verkehr/main.tex \
+ papers/verkehr/section1.tex \
+ papers/verkehr/section2.tex \
+ papers/verkehr/references.bib
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png
new file mode 100644
index 0000000..14d4eca
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png
new file mode 100644
index 0000000..2d68681
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png
new file mode 100644
index 0000000..02bded7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png
new file mode 100644
index 0000000..3056f43
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png
new file mode 100644
index 0000000..5a681bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png
new file mode 100644
index 0000000..d9348d7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/main.tex b/buch/papers/verkehr/main.tex
index 332ee7e..6348993 100644
--- a/buch/papers/verkehr/main.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/main.tex
@@ -4,33 +4,13 @@
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
\chapter{Thema\label{chapter:verkehr}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Verkehrsfluss und Verkehrsnetze}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Pascal Andreas Schmid und Robine Luchsinger}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-
-\input{papers/verkehr/teil0.tex}
-\input{papers/verkehr/teil1.tex}
-\input{papers/verkehr/teil2.tex}
-\input{papers/verkehr/teil3.tex}
+\input{papers/verkehr/section1.tex}
+\input{papers/verkehr/section2.tex}
+\input{papers/verkehr/section3.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
new file mode 100644
index 0000000..6a5dc28
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+\section{Einführung}
+\label{section:verkehr/einfuehrung}
+
+\subsection{Verkehrsnetze}
+Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke.
+Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können.
+Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim
+Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes.
+Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
+
+\subsection{Suchalgorithmen}
+
+\subsubsection{Dijkstra-Algorithmus}
+Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
+Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
+Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
+Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
+Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde.
+Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde.
+
+\subsubsection{A*-Algorithmus}
+Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
+Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben.
+Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
+Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert.
+Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
+Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
+=======
+
+\subsubsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist.
+Ein Kreis in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.
+
+\subsubsection{Euklidische Heuristik}
+Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
+Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
+
+\subsection{PageRank-Algorithmus}
+Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
+Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird.
+Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat.
+Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur.
+Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
+Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt.
+
+%THEORIE...
+Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen.
+
+\begin{equation}
+A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
+1 & \text{Kante von $j$ nach $i$} \\ 0 & \text{keine Kante von $j$ nach $i$}
+\end{matrix}
+ \right.
+\label{verkehr:Adja}
+\end{equation}
+
+
+Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1...n\right\}\end{equation}
+Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
+Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt.
+\begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation}
+Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
+\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1...n\right\} \end{equation}
+Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
+Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
+\begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
+somit
+\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
+Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ und stellt das abschliessende Ranking dar.
diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex
new file mode 100644
index 0000000..638d9dd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+\section{Versuchsreihe}
+\label{section:verkehr/versuchsreihe}
+
+Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
+Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
+Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
+Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
+
+Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
+
+\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
+\label{verkehr:Knotenzahl}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png}
+
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr1}
+\end{figure}
+
+In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
+Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
+Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png}
+
+\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
+\label{verkehr:pathDifference}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png}\\
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr2}
+\end{figure}
+
+Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
+Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_dij.png}\qquad
+\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_aStar.png}
+\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
+\label{verkehr:Comparison}
+\end{figure}
+
+In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
diff --git a/buch/papers/verkehr/section3.tex b/buch/papers/verkehr/section3.tex
new file mode 100644
index 0000000..99a0d92
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section3.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Ausblick}
+\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen}
+Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\
+Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten.
+
+\subsection{Wahl der Heuristik}
+Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\
+In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden.
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deleted file mode 100644
index 5031841..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{verkehr:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{verkehr:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
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-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil1.tex b/buch/papers/verkehr/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 855aef8..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{verkehr:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{verkehr:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{verkehr:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{verkehr:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil2.tex b/buch/papers/verkehr/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 5170ded..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{verkehr:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil3.tex b/buch/papers/verkehr/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 8f79154..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{verkehr:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-