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diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex index c099340..c985713 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex @@ -74,7 +74,7 @@ Dazu wird ein Zustandsvektor definiert: \[ \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right). \] -Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\sot {s_1}= v$ ist: +Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\dot {s_1}= v$ ist: \begin{equation} \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 416e311..6ac86ad 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -84,15 +84,15 @@ Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseina -Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\}\end{equation} +Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}\end{equation} Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet. -Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt. -\[ P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \] +Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt: +\( P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \) Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt: -\[ \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\} \] +\( \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\} \) Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet. -Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt. -\[ \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\] -somit -\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation} +Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste'' Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt: +\( \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\) +und somit allgemein: +\( \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\) Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ der das abschliessende Ranking darstellt. |