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diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex index ef45bc1..64c0cb3 100644 --- a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex +++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex @@ -7,8 +7,9 @@ \rhead{Aufbau} Das McEliece-Kryptosystem besteht aus folgenden Elementen: Nachfolgend sind alle Bestandteile für das McEliece-Kryptosystem aufgelistet, -wobei alle Vektoren und Matrizen, sowie die Rechenoperationen damit, +wobei alle Vektoren und Matrizen sowie die Rechenoperationen damit im binären Raum $\mathbb{F}_2$ stattfinden. +\index{F2@$\mathbb{F}_2$}% \subsection{Datenvektor $d_k$ \label{mceliece:subsection:d_k}} @@ -16,29 +17,39 @@ In diesem Vektor der Länge $k$ sind die zu verschlüsselnden Daten enthalten. \subsection{Binäre Zufallsmatrix $S_k$ \label{mceliece:subsection:s_k}} -$S_k$ ist eine Binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$. +$S_k$ ist eine binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$. Auch muss diese Matrix in $\mathbb{F}_2$ invertierbar sein. Für kleine Matrizen kann durchaus jedes Matrizenelement zufällig generiert werden, wobei danach mithilfe des Gauss-Algorithmus deren Inverse bestimmt werden kann. +\index{Gauss-Algorithmus}% +\index{inverse Matrix}% Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine neue Zufallsmatrix erzeugt werden. +\index{Zufallsmatrix}% Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}. \subsection{Linear-Code-Generatormatrix $G_{n,k}$ \label{mceliece:subsection:g_nk}} +\index{Generator-Matrix}% +\index{Linear-Code}% Das wichtigste Element des McEliece-Systems ist ein fehlerkorrigierender Code, der in der Lage ist, $t$ Fehler zu korrigieren. +\index{fehlerkorrigierender Code}% Im Zusammenhang mit McEliece werden dabei meist binäre Goppa-Codes \cite{mceliece:goppa} verwendet, -es können prinzipiell auch andere Codes wie beispielsweise Reed-Solomon verwendet werden, +\index{Goppa-Code}% +es können prinzipiell auch andere Codes wie beispielsweise Reed-Solomon (Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon}) verwendet werden, +\index{Reed-Solomon-Code}% jedoch besitzen einige (unter anderem auch Reed-Solomon) Codes Schwachstellen \cite{mceliece:lorenz}. Das Codieren mit diesem linearen Code kann mithilfe seiner Generatormatrix $G_{n,k}$ erfolgen. Da es sich um einen fehlerkorrigierenden Code handelt, wird das Codewort länger als das Datenwort, es wird also Redundanz hinzugefügt, +\index{Redundanz}% um die Fehlerkorrektur möglich zu machen. \subsection{Permutations-Matrix $P_n$ \label{mceliece:subsection:p_n}} -Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ wird die Reihenfolge der Bits geändert. +Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ (Abschnitt~\ref{buch:section:permutationsmatrizen}) wird die Reihenfolge der Bits geändert. +\index{Permutationsmatrix} Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden. \subsection{Public-Key $K_{n,k}$ @@ -46,7 +57,7 @@ Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird, berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wie folgt: \[ - K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,. + K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}. \] \subsection{Fehler-Vektor $e_n$ @@ -58,8 +69,8 @@ wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode der Generatormatrix $G_{n,k}$ zu korri \subsection{Daten-Vektor $d_k$ \label{mceliece:subsection:d_k}} -In diesem Vektor der Länge $k$ ist die Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten. +In diesem Vektor der Länge $k$ ist die Nachricht oder ein Teil davon enthalten. \subsection{Code-Vektor $c_n$ \label{mceliece:subsection:c_n}} -In diesem Vektor der Länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
\ No newline at end of file +In diesem Vektor der Länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht oder ein Teil davon enthalten. diff --git a/buch/papers/mceliece/einleitung.tex b/buch/papers/mceliece/einleitung.tex index e900837..f289512 100644 --- a/buch/papers/mceliece/einleitung.tex +++ b/buch/papers/mceliece/einleitung.tex @@ -7,10 +7,15 @@ \label{mceliece:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} Beim McEliece-Kryptosystem handelt es sich um ein asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren, welches erlaubt, +\index{McEliece-Kryptosystem}% +\index{Kryptosystem}% +\index{Verschlüsselungsverfahren, asymmetrisch}% +\index{asymmetrische Verschlüsselung}% Daten verschlüsselt über ein Netzwerk zu übermitteln, ohne dass vorab ein gemeinsamer, geheimer Schlüssel unter den Teilnehmern ausgetauscht werden müsste. -Eine andere, bereits erläuterte Variante einer asymmetrischen Verschlüsselung ist das Diffie-Hellman-Verfahren \ref{buch:subsection:diffie-hellman}. +Eine andere, bereits erläuterte Variante einer asymmetrischen Verschlüsselung ist das Diffie-Hellman-Verfahren (Abschnitt~\ref{buch:subsection:diffie-hellman}). Im Gegensatz zu Diffie-Hellman gilt das McEliece-System als quantencomputerresistent +\index{quantencomputerresistent}% und das Verschlüsseln/Entschlüsseln von Nachrichten wird hauptsächlich mit Matrizenoperationen durchgeführt. diff --git a/buch/papers/mceliece/fazit.tex b/buch/papers/mceliece/fazit.tex index 883f838..b53328f 100644 --- a/buch/papers/mceliece/fazit.tex +++ b/buch/papers/mceliece/fazit.tex @@ -10,16 +10,20 @@ Ein kurzer Vergleich des McEliece-Systems mit dem oft verwendeten RSA-System soll zeigen, wo dessen Vor- und Nachteile liegen. \subsection{Resourcen} -Eine Eigenheit des McEliece-Systems ist das Hinzufügen von Rauschen (mit Fehlervektor $e_n$). -Damit diese mit dem Linearcode-Decoder wieder entfernt werden können, +Eine Eigenheit des McEliece-Systems ist das Hinzufügen von Rauschen in Form des Fehlervektors $e_n$. +Damit dieses mit dem Linearcode-Decoder wieder entfernt werden können, wird Redundanz benötigt, weshalb dessen Kanalefizienz (Nutzbits/Übertragungsbits) sinkt. +\index{Kanaleffizienz}% + Die Schlüsselgrösse des McEliece-Systems ist deshalb so riesig, weil es sich um eine zweidimensionale Matrix handelt, währenddem RSA mit nur zwei Skalaren auskommt. +\index{Schlüsselgrösse}% Das McEliece-System benötigt dafür weniger Rechenaufwand beim Verschlüsseln/Entschlüsseln, da die meisten Operationen mit Matrixmultiplikationen ausgeführt werden können. +\index{Matrixmultiplikation}% Eine Übersicht zu diesem Thema bietet Tabelle \ref{mceliece:tab:comparison_effort}. - Beim Rechenaufwand sei noch erwähnt, +\index{Rechenaufwand}% dass asymmetrische Verschlüsselungen meist nur dazu verwendet werden, um einen Schlüssel für eine symmetrische Verschlüsselung auszutauschen. \begin{table} @@ -27,26 +31,32 @@ um einen Schlüssel für eine symmetrische Verschlüsselung auszutauschen. \begin{tabular}{l|c|c} &McEliece ($n=2048$, $k=1718$, $t = 30$) &RSA ($2048$, $e = 216 + 1$)\\ \hline - Schlüssegrösse (Public): &429.5 KByte &0.5 KByte \\ - Kanaleffizienz: &83.9 \% &100 \% \\ - Verschlüsselungsaufwand: &1025* &40555* \\ - Entschlüsselungsaufwand: &2311* &6557176,5* \\ + Schlüssegrösse (Public) &429.5 KByte &0.5 KByte \\ + Kanaleffizienz &83.9 \% &100 \% \\ + Verschlüsselungsaufwand\textsuperscript{$\dagger$} &1025 bitop &40555 bitop \\ + Entschlüsselungsaufwand\textsuperscript{$\dagger$} &2311 bitop &6557176.5 bitop \\ \end{tabular} \end{center} - \caption{\label{mceliece:tab:comparison_effort}Vergleich zwischen RSA und McEliece bezüglich Resourcen\cite{mceliece:CodeBasedCrypto}. (*Aufwand in binären Operationen pro Informationsbit)} + \caption{\label{mceliece:tab:comparison_effort}Vergleich zwischen RSA und McEliece bezüglich Resourcen \cite{mceliece:CodeBasedCrypto}.% (*Aufwand in binären Operationen pro Informationsbit)} + \quad\small\textsuperscript{$\dagger$}Aufwand in binären Operationen pro Informationsbit.} \end{table} \subsection{Sicherheit} Grosse Unterschiede zwischen den beiden Kryptosystemen gibt es jedoch bei der Sicherheit. +\index{Sicherheit}% Der Kern der RSA-Verschlüsselung beruht auf dem Problem, eine grosse Zahl in ihre beiden Primfaktoren zu zerlegen. +\index{Primfaktoren}% Bei genügend grossen Zahlen ist diese Zerlegung auch mit den heute besten verfügbaren Computern kaum innerhalb vernünftiger Zeit zu lösen. Weiter ist aber bekannt, dass mithilfe des sogenannten Shor-Algorithmus \cite{mceliece:shor} und einem Quantencomputer auch diese Zerlegung zügig realisiert werden könnte, +\index{Shor-Algorithmus}% +\index{Algorithmus von Shor}% +\index{Quantencomputer}% was zur Folge hätte, dass die Verschlüsselung von RSA unwirksam würde. -Zurzeit sind die Quantencomputer jedoch noch bei weitem nicht in der Lage, grosse Zahlen mithilfe dieses Algorithmuses zu zerlegen. +Zurzeit sind die Quantencomputer jedoch noch bei weitem nicht in der Lage, grosse Zahlen mithilfe dieses Algorithmus zu zerlegen. -Das McEliece-System hingegen beruht auf dem Problem des ``Syndrome decoding'' (Korrektur von Bitfehlern eines Codewortes, das mit einem entsprechenden Linearcode codiert wurde). -Für das ``Syndrome decoding'' sind bis heute keine Methoden bekannt, +Das McEliece-System hingegen beruht auf dem Problem des {\em Syndrome decoding}, also der Korrektur von Bitfehlern eines Codewortes, das mit einem entsprechenden Linearcode codiert wurde. +Für das {\em Syndrome decoding} sind bis heute keine Methoden bekannt, welche nennenswerte Vorteile gegenüber dem Durchprobieren (brute-force) bringen, auch nicht mithilfe eines Quantencomputers. Eine Übersicht betreffend des Rechenaufwandes zum Knacken der Verschlüsselung ist in Tabelle \ref{mceliece:tab:comparison_security} gegeben und bezieht sich auf die Schlüsselgrösse $N$. diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex index 76b4b70..4d6c18d 100644 --- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex +++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex @@ -18,7 +18,7 @@ und wie viele Bitfehler $t$ (angewendet mit Fehlervektor $e_n$) für das Rauschen des Code-Wortes $c_n$ verwendet werden. Danach generiert Alice (Empfängerin) ein Schlüsselpaar. Dazu erstellt sie die einzelnen Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$. -Diese drei einzelnen Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice +Diese drei Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice und sollen geheim bleiben. Der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ hingegen berechnet sich aus der Multiplikation der privaten Matrizen (Abschnitt \ref{mceliece:subsection:k_nk}) @@ -30,7 +30,7 @@ Bob berechnet nun die verschlüsselte Nachricht $c_n$, indem er seine Daten $d_k mit dem öffentlichen Schlüssel $K_{n,k}$ von Alice multipliziert und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt: \[ - c_n\,=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n\,. + c_n=K_{n,k}\cdot d_k + e_n. \] Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) $d_k$ ein neuer, zufälliger Fehlervektor generiert. @@ -41,23 +41,23 @@ Die verschlüsselte Nachricht $c_n$ wird anschliessend Alice zugestellt. Alice entschlüsselt die erhaltene Nachricht in mehreren einzelnen Schritten. Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt: \begin{align*} - c_n\,&=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ - &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n\,. + c_n&=K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ + &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n. \end{align*} Zuerst wird der Effekt der Permutationsmatrix rückgängig gemacht, indem das Codewort mit der Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird: \begin{align*} - c_{n}''\,=\,P_n^{-1}\cdot c_n\,&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n\,. \\ + c_{n}''=P_n^{-1}\cdot c_n&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Eine weitere Vereinfachung ist nun möglich, weil $P_n^{-1}$ einerseits auch eine gewöhnliche Permutationsmatrix ist und andererseits ein zufälliger Fehlervektor $e_n$ multipliziert mit einer Permutationsmatrix wiederum einen zufälligen Fehlervektor gleicher Länge und mit der gleichen Anzahl Fehlern $e_n'$ ergibt: \begin{align*} - c_{n}''\,&=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad - e'_n\,=\,P_n^{-1}\cdot e_n\,. + c_{n}''&=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad + e'_n=P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Dank des fehlerkorrigierenden Codes, der durch die implizite Multiplikation mittels $G_{n,k}$ auf die Daten angewendet wurde, können nun die Bitfehler, verursacht durch den Fehlervektor $e'_n$, @@ -67,16 +67,16 @@ wird die Operation durch eine Funktion dargestellt. Wie dieser Decoder genau aufgebaut ist, hängt vom verwendeten Linearcode ab: \begin{align*} - c_{k}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_n$)}\\ - &=\text{Linear-Code-Decoder($G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n$)}\\ - &=S_{k}\cdot d_k\,. + c_{k}'&=\text{Linear-Code-Decoder}(c''_n)\\ + &=\text{Linear-Code-Decoder}(G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n)\\ + &=S_{k}\cdot d_k. \end{align*} Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der Inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert, womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde: -\begin{align*} - d'_{k}\,=\,S_{k}^{-1} \cdot c'_k&=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k\\ - &=d_k\,. -\end{align*} +\begin{equation*} + d'_{k}=S_{k}^{-1} \cdot c'_k=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k + =d_k. +\end{equation*} Möchte ein Angreifer die verschlüsselte Nachricht knacken, muss er die drei privaten Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$ kennen. Aus dem öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren und eine systematische Analyse der Codeworte wird durch das Hinzufügen von zufälligen Bitfehlern zusätzlich erschwert. @@ -95,7 +95,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1\\ 0 \end{pmatrix} - ,\, + ,\quad e_7= \begin{pmatrix} 0\\ @@ -105,7 +105,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0\\ 0\\ 0 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] \end{itemize} \item Private Matrizen: @@ -117,7 +117,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 - \end{pmatrix},\, + \end{pmatrix},\quad S_4^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ @@ -137,7 +137,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 - \end{pmatrix},\, + \end{pmatrix}, \] \item[] \[ @@ -150,8 +150,8 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 - \end{pmatrix} - ,\, + \end{pmatrix}, + \quad P_7^{-1}=P_7^t= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ @@ -161,11 +161,12 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - \end{pmatrix} - \,. + \end{pmatrix}. \] \end{itemize} \item Öffentlicher Schlüssel: +\index{Schlüssel, öffentlicher}% +\index{öffentlicher Schlüssel}% \begin{itemize} \item[] \begin{align*} @@ -206,7 +207,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Verschlüsselung: @@ -250,7 +251,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0\\ 0 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Entschlüsselung (Permutation rückgängig machen): @@ -287,14 +288,14 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1\\ 1 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Entschlüsselung (Bitfehlerkorrektur mit Linearcode): \begin{itemize} \item[] \begin{align*} - c_{7}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\ + c_{7}'&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\ \begin{pmatrix} %c' 1\\ 0\\ @@ -312,7 +313,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1 \end{pmatrix} \text{)} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Entschlüsselung (Umkehrung des $S_4$-Matrix-Effekts): @@ -340,7 +341,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1\\ 1 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \end{itemize} @@ -349,18 +350,22 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four \label{mceliece:subsection:seven_four}} Beim 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code, der einen Bitfehler korrigieren kann. +\index{7/4-Code}% +\index{linearer Code}% +\index{Code, linear}% Es gibt unterschiedliche Varianten zum Erzeugen eines 7/4-Codes, -wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generator-Polynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. -Somit lässt sich das Code-Polynom $P_c$ berechnen, indem das Daten-Polynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): +wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generatorpolynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. +\index{Generatorpolynom}% +Somit lässt sich das Codepolynom $P_c$ berechnen, indem das Datenpolynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): \[ - P_c=P_g \cdot P_d\,. + P_c=P_g \cdot P_d. \] -Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome in mit Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}): +Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome als Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}): \[ P_g = \textcolor{red}{1}\cdot x^0 + \textcolor{blue}{1}\cdot x^1 + \textcolor{darkgreen}{0}\cdot x^2 + \textcolor{orange}{1}\cdot x^3 \implies - [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4\,. + [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4. \] -Auch das Daten-Polynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$\,. +Auch das Datenpolynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$. Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepackt, sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisiert werden kann: @@ -390,17 +395,19 @@ sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisie c_4\\ c_5\\ c_6\\ - \end{pmatrix}\,. + \end{pmatrix}. \] -Beim nun entstandenen Code-Vektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Code-Polynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. +Beim nun entstandenen Codevektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Codepolynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. Aufgrund der Multiplikation mit dem Generatorpolynom $P_g$ lässt sich das Codewort auch wieder restlos durch $P_g$ dividieren. Wird dem Codewort nun einen Bitfehler hinzugefügt, entsteht bei der Division durch $P_g$ einen Rest. Beim gewählten Polynom beträgt die sogenannte Hamming-Distanz drei, das bedeutet, +\index{Hamming-Distanz}% dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler auftreten müssen. Somit ist es möglich, auf das ursprüngliche Bitmuster zu schliessen, solange maximal ein Bitfehler vorhanden ist. Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Division zu einem anderen Rest, womit das dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann, -indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndrom-Tabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndromtabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +\index{Syndromtabelle}% \begin{table} \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} @@ -418,5 +425,6 @@ indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannte \end{tabular} \end{center} - \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndrom-Tabelle 7/4-Code} + \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndromtabelle 7/4-Code} \end{table} +\index{Syndrom}% |