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diff --git a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex index ad9bcc2..a68ac8f 100644 --- a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex +++ b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex @@ -1,6 +1,12 @@ -Der Nutzen, welche die Clifford Algebra hat, lässt sich am besten mit den Worten des modernen Begründers dieser erläutern. +Der Nutzen, welche die Clifford Algebra hat, lässt sich am besten mit den Worten des modernen Begründers derselben erläutern. +\index{Clifford Algebra}% +\index{geometrische Algebra}% -"GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains." \cite{clifford:hestenes_GA} +\begin{quote} +GA [Geometric Algebra i.~a.~W.~Clifford Algebra] +provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains. \cite{clifford:hestenes_GA} +\end{quote} + +Im folgenden hoffen wir den Leser von der Nützlichkeit und der geometrischen Schönheit der Clifford Algebra zu überzeugen. -Im folgenden hoffen wir den Leser von der Nützlichkeit und der geometrischen Schönheit der Clifford Algebra zu überzeugen.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex index d04ea38..20220cb 100644 --- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex +++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex @@ -6,12 +6,13 @@ \section{Quaternionen} \rhead{Quaternionen} -Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine drehstreckende Eigenschaft. +Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. +Sie haben wie die komplexen Zahlen eine drehstreckende Eigenschaft. Sie finden beispielsweise in der Computergrafik und Robotik Anwendung. Die Quaternionen -\begin{align} -q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H} -\end{align} +\begin{align*} +q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R},\enspace q \in \mathbb{H} +\end{align*} können dabei eine Drehstreckung mit \begin{align} \label{QuatRot} \begin{split} @@ -19,100 +20,140 @@ v \mapsto v'' = qvq^{-1} \end{split} \end{align} erreichen, falls $q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}$ und die Zusammenhänge -\begin{align} +\begin{align*} \operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad\text{und}\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1}) -\end{align} -gelten. Auffallend ist bei der abbildenden Funktion \eqref{QuatRot} schon die Ähnlichkeit zur Funktion \eqref{rotGA} im Abschnitt Drehung. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in drei Dimensionen drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Abschnitt Drehung beschrieben, können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden, wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In vier Dimensionen würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind). +\end{align*} +gelten. +Auffallend ist bei der abbildenden Funktion \eqref{QuatRot} schon die Ähnlichkeit zur Funktion \eqref{rotGA} im Abschnitt~\ref{clifford:section:drehung}. +Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. +Der Grund liegt darin, weil es in drei Dimensionen drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. +Wie im Abschnitt~\ref{clifford:section:drehung} beschrieben, können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. +In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden, wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. +Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. +In vier Dimensionen würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{i\!j} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind). -Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden einer Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst durch +Ohne die geometrische Algebra haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. +Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. +Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. +Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden einer Quaternion auf einen Vektor. +Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst durch \begin{align} \mathbf{v} = x\mathbf{\hat{x}} + y\mathbf{\hat{y}} + z \mathbf{\hat{z}} \in \mathbb{R}^3 \enspace\mapsto\enspace v = 0 + xi + yj + zk \in \mathbb{H} \end{align} ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen. \subsection{Geometrische Algebra} -Die geometrische Algebra kann beide Probleme beheben. Die Quaternionen können, wie schon im zweidimensionalen Fall durch die gerade Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$ bilden. +Die geometrische Algebra kann beide Probleme beheben. +Die Quaternionen können, wie schon im zweidimensionalen Fall durch die Multivektoren gerader Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. +Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$ bilden. \begin{definition} Die Multivektoren mit drehstreckenden Eigenschaften in $G_3(\mathbb{R})$ sind - \begin{align} + \begin{align*} \mathbf{q} = w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31} \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace \mathbf{q} \in \mathbb{G}_3^+. - \end{align} + \end{align*} \end{definition} -Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum, wie in Abbildung \ref{BildQuaternionen} gezeigt, darstellen. +Die Probleme werden dadurch gelöst, dass wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. +Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum, wie in Abbildung \ref{BildQuaternionen} gezeigt, darstellen. \begin{figure} \centering \includegraphics{papers/clifford/3d/dq.pdf} - \caption{Darstellung eines Quaternion $\mathbf{q}$ und eines Vektors $\mathbf{v}$ im selben Raum} + \caption{Darstellung eines Quaternion $\mathbf{q}$ und eines Vektors $\mathbf{v}$ im selben Raum.} \label{BildQuaternionen} \end{figure} Betrachten wir nun das Produkt -\begin{align} +\begin{align*} \mathbf{qv} &= (w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31})(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)\\ &= \underbrace{w(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)}_{\displaystyle{w\mathbf{v}}} + \underbrace{x(-a\mathbf{e}_2+b\mathbf{e}_1}_{\displaystyle{x\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{12}}}}+c\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{y(-b\mathbf{e}_3+c\mathbf{e}_2}_{\displaystyle{y\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{23}}}}+a\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{z(a\mathbf{e}_3-c\mathbf{e}_1}_{\displaystyle{z\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{31}}}}-b\mathbf{e}_{123}). -\end{align} -Wie schon im zweidimensionalen Fall \eqref{GAdrehstreck}, beschreibt im dreidimensionalen Fall mit drei Bivektoren jeder Bivektoranteil um wie viel der um 90° gedrehte zu der Ebene parallele Teil des Vektors gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse und man sieht die drehstreckende Eigenschaft ähnlich zu den komplexen Zahlen. Der störende Trivektoranteil $(xc+ya+zb)\mathbf{e}_{123}$ bekommt man aber nur weg, indem man, wie in der Drehungsgleichung \eqref{QuatRot}, mit der Inversen Quaternion $\mathbf{q}^{-1}$ multipliziert, wobei die drehgestreckten parallelen Anteile nochmals drehgestreckt werden. Da nur so der Trivektoranteil wegfällt, sieht man, dass die Drehungsformel, der einzige vernünftige Weg ist, mit Quaternionen zu arbeiten. +\end{align*} +Wie schon im zweidimensionalen Fall \eqref{GAdrehstreck} beschreibt +im dreidimensionalen Fall mit drei Bivektoren jeder Bivektoranteil, +um wie viel der um $90^\circ$ gedrehte, zu der Ebene parallele Teil +des Vektors gestreckt wird. +Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse und man sieht die drehstreckende Eigenschaft ähnlich zu den komplexen Zahlen. +Der störende Trivektoranteil $(xc+ya+zb)\mathbf{e}_{123}$ bekommt man aber nur weg, indem man, wie in der Drehungsgleichung \eqref{QuatRot}, mit der Inversen Quaternion $\mathbf{q}^{-1}$ multipliziert, wobei die drehgestreckten parallelen Anteile nochmals drehgestreckt werden. +Da nur so der Trivektoranteil wegfällt, sieht man, dass die Drehungsformel der einzige vernünftige Weg ist, mit Quaternionen zu arbeiten. -In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|\mathbf{q}|=1$ haben und somit drehen sie die Objekte bzw. Vektoren lediglich. +In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. +Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|\mathbf{q}|=1$ haben und somit drehen sie die Objekte bzw.~Vektoren lediglich. \begin{definition} Die Einheitsquaternionen sind definiert als - \begin{align} + \begin{align*} \mathbf{q} = \cos(\alpha) + \sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31}) - \end{align} + \end{align*} \end{definition} Zudem setzten wir $\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1$, damit -\begin{align} +\begin{align*} |\mathbf{q}| = \sqrt{\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2) } = \sqrt{\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2} = 1. -\end{align} -Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild \ref{BildQuaternionBeispiel2} gezeigt, den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\parallel}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})$ gedreht wird. +\end{align*} +Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild \ref{BildQuaternionBeispiel2} gezeigt, den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\parallel}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $\sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})$ gedreht wird. Um einen Vektor zu drehen, verwendet man die in Abschnitt 18.4 hergeleitete Formel \begin{align} \label{QuatRotGA} -\begin{split} \mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1}, -\end{split} \end{align} wobei wie auch schon bei den Quaternionen gelten muss, dass \begin{align} \label{GAReIm} \operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1}) \quad\text{und}\quad \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^{-1}). \end{align} -Der Grund für die Zusammenhänge \eqref{GAReIm} kann man durch die hergeleitete vereinfachte Drehungsgleichung \eqref{GAvereinfRot} sehen, weil durch den negierten Winkel $\theta$ der Reelle bzw. Grad 0 Anteil -\begin{align} -\operatorname{Re}(e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) = \operatorname{Re}(e^{\theta \mathbf{e}_{12}}) -\end{align} -und der imaginäre bzw. Grad 2 Anteil -\begin{align} -\operatorname{Im}(e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) = -\operatorname{Im}(e^{\theta \mathbf{e}_{12}}) -\end{align} -ist. Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $\mathbf{q}$ und $\mathbf{q}^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Abschnitt Drehung bei der Formel \eqref{RotAufPerpPar} sehen kann. +Der Grund für die Zusammenhänge \eqref{GAReIm} kann man durch die hergeleitete vereinfachte Drehungsgleichung \eqref{GAvereinfRot} sehen, weil durch den negierten Winkel $\vartheta$ der reelle bzw.~Grad~0-Anteil +\begin{align*} +\operatorname{Re}(e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}}) = \operatorname{Re}(e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}}) +\end{align*} +und der imaginäre bzw.~Grad~2-Anteil +\begin{align*} +\operatorname{Im}(e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}}) = -\operatorname{Im}(e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}}) +\end{align*} +ist. +Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $\mathbf{q}$ und $\mathbf{q}^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Abschnitt~\ref{clifford:section:drehung} bei der Formel \eqref{RotAufPerpPar} sehen kann. \begin{beispiel} - Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um 90 Grad um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach 90 Grad um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst die Einheitsquaternion - \begin{align} + Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_2$-Achse. +Dafür nehmen wir zuerst die Einheitsquaternion + \begin{align*} \mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\ \mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23}) - \end{align} - welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um 90 Grad dreht und danach die Einheitsquaternion - \begin{align} + \end{align*} + welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion + \begin{align*} \mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\ \mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}), - \end{align} - welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene um 90 Grad dreht. Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist - \begin{align} \label{FormelBeispielQuaternion} - \mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} + \mathbf{e}_{23} + \mathbf{e}_{12})\\ - \mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 -\mathbf{e}_{31}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12}). - \end{align} + \end{align*} + welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene um $90^\circ$ dreht. +Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. +Somit ist +\begin{align} +\label{FormelBeispielQuaternion} +\mathbf{q} +&= +\mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} += +\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) +& +&= +\textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} + \mathbf{e}_{23} + \mathbf{e}_{12}) +\\ +\mathbf{q}^{-1} +&= +\mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} += +\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 -\mathbf{e}_{31}) +& +&= +\textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12}). +\notag +\end{align} Wenn wir nun die Quaternion $\mathbf{q}$ auf den Vektor $\mathbf{v}$ anwenden, erhalten wir - \begin{align} + \begin{align*} \mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1} &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} + \mathbf{e}_{23} + \mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_2)\textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12})\\ &= \textstyle{\frac{1}{4}}(\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_{123} - \mathbf{e}_3 + \mathbf{e}_1)(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12})\\ &= (\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_1 + (\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_2 +\\ &\qquad(-\textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_3 + (\textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} - \textstyle{\frac{1}{4}} + \textstyle{\frac{1}{4}})\mathbf{e}_{123}\\ &= 1e_1. - \end{align} + \end{align*} Anders betrachtet könnte man von der Formel \eqref{FormelBeispielQuaternion} sehen, dass der Drehwinkel - \begin{align} + \begin{align*} \alpha = \arccos(w) = \arccos(\textstyle{\frac{1}{2}}) = 60^\circ - \end{align} + \end{align*} und die Ebene der kombinierten Bivektoren wie in Abbildung \ref{BildQuaternionBeispiel2} aussieht. Somit kann man sich ebenfalls vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° gedreht wird, während der senkrechte Anteil unverändert bleibt. \end{beispiel} @@ -121,21 +162,27 @@ ist. Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Qua \centering \includegraphics{papers/clifford/3d/qq.pdf} - \caption{Beispiel für Drehung um 90 Grad je um die $\mathbf{e}_1$- und $\mathbf{e}_2$-Achse.} + \caption{Beispiel für Drehung um $90^\circ$ je um die $\mathbf{e}_1$- und $\mathbf{e}_2$-Achse.} \label{BildQuaternionBeispiel} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics{papers/clifford/3d/drehung.pdf} - \caption{Beim Beispiel wird der parallele Anteil um 120° gedreht während der senkrechte Anteil zur kombinierten Ebene (Bivektoraddition) gleich bleibt} + \caption{Beim Beispiel wird der parallele Anteil um 120° gedreht während der senkrechte Anteil zur kombinierten Ebene (Bivektoraddition) gleich bleibt.} \label{BildQuaternionBeispiel2} \end{figure} \subsection{Interpolation} -In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die ganze gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere Drehbewegungen aufgeteilt, wobei diese zeitlich nacheinander auf das Objekt angewendet werden. Als Vergleich könnte man sagen, dass ein Film auch nur Bilder sind, welche zeitlich nacheinander gezeigt werden. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. +\index{Interpolation}% +In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. +Dabei wird die ganze gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere Drehbewegungen aufgeteilt, wobei diese zeitlich nacheinander auf das Objekt angewendet werden. +Als Vergleich könnte man sagen, dass ein Film auch nur Bilder sind, welche zeitlich nacheinander gezeigt werden. +Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. \begin{itemize} - \item Mit den Eulerschen Winkeln, welche für die Meisten zwar intuitiver sind, aber dafür Nachteile haben, worauf ich in diesem Abschnitt eingehen werde. Dabei kann eine ganze Drehbewegung $\mathbf{v}'' = R\mathbf{v}$ durch die Drehmatrix + \item Mit den eulerschen Winkeln, welche für die meisten zwar intuitiver sind, aber dafür Nachteile haben, worauf +in diesem Abschnitt eingegangen werden soll. +Dabei kann eine ganze Drehbewegung $\mathbf{v}'' = R\mathbf{v}$ durch die Drehmatrix \begin{align} \label{GADrehmatrix} R = \underbrace{ @@ -154,8 +201,17 @@ In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegu \end{pmatrix} }_{\displaystyle{R_x(\alpha)}} \end{align} - dargestellt werden. Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal im Bild \ref{BildReihenfolgeGimbal} sehen. Die Matrix ganz links in der Gleichung \eqref{GADrehmatrix} ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt mitdreht. Man kann dabei erkennen, dass Vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann, eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche $x$-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen $x$-Achse wurde. - \item Mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Drehungsposition sich das Objekt befindet. + dargestellt werden. +Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. +Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. +Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal im Bild \ref{BildReihenfolgeGimbal} sehen. +Die Matrix ganz links in der Gleichung~\eqref{GADrehmatrix} ist die, welche als letztes angewendet wird. +Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. +Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt mitdreht. +Man kann dabei erkennen, dass das Vorgehen zwar sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann, eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die inneren drehen. +Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche $x$-Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche $x$-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen $x$-Achse wurde. + + \item Mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achse ausgeführt wird, egal in welcher Drehungsposition sich das Objekt befindet. \end{itemize} Für Spielentwickler ist es darum meist sinnvoller Quaternionen für Drehbewegungen anzuwenden, als sich mit komplizierten Berechnungen mit Eulerschen Winkeln herumzuschlagen. @@ -167,11 +223,15 @@ Für Spielentwickler ist es darum meist sinnvoller Quaternionen für Drehbewegun \end{figure} \subsection{Gimbal-Lock} -Ein weiterer Nachteil der Eulerschen Winkel ist das Gimbal-Lock. Es entsteht dann, wenn zwei Ringe Deckungsgleich übereinander gedreht werden, wie man im Bild \eqref{BildReihenfolgeGimbal} sieht. Dabei verliert das Gimbal eine Drehrichtung, da der äussere und Innere Ring nun die gleiche Drehrichtung besitzen. Dies kann beispielsweise Probleme bei Spielen bei der Berechnung der Interpolation führen. Man hat dies bei älteren Spielen wie im Bild \ref{BildGimbalLock} dann gesehen, wenn plötzlich Gliedmassen bei den Spielermodellen in unnatürliche Richtungen gesprungen sind. +Ein weiterer Nachteil der Eulerschen Winkel ist das Gimbal-Lock. +Es entsteht dann, wenn zwei Ringe Deckungsgleich übereinander gedreht werden, wie man im Bild \eqref{BildReihenfolgeGimbal} sieht. +Dabei verliert das Gimbal eine Drehrichtung, da der äussere und innere Ring nun die gleiche Drehrichtung besitzen. +Dies kann beispielsweise Probleme bei Spielen bei der Berechnung der Interpolation führen. +Man hat dies bei älteren Spielen wie im Bild \ref{BildGimbalLock} dann gesehen, wenn plötzlich Gliedmassen bei den Spielermodellen in unnatürliche Richtungen gesprungen sind. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png} \caption{Interpolationsfehler durch Gimbal-Lock} \label{BildGimbalLock} -\end{figure}
\ No newline at end of file +\end{figure} diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex index ac00a33..0bec4b6 100644 --- a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex +++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}} \rhead{Vektoroperationen} -\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}} +Das grundsätzliche Ziel der geometrischen Algebra ist, die lineare Algebra zu einer Algebra mit Multiplikation zu erweitern und dieses Produkt dann geometrisch interpretieren, um geometrische Probleme lösen zu können. + \subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}} Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren -\begin{equation} - \begin{split} +\begin{align*} \textbf{a} &= \begin{pmatrix} @@ -20,7 +20,8 @@ Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombinat + a_n\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 - \end{pmatrix} \\\ + \end{pmatrix},\\ +\intertext{oder auch als} &= a_1\textbf{e}_1 + @@ -29,17 +30,15 @@ Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombinat \dots + a_n\textbf{e}_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i - \qquad + \quad a_i \in \mathbb{R} , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n - \end{split} -\end{equation} +\end{align*} dargestellt werden. -Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormal sind. -Um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, \dots$ ersetzt. +Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormiert sind. \begin{beispiel} Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aussehen - \begin{equation} + \begin{equation*} \begin{pmatrix} 42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4 \end{pmatrix} @@ -68,6 +67,6 @@ Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aus 1291\textbf{e}_3 + 4\textbf{e}_4. - \end{equation} -Dieses Beispiel ist für einen vier dimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. + \end{equation*} +Dieses Beispiel ist für einen vierdimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. \end{beispiel} diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex index 6c6fb7d..8916e15 100644 --- a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex @@ -1,7 +1,8 @@ \subsection{Quadrat von Vektoren} \subsubsection{Ziel der Multiplikation} -Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken. -\begin{figure}[htb] +\index{Multiplikation}% +Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}. Was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt, mag anfänglich unintuitiv wirken. +\begin{figure}[tb] \centering \begin{tikzpicture} \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); @@ -16,107 +17,116 @@ Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall sind diese Elemente Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation sein soll. -Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen,so definiert ist. - -Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen ausklammern -\begin{equation} +\begin{ziel} + \label{clifford:ziel} + Der Vektorraum der $n$-dimensionalen Vektoren soll zu einer Algebra so erweitert werden, dass das Quadrat von Vektoren durch die Länge des Vektors ausgedrückt werden kann. +\end{ziel} +Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, das heisst wir dürfen wie in +\index{Assoziativgesetz}% +\begin{equation*} \label{eq:assoziativ} \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k) = - \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k. -\end{equation} -Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente + \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k +\end{equation*} +ausklammern. +Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider oder, wie man sehen wird, zum Glück nur für skalare Elemente wie in +\index{Kommutativgesetz}% \begin{equation} \label{eq:kommSkalar} a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j = - ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R} + ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R}, \end{equation} -und nicht für Vektoren +aber nicht für Vektoren. Im Allgemeinen wird \begin{equation} \label{eq:kommVector} \textbf{e}_i\textbf{e}_j \neq - \textbf{e}_j\textbf{e}_i. + \textbf{e}_j\textbf{e}_i \end{equation} +sein. \subsubsection{Quadrieren eines Vektors} -Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben +\index{Quadrieren}% +Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. +Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben: \begin{equation} \textbf{a}^2 = - \left ( + \biggl( \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i - \right ) - \left ( + \biggr) + \biggl( \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i - \right ) + \biggr) \label{eq:quad_a_1}. \end{equation} -Das Quadrat kann nun in zwei Summen aufgeteilt werden +Das Quadrat kann nun in zwei Summen \begin{equation} \textbf{a}^2 = \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} + \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } - \label{eq:quad_a_2}, + \label{eq:quad_a_2} \end{equation} -wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, weil das zuvor definierte Ziel des Quadrates eines Vektors dessen Länge ergibt und die Basisvektoren Länge 1 haben, wird dies nun eingesetzt +aufgeteilt werden, wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. +Wie zuvor in Ziel~\ref{clifford:ziel} definiert, ergibt das Quadrat eines Vektors dessen Länge + Da die Basisvektoren orthonormiert sind, muss $\textbf{e}_i^2 = 1$ gelten: \begin{equation} - \textbf{a}^2 = \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}. + \textbf{a}^2 = \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}. \label{eq:quad_a_3} \end{equation} \begin{beispiel} -Das Quadrat des Vektor $a$ in $\mathbb{R}^2$ ist -\begin{equation} - \begin{split} +Das Quadrat des Vektor $\textbf{a}$ in $\mathbb{R}^2$ ist +\begin{align*} \textbf{a}^2 - &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\ + &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\ &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2} - + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} \\\ - & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} - \end{split}. -\end{equation} + + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} \\ + & = \textcolor{red}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{blue}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}. +\qedhere +\end{align*} \end{beispiel} -Die hellblaue Teil ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. -Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben muss +Der rote Teil von \eqref{eq:quad_a_3} ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. +Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung \begin{equation} \label{eq:Mischterme_Null} \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0. \end{equation} -Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden. -Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich -\begin{equation} -\begin{split} + ergeben muss. + Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden. + +Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss, werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. +Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. +Wird dies weiter vereinfacht, ergibt sich +\begin{equation*} +\begin{aligned} a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\ a_1a_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -a_1a_2\textbf{e}_2\textbf{e}_1 \\ \textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -\textbf{e}_2\textbf{e}_1. -\end{split} -\end{equation} +\end{aligned} +\end{equation*} \begin{satz} - Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind, es gilt also - \begin{equation} - \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j. - \end{equation} + Die Multiplikation von orthogonalen Vektoren ist antikommutativ: + \begin{equation*} + \mathbf{e}_i\mathbf{e}_j = -\mathbf{e}_j\mathbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \mathbf{e}_i \perp \mathbf{e}_j. + \end{equation*} \end{satz} -Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde. +Dieses Wissen reicht nun bereits, um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde. \begin{table} \begin{center} -\begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| } +\begin{tabular}{ |c|ccccc| } \hline & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_{n}$ \\ \hline $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ \\ - \hline $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & 1 & $\dots$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ \\ - \hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ - \hline $\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\dots$ & $1$ & $\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ \\ - \hline $\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ & $\dots$ & $-\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Multiplikationstabelle für Vektoren} \label{tab:multip_vec} -\end{table}
\ No newline at end of file +\end{table} diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex index 0969b89..d3c6dc5 100644 --- a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex @@ -1,34 +1,37 @@ \subsection{Multiplikation von Vektoren} -Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren, $u$ und $v$ -\begin{equation} +Was geschieht nun, wenn zwei beliebige Vektoren +\begin{equation*} \textbf{u} = \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i - \qquad + \quad + \text{und} + \quad \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i -\end{equation} +\end{equation*} miteinander multipliziert werden? - - Wieder werden die Vektoren zuerst als Linearkombinationen darstellen und danach in zwei Summen aufgeteilt, eine Summe mit quadrierten Termen und eine Summe mit Mischtermen + Wieder werden die Vektoren zuerst als Linearkombinationen dargestellt und danach in zwei Summen aufgeteilt, +eine Summe mit quadrierten Termen und eine Summe mit Mischtermen \begin{equation} - \begin{split} +% \begin{split} \textbf{u}\textbf{v} = - \left ( + \biggl( \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i - \right ) - \left ( + \biggr) + \biggl( \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i - \right) + \biggr) = \sum_{i=1}^n u_iv_i\underbrace{\textbf{e}_i^2}_{1} - + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j, - \end{split} + + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j. +% \end{split} \end{equation} -wobei die Summe der quadrierten Termen bereits bekannt vorkommen könnte, es ist nämlich das Skalarprodukt von $u$ und $v$. Die Summe der Mischterme bilden etwas neues, dass wir das äussere Produkt von $u$ und $v$ nennen. +Die Summe der quadrierten Terme ist bereits aus \eqref{eq:quad_a_3} bekannt, +sie ist nämlich das Skalarprodukt von $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$. +Die Summe der Mischterme bilden etwas Neues, dass wir das äussere Produkt von $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ nennen. \begin{beispiel} - Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$ -\begin{equation} - \begin{split} + Die Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$ ergibt +\begin{align*} \textbf{u}\textbf{v} &= (u_1\textbf{e}_1 + u_2\textbf{e}_2)(v_1\textbf{e}_1 + v_2\textbf{e}_2) @@ -44,22 +47,21 @@ wobei die Summe der quadrierten Termen bereits bekannt vorkommen könnte, es ist &= \underbrace{(u_1v_1 + u_2v_2)}_{\text{Skalarprodukt}} + - \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}} - \end{split} -\end{equation} + \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}. +\qedhere +\end{align*} \end{beispiel} -\subsubsection{Äusseres Produkt} -Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt -\begin{equation} +\subsubsection{Das äussere Produkt} +Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt: +\begin{equation*} \textbf{u}\wedge \textbf{v} = - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j -\end{equation} + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j . +\end{equation*} \begin{beispiel} Das äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist -\begin{equation} - \begin{split} - u \wedge v +\begin{align*} + \textbf{u} \wedge \textbf{v} &= u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + @@ -78,40 +80,41 @@ Das äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3. - \end{split} -\end{equation} +\qedhere +\end{align*} \end{beispiel} -Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \eqref{eq:u_wedge_v}-\eqref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet. Die Summe, +Im letzten Schritt des Beispiels wurden mit Hilfe der Antikommutativität des Produkts die Vektorprodukte zusammengefasst, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten. +Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den folgenden Gleichungen \eqref{eq:u_wedge_v}--\eqref{eq:u_wedge_v_5} gezeigt werden soll. +Die Summe \begin{align} \textbf{u}\wedge \textbf{v} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j, \label{eq:u_wedge_v} - \intertext{wird in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. - Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat} - \label{eq:u_wedge_v_1} + \intertext{wird in zwei verschiedene Summen} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j. - \intertext{Nun werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht} + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j \label{eq:u_wedge_v_2} + \intertext{aufgeteilt. + Die linke Summe beinhaltet den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle.Nun werden die Indizes der zweiten Summe vertauscht, sie wird} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i, - \intertext{und diese wird nun mit Hilfe der Antikommutativität umgeformt zu} + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i. + \intertext{Mit Hilfe der Antikommutativität kann dies umgeformt werden zu} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j. - \intertext{Nun können die zwei Summen wieder zusammengefasst werden} + \intertext{Nun können die zwei Summen wieder zu} \label{eq:u_wedge_v_4} &= - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j. - \intertext{Der Term in der Summe könnte einem bereits bekannt vorkommen, es ist nämlich die Determinante einer Matrix mit $u$ und $v$ als ihre Spalten} + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j + \intertext{zusammengefasst werden. Der Koeffizient $(u_iv_j - u_jv_i)$ in der Summe ist wohlbekannt, es ist nämlich die Determinante einer $2\times2$ Matrix mit $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ als ihre Spalten} &= \label{eq:u_wedge_v_5} \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix} @@ -119,15 +122,16 @@ Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität d u_j & v_j \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j. \end{align} -Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt. -\begin{figure}[htb] + +Die Determinante einer $2\times2$ Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt. +\begin{figure} \centering \begin{minipage}[t]{.45\linewidth} \centering - \begin{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); - \draw[<->] (0,0)--(4,0) ; - \draw[<->] (0,0)--(0,4) ; + \draw[->] (0,0)--(4.2,0) node[right]{$x$}; + \draw[->] (0,0)--(0,4.2) node[above]{$y$}; \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2); \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{u}$}; @@ -142,16 +146,16 @@ Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvekt \hfill% \begin{minipage}[t]{.45\linewidth} \centering - \begin{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); - \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$}; - \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$}; + \draw[->] (0,0)--(4.2,0) node[right]{$x$}; + \draw[->] (0,0)--(0,4.2) node[above]{$y$}; \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2); \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{u}$}; \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3); - \draw[black] (2,1.5)--(2.5,3.2) node[anchor = south]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} + \draw[black] (2,1.5)--(3.3,3.2) node[anchor = south]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} u_i & v_i \\ u_j & v_j \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$}; @@ -160,14 +164,16 @@ Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvekt \end{minipage} \end{figure} Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe - \(\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n\) + %\(\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n\) von Flächen \(\begin{vmatrix} u_i & v_i \\ u_j & v_j \end{vmatrix}\) -, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. +, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \eqref{eq:u_wedge_v_5} sieht. Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung. -Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird. -Dies ist in Abbildung \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. -Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist. +\index{Umlaufrichtung}% +Die gebildete Fläche wird in Richtung des ersten Vektors umschritten. +Dies ist in Abbildung \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung $\textbf{u}$ umschritten wird. +Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zweidimensionaler Vektor ist. +\index{Bivektor}% diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex index f18b90d..5f970c7 100644 --- a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex +++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex @@ -1,55 +1,67 @@ \subsection{Geometrisches Produkt} -Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geometrische Produkt, dieses können wir nun als Summe aus dem Skalar- und dem äusseren Produkt darstellen -\begin{equation} +\index{geometrisches Produkt} +Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geometrische Produkt, dieses können wir nun als Summe aus dem Skalar- und dem äusseren Produkt darstellen als +\begin{equation*} \textbf{u}\textbf{v} = \textbf{u}\cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v}. -\end{equation} -Dieses Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt ein Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurück gibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren? -Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reelen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. +\end{equation*} +Das Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt einen Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurückgibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren? +Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reellen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. Dieses Objekt, also die Summe von verschiedenen Elemente der Clifford Algebra, wird Multivektor genannt. \begin{definition} -Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektoren, Bivektoren oder Trivektoren (Volumen mit einer Richtung), der Clifford Algebra. -\begin{equation} - M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right) -\end{equation} +Neben dem eindimensionalen Vektor, dem zweidimensionalen Bivektor gibt es noch höher dimensionale Vektoren, wie zum Beispiel der dreidimensionale Trivektor. \end{definition} -Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt. +\index{Trivektor}% +\begin{definition} +Skalare heissen auch Elemente vom Grad~0, Vektoren haben den Grad~1, Bivektoren den Grad~2, Trivektoren den Grad~3 usw. +\end{definition} +\begin{definition} + Für das Produkt von Basisvektoren wird die Notation + \begin{equation} + e_ie_j = e_{i\!j} + \end{equation} + definiert. +\end{definition} +\begin{definition} + Die Linearkombination von Vektoren, Bivektoren und Produkten von Vektoren höheren Grades + bildet einen Multivektor + \begin{equation} + M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right ). + \end{equation} +\end{definition} +Besteht eine Clifford Algebra aus $n$ Basisvektoren so hat sie $n$ Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt. +\index{GnR@$G_n(\mathbb{R})$}% +\index{Clifford Algebra}% \begin{beispiel} -Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$ -\begin{equation} +Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$: +\begin{equation*} M = a + \underbrace{b\textbf{e}_1 + c\textbf{e}_2 + d\textbf{e}_3}_{\text{Vektorteil}} + \underbrace{f\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + g\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + h\textbf{e}_2\textbf{e}_3 }_{\text{Bivektorteil}} + - \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}} -\end{equation} + \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}}. +\end{equation*} \end{beispiel} -\begin{definition} -Für das Produkt von Basisvektoren wird folgende Notation definiert - \begin{equation} - e_ie_j = e_{ij}. - \end{equation} -\end{definition} -Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für $G_3(\mathbb{R})$ gemacht. \begin{table} - \label{tab:multip} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|ccc|ccc|c| } \hline - 1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\ + $1$ & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\ \hline $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\ - $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\ - $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\ + $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & $1$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\ + $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & $1$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\ \hline - $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$\\ - $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{2}$\\ - $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\ + $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$\\ + $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{2}$\\ + $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{1}$ \\ \hline - $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\ + $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & $-1$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} - \caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$} + \caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$ + \label{tab:multip}} \end{table} +Nun, da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde, können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für $G_3(\mathbb{R})$ gemacht. diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex index 80fb49f..500b03e 100644 --- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex +++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex @@ -1,29 +1,47 @@ \subsection{Polare Darstellung des geometrischen Produktes} -Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben. Das Skalarprodukt kann als -\begin{equation} - \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha} -\end{equation} -beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt. -\newline -Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben -\begin{equation} +\index{Polardarstellung}% +Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben. +Das Skalarprodukt kann als +\begin{equation*} + \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\cos{\alpha} +\end{equation*} +beschrieben werden, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist. + +Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelograms und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. +Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus-Term +\begin{equation*} \textbf{u} \wedge \textbf{v} = + \sum_{i<j} \begin{vmatrix} u_i & v_i \\ u_j & v_j \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j = - \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j -\end{equation} -Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline -Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen -\begin{equation} + \underbrace{|\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{b}_1\textbf{b}_2 +\end{equation*} +beschreiben. +Die Fläche des Parallelogramms liegt dabei auf der von $\textbf{b}_1$ und $\textbf{b}_2$ aufgespannten Ebene. + +Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt +\begin{equation*} \textbf{u}\textbf{v} = - |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)} + |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\cos{(\alpha)} + - |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j + |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{b}_1\textbf{b}_2 = - |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j) -\end{equation}
\ No newline at end of file + |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{b}_1\textbf{b}_2) +\end{equation*} +vereinen. +Daraus kann geschlussfolgert werden, dass +\begin{equation} + \textbf{u} \textbf{v}=-\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u}\perp \textbf{v} + \label{uperpv} +\end{equation} +und +\begin{equation} + \textbf{u} \textbf{v}=\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u} \parallel \textbf{v} + \label{uparallelv} +\end{equation} +gilt. diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex index 4e82f28..70d28ad 100644 --- a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex +++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex @@ -5,15 +5,18 @@ % \section{Pauli-Matrizen} \rhead{Pauli-Matrizen} +\index{Pauli-Matrizen}% Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen einen textuellen Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt. \begin{beispiel} Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann. Dies ermöglicht zum Beispiel die Vereinfachung - \begin{align} - 3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2 - \end{align} + \begin{equation*} + 3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \quad\Rightarrow\quad 6 + 3\mathbf{e}_2 +\qedhere + \end{equation*} \end{beispiel} -Ein textueller Algorithmus ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen. +Ein textueller Algorithmus ist aber sehr ineffizient. +Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen. \begin{definition} \label{def:defPauli} Die Matrizen \begin{align} \label{Pauli} @@ -40,7 +43,8 @@ Ein textueller Algorithmus ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden \end{align} heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare) \end{definition} -Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra erzeugen. +Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. +So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra erzeugen. \begin{definition} \label{def:defPauli2} Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet aus den Pauli-Matrizen sind \begin{align} \label{Pauli2} @@ -67,7 +71,7 @@ Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebrais \end{align} \end{definition} Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat. Zum Beispiel gilt in der Clifford-Algebra $\mathbf{e}_1^2=\mathbf{e}_0$ und $\mathbf{e}_{12}^2=-\mathbf{e}_0$, genau die selbe Relation gilt auch für die zugehörigen Matrizen, wie man durch die Matrizenrechnungen -\begin{align} +\begin{align*} \mathbf{e}_1^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ @@ -86,14 +90,16 @@ j & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 -\end{align} -bestätigt. Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herauslesen. +\end{align*} +bestätigt. +Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. +Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herauslesen. \begin{hilfssatz} Ein beliebiger Multivektor \begin{align} \label{MultiVektorAllg} M = a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123} \end{align} - erhält durch das einsetzten der Formel Matrizen \eqref{Pauli} und \eqref{Pauli2} die Form + erhält durch das Einsetzten der Matrizen aus \eqref{Pauli} und \eqref{Pauli2} die Form \begin{align} M = \begin{pmatrix} @@ -105,24 +111,25 @@ bestätigt. Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPau Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden. \begin{beispiel} Die Matrix - \begin{align} - M &= + \begin{equation*} + M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1j \end{pmatrix} - \end{align} + \end{equation*} soll als Multivektor in der Form \eqref{MultiVektorAllg} geschrieben werden. Dafür entnehmen wir aus \eqref{MultivektorMatirx} die Gleichungen - \begin{align} + \begin{equation*} a_0 + a_3 = 1,\quad a_0 - a_3 = 0,\quad a_{12}+a_{123} = 0\enspace\text{und}\enspace -a_{12}+a_{123}=-1, - \end{align} + \end{equation*} aus denen man auf - \begin{align} + \begin{equation*} a_0 = \dfrac{1}{2},\quad a_3 = \dfrac{1}{2},\quad a_{12}=\dfrac{1}{2}\enspace\text{und}\enspace a_{123}=-\dfrac{1}{2} - \end{align} + \end{equation*} schliessen kann. Da die restlichen Realteile und Imaginärteile 0 sind, werden die anderen Anteile ebenfalls 0 sein. Daher ist - \begin{align} + \begin{equation*} M = \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3 + \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{12} - \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{123}. - \end{align} +\qedhere + \end{equation*} \end{beispiel} -Die Clifford-Algebra ist bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
\ No newline at end of file +Die Clifford-Algebra ist bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen. diff --git a/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex b/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex index c79d908..f818958 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Spiegelung.tex @@ -5,14 +5,16 @@ % \section{Spiegelung} \rhead{Spiegelung} +\index{Spiegelung}% -Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen, wie beispielsweise die später beschriebene Drehung, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. +Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen wie beispielsweise die später beschriebene Drehung ableiten kann. +Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \begin{figure} \centering - \begin{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); - \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; - \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[->] (-3.1,0)--(3.2,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[->] (0,-1.1)--(0,3.2) node[above]{$a_2$}; \draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$}; \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; @@ -28,18 +30,18 @@ Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man we \label{BildSpiegelung} \end{figure} -\subsection{Linearen Algebra} -Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene, wie in Abbildung \ref{BildSpiegelung} gezeigt, wie folgt beschreiben kann. +\subsection{Spiegelung in der linearen Algebra} +Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie in Abbildung \ref{BildSpiegelung} gezeigt wie folgt beschreiben kann. \begin{definition} Die Abbildung der Spiegelung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$ zur Spiegelebene ist \begin{equation} \label{RefLinAlg} \mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v'} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel u}}. \end{equation} \end{definition} -Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Weil man $\mathbf{v_{\parallel u}}$ auch als Skalarprodukt $\mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{\hat{u}} \cdot \mathbf{v}$ schreiben kann, ist es leicht diese Abbildung auch als Matrix darzustellen. Sei $\mathbf{\hat{u}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungsebene, also $\mathbf{\hat{u}}\perp \sigma_u$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{u}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix -\begin{align} +Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Weil man $\mathbf{v_{\parallel u}}$ auch als Skalarprodukt $\mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{\hat{u}} \cdot \mathbf{v}$ schreiben kann, ist es leicht, diese Abbildung auch als Matrix darzustellen. Sei $\mathbf{\hat{u}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungsebene, also $\mathbf{\hat{u}}\perp \sigma_u$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{u}}| = 1$, dann kann die Spiegelung durch die Matrix +\begin{align*} S = E - 2\mathbf{\hat{u}\hat{u}}^t -\end{align} +\end{align*} beschrieben werden. In zwei und drei Dimensionen ergibt die Berechnung \begin{align} \label{Spiegelmatrizen} S_2 = \begin{pmatrix} @@ -52,14 +54,17 @@ S_3 = \begin{pmatrix} -2u_1u_3 & -2u_2u_3 & 1-2u_3^2\\ \end{pmatrix}. \end{align} -Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ hat die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus -\begin{align} +Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. +\index{On@$\operatorname{O}(n)$}% +Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ hat die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus +\begin{align*} S_n^t S_n = S_n^2 = E -\end{align} +\end{align*} schliessen kann. -\subsection{Geometrische Algebra} -Wir definieren zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert. +\subsection{Spiegelung in der geometrische Algebra} +Wir definieren zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form in der linearen Algebra nicht existiert. +\index{Inverse eines Vektors}% \begin{definition} Die Inverse eines Vektors wird definiert als \begin{align} \label{InverseGA} @@ -67,34 +72,41 @@ Wir definieren zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in \end{align} \end{definition} Diese Definition ist sinnvoll, da wegen $\mathbf{u}^2 = |\mathbf{u}|^2$ folgt -\begin{align} +\begin{align*} \mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1. -\end{align} +\end{align*} Der Vektor $\mathbf{u}^{-1}$ in \eqref{InverseGA} ist also tatsächlich das inverse Element im Sinne des Produktes in der geometrischen Algebra. Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann. \begin{definition} Die Abbildung der Spiegelung in der geometrischen Algebra mit dem senkrechten Vektor $\mathbf{u}$ zur Spiegelungsebene $\sigma_u$ ist \begin{align}\label{RefGA} - \mathbf{v} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1} + \mathbf{v} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1}. \end{align} \end{definition} Um zu überprüfen, ob die Spiegelungsgleichung \eqref{RefGA} wirklich eine Spiegelung ist, setzen wir zuerst in diese Gleichung $\mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}}$ ein. Wir bekommen somit -\begin{align} +\begin{align*} \mathbf{v}' = -\mathbf{uv_{\perp u}u}^{-1} - \mathbf{uv_{\parallel u}u}^{-1}. -\end{align} +\end{align*} Danach können wir mit Hilfe der aus der Schlussfolgerung \eqref{uperpv} und \eqref{uparallelv} hergeleiteten Zusammenhänge -\begin{align} +\begin{align*} \mathbf{uv_{\perp u}} = -\mathbf{v_{\perp u}u} \quad\text{und}\quad \mathbf{uv_{\parallel u}}=\mathbf{v_{\parallel u}u}, -\end{align} +\end{align*} die Gleichung weiter umformen zu -\begin{align} +\begin{align*} \mathbf{v}' = -(-\mathbf{v_{\perp u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} -(\mathbf{v_{\parallel u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}. -\end{align} +\end{align*} Man sieht, dass das Resultat $\mathbf{v}' = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}$ gleichbedeutend zu der Definition \eqref{RefLinAlg} der Spiegelung ist. -Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung \eqref{RefGA} zu +Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, wird die Gleichung \eqref{RefGA} zu \begin{align} \mathbf{v'} = -\mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} -vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in drei Dimensionen keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
\ No newline at end of file +vereinfacht. +Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in +jeder anderen Dimension durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} +beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer +der gleiche Vorgehensweise. +Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht +möglich, da bis auf das Vektorprodukt in drei Dimensionen keine +Multiplikation von Vektoren definiert ist. diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index 43d8f8a..7a95b72 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -3,26 +3,34 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Drehung} +\section{Drehung +\label{clifford:section:drehung}} \rhead{Drehung} -Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Drehung, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich, wie im Bild \ref{BildSpiegRot} dargestellt, beispielsweise ein Objekt vor und spiegelt dieses an einer Ebene, dann ist es unmöglich, nur durch eine Drehung (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde. +Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. +Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorher gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. +Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung wie bei einer Drehung nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. +Stellt man sich, wie im Bild \ref{BildSpiegRot} dargestellt, beispielsweise ein Objekt vor und spiegelt dieses an einer Ebene, dann ist es unmöglich, nur durch eine Drehung (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. +Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. +Das liegt daran, dass die Orientierung zweimal invertiert wurde. +\index{Drehung}% +\index{Orientierung}% \begin{figure} \centering \includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/images/spiegelung.pdf} - \caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Umkehrung der Orientierung} + \caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Umkehrung der Orientierung.} \label{BildSpiegRot} \end{figure} \begin{figure} \centering - \begin{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); - \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; - \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; - \draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$}; - \draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$}; + \draw[->] (-3.1,0)--(3.2,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[->] (0,-1.1)--(0,3.2) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=1.0pt,darkgreen,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$}; + \draw[line width=1.0pt,darkgreen,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$}; \draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$}; \draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$}; \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; @@ -37,28 +45,35 @@ Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kan \coordinate (B) at (2.5,0); \coordinate (C) at (0.957, 2.31); \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw, thick, angle radius=1cm}} - \draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C}; + \draw pic ["$\vartheta$", anglestyle] {angle = B--A--C}; \coordinate (D) at (0,0); \coordinate (E) at (1,1); \coordinate (F) at (-1, 0); \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw, thick, angle radius=1.25cm}} - \draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F}; + \draw pic ["$2\vartheta$", anglestyle] {angle = E--D--F}; \end{tikzpicture} - \caption{Drehung des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$} + \caption{Drehung des Vektors $\textbf{v}$ um $2\vartheta$} \label{BildDrehung} \end{figure} -\subsection{Linearen Algebra} -In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$ aus den Matrizen -\begin{align} +\subsection{Drehung in der linearen Algebra} +In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. +\index{SO(n)@$\operatorname{SO}(n)$}% +Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$ aus den Matrizen +\begin{align*} D = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix},\quad \alpha \in [0, 2\pi). -\end{align} -Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Die Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. Eine übersichtliche Darstellung der beschriebenen Matrizengruppen sieht man in der Abbildung \ref{BildMatrizenGruppen} +\end{align*} +Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. +$\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. +Die Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E$ und $\det(D)=1$. +Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. +$\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. +Eine übersichtliche Darstellung der beschriebenen Matrizengruppen sieht man in der Abbildung \ref{BildMatrizenGruppen}. \begin{figure} \centering @@ -67,11 +82,13 @@ Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \te \label{BildMatrizenGruppen} \end{figure} -\subsection{Geometrische Algebra} +\subsection{Drehung in der geometrische Algebra} Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Drehung durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Drehung mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten. \begin{satz} Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Drehung +durch \begin{align} \label{rotGA} +\mathbf{v}\mapsto \mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) \end{align} beschreiben. @@ -79,120 +96,134 @@ Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Drehung durch zwei Spiegelungen Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. \subsubsection{Exponentialform} Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{1}$-$\mathbf{e}_{2}$-Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{i}$-$\mathbf{e}_{j}$-Ebenen $(i\not=j)$ erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform -\begin{align} -\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right) -\end{align} +\begin{align*} +\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\vartheta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\vartheta_w) \mathbf{e}_2\right) +\end{align*} eines Vektors einen Faktor 1 durch $1=\mathbf{e}_1^2$ und erhalten beim Sinus \begin{align}\label{e1ausklammern} -\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). +\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\vartheta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\vartheta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). \end{align} In einem zweiten Schritt klammern wir $\mathbf{e}_1$ aus, dies ergibt \begin{align} -\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA} -\end{align} -Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks in der Formel \eqref{ExponentialGA} zu der Eulerschen Formel bei den komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen -\begin{align} -\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\ -\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots -\end{align} +\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\vartheta_w)+ \sin(\vartheta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA} +\end{align} +Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks in der Formel \eqref{ExponentialGA} zu der eulerschen Formel bei den komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen +\index{eulersche Formel}% +\index{Reihenentwicklung}% +\begin{align*} +\sin(\vartheta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\vartheta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\vartheta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\vartheta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\vartheta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\ +\cos(\vartheta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\vartheta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\vartheta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\vartheta_w^{4}}{4!}}-\cdots +\end{align*} diesen Zusammenhang auch hier herzustellen. Setzt man diese beiden Reihenentwicklungen in \eqref{ExponentialGA} ein, erhält man +\begin{align*} +\cos(\vartheta_w)+ \sin(\vartheta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\vartheta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\vartheta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\vartheta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\vartheta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\vartheta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots +\end{align*} +Dies sieht noch nicht wie eine Exponentialreihe aus, da $\mathbf{e}_{12}$ nur in jedem zweiten Term auftritt. +Da aber $\mathbf{e}_{12}^2=-1$ gibt, erhält man für \begin{align} -\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots -\end{align} -Dies sieht noch nicht wie eine Exponentialreihe aus, da $\mathbf{e}_{12}$ nur in jedem zweiten Term auftritt. Da aber $\mathbf{e}_{12}=-1$ gibt, erhält man für -\begin{align} -e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots +e^{\vartheta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\vartheta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\vartheta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\vartheta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\vartheta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\vartheta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\dots. \label{ExponentialGA2} \end{align} Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit \begin{align}\label{EulerGA} -e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}, +e^{\vartheta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\vartheta_w)+ \sin(\vartheta_w) \mathbf{e}_{12}, \end{align} was zeigt, dass es eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$ gibt. Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise \begin{align} -\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} +\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\vartheta_w\mathbf{e}_{12}} \end{align} -ersetzt, kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht. +ersetzt, kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\vartheta_w$ gedreht. \subsubsection{Vektormultiplikation} Nun werden wir das Vektorprodukt \begin{align} \label{VektorproduktformelGA} -\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} +\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\vartheta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\vartheta_u \mathbf{e}_{12}} \end{align} so umformen, dass wir die Drehung nur durch Exponentialterme beschreiben können. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von -$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position einsetzten. Wir erhalten -\begin{align} -\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1. -\end{align} +$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\vartheta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position einsetzen. +Wir erhalten +\begin{align*} +\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\vartheta_w)+ \sin(\vartheta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1. +\end{align*} Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mathbf{e}_{12}$ können wir die Umformung -\begin{align} -|\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1 -\end{align} -ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen un erhalten -\begin{align} -\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ -&= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}. -\end{align} +\begin{align*} +|\mathbf{w}|e^{-\vartheta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1 +\end{align*} +ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen und erhalten +\begin{align*} +\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\vartheta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\vartheta_u \mathbf{e}_{12}}\\ +&= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{(\vartheta_u-\vartheta_w) \mathbf{e}_{12}}. +\end{align*} Das inverse Vektorprodukt -\begin{align} -\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} -\end{align} +\begin{align*} +\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{(\vartheta_w-\vartheta_u) \mathbf{e}_{12}} +\end{align*} kann durch die selbe Methode vereinfacht werden. -Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte +Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\vartheta = \vartheta_w - \vartheta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte \begin{align}\label{wuExpo} -\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\ -\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}. +\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\ +\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}. \end{align} \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein, erhalten wir -\begin{align} -\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr) -\end{align} +\begin{align*} +\mathbf{v''} += +(|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}}\biggr) +\end{align*} und können durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung \begin{align} \label{GAvereinfRot} -\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +\mathbf{v''} = e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}} v e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} \end{align} -bilden. Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form +bilden. +Wir wissen nun, dass diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. + +Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun die Form \begin{align} \label{RotAufPerpPar} -\mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}. -\end{align} -Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass man die Reihenfolge der Vektoranteile $\mathbf{v_\perp}$ und $\mathbf{v_\parallel}$ mit dem Exponentialterm $e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}$ so vertauschen kann, dass sich -\begin{align} -\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +\mathbf{v}'' = e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}}. \end{align} -ergibt. Der Winkel wird beim parallelen Anteil negiert. An der Zusammengefassten Gleichung +Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass man die Reihenfolge der Vektoranteile $\mathbf{v_\perp}$ und $\mathbf{v_\parallel}$ mit dem Exponentialterm $e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}}$ so vertauschen kann, dass sich +\begin{align*} +\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\vartheta \mathbf{e}_{12}} e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\vartheta) \mathbf{e}_{12}} e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} +\end{align*} +ergibt. Der Winkel wird beim parallelen Anteil negiert. An der zusammengefassten Gleichung \begin{align}\label{RotParPerp} -\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}} +\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\vartheta \mathbf{e}_{12}} \end{align} -kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}$ bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel +kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors $\mathbf{v}$ in der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\vartheta$ gedreht wird. +Der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}$ bleibt gleich. +Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. +Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. +Wir zeigen nun diese Eigenschaften an einem Beispiel. + \begin{beispiel} - Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt - \begin{align} + Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der gedrehte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt + \begin{align*} \mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12} - \end{align} + \end{align*} und das Produkt der Inversen - \begin{align} - \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}. - \end{align} + \begin{align*} + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \biggl(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\biggl) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}. + \end{align*} Den gedrehten Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch Einsetzen und Auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA} bestimmen. Der Rechnenvorgang ist - \begin{align} - \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\ + \begin{align*} + \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2\mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\ &= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\ &= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3. - \end{align} + \end{align*} Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass \begin{itemize} \item die Länge $|\mathbf{v}| = \sqrt{3}$ zur Länge $|\mathbf{v}''|=\sqrt{3}$ gleich blieb. \item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb. - \item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise + \item der parallele Teil sich genau um $2\vartheta=180^\circ$ gedreht hat. $\vartheta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise \begin{align} &\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}} \end{align} - durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo} - \begin{align} - \theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2} - \end{align} + durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo} als + \begin{align*} + \vartheta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2} + \end{align*} ausgelesen werden. \qedhere \end{itemize} -\end{beispiel}
\ No newline at end of file +\end{beispiel} diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex index 12fa546..e8ebfbf 100644 --- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex +++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex @@ -6,34 +6,41 @@ \section{Komplexe Zahlen} \rhead{Komplexe Zahlen} -Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Drehungen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Abschnitt ist es nicht überraschend, dass es möglich ist, komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der zweidimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl -\begin{align} -a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\ -|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} -\end{align} -kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden, weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft -\begin{align} -j^2 = -1\quad\text{und}\quad\mathbf{e}_{12}^2 = -1 -\end{align} +Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Drehungen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Abschnitt ist es nicht überraschend, dass es möglich ist, komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der zweidimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet, eine komplexe Zahl +\begin{equation*} +\begin{aligned} +a_0 + a_1 j &\cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n,&&& a_0, a_1 &\in \mathbb{R}\\ +|r|e^{\vartheta j} &\cong |r|e^{\vartheta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n,&&& r, \vartheta &\in \mathbb{R} +\end{aligned} +\end{equation*} +kann durch einen Skalar (Grad 0) und einen Bivektor (Grad 2) dargestellt werden, weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft +\begin{align*} +j^2 = -1\qquad\Leftrightarrow\qquad\mathbf{e}_{12}^2 = -1 +\end{align*} besitzen. Die Kommutativität -\begin{align} +\begin{align*} \begin{split} -\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \enspace&\Leftrightarrow\enspace (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ &\Leftrightarrow\enspace |\mathbf{g}_1|\,|\mathbf{g}_2|e^{(\theta_{g_1} + \theta_{g_2})\mathbf{e}_{12}} = |\mathbf{g}_2|\,|\mathbf{g}_1|e^{(\theta_{g_2} + \theta_{g_1})\mathbf{e}_{12}}, +\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \enspace&\Leftrightarrow\enspace (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ &\Leftrightarrow\enspace |\mathbf{g}_1|\,|\mathbf{g}_2|e^{(\vartheta_{g_1} + \vartheta_{g_2})\mathbf{e}_{12}} = |\mathbf{g}_2|\,|\mathbf{g}_1|e^{(\vartheta_{g_2} + \vartheta_{g_1})\mathbf{e}_{12}}, \end{split} -\end{align} -welche wir schon von den komplexen Zahlen her kennen, ist dabei eine in der geometrischen Algebra nur selten anzutreffende Eigenschaft. Beispielsweise ist das geometrische Produkt von -\begin{align} +\end{align*} +welche wir schon von den komplexen Zahlen her kennen, ist dabei eine in der geometrischen Algebra nur selten anzutreffende Eigenschaft. Beispielsweise ist das geometrische Produkt +\begin{align*} \mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12}) -\end{align} +\end{align*} und auch die im folgenden Kapitel behandelten Quaternionen sind nicht kommutativ. Um später die Auswirkung der Quaternionen auf Vektoren besser zu verstehen, möchten wir kurz darauf eingehen, was ein $\mathbf{g}_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat. Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man -\begin{align} +\begin{align*} c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = \underbrace{a\cdot(d+ej)}_{\displaystyle{a\cdot c_2}} + \underbrace{bj\cdot(d+ej)}_{\displaystyle{b\cdot c_2 \cdot (1\angle 90^\circ)}} -\end{align} -so aufteilen. Dabei ist $a\cdot(d+ej)$ die komplexe Zahl $c_2$ um den Faktor $a$ steckt und $bj\cdot(d+ej)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $b$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben dann den um $c_1$ drehgestreckten Vektor $c_2$. Den gleichen Effekt hat +\end{align*} +so aufteilen. +Dabei ist $a\cdot(d+ej)$ die komplexe Zahl $c_2$ um den Faktor $a$ gestreckt und $bj\cdot(d+ej)$ +die um $90^\circ$ im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $b$ gestreckt. +Diese Anteile addiert ergeben dann den um $c_1$ drehgestreckten Vektor $c_2$. Den gleichen Effekt hat \begin{align}\label{GAdrehstreck} \mathbf{v}' = \mathbf{g}\mathbf{v} = (a + b\mathbf{e}_{12})(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) = a(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) + b\mathbf{e}_{12}(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) \end{align} -in der zweidimensionalen geometrischen Algebra. Im Falle der komplexen Zahlen macht es jetzt noch nicht wirklich Sinn in die geometrische Algebra zu wechseln. Die potenziellen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
\ No newline at end of file +in der zweidimensionalen geometrischen Algebra. +Im Falle der komplexen Zahlen macht es jetzt noch nicht wirklich Sinn in die geometrische Algebra zu wechseln. +Die potenziellen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen. diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex index 3649b20..f04cce2 100644 --- a/buch/papers/clifford/main.tex +++ b/buch/papers/clifford/main.tex @@ -3,10 +3,10 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Clifford Algebra\label{chapter:clifford}} -\lhead{Clifford Algebra} +\chapter{Geometrische Algebra\label{chapter:clifford}} +\lhead{Geometrische Algebra} \begin{refsection} -\chapterauthor{Thierry Schwaller, Marius Baumann} +\chapterauthor{Marius Baumann und Thierry Schwaller} \input{papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex} diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex index c985713..d32b316 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex @@ -20,9 +20,9 @@ Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit viele Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, schwing das Gehäuse und dadurch auch die gekoppelte Masse. Stoppt das Erdbeben, schwingt das Gehäuse nicht mehr. Die Masse schwing jedoch in seiner Eigendynamik weiter. -Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden. +Eine Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. -Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit einem Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. Der Seismograph ist in Abbildung ~\ref{erdbeben:Seismograph} ersichtlich. Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse. Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. @@ -53,28 +53,40 @@ Die Gleichung lautet: m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f. \end{equation} wobei $m$ die Masse, $k$ die Dämpfungskonstante und $D$ die Federkonstante bezeichnet. -Da die Differentialgleichung linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden. -Dazu verwenden wir die Subsitution: -\[
s_1 = s
\qquad \text{und} \qquad
s_2 = \dot s
.
\] -Somit entstehen die Gleichungen für die Position $ \dot s_1(t)$ der Masse : + + +Da die Differentialgleichung linear ist möchten wir diese Gleichung in die Darstellung $\dot x = Ax$ überführen, wobei $x$ der Zustandsvektor und $A$ die Systemmatrix bezeichnet. Dazu verwenden wir die Subsitution: +\[ +s_1 = s +\qquad \text{und} \qquad +s_2 = \dot s. +\] +Somit entstehen die Gleichungen für die Geschwindigkeit $ \dot s_1(t)$ der Masse : \[ \dot {s_1} = {s_2}\] und \[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] für die Beschleunigung $\dot s_2(t)$ der Masse. Diese können wir nun in der Form -\[ f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] -auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen. -Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. -Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. +\[ \ddot f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] +als skalare Gleichung darstellen. -Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. -Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung) als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). +Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. +Unüblich ist nun, dass der Stör-Term $f$ in Gleichung (20.1) gerade das ist, was wir eigentlich bestimmen möchten. In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. -Dazu wird ein Zustandsvektor definiert: +Deshalb nehmen wir $f$ als dritte Grösse in den Zustandsvektor auf und definieren: + \[ - \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right). - \] -Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\dot {s_1}= v$ ist: + x = (s_1, s_2, f)^T. +\] + +Für die Standard-Form $\dot x = Ax$ brauchen wir als nächstes die Ableitungen aller Elemente von $x$. Für $\dot s_1$ und $\dot s_2$ folgen diese direkt aus Gleichung (20.1), aber über $\dot f$ wissen wir nichts. +Wir müssen also eine Annahme treffen: $\dot f = 0$. Diese Annahme ist im Allgemeinen falsch, aber etwas Besseres haben wir zurzeit nicht zur Verfügung. +Zudem treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert. +Wir werden dies in einem späteren Schritt kompensieren müssen. +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. + + +Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, wobei $\dot {s_1}= v$ ist. Damit haben wir nun alles, was wir für die Matrix-Darstellung von Gleichung (20.1) benötigen. Diese lautet: \begin{equation} \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} @@ -83,11 +95,7 @@ Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schrei 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). \end{equation} -Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. -Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert. -Diese Annahme ist nicht zulässig, jedoch ist dies das beste, was wir Annehmen können. -Diese unzutreffende Annahme wird späteren Berechnungen berücksichtigen werden -Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. + diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index 6c334bf..014b53e 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -14,15 +14,20 @@ \rhead{Kalman-Filter} \section{Kalman-Filter} -Interessante Grösse ist also Integral von Überlagerung zweier Kräfte. -Wir brauchen also dir zweite Ableitung von der Messung , ohne deren Eigendynamik. +Die interessante Grösse ist also das Integral der Überlagerung zweier Kräfte. +Wir brauchen also die zweite Ableitung der Messung, ohne deren Eigendynamik. Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt. Dies ist eine typische Anwendung für das Kalman-Filter. + +Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen und aus dieser Schätzung auch eine erwartete Messung herleiten. +Die für das Filter relevante Grösse ist dann nicht mehr die eigentliche Messung, sondern die Differenz aus Messung und Erwartung, da diese Differenz, die Innovation, eine Aussage über die nicht-deterministischen, externen Einflüsse auf das System ermöglicht. +Das Filter berücksichtigt dazu nicht nur die Messung und den Zustand, sondern auch die Unsicherheiten dieser beiden Grössen, welche als Parameter in das Modell des Systems einfliessen. + Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen. -Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand * Eigendynamik des Systems gerechnet. +Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand mit der Eigendynamik des Systems multipliziert wird. Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse $f$ anhand der Messung und der Vorhersage zu bestimmen. -Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. +Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Satz von Pythagoras für das System benötigt. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden. @@ -30,8 +35,7 @@ Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei dene \subsection{Geschichte} Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. -Das Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. -Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. +Das Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen.
Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. \subsection{Wahrscheinlichkeit} Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen. @@ -62,11 +66,14 @@ und der Messung: {y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. \] Diesen werden nun multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu normieren, $\odot$ beschreibt dabei die Multiplikation und die Normierung auf den Flächeninhalt eins : -\begin{align*}
{y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}) +\begin{align*} + {y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \odot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}} \\ - &=
\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}.
\end{align*} + &= + \frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}. +\end{align*} Diese Kombination der beiden Verteilungen resultiert wiederum in einer Normalverteilung mit Erwartungswert \[ \mu_f = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \] @@ -94,6 +101,78 @@ Da wir nun ein Werkzeug besitzen, dass die Beschleunigung, welche auf das Gehäu Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erläutert, wofür sie nützlich sind. +\subsection{Fiter-Agorithmus} +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert. +Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend aktualisiert. +Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. +Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. +Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. +Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt: +Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$. +Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand. +Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. + +\subsubsection*{Vorhersage} +Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. +Dies funktioniert mit dem Rechenschritt: +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}. +\] +Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. +Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. +Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung +\[ +{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}. +\] +Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. +Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix. +Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. +Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. +Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. + +\subsubsection*{Messen} +Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. +Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. +Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert. +\[ +{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}. +\] +Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. +Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. +Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. +Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. +Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. + +Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. +Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. +\[ +{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}} +\] + +\subsubsection*{Aktualisieren} +Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. +\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] +Die Grösse $K$ wird Kalman-Gain genannt. +Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt. +Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. +In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. + +Anhand der Informationen aus der Innovation wird das Kalman-Gain $K$ gebildet. Dabei beschreibt das Kalman-Gain die Wirkung der Innovation auf den geschätzten Zustand. So wird das System aktualisiert. +\[ +{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}} +\] +Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet. + +Dazu kommt eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt: +\[ +{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} +\] +Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}. +\] + + \subsection{Anfangsbedingungen} \subsubsection*{Anfangszustand $x$} Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. @@ -141,14 +220,14 @@ A = \left( \end{array}\right) \] Dabei soll der Kalman-Filter in diskreten Zeitschritten $\Delta t$ arbeiten. +$A$ beschreibt ein kontinuierliches System ($\dot x = Ax$), wir benötigen jedoch ein Zeit-diskretes System $x_{k+1} = \Phi x_k$. Die Übergangs-Matrix erhalten wir aus der Systemdynamikmatrix mittels Exponentialfunktion: \[\Phi = \exp(A\Delta t). \] Die Matrix $\Phi$ beschreibt die Übergänge zwischen zeitlich aufeinanderfolgenden Zuständen $x_{k-1}$ und $x_{k}$ \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$} Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert. -Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. -In der Matrix $Q$ geht es jedoch um die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. +Die Matrix $Q$ beschreibt die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein oder auch die Ungenauigkeiten im Modell, wie die Annahme das dich die Kraft nicht ändert. Für uns wäre dies: \[ @@ -160,11 +239,10 @@ Q = \left( \end{array}\right) \] Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. -Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung. \subsubsection*{Messmatrix $H$} Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden. -$H$ ist die Gleichung die für die Vorhersage der Messung. +$H$ ist die Matrix für die Vorhersage der Messung. In unserem Falle ist es die Position der Massen. \[ H = (1, 0, 0) @@ -179,77 +257,6 @@ R= ({\sigma_\mathrm{sensor}}^2). Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. -\subsection{Fiter-Agorithmus} -Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert. -Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend aktualisiert. -Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. -Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. -Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. -Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt: -Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$. -Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand. -Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. - -\subsubsection*{Vorhersage} -Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. -Dies funktioniert mit dem Rechenschritt: -\[ -{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}. -\] -Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. -Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. -Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung -\[ -{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}. -\] -Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. -Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix. -Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. -Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. -Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. - -\subsubsection*{Messen} -Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. -Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. -Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert. -\[ -{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}. -\] -Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. -Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. -Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. -Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. -Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. - -Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. -Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. -\[ -{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}} -\] - -\subsubsection*{Aktualisieren} -Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. -\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] -Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. -Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt. -Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. -In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. - -Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert. -\[ -{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}} -\] -Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet. - -Dazu kommt eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt: -\[ -{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} -\] -Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage -\[ -{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}. -\] - \subsection{Zusammenfassung } Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$ diff --git a/buch/papers/ifs/teil0.tex b/buch/papers/ifs/teil0.tex index af2105e..2a803d6 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil0.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil0.tex @@ -5,8 +5,13 @@ % \section{Einleitung \label{ifs:section:teil0}} \rhead{Was ist ein Iteriertes Funktionsschema} -Mit der Hilfe von Iterierten Funktionsschemata (IFS) können mit nur wenigen affinen Funktionen komplexe Bilder beschrieben werden. +Mit der Hilfe von iterierten Funktionsschemata (IFS) können mit nur wenigen affinen Funktionen komplexe Bilder beschrieben werden. +\index{iterierte Funktionsschemata}% +\index{Funktionschemata, iterierte}% +\index{affine Funktion}% In der Regel sind diese Bilder Fraktale. -Wie es dazu kommt, und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. +\index{Fraktal}% +Wie es dazu kommt und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. +\index{Bildkompression}% diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex index caba120..08e1cbf 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil1.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex @@ -11,20 +11,27 @@ Bevor wir die IFS ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an. In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften, welche Kenneth Falconer in seinem Buch {\em Fractal Geometry} \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \begin{enumerate} - \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur + \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur. \item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden. \item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. +\index{Selbstähnlichkeit}% Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind. - \item Die `fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension. + \item Die ``fraktale Dimension'' ist grösser als die topologische Dimension. +\index{Dimension, topologische}% +\index{topologische Dimension}% +\index{fraktale Dimension}% +\index{Dimension, fraktale}% \item Viele Fraktale lassen sich auf eine simple Art definieren. Es genügen zum Beispiel nur wenige Funktionen, welche rekursiv ausgeführt werden, um ein Fraktal zu definieren. \end{enumerate} -\subsection{Koch Kurve +\subsection{Koch-Kurve \label{ifs:subsection:lilkoch}} -Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen. -In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selbst. +\index{Kochsche Kurve}% +\index{Schneeflockenkurve}% +Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch-Kurve näher anschauen. +In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch-Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selbst. Der Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. -Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. +Diese wird im ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt. Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. @@ -33,7 +40,7 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unte \begin{figure} \centering \includegraphics{papers/ifs/images/koch8} - \caption{Koch Kurve} + \caption{Koch-Kurve} \label{ifs:kochkurve8} \end{figure} @@ -48,23 +55,24 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unte \subfigure[]{ \label{kochconstc} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}} - \caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration} + \caption{(a) Start, (b) 1.~Iteration, (c) 2.~Iteration} \label{ifs:kochconst} \end{figure} Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften. Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit \begin{align*} - l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad \cdots , \quad + l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \dots , \quad l_n = a \cdot \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty \end{align*} berechnen. In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. +\index{divergiert}% -Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen +Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen: \begin{align*} A_0 &= 0 \\ A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ @@ -72,36 +80,39 @@ Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1. \end{align*} Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist. -Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe, +Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe \begin{align*} - A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\ + A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \end{align*} mit dem Grenzwert \begin{align*} \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. \end{align*} -Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. +Wie wir sehen, ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten. -Da die Kochsche Kurve selbstähnlich ist, ist die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry} die angemessene Messzahl für die Dimension. -Die Ähnlichkeits-Dimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$ +Da die Kochsche Kurve selbstähnlich ist, ist die Ähnlichkeitsdimension \cite{ifs:fractal-geometry} die angemessene Masszahl für die Dimension. +Die Ähnlichkeitsdimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\varepsilon$ \begin{align*} - D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }. + D = - \frac{\log N}{\log \varepsilon }. \end{align*} -Die Ähnlichkeits-Dimension stimmt für viele gewöhnliche Geometrische Objekte mit der intuitiven Vorstellung von Dimension überein. -Zum Beispiel besteht ein Dreieck aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. +Die Ähnlichkeitsdimension stimmt für viele gewöhnliche geometrische Objekte mit der intuitiven Vorstellung von Dimension überein. +Zum Beispiel besteht das Dreieck +von Abbildung \ref{ifs:trinagle} +aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\varepsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$. Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. -Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$. -Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist somit + +Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\varepsilon =l \cdot 1/3$. +Ihre Ähnlichkeitsdimension ist somit \begin{align*} - D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. + D = - \frac{\log N }{\log \varepsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. \end{align*} Wie wir nun sehen, besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. -Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall sein. Sonst wäre die Frage nach einer `richtigen' Definition einfach zu beantworten. +Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall sein. Sonst wäre die Frage nach einer ``richtigen'' Definition einfach zu beantworten. \begin{figure} \centering \begin{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index d0110ed..360a2c0 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -8,7 +8,8 @@ \rhead{Teil 2} Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale erzeugen kann. Im Beispiel auf Seite \pageref{ifs:trinagle} haben wir ein Dreieck aus 4 skalierten Kopien zusammengefügt. -Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sogenannten Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpinski10}. +Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sogenannten Sierpinski-Dreiecks in Abbildung \ref{ifs:sierpinski10}. +\index{Sierpinski-Dreieck}% \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski} @@ -16,7 +17,7 @@ Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sog \label{ifs:sierpinski10} \end{figure} Es besteht aus drei kleineren Kopien von sich selbst. -Es ist also ein Selbstähnliches Gebilde. +Es ist also ein selbstähnliches Gebilde. Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen. @@ -73,7 +74,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X), \end{align*} entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck. -Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck. +Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck. \begin{figure} \centering \subfigure[]{ @@ -88,19 +89,21 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion \subfigure[]{ \label{ifs:sierpconstd} \includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}} - \caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\ - (a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration} + \caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem schwarzen Quadrat als Start\\ + (a) 1.~Iteration, (b) 2.~Iteration, (c) 3.~Iteration, (d) 5.~Iteration} \label{ifs:sierpconst} \end{figure} Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird. -Der `Abstand' zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null. +Der `Abstand' zum Original wird immer kleiner und konvergiert gegen null. \subsection{Iterierte Funktionensysteme \label{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme}} +\index{iterierte Funktionssysteme}% In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern. $S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf einer Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt +\index{Kontraktion}% \begin{align} |S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y| \end{align} @@ -124,10 +127,37 @@ Wird diese Transformation iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = \end{equation} In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt gegen eine eindeutige Menge konvergiert. Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt. +\index{Attraktor}% Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn} +\begin{figure} + \centering + \makebox[\textwidth][c]{ + \includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}} + \caption{Barnsley-Farn} + \label{ifs:farn} +\end{figure}% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2} + \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben} + \label{ifs:farncolor} +\end{figure}% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/chaosspiel.pdf} + %\subfigure[]{ + % \label{ifs:farnNoWeight} + % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} + %\subfigure[]{ + % \label{ifs:farnrightWeight} + % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} + \caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung, (b) $S_4$ zu wenig gewichtet} + \label{ifs:farnweight} +\end{figure}% Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktals, welches mit einem IFS generiert werden kann. +\index{Barnsley-Farn}% Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben. Die vier affinen Transformationen \begin{align} @@ -185,7 +215,7 @@ Die vier affinen Transformationen \begin{pmatrix} 0 \\ 0.44 - \end{pmatrix},\\ + \end{pmatrix}, \label{ifs:farnFormel} \end{align} welche für die Konstruktion des Farns benötigt werden, sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt. @@ -211,6 +241,7 @@ Weitere Iterationen hätten in dieser Darstellungsgrösse kaum mehr einen Unters Die zweite Methode ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. +\index{Chaosspiel}% Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden. Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv. Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt. @@ -220,41 +251,13 @@ Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation $S_i$, welche zufäl Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet. Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es, um die resultierende Teilabbildung darzustellen. Im Fall des Barnsley-Farns wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3$ und $S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. -Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, viel weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$. +Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, erzeugt von $S_1$, viel weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, erzeugt von $S_2$. -In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet. -Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird. +In Abbildung \ref{ifs:farnweight}(a) wurden die vier Transformationen gleich stark gewichtet. +Man sieht, dass trotz gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird. -Am besten sieht man den Effekt einer schlechten Gewichtung in Abbildung \ref{ifs:farnrightWeight}. +Am besten sieht man den Effekt einer schlechten Gewichtung in Abbildung \ref{ifs:farnweight}(b). Hier wurde $S_4$, welches für das rechte untere Teilblatt zuständig ist, mit nur $1\%$ statt $7\%$ gewichtet. Man sieht, wie sich der Mangel an Punkten auf die anderen Abbildungen das Farnblattes auswirkt. In jeder Kopie des ganzen Farns fehlen die Punkte für dieses rechte untere Teilblatt. - - -\begin{figure} - \centering - \makebox[\textwidth][c]{ - \includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}} - \caption{Barnsley-Farn} - \label{ifs:farn} -\end{figure} -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2} - \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben} - \label{ifs:farncolor} -\end{figure} - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics{papers/ifs/images/chaosspiel.pdf} - %\subfigure[]{ - % \label{ifs:farnNoWeight} - % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} - %\subfigure[]{ - % \label{ifs:farnrightWeight} - % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} - \caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung (b) $S_4$ zu wenig gewichtet} - \label{ifs:farnweight} -\end{figure} diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex index cebb664..0ce12d8 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil3.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex @@ -6,6 +6,7 @@ \section{Fraktale Bildkomprimierung \label{ifs:section:teil3}} \rhead{Fraktale Bildkomprimierung} +\index{Bildkomprimierung}% Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich, Bilder zu komprimieren. Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch {\em Fractals Everywhere} einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat. Das Ziel ist, ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat. @@ -23,17 +24,21 @@ Doch wie finden wir das PIFS, welches das Bild als Attraktor hat? \subsection{Das Kompressionsverfahren \label{ifs:subsection:malorum}} -Wir beschränken das Verfahren für Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. +\index{Kompressionsverfahren}% +Wir beschränken das Verfahren auf Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. +\index{Graustufenbild}% Ein Graustufenbild kann man als Pixelraster mit einer $x$ und $y$ Achse verstehen. Jedem dieser Pixel wird ein Grauwert zugeordnet. Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert \(z = f(x,y)\) zuweist. Wir suchen ein PIFS, welches das zu komprimierende Bild als Attraktor hat. -In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$. Diese sind als Raster im rechten Bild der Abbildung \ref{ifs:FIC} dargestellt. +In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$\,Pixel Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$. Diese sind als Raster im rechten Bild der Abbildung \ref{ifs:FIC} dargestellt. +\index{Range-Block}% +\index{Domain-Block}% -Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. +Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$\,Pixel Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist. -Zwei Beispiele wie solche Domain-, und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC} +Zwei Beispiele, wie solche Domain- und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC} \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$} Zuerst brauchen wir die Transformation @@ -54,10 +59,10 @@ Zuerst brauchen wir die Transformation \alpha_i \\ \beta_i \\ g_i - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}, \end{align*} um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ abzubilden. -Das bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. +Das Bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. \textbf{Schritt 1: }Wenn wir die Grauwerte ausser acht lassen, haben wir die affine Abbildung \begin{align} @@ -74,9 +79,10 @@ Das bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. \begin{pmatrix} \alpha_i \\ \beta_i - \end{pmatrix}. + \end{pmatrix} \label{ifs:affTrans} \end{align} +zu finden. Da wir mit Pixeln arbeiten, ist die Auswahl der möglichen Abbildungen begrenzt. Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt: \begin{itemize} @@ -85,25 +91,29 @@ Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt: \item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen. \end{itemize} Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $D_j$ um $1/2$ skalieren. -Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ Pixel Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen. +Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$\,Pixel Blöcke durch ein Pixel mit dem Grauton des Mittelwertes ersetzen. +\index{Grauton}% \textbf{Schritt 2: }Es muss nicht nur eine geometrische Abbildung, sondern auch eine Abbildung für die Grautöne gewählt werden. Letztere lässt sich mit den Parametern $s_i$ und $g_i$ beschrieben. -Wir suchen einen linearen Zusammenhang zwischen den Grautönen des Domain-, und Range-Block. $s_i$ verändert den Kontrast und $g_i$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion +Wir suchen einen linearen Zusammenhang zwischen den Grautönen des Domain- und Range-Block. $s_i$ verändert den Kontrast und $g_i$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion +\index{Helligkeit}% \begin{align*} z' = s_i z + g_i. \end{align*} -Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein. -$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst skalierten und dann mit \eqref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. +Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f}_{R_i}$ ein. +$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f}_{R_i}$ ist die Bildfunktion des zuerst skalierten und dann mit \eqref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das der quadratische Abstand zwischen \begin{align*} - \bar{f_{R_i}} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i + \bar{f}_{R_i} = s_i \tilde{f}_{R_i} + g_i \end{align*} und $f_{R_i}$ am kleinsten ist. Dies ist ein klassisches Problem der linearen Regression. Die Parameter lassen sich mit +\index{lineare Regression}% +\index{Regression, lineare}% \begin{align*} - s_i = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}, \tilde{f_{R_i}})}{\operatorname{var}(\tilde{f_{R_i}})} \\ - g_i = E(f_{R_i}) - s E(\tilde{f_{R_i}}) + s_i = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}, \tilde{f}_{R_i})}{\operatorname{var}(\tilde{f}_{R_i})} \\ + g_i = E(f_{R_i}) - s E(\tilde{f}_{R_i}) \end{align*} berechnen. Die Varianz und Kovarianz erstrecken sich über die Grauwerte der Pixel der Blöcke. @@ -111,13 +121,15 @@ Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt. Um zu beurteilen wie ähnlich der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block ist, berechnet man den quadratischen Fehler \begin{align*} - e = d(f_{R_i}, \bar{f_{R_i}}). + e = d(f_{R_i}, \bar{f}_{R_i}) += +E(|f_{R_i} - \bar{f}_{R_i}|^2) \end{align*} $e$ sollte so klein wie möglich sein. \textbf{Schritt 3: } Somit haben wir die zwei Schritte um eine Transformation $T_i$ zu finden. -Wir führen den zweiten Schritt für jede der acht möglichen affinen Abbildungen vom ersten Schritt aus, und bestimmen den jeweilig resultierenden Fehler $e$. +Wir führen den zweiten Schritt für jede der acht möglichen affinen Abbildungen vom ersten Schritt aus und bestimmen den jeweilig resultierenden Fehler $e$. Es resultieren acht $T_j$ mit ihren jeweiligen Fehlern. Um den besten Domain-Block zu finden, führen wir die drei Schritte für jeden Domain-Block aus. @@ -129,11 +141,12 @@ Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/FIC} - \caption{Domain-, und Range-Block Paare in Grün und Rot} + \caption{Domain- und Range-Block Paare in Grün und Rot} \label{ifs:FIC} \end{figure} \subsubsection{Rekonstruktion des Bildes} +\index{Rekonstruktion}% Mit den gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren. Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge. In unserem Fall ist dieses ein Bild $f_0$ derselben Grösse. @@ -143,22 +156,31 @@ So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$. Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen Unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Attraktor, das Bild, erreicht. \subsubsection{Farbbilder} +\index{Farbbild}% Dieses Verfahren mit Graustufenbilder lässt sich ganz einfach auf Farbbilder erweitern. -Jeder Pixel eines Farbbildes besteht aus einem Rot, Grün und Blauwert (RGB). +Jeder Pixel eines Farbbildes besteht aus einem Rot-, Grün- und Blauwert (RGB). +\index{Rotwert}% +\index{Grünwert}% +\index{Blauwert}% +\index{RGB}% Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein Farbwert benutzt, erhält man drei Bilder, welche wie ein Graustufenbild sind. -Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. +\index{Farbkanal}% +Nun wendet man auf jedes dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. \subsubsection{Performance des Verfahren} Experimentelle Beobachtungen haben gezeigt, dass dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression recht langsam ist und auch schlecht für grössere Bilder skaliert. -Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren. -Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können, vor allem in der Laufzeit, noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten. +Man kann die Laufzeit zwar verbessern, indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren. +\index{JPEG}% +Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können vor allem in der Laufzeit noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten. \subsection{Beispiel} +Als Beispiel wählen wir das 360$\times$360 Pixel Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. +\index{Rapperswil}% Wir verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert. Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren. Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Domain dementsprechend $8\times8$. Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht. -Als erstes Beispiel wählen wir das 360$\times$360 Pixel Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. + Das Startbild ist ein mittelgraues 360$\times$360 Pixel Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}. Es kann jedoch ein beliebiges Startbild sein. Nun lassen wir das PIFS laufen. diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex index 200cb7b..64c0cb3 100644 --- a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex +++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex @@ -6,156 +6,71 @@ \section{Aufbau\label{mceliece:section:Aufbau}} \rhead{Aufbau} Das McEliece-Kryptosystem besteht aus folgenden Elementen: +Nachfolgend sind alle Bestandteile für das McEliece-Kryptosystem aufgelistet, +wobei alle Vektoren und Matrizen sowie die Rechenoperationen damit +im binären Raum $\mathbb{F}_2$ stattfinden. +\index{F2@$\mathbb{F}_2$}% \subsection{Datenvektor $d_k$ \label{mceliece:subsection:d_k}} In diesem Vektor der Länge $k$ sind die zu verschlüsselnden Daten enthalten. -Beispiel: -\[d_4= -\begin{pmatrix} - 1\\ - 1\\ - 1\\ - 0 -\end{pmatrix} -\] - \subsection{Binäre Zufallsmatrix $S_k$ \label{mceliece:subsection:s_k}} -$S_k$ ist eine Binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$. +$S_k$ ist eine binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$. Auch muss diese Matrix in $\mathbb{F}_2$ invertierbar sein. Für kleine Matrizen kann durchaus jedes Matrizenelement zufällig generiert werden, wobei danach mithilfe des Gauss-Algorithmus deren Inverse bestimmt werden kann. +\index{Gauss-Algorithmus}% +\index{inverse Matrix}% Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine neue Zufallsmatrix erzeugt werden. +\index{Zufallsmatrix}% Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}. -Beispiel: -\[S_4= - \begin{pmatrix} - 0 & 0 & 1 & 1\\ - 0 & 0 & 0 & 1\\ - 0 & 1 & 0 & 1\\ - 1 & 0 & 0 & 1 - \end{pmatrix} -\] - -\[ - S_4^{-1}= - \begin{pmatrix} - 0 & 1 & 0 & 1\\ - 0 & 1 & 1 & 0\\ - 1 & 1 & 0 & 0\\ - 0 & 1 & 0 & 0\\ - \end{pmatrix} -\] - \subsection{Linear-Code-Generatormatrix $G_{n,k}$ \label{mceliece:subsection:g_nk}} +\index{Generator-Matrix}% +\index{Linear-Code}% Das wichtigste Element des McEliece-Systems ist ein fehlerkorrigierender Code, der in der Lage ist, $t$ Fehler zu korrigieren. +\index{fehlerkorrigierender Code}% Im Zusammenhang mit McEliece werden dabei meist binäre Goppa-Codes \cite{mceliece:goppa} verwendet, -es können prinzipiell auch andere Codes wie beispielsweise Reed-Solomon verwendet werden, +\index{Goppa-Code}% +es können prinzipiell auch andere Codes wie beispielsweise Reed-Solomon (Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon}) verwendet werden, +\index{Reed-Solomon-Code}% jedoch besitzen einige (unter anderem auch Reed-Solomon) Codes Schwachstellen \cite{mceliece:lorenz}. -Das Codieren mit diesem linearen Code kann mithilfe dessen Generatormatrix $G_{n,k}$ erfolgen. +Das Codieren mit diesem linearen Code kann mithilfe seiner Generatormatrix $G_{n,k}$ erfolgen. Da es sich um einen fehlerkorrigierenden Code handelt, wird das Codewort länger als das Datenwort, es wird also Redundanz hinzugefügt, +\index{Redundanz}% um die Fehlerkorrektur möglich zu machen. -Beispiel -\[ - G_{7,4}= - \begin{pmatrix} - 1 & 0 & 0 & 0\\ - 1 & 1 & 0 & 0\\ - 0 & 1 & 1 & 0\\ - 1 & 0 & 1 & 1\\ - 0 & 1 & 0 & 1\\ - 0 & 0 & 1 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 1 - \end{pmatrix} -\] - \subsection{Permutations-Matrix $P_n$ \label{mceliece:subsection:p_n}} -Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ wird die Reihenfolge der Bits geändert. +Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ (Abschnitt~\ref{buch:section:permutationsmatrizen}) wird die Reihenfolge der Bits geändert. +\index{Permutationsmatrix} Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden. -Beispiel -\[ - P_7= - \begin{pmatrix} - 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ - 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 - \end{pmatrix} -\] -, -\[ - P_7^{-1}=P_7^t= - \begin{pmatrix} - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ - 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ - 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - \end{pmatrix} -\] - \subsection{Public-Key $K_{n,k}$ \label{mceliece:subsection:k_nk}} Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird, -berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wiefolgt: -\[ - K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,. -\] - -Beispiel +berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wie folgt: \[ - K_{7,4}= - \begin{pmatrix} - 0 & 0 & 1 & 0\\ - 1 & 0 & 0 & 1\\ - 0 & 0 & 1 & 1\\ - 1 & 1 & 1 & 1\\ - 0 & 1 & 0 & 1\\ - 0 & 1 & 0 & 0\\ - 1 & 0 & 0 & 0 - \end{pmatrix} + K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}. \] \subsection{Fehler-Vektor $e_n$ \label{mceliece:subsection:e_n}} Dieser Vektor der Länge $n$ besteht aus $t$ Einsen, welche zufällig innerhalb des Vektors angeordnet sind, alle anderen Einträge sind Null. -Dieser Fehlervektor besitzt also gleich viele Einer, +Dieser Fehlervektor besitzt also gleich viele Einsen wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode der Generatormatrix $G_{n,k}$ zu korrigieren vermag. -Beispiel -\[ - E_7= - \begin{pmatrix} - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 - \end{pmatrix} -\] - \subsection{Daten-Vektor $d_k$ \label{mceliece:subsection:d_k}} -In diesem Vektor der länge $k$ ist die Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten. +In diesem Vektor der Länge $k$ ist die Nachricht oder ein Teil davon enthalten. \subsection{Code-Vektor $c_n$ \label{mceliece:subsection:c_n}} -In diesem Vektor der länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
\ No newline at end of file +In diesem Vektor der Länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht oder ein Teil davon enthalten. diff --git a/buch/papers/mceliece/einleitung.tex b/buch/papers/mceliece/einleitung.tex index cebb8ed..f289512 100644 --- a/buch/papers/mceliece/einleitung.tex +++ b/buch/papers/mceliece/einleitung.tex @@ -6,11 +6,16 @@ \section{Einleitung \label{mceliece:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Beim McEliece-Kryptosystem handelt es sich um ein asymetrisches Verschlüsselungsverfahren, welches erlaubt, +Beim McEliece-Kryptosystem handelt es sich um ein asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren, welches erlaubt, +\index{McEliece-Kryptosystem}% +\index{Kryptosystem}% +\index{Verschlüsselungsverfahren, asymmetrisch}% +\index{asymmetrische Verschlüsselung}% Daten verschlüsselt über ein Netzwerk zu übermitteln, ohne dass vorab ein gemeinsamer, geheimer Schlüssel unter den Teilnehmern ausgetauscht werden müsste. -Eine andere, bereits erläuterte Variante einer asymetrischen Verschlüsselung ist das Diffie-Hellman-Verfahren \ref{buch:subsection:diffie-hellman}. -Im Gegensatz zu Diffie-Hellman gilt das McEliece-System als Quantencomputerresistent +Eine andere, bereits erläuterte Variante einer asymmetrischen Verschlüsselung ist das Diffie-Hellman-Verfahren (Abschnitt~\ref{buch:subsection:diffie-hellman}). +Im Gegensatz zu Diffie-Hellman gilt das McEliece-System als quantencomputerresistent +\index{quantencomputerresistent}% und das Verschlüsseln/Entschlüsseln von Nachrichten wird hauptsächlich mit Matrizenoperationen durchgeführt. diff --git a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py index bac3b42..c8d5e9d 100644 --- a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py +++ b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py @@ -187,14 +187,10 @@ def decode_linear_code(c, g, syndrome_table): q, r=divmod(Poly(c), g) q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)] r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))] - syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) - while syndrome_index > 0: - c=c ^ syndrome_table[syndrome_index] - q, r=divmod(Poly(c), g) - q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)] - r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))] - syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) - return np.array(q, dtype=int) + syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) #binary to decimal + q_corr, r_corr=divmod(Poly(syndrome_table[syndrome_index]), g) + q_corr=np.r_[q_corr.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q_corr)-len(g)+1)] + return q.astype(int) ^ q_corr.astype(int) def encode_linear_code(d, G): ''' @@ -324,4 +320,4 @@ if __name__ == '__main__': print(f'msg_rx: {msg_rx}') -
\ No newline at end of file + diff --git a/buch/papers/mceliece/fazit.tex b/buch/papers/mceliece/fazit.tex index 186708b..b53328f 100644 --- a/buch/papers/mceliece/fazit.tex +++ b/buch/papers/mceliece/fazit.tex @@ -10,48 +10,70 @@ Ein kurzer Vergleich des McEliece-Systems mit dem oft verwendeten RSA-System soll zeigen, wo dessen Vor- und Nachteile liegen. \subsection{Resourcen} -Eine Eigenheit des McEliece-Systems ist das hinzufügen von Rauschen (mit Fehlervektor $e_n$). -Damit diese mit dem Lienarcode-Decoder wieder entfernt werden können, +Eine Eigenheit des McEliece-Systems ist das Hinzufügen von Rauschen in Form des Fehlervektors $e_n$. +Damit dieses mit dem Linearcode-Decoder wieder entfernt werden können, wird Redundanz benötigt, weshalb dessen Kanalefizienz (Nutzbits/Übertragungsbits) sinkt. +\index{Kanaleffizienz}% + Die Schlüsselgrösse des McEliece-Systems ist deshalb so riesig, weil es sich um eine zweidimensionale Matrix handelt, währenddem RSA mit nur zwei Skalaren auskommt. -Das McEliece-System benötigt dafür weniger Rechenaufwand beim Verschlüsseln/Entschlüsseln, da die meisten Operationen mit Matrixmultiplikationen ausgeführt werden können (Aufwand ist in binären Operationen pro Informationsbit)\cite{mceliece:CodeBasedCrypto}. +\index{Schlüsselgrösse}% +Das McEliece-System benötigt dafür weniger Rechenaufwand beim Verschlüsseln/Entschlüsseln, +da die meisten Operationen mit Matrixmultiplikationen ausgeführt werden können. +\index{Matrixmultiplikation}% +Eine Übersicht zu diesem Thema bietet Tabelle \ref{mceliece:tab:comparison_effort}. Beim Rechenaufwand sei noch erwähnt, -dass asymetrische Verschlüsselungen meist nur dazu verwendet werden, -um einen Schlüssel für eine symetrische Verschlüsselung auszutauschen. -\begin{center} -\begin{tabular}{c|c|c} - &McEliece (n=2048, k=1718, t = 30) &RSA (2048, e = 216 + 1)\\ - \hline - Schlüssegrösse: (Public) &429.5 KByte &0.5 KByte \\ - Kanaleffizienz: &83.9 \% &100 \% \\ - Verschlüsselungsaufwand: &1025 &40555 \\ - Entschlüsselungsaufwand: &2311 &6557176, 5 -\end{tabular} -\end{center} +\index{Rechenaufwand}% +dass asymmetrische Verschlüsselungen meist nur dazu verwendet werden, +um einen Schlüssel für eine symmetrische Verschlüsselung auszutauschen. +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l|c|c} + &McEliece ($n=2048$, $k=1718$, $t = 30$) &RSA ($2048$, $e = 216 + 1$)\\ + \hline + Schlüssegrösse (Public) &429.5 KByte &0.5 KByte \\ + Kanaleffizienz &83.9 \% &100 \% \\ + Verschlüsselungsaufwand\textsuperscript{$\dagger$} &1025 bitop &40555 bitop \\ + Entschlüsselungsaufwand\textsuperscript{$\dagger$} &2311 bitop &6557176.5 bitop \\ + \end{tabular} + \end{center} + \caption{\label{mceliece:tab:comparison_effort}Vergleich zwischen RSA und McEliece bezüglich Resourcen \cite{mceliece:CodeBasedCrypto}.% (*Aufwand in binären Operationen pro Informationsbit)} + \quad\small\textsuperscript{$\dagger$}Aufwand in binären Operationen pro Informationsbit.} +\end{table} \subsection{Sicherheit} -Grosse unterschiede zwischen den beiden Kryptosystemen gibt es jedoch bei der Sicherheit. +Grosse Unterschiede zwischen den beiden Kryptosystemen gibt es jedoch bei der Sicherheit. +\index{Sicherheit}% Der Kern der RSA-Verschlüsselung beruht auf dem Problem, eine grosse Zahl in ihre beiden Primfaktoren zu zerlegen. +\index{Primfaktoren}% Bei genügend grossen Zahlen ist diese Zerlegung auch mit den heute besten verfügbaren Computern kaum innerhalb vernünftiger Zeit zu lösen. Weiter ist aber bekannt, dass mithilfe des sogenannten Shor-Algorithmus \cite{mceliece:shor} und einem Quantencomputer auch diese Zerlegung zügig realisiert werden könnte, +\index{Shor-Algorithmus}% +\index{Algorithmus von Shor}% +\index{Quantencomputer}% was zur Folge hätte, dass die Verschlüsselung von RSA unwirksam würde. -Zurzeit sind die Quantencomputer jedoch noch bei weitem nicht in der Lage, grosse Zahlen mithilfe dieses Algorithmuses zu zerlegen. -Das McEliece-System hingegen beruht auf dem Problem des ``Syndrome decoding'' (Korrektur von Bitfehlern eines Codewortes, das mit einem entsprechenden Linearcode codiert wurde). -Für das ``Syndrome decoding'' sind bis heute keine Methoden bekannt, +Zurzeit sind die Quantencomputer jedoch noch bei weitem nicht in der Lage, grosse Zahlen mithilfe dieses Algorithmus zu zerlegen. + +Das McEliece-System hingegen beruht auf dem Problem des {\em Syndrome decoding}, also der Korrektur von Bitfehlern eines Codewortes, das mit einem entsprechenden Linearcode codiert wurde. +Für das {\em Syndrome decoding} sind bis heute keine Methoden bekannt, welche nennenswerte Vorteile gegenüber dem Durchprobieren (brute-force) bringen, auch nicht mithilfe eines Quantencomputers. -\begin{center} -\begin{tabular}{c|c|c} - &McEliece &RSA \\ -\hline - Grundlage Verschlüsselung &Syndrome decoding &Integer factoring\\ - Aufwand (gewöhnliche CPU) &exponential &< exponential \\ - Aufwand (Quantencomputer) &> polynomial &$\mathcal{O}(\log(N)^3)$ -\end{tabular} -\end{center} +Eine Übersicht betreffend des Rechenaufwandes zum Knacken der Verschlüsselung ist in Tabelle \ref{mceliece:tab:comparison_security} gegeben und bezieht sich auf die Schlüsselgrösse $N$. +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l|c|c} + &McEliece &RSA \\ + \hline + Grundlage Verschlüsselung &Syndrome decoding &Integer factoring\\ + Aufwand (gewöhnliche CPU) &exponentiell &< exponentiell \\ + Aufwand (Quantencomputer) &> polynominell &$\mathcal{O}(\log(N)^3)$ + \end{tabular} + \end{center} + \caption{\label{mceliece:tab:comparison_security}Vergleich zwischen RSA und McEliece bezüglich Sicherheit} +\end{table} + Die Verbreitung des McEliece-Kryptosystems ist zurzeit äusserst gering. Das liegt einerseits an der immensen Grösse des öffentlichen Schlüssels, andererseits wird aber auch in naher Zukunft nicht mit einem genügend starken Quantencomputer gerechnet, -welcher andere asymetrische Verschlüsselungen gefährden würde. +welcher andere asymmetrische Verschlüsselungen gefährden würde. diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex index 7c69b13..4d6c18d 100644 --- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex +++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex @@ -8,14 +8,17 @@ \rhead{Funktionsweise} Um den Ablauf des Datenaustausches mittels McEliece-Verschlüsselung zu erläutern, wird ein Szenario verwendet, -bei dem Bob an Alice eine verschlüsselte Nachticht über ein öffentliches Netzwerk zukommen lässt. +bei dem Bob an Alice eine verschlüsselte Nachricht über ein öffentliches Netzwerk zukommen lässt. \subsection{Vorbereitung \label{mceliece:section:vorbereitung}} -Damit der Nachrichtenaustausch stattfinden kann, muss Alice (Empfängerin) -zuerst ein Schlüsselpaar definieren. +Bevor einen Datenaustausch zwischen Sender und Empfänger stattfinden kann, +muss abgemacht werden, welche Länge $n$ das Code-Wort und welche Länge $k$ das Datenwort hat +und wie viele Bitfehler $t$ (angewendet mit Fehlervektor $e_n$) +für das Rauschen des Code-Wortes $c_n$ verwendet werden. +Danach generiert Alice (Empfängerin) ein Schlüsselpaar. Dazu erstellt sie die einzelnen Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$. -Diese drei einzelnen Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice +Diese drei Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice und sollen geheim bleiben. Der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ hingegen berechnet sich aus der Multiplikation der privaten Matrizen (Abschnitt \ref{mceliece:subsection:k_nk}) @@ -25,36 +28,36 @@ und wird anschliessend Bob zugestellt. \label{mceliece:section:verschl}} Bob berechnet nun die verschlüsselte Nachricht $c_n$, indem er seine Daten $d_k$ mit dem öffentlichen Schlüssel $K_{n,k}$ von Alice multipliziert -und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt. +und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt: \[ - c_n\,=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n\,. + c_n=K_{n,k}\cdot d_k + e_n. \] -Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) -einen neuen, zufälligen Fehlervektor generiert. +Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) $d_k$ +ein neuer, zufälliger Fehlervektor generiert. Die verschlüsselte Nachricht $c_n$ wird anschliessend Alice zugestellt. \subsection{Entschlüsselung \label{mceliece:section:entschl}} Alice entschlüsselt die erhaltene Nachricht in mehreren einzelnen Schritten. -Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt. +Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt: \begin{align*} - c_n\,&=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ - &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n + c_n&=K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ + &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n. \end{align*} Zuerst wird der Effekt der Permutationsmatrix rückgängig gemacht, -indem das Codewort mit dessen Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird. +indem das Codewort mit der Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird: \begin{align*} - c_{n}''\,=\,P_n^{-1}\cdot c_n\,&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + c_{n}''=P_n^{-1}\cdot c_n&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Eine weitere Vereinfachung ist nun möglich, weil $P_n^{-1}$ einerseits auch eine gewöhnliche Permutationsmatrix ist und andererseits ein zufälliger Fehlervektor $e_n$ multipliziert mit einer Permutationsmatrix -wiederum einen gleichwertigen, zufälligen Fehlervektor $e_n'$ ergibt. +wiederum einen zufälligen Fehlervektor gleicher Länge und mit der gleichen Anzahl Fehlern $e_n'$ ergibt: \begin{align*} - c_{n}''\,&=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n\quad \quad \quad | \, - e'_n\,=\,P_n^{-1}\cdot e_n + c_{n}''&=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad + e'_n=P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Dank des fehlerkorrigierenden Codes, der durch die implizite Multiplikation mittels $G_{n,k}$ auf die Daten angewendet wurde, können nun die Bitfehler, verursacht durch den Fehlervektor $e'_n$, @@ -62,22 +65,366 @@ entfernt werden. Da es sich bei diesem Schritt nicht um eine einfache Matrixmultiplikation handelt, wird die Operation durch eine Funktion dargestellt. Wie dieser Decoder genau aufgebaut ist, -hängt vom verwendeten Linearcode ab. +hängt vom verwendeten Linearcode ab: \begin{align*} - c_{k}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_n$)}\\ - &=\text{Linear-Code-Decoder($G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n$)}\\ - &=S_{k}\cdot d_k -\end{align*} -Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert, -womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde. -\begin{align*} - c_{k}'\,&=S_{k}\cdot d_k \quad | \cdot S_k^{-1}\\ - d'_{k}\,=\,S_{k}^{-1} \cdot c'_k&=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k\\ - &=d_k + c_{k}'&=\text{Linear-Code-Decoder}(c''_n)\\ + &=\text{Linear-Code-Decoder}(G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n)\\ + &=S_{k}\cdot d_k. \end{align*} +Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der Inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert, +womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde: +\begin{equation*} + d'_{k}=S_{k}^{-1} \cdot c'_k=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k + =d_k. +\end{equation*} +Möchte ein Angreifer die verschlüsselte Nachricht knacken, muss er die drei privaten Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$ kennen. +Aus dem öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren +und eine systematische Analyse der Codeworte wird durch das Hinzufügen von zufälligen Bitfehlern zusätzlich erschwert. \subsection{Beispiel} +Die Verschlüsselung soll mittels eines numerischen Beispiels demonstriert werden. +Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four} beschrieben. +\begin{itemize} + \item Daten- und Fehlervektor + \begin{itemize} + \item[] + \[d_4= + \begin{pmatrix} + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 0 + \end{pmatrix} + ,\quad + e_7= + \begin{pmatrix} + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 + \end{pmatrix}. + \] + \end{itemize} + \item Private Matrizen: + \begin{itemize} + \item[] + \[S_4= + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix},\quad + S_4^{-1}= + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + \end{pmatrix}, + \] + \item[] + \[ + G_{7,4}= + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix}, + \] + \item[] + \[ + P_7= + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, + \quad + P_7^{-1}=P_7^t= + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}. + \] + \end{itemize} + \item Öffentlicher Schlüssel: +\index{Schlüssel, öffentlicher}% +\index{öffentlicher Schlüssel}% + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + K_{7,4}&=P_{7}\cdot G_{7,4}\cdot S_{4}=\\ + \begin{pmatrix} %k + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 1 & 1 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %p + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %g + 1 & 0 & 0 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %s + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Verschlüsselung: + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + c_7&=K_{7,4}\cdot d_4 + e_7=\\ + \begin{pmatrix} %c + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %k + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 1 & 1 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %d + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 0 + \end{pmatrix} + + + \begin{pmatrix} %e + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Entschlüsselung (Permutation rückgängig machen): + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + c_{7}''&=P_7^{-1}\cdot c_7=\\ + \begin{pmatrix} %c'' + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %p^-1 + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %c + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Entschlüsselung (Bitfehlerkorrektur mit Linearcode): + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + c_{7}'&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\ + \begin{pmatrix} %c' + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + &=\text{Linear-Code-Decoder(} + \begin{pmatrix} + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + \text{)} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Entschlüsselung (Umkehrung des $S_4$-Matrix-Effekts): + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + d'_{4}&=S_{4}^{-1} \cdot c'_4 \,(= d_4)\\ + \begin{pmatrix} + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 0 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %s^-1 + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %c' + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} +\end{itemize} + +\subsection{7/4-Code +\label{mceliece:subsection:seven_four}} +Beim 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code, +der einen Bitfehler korrigieren kann. +\index{7/4-Code}% +\index{linearer Code}% +\index{Code, linear}% +Es gibt unterschiedliche Varianten zum Erzeugen eines 7/4-Codes, +wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generatorpolynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. +\index{Generatorpolynom}% +Somit lässt sich das Codepolynom $P_c$ berechnen, indem das Datenpolynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): +\[ + P_c=P_g \cdot P_d. +\] +Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome als Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}): +\[ + P_g = \textcolor{red}{1}\cdot x^0 + \textcolor{blue}{1}\cdot x^1 + \textcolor{darkgreen}{0}\cdot x^2 + \textcolor{orange}{1}\cdot x^3 \implies + [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4. +\] +Auch das Datenpolynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$. +Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepackt, +sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisiert werden kann: + +\[ + c_7=G_{7,4} \cdot d_4= + \begin{pmatrix} + \textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 0 \\ + \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} & 0 & 0 \\ + \textcolor{darkgreen}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} & 0 \\ + \textcolor{orange}{1} & \textcolor{darkgreen}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} \\ + 0 & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{darkgreen}{0} & \textcolor{blue}{1} \\ + 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{darkgreen}{0} \\ + 0 & 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + d_0\\ + d_1\\ + d_2\\ + d_3 + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + c_0\\ + c_1\\ + c_2\\ + c_3\\ + c_4\\ + c_5\\ + c_6\\ + \end{pmatrix}. +\] +Beim nun entstandenen Codevektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Codepolynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. +Aufgrund der Multiplikation mit dem Generatorpolynom $P_g$ lässt sich das Codewort auch wieder restlos durch $P_g$ dividieren. +Wird dem Codewort nun einen Bitfehler hinzugefügt, entsteht bei der Division durch $P_g$ einen Rest. +Beim gewählten Polynom beträgt die sogenannte Hamming-Distanz drei, das bedeutet, +\index{Hamming-Distanz}% +dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler auftreten müssen. +Somit ist es möglich, auf das ursprüngliche Bitmuster zu schliessen, solange maximal ein Bitfehler vorhanden ist. +Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Division zu einem anderen Rest, +womit das dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann, +indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndromtabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +\index{Syndromtabelle}% +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{|l|l|} + \hline + Syndrom (Divisionsrest) &korrespondierender Bitfehler\\ + \hline + 1 ($[1,0,0]$) &$[1,0,0,0,0,0,0]$\\ + 2 ($[0,1,0]$) &$[0,1,0,0,0,0,0]$\\ + 3 ($[1,1,0]$) &$[0,0,0,1,0,0,0]$\\ + 4 ($[0,0,1]$) &$[0,0,1,0,0,0,0]$\\ + 5 ($[1,0,1]$) &$[0,0,0,0,0,0,1]$\\ + 6 ($[0,1,1]$) &$[0,0,0,0,1,0,0]$\\ + 7 ($[1,1,1]$) &$[0,0,0,0,0,1,0]$\\ + \hline -TODO: --alle Beispielmatrizen- und Vektoren hierhin zügeln, numerisches Beispiel kreieren\\ --erläutern des 7/4-codes (ja/nein)?
\ No newline at end of file + \end{tabular} + \end{center} + \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndromtabelle 7/4-Code} +\end{table} +\index{Syndrom}% diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index 9b03a4e..3ffc24c 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -17,6 +17,8 @@ C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in Abbildung \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. +\index{Matrizenmultiplikation}% +\index{Multiplikation, Matrizen-}% Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung \begin{equation} \begin{bmatrix} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf Binary files differindex 2519553..471e042 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index 63fd0fd..aab892a 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -46,12 +46,12 @@ ymin=10e-1, ymax=1e7, grid=both, major grid style={black!50}, - xlabel = data input size, - ylabel = {time}, + xlabel = {Problemgrösse $n$}, + ylabel = {Laufzeit in Sekunden}, legend pos=north west, very thick, - yticklabels=\empty, - xticklabels=\empty, + %yticklabels=\empty, + %xticklabels=\empty, scale only axis=true, width=12cm, height=8cm, legend cell align={left} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf Binary files differindex 521151e..628d0a4 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex index 12d3527..24855f6 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_c.tex @@ -47,8 +47,8 @@ xmin=30, xmax=10000, ymin=1e-5, ymax=2e4, grid=both, major grid style={black!50}, -xlabel = data input ($n$), -ylabel = {time ($s$)}, +xlabel = {Problemgrösse $n$}, +ylabel = {Laufzeit ($s$)}, legend pos=north west, very thick, scale only axis=true, diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf Binary files differindex fe89773..2237305 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex index ad43cf6..21babfe 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_python.tex @@ -47,8 +47,8 @@ xmin=30, xmax=4200, ymin=0.01, ymax=70000, grid=both, major grid style={black!50}, -xlabel = data input ($n$), -ylabel = {time ($s$)}, +xlabel = {Problemgrösse $n$}, +ylabel = {Laufzeit ($s$)}, legend pos=north west, very thick, scale only axis=true, diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 8d0c0a8..2531bbb 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -39,11 +39,12 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, \end{algorithm} Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{for} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$. -\subsubsection{Divide and Conquer Methode} - -F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten. +\subsubsection{Divide-and-Conquer-Methode} +F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide-and-Conquer}-Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten. Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird. +\index{Divide-and-Conquer-Ansatz}% Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O} (n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. +\index{Fast Fourier Transform}% Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. @@ -71,10 +72,10 @@ mit \begin{equation} \end{equation} ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. -Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, +Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide-and-Conquer}-Ansatz. Die Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. -Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt. -\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation} +Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $2 \times 2$ durchgef\"uhrt. +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide-and-Conquer-Matrizenmultiplikation} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:devide_mm} \begin{algorithmic} @@ -104,18 +105,24 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ \end{algorithm} Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen. +\index{Master Theorem}% Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit. +\index{rekursiver Algorithmus}% +\index{Algorithmus, rekursiv}% In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt zu \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O} (n^{3} ), \end{equation} also einer kubischen Laufzeit. +\index{kubische Laufzeit}% +\index{Laufzeit, kubisch}% Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. -In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt. +In diesem Fall hat der \textit{Divide-and-Conquer}-Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt. \subsection{Strassens Algorithmus} - +\index{Strassens Algorithmus}% +\index{Algorithmus von Strassen}% Strassens Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen. Die sieben grundlegenden Terme \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen} @@ -185,8 +192,9 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. \end{algorithmic} \end{algorithm} Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. -Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . -Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. +Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$. +Die gr\"unen Felder auf der linken Seite +zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$. Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. Graue Felder bedeuten, dass die dazugehörige Spalte nicht für die Berechnung benötigt wird. @@ -207,8 +215,10 @@ und ist somit schneller als die Standardmethode. Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde. \subsection{Winograds Algorithmus} - +\index{Winograds Algorithmus}% +\index{Algorithmus von Winograd}% Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. +\index{Winograd, Shmuel}% Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das Skalarprodukt \begin{equation} \label{multiplikation:eq:skalar} \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i. @@ -223,7 +233,7 @@ und \end{equation} die jeweils nur von $x$ und $y$ abhängen. Dazu werden $2 \cdot \lfloor n/2 \rfloor \leq n$ Multiplikationen benötigt. -Das Skalarprodukt ist nun geben mit +Das Skalarprodukt ist nun geben durch \begin{equation} \langle x,y \rangle = \begin{cases} @@ -244,7 +254,7 @@ Damit können wir die Laufzeit der Methode von Winograd mit der Laufzeit der Sta \Leftrightarrow & N & \le & T. \end{array} \end{equation} -Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. +Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix entspricht $N=m+p$ Vektoren, mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} (m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2} @@ -317,9 +327,14 @@ Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \ri \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} - +\index{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}% +\index{BLAS}% Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. +\index{Matlab@\texttt{Matlab}}% +\index{NumPy@\texttt{NumPy}}% +\index{GNU Octave@\texttt{GNU Octave}}% +\index{Mathematica@\texttt{Mathematica}}% \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. @@ -375,7 +390,7 @@ Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computerprozessoren optimiert und k\"onn Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. \begin{itemize} \item Standard Matrizenmultiplikation - \item \textit{Divide and Conquer} Matrizenmultiplikation + \item \textit{Divide-and-Conquer}-Matrizenmultiplikation \item Strassens Matrizenmultiplikation \item Winograds Matrizenmultiplikation \item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} @@ -384,17 +399,26 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden. Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten. -In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich. +In Abbildung +\ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} +und Abbildung +\ref{multiplikation:fig:python} +sind de Messresultate grafisch dargestellt. +Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle +\ref{multiplikation:tab:messung_C} +und Tabelle +\ref{multiplikation:tab:messung_Python} +ersichtlich. Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $. Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. -Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist. +Bei den grafisch gezeigten Messresultaten können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist. Der benötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte. In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer- den. Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle Platz. -Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden. +Diese beiden Algorithmen sind die einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden. Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen. Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall. @@ -476,8 +500,8 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c} - \caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}. - Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen. + \caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Programmiersprache \texttt{C}. + Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als die der anderen Algorithmen. Die Messung von Winograd ist beinahe gleich wie die Messung mit der Standardmethode, deshalb ist sie nicht gut sichtbar.} \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} \end{figure} @@ -486,8 +510,8 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python} - \caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}. - Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen. + \caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Skriptsprache \texttt{Python}. + Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als die der anderen Algorithmen. } \label{multiplikation:fig:python} \end{figure} @@ -500,7 +524,7 @@ Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die La Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. -Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. +Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGAs)}. Der Overhead der gezeigten Algorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen). Um diesem entgegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein. Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algorithmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen. diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index 879b210..9c525e3 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -10,9 +10,12 @@ Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standardalgorithmus l\"osen. \label{muliplikation:sec:bigo} -Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Relation zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}. -$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$, wenn $x \rightarrow \infty$. -Dies ist gegeben, falls es für $f \in \mathcal{O}(n^k)$ eine Konstante $C$ gibt, mit $f(n) \leq Cn^k$. +Die Big-$\mathcal{O}$-Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Relation zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}. +\index{BigOnotation@Big-$\mathcal{O}$-Notation}% +\index{Laufzeitkomplexität}% +$f(n) \in \mathcal{O}(g(n))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$, wenn $n \rightarrow \infty$. +%Dies ist gegeben, falls es für $f \in \mathcal{O}(n^k)$ eine Konstante $C$ gibt, mit $f(n) \leq Cn^k$. +Dies ist gegeben, falls es für $f(n) \in \mathcal{O}(g(n))$ eine Konstante $C$ gibt, mit $f(n) \leq Cg(n)$. % Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$. Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgenden Sprechweisen verwendet: \begin{itemize} @@ -27,13 +30,13 @@ Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgenden Sprechweisen verwendet: Konstanten werden nicht beachtet, eine Laufzeit von $4n^2$ führt, für $n \rightarrow \infty$ zu $\mathcal{O}(n^2)$. In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. -Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven abgebildet. +Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(n) = n^k$ als Geraden und Exponentialfunktionen der Form $f(n) = a^n$ als nach oben gekr\"ummte Kurven abgebildet. \subsubsection{Beispielalgorithmen} -Es folgen einige Beispiele von Algorithmen, welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. +Es folgen einige Beispiele von Algorithmen, welche einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. \begin{table}[t] @@ -112,26 +115,33 @@ Es folgen einige Beispiele von Algorithmen, welche zu einer bestimmten Zeitkompl %\end{table} \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} -Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} ist ein Beispiel mit beschränkter Laufzeit $\mathcal{O}(1)$ +\index{beschränkter Algorithmus}% +\index{Algorithmus, beschränkt}% +Algorithmus~\ref{multiplikation:alg:b1} ist ein Beispiel mit beschränkter Laufzeit $\mathcal{O}(1)$. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit. Wie erwähnt werden Konstanten nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. \paragraph{Linearer Algorithmus} - -Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:linear} hat ein lineares Verhalten. +\index{linearer Algorithmus}% +\index{Algorithmus, linear}% +Der +%Algorithmus~\ref{multiplikation:alg:linear} +Algorithmus~3 +hat ein lineares Verhalten. Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. \paragraph{Quadratischer Algorithmus} - -Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. -Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O} (n^2 )$. +\index{quadratischer Algorithmus}% +\index{Algorithmus, quadratisch}% +Der Algorithmus~\ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhren deshalb zu $\mathcal{O} (n^2 )$. \begin{figure} \center \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo} - \caption{Laufzeiten von verschiedensten Zeitkomplexitäten. Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.} + \caption{Laufzeiten von verschiedenen Zeitkomplexitäten. Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(n) = n^k$ als Geraden und Exponentialfunktionen der Form $f(n) = a^n$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.} \label{multiplikation:fig:bigo} \end{figure} diff --git a/buch/papers/munkres/main.tex b/buch/papers/munkres/main.tex index 201e70b..ecc7072 100644 --- a/buch/papers/munkres/main.tex +++ b/buch/papers/munkres/main.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Das Zuordnungsproblem und der Munkres-Algorithmus\label{chapter:munkres}} -\lhead{Das Zuordnungsproblem und der Munkres-Algorithmus} +\lhead{Der Munkres-Algorithmus} \begin{refsection} \chapterauthor{Marc Kühne} diff --git a/buch/papers/munkres/teil0.tex b/buch/papers/munkres/teil0.tex index 0578429..efdf816 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil0.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil0.tex @@ -6,5 +6,13 @@ \section{Einleitung\label{munkres:section:teil0}} \rhead{Einleitung} -Im Bereich der Unternehmensplanung (Operations Research) gibt es verschiedene Fragestellungen. Eine davon ist das sogenannte Transportproblem. Zum Transport einheitlicher Objekte von mehreren Angebots- zu mehreren Nachfrageorten ist ein optimaler, d. h. kostenminimaler Plan zu finden, wobei die vorhandenen und zu liefernden Mengen an den einzelnen Standorten gegeben sowie die jeweiligen Transportkosten pro Einheit zwischen allen Standorten bekannt sind. -Nun gibt es im Bereich des klassischen Transportproblems Sonderfälle. Ein Sonderfall ist z.B. das Zuordnungsproblem. +Im Bereich der Unternehmensplanung (Operations Research) gibt es verschiedene Fragestellungen. +\index{Unternehmensplanung}% +\index{Operations Research}% +Eine davon ist das sogenannte Transportproblem. +\index{Transportproblem}% +Zum Transport einheitlicher Objekte von mehreren Angebots- zu mehreren Nachfrageorten ist ein optimaler, +d.~h.~kostenminimaler Plan zu finden, wobei die vorhandenen und zu liefernden Mengen an den einzelnen Standorten gegeben sowie die jeweiligen Transportkosten pro Einheit zwischen allen Standorten bekannt sind. +Nun gibt es im Bereich des klassischen Transportproblems Sonderfälle. +Ein Sonderfall ist z.~B.~das Zuordnungsproblem. +\index{Zuordnungsproblem}% diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index aad45cc..0c23c7c 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -3,21 +3,28 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Beschrieb des Zuordnungsproblems +\section{Das Zuordnungsproblems \label{munkres:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} +\rhead{Zuordnungsproblem} Das Spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen -Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. -Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. +Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.~B.~Personen oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. +Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. +\index{Munkres-Algorithmus}% +\index{ungarische Methode}% \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} Als Beispiel betrachten wir den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne soll möglichst klein werden. Die Frage lautet: Wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. -Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran (Anzahl 1) von A nach B oder gar kein Kran (Anzahl 0) verschoben werden. -Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art und Weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. +\index{Optimierung}% +Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art und Weise lösbar. + +Beim Beispiel der Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran (Anzahl 1) von $A$ nach $B$ oder gar kein Kran (Anzahl 0) verschoben werden. +\index{ganzzahlige Optimierung}% +\index{Optimierung, ganzzahlig}% +Es entsteht das Problem, wie in der Illustration~\ref{munkres:Vr2} ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. \begin{figure} \centering @@ -30,11 +37,11 @@ Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahr \subsection{Zuordnungsproblem abstrakt \label{munkres:subsection:bonorum}} -In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 +In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1: \begin{equation} -a_{i}=b_{j}=1 +a_{i}=b_{j}=1. \end{equation} -Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix +Das Ziel ist, die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix \[ A = @@ -47,21 +54,41 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \in \mathbb{R}^{n,n} \] kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In den Zellen dieser Matrix sind die Zahlen $a_{i,j}$ dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. -Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. +In den Zellen dieser Matrix sind die Zahlen $a_{i,j}$ dargestellt, welche den Weg in z.~B.~Kilometer beschreiben. +Sie entstehen, wenn man z.~B.~einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \subsubsection{Netzwerk} -Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.2 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Kran und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jeden Baustellenort. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. +Ein Fluss- oder Transportnetzwerk (engl.~network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. +\index{Flussnetzwerk}% +\index{Transportnetzwerk}% +\index{zusammenhängend}% +\index{Fluss}% +\index{Kapazität}% +Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. +Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses +in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. +Ein Flussnetzwerk (engl.~flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. +\index{Flussnetzwerk}% +Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. +Im Bild~\ref{munkres:netzwerkdarstellung} +dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Kran und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jeden Baustellenort. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. \subsubsection{Matrix} -Im Bild 21.3 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. +Im Bild~\ref{munkres:matrixdarstellung} +ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.~B.~vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.~B.~die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. \subsubsection{Bitpartiter Graph} Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen -zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. Zwischen zwei Gruppen von Objekten wird hierbei eine eindeutige Zuordnung hergestellt. Der Graph ist in Abbildung 21.4 ersichtlich. +zwischen den Elementen zweier Mengen. +\index{bipartit}% +\index{Graph, bipartit}% +Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. +Zwischen zwei Gruppen von Objekten wird hierbei eine eindeutige Zuordnung hergestellt. +Der Graph ist in Abbildung~\ref{munkres:bipartit} +ersichtlich. \begin{itemize} -\item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge A. -\item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge B. +\item $3 =\mathstrut$Anzahl der Knoten aus Menge $A$. +\item $3 =\mathstrut$Anzahl der Knoten aus Menge $B$. \end{itemize} @@ -69,19 +96,19 @@ zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung v \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung} \caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.} -\label{munkres:Vr2} +\label{munkres:netzwerkdarstellung} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Matrixdarstellung} -\caption{Typische 4x4 Matrixdarstellung eines Zuordnungsproblems.} -\label{munkres:Vr2} +\caption{Typische $4\times 4$ Matrixdarstellung eines Zuordnungsproblems.} +\label{munkres:matrixdarstellung} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph} \caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.} -\label{munkres:Vr2} +\label{munkres:bipartit} \end{figure} diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex index 2fe24f8..e4e968a 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil2.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex @@ -3,10 +3,16 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen) +\section{Schwierigkeit der Lösung \label{munkres:section:teil2}} -\rhead{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen)} +\rhead{Schwierigkeit der Lösung} -Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine optimale Zuordnung gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. -Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer $n$×$n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigende Permutationen. +Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. +Ist eine optimale Zuordnung gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. +\index{Transversale einer Matrix}% +Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. + +In einer $n\times n$-Matrix gibt es genau so viele Möglichkeiten, die Zeilen- bzw.~Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. +Ausser bei kleinen Matrizen ist es daher nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. +Schon bei einer $10\times 10$-Matrix gibt es nahezu 3.63 Millionen ($10!=3628800$) zu berücksichtigende Permutationen. diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index fd25a74..500216a 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -3,9 +3,9 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Der Munkres-Algorithmus (Ungarische Methode) +\section{Der Munkres-Algorithmus oder die ungarische Methode \label{munkres:section:teil3}} -\rhead{Der Munkres-Algorithmus (Ungarische Methode)} +\rhead{Ungarische Methode} Mit der ungarischen Methode können also Optimierungsprobleme gelöst werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen. @@ -16,33 +16,51 @@ Gesamtgewinn maximiert werden kann. \subsection{Geschichte \label{munkres:subsection:malorum}} Die Ungarische Methode wurde 1955 von Harold Kuhn entwickelt und veröffentlicht. +\index{Kuhn, Harold}% Der Name ``Ungarische Methode'' ergab sich, weil der Algorithmus weitestgehend auf den früheren Arbeiten zweier ungarischer Mathematiker basierte: Dénes Kőnig und Jenő Egerváry. +\index{Kőnig, Dénes}% +\index{Egerváry, Jenő}% +\index{Munkres, James}% James Munkres überprüfte den Algorithmus im Jahr 1957 und stellte fest, dass der Algorithmus (stark) polynomiell ist. -Seitdem ist der Algorithmus auch als Kuhn-Munkres oder +Seitdem ist der Algorithmus auch als Kuhn-Munkres- oder Munkres-Zuordnungsalgorithmus bekannt. +\index{Kuhn-Munkres-Zuordnungsalgorithmus}% +\index{Munkres-Zuordnungsalgorithmus}% Die Zeitkomplexität des ursprünglichen Algorithmus war $O(n^4)$, später wurde zudem festgestellt, dass er modifiziert werden kann, um eine $O(n^3)$-Laufzeit zu erreichen. \subsection{Besondere Leistung der Ungarischen Methode \label{munkres:subsection:malorum}} -Die Ungarische Methode ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem +Die ungarische Methode ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem +\index{Optimierungsalgorithmus, kombinatorisch}% in polynomieller Zeit löst. Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms -wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. $n$ ist hierbei die ''Grösse'' des Problems. +\index{polynomielle Laufzeit}% +wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. $n$ ist hierbei die ``Grösse'' des Problems. \subsection{Unterschiedliche Anzahl von Quellen und Zielen \label{munkres:subsection:malorum}} -Es gibt Fälle, in welchen das Ausgangsproblem keine quadratische Form besitzt. Das ist z. B. dann der Fall, wenn drei Mitarbeiter vier verschiedene Eignungstests absolvieren müssen. In diesem Fall wird in der Ungarischen Methode die Matrix künstlich mittels einer Dummy Position zu einem Quadrat ergänzt. Dummy-Positionen werden dann mit der größten vorhandenen Zahl aus der Matrix besetzt. Beispielsweise wird eine $3\times 4$ zu einer $4\times 4$-Matrix. +Es gibt Fälle, in welchen das Ausgangsproblem keine quadratische Form besitzt. +Das ist z.~B.~dann der Fall, wenn drei Mitarbeiter vier verschiedene Eignungstests absolvieren müssen. +In diesem Fall wird in der Ungarischen Methode die Matrix künstlich mittels einer Dummy-Position zu einem Quadrat ergänzt. +Dummy-Positionen werden dann mit der größten vorhandenen Zahl aus der Matrix besetzt. +Beispielsweise wird eine $3\times 4$ zu einer $4\times 4$-Matrix. \subsection{Beispiel eines händischen Verfahrens \label{munkres:subsection:malorum}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=8cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png} +\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, minimaler Transportweg.} +\label{munkres:Vr2} +\end{figure} Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel erläutert werden. Wir gehen von der Kostenmatrix $A$ aus. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer weiter reduziert. Anschliessend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt. Es gibt Situationen, in denen man nichts mehr tun muss, um eine optimale Zuordnung zu finden. Eine optimale Zuordnung ohne zusätzliche Kosten ist eine Auswahl genau eines Feldes in jeder Zeile und Spalte, welches 0 enthält. Das Ziel des Algorithmus ist also, die Matrix so zu ändern, dass genügend Nullen in der Matrix vorkommen. Es ist zudem wichtig, dass man nach jeder Modifikation der Matrix testet, ob man bereits eine Zuordnung machen kann, also genügend Nullen hat. -Das Vorgehen wird in den nachfolgenden Schritten 1-6 beschrieben und auch in der Abbildung 21.5 dargestellt. +Das Vorgehen wird in den nachfolgenden Schritten 1--6 beschrieben und auch in der Abbildung 21.5 dargestellt. \begin{enumerate} \item Man beginnt mit der Zeilen-Reduktion. Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl, jeweils in rot markiert, wird bei allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab, die man hat, um eine Baustelle zu erreichen. Man erkennt, dass die Nullen mit zwei Linien abdeckbar sind. Das heisst es gibt zwei Spalten bei denen noch keine Zuordnungen möglich sind. @@ -56,22 +74,22 @@ Dieser Schritt 3 muss so oft wiederholt werden, bis genügend viele Nullen in de \item In Schritt 4 sollen jetzt möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind. Freistehend bedeutet, dass sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte keine andere markierte Null vorhanden ist. -\item Alle markierten Nullen werden jetzt in eine 1 umgewandelt. Die restlichen Ziffern in der Matrix, exklusiv die einsen, sollen jetzt ignoriert und durch eine Null ersetzt werden. +\item Alle markierten Nullen werden jetzt in eine 1 umgewandelt. Die restlichen Ziffern in der Matrix, exklusiv die Einsen, sollen jetzt ignoriert und durch eine 0 ersetzt werden. -\item Zu guter Letzt werden überall wo eine 1 steht, die Zahlen aus der Ausgangsmatrix eingefügt. Nach Einsetzen der Zahlen können die in rot markierten Zahlen aufsummiert werden. Man erhält den minimalsten Transportweg von total 13 Kilometer. +\item Zu guter Letzt werden überall wo eine 1 steht, die Zahlen aus der Ausgangsmatrix eingefügt. Nach Einsetzen der Zahlen können die in rot markierten Zahlen aufsummiert werden. Man erhält den minimalen Transportweg von total 13 Kilometer. \end{enumerate} \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=8cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png} -\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, minimalster Transportweg.} +\includegraphics[width=3cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel_Zuw.png} +\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, Zuweisung der Kräne } \label{munkres:Vr2} -\end{figure} +\end{figure} \subsection{Zuordnung der Kräne \label{munkres:subsection:malorum}} -Als Resultat des Munkres-Algorithmus werden in Abbildung 21.6 nebst dem minimalsten Transportweg auch die optimalste Zuweisung der Kräne auf die neuen Standorte ersichtlich. +Als Resultat des Munkres-Algorithmus werden in Abbildung 21.6 nebst dem minimalen Transportweg auch die optimale Zuweisung der Kräne auf die neuen Standorte ersichtlich. Es können die folgenden Zuordnungen aus der Matrix abgelesen werden: \begin{itemize} \item Der Kran von Baustelle A1 soll zur Baustelle B2. @@ -80,9 +98,3 @@ Es können die folgenden Zuordnungen aus der Matrix abgelesen werden: \item Der Kran von Baustelle A4 soll zur Baustelle B1. \end{itemize} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=3cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel_Zuw.png} -\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, Zuweisung der Kräne } -\label{munkres:Vr2} -\end{figure}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 0a9d3b6..1ba5466 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -1,9 +1,11 @@ \section{Kristalle} +\index{Kristalle}% Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist. Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist jedoch genau diese Frage äusserst relevant. Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. \begin{definition}[Kristall] Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt. +\index{periodisch}% \end{definition} \begin{figure} @@ -15,18 +17,22 @@ Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. } \end{figure} \subsection{Kristallgitter} +\index{Kristallgitter}% Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}. Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen. Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. +\index{Gitterpunkt}% Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{a}_3\) also \[ \vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i \] erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind. Sind die Vektoren \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +\index{Grundvektor}% \subsection{Translationssymmetrie} +\index{Translationssymmetrie}% Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{translationssymmetrisch} in der Translation @@ -54,6 +60,7 @@ Dabei sollte erwähnt werden, dass eine Translationssymmetrie nur in unendlich g \end{figure} \begin{satz} \label{thm:punktgruppen:crystal-restriction} +\index{Rotationssymmetrie} Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt. Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von 0\(^{\circ}\), @@ -122,6 +129,7 @@ ein. \end{figure} \subsection{Kristallklassen} +\index{Kristallklasse}% Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können. @@ -138,13 +146,21 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri \end{figure} \subsubsection{Schönflies-Symbolik} - +\index{Schönflies-Symbol}% Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet. Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat. +\index{Schönflies, Arthur Moritz}% Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen sind. \begin{itemize} \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden. +\index{Drehgruppe}% +\index{Diedergruppe}% +\index{Drehspiegelgruppe}% +\index{Tetraedergruppe}% +\index{Oktaedergruppe}% Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher in der Kristallographie nicht relevant. +\index{Ikosaedergruppe}% +\index{Kugelgruppe}% \item Dank Abschnitt \ref{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie. Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen, da \(360^\circ/5 = 72^\circ\) was nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist. @@ -159,6 +175,7 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklas \item[\(d\)] symbolisiert eine diagonale Symmetrieebene. Es wird ersichtlich wie diagonal gemeint ist, wenn man \(D_2\) zu \(D_{2d}\) vergleicht. \item[\(i\)] steht für ein Inversionszentrum. Hat eine Symmetriegruppe ein Inversionszentrum, bedeutet dies dass sie im Ursprung punktsymmetrisch ist. +\index{Inversionszentrum}% \end{itemize} \end{itemize} Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex index e3f0226..f11a346 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex @@ -1,14 +1,19 @@ \section{Einleitung} Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren. +\index{Kristall}% Auch wenn man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen, sich mit Kristallen zu beschäftigen. In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt. Zu Beginn werden wir zeigen, was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen. Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben. +\index{Symmetrie}% Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht. +\index{Kristallographie}% Diese erlauben alle möglichen Kristalle nach ihren Symmetrien in erstaunlich wenige Klassen zu kategorisieren. +\index{Kristallklasse}% Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf physikalische Eigenschaften schliessen. Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität. +\index{Piezoelektrizität}% Piezoelektrizität beschreibt einen Effekt, ohne welchen diverse Altagsgegenständen nicht besonders nützlich wären. Zum Beispiel sorgt er in den allermeisten Feuerzeugen für die Zündung. Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex index 1cf9b98..cc4272b 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex @@ -1,5 +1,8 @@ \section{Piezoelektrizität} +\index{Piezoelektrizität}% Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn mechanischer Druck auf sie ausgeübt wird. +\index{elektrische Spannung}% +\index{mechanischer Druck}% \begin{figure} \centering @@ -9,9 +12,10 @@ Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle ein \end{figure} \subsection{Polarisierung} - +\index{Polarisierung}% Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht (siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}). Dieses Ungleichgewicht resultiert, weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positive Ionen näher an die Oberfläche gelangen, wärend auf der gegenüberliegenden Seite dasselbe mit negativen Ionen passiert. +\index{Ionen}% Es besitzt jedoch nicht jeder Kristall eine atomare Struktur, welche sich unter Druck genau so verformt. Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes. @@ -41,6 +45,8 @@ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass ro Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die Ladungsträger ganz links und rechts weiter auseinander gedrückt werden. +\index{elektrisches Feld}% +\index{Ladungsträger}% Als Hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. @@ -60,7 +66,7 @@ Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie bestätigt sich auch wenn \subref{fig:punkt Piezoelektrische Kristalle können nicht punktsymmetrisch sein. Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden. -Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden. +In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden. Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles wie \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} vor Augen führen, welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt. Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den positiven auf der anderen Seite landen, was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht. @@ -69,9 +75,11 @@ Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so Piezoelektrizität hat durchaus Nutzen im Alltag. Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, sondern ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität. +\index{Feuerzeug}% Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu einer konfigurierten Spannung. Drückt der Nutzende stärker zu, entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer, welcher auf das Piezoelement aufschlägt. Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung. Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden. + Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich mit dem anderen zu versuchen. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 4a8d911..ec06046 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -22,18 +22,23 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an der es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt. -Das letzte Beispiel auf der rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. +Das letzte Beispiel in Abbildung~\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. + Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. Zum Beispiel kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden. Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. \begin{definition}[Symmetriegruppe] +\index{Symmetriegruppe}% Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, sogenannte Symmetrieoperationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. +\index{Komposition}% \end{definition} Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. +\index{neutrales Element}% +\index{1@$\mathds{1}$}% Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die rückgängig macht, was \(g\) getan hat. Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden. @@ -41,11 +46,16 @@ Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inv Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. +\index{Potenzen von Symmetrieoperationen}% +\index{wiederholte Komposition}% \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] +\index{zyklische Gruppe}% +\index{Erzeuger}% Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \{ g^k : k \in \mathbb{Z} \}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. +\index{g@$\langle g\rangle$}% \end{definition} \begin{beispiel} Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\). @@ -53,12 +63,14 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine \end{beispiel} \begin{beispiel} Als anschaulicheres Beispiel können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren. +\index{n-Gon@$n$-Gon}% Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ C_n = \langle r \rangle = \{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\} \] +\index{Cn@$C_n$}% der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant, enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). @@ -104,14 +116,17 @@ Die anschliessende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, m Die Antwort lautet natürlich ja. Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus] +\index{Gruppenhomomorphismus}% \(G\) und \(H\) seien Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). +\index{Homomorphismus}% Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert. \end{definition} \begin{beispiel} Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht genau dem komplexen Einheitskreis. - Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. +\index{Cunendlich@$C_{\infty}$}% + Der Homomorphismus \(\varphi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\varphi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. \end{beispiel} \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe] @@ -131,7 +146,7 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n) \end{pmatrix} \] - definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). + definierte Funktion von \(C_n\) nach \(\operatorname{O}(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex index b9b1d69..9bb1d99 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex @@ -10,24 +10,31 @@ In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie funktionieren. In diesem Abschnitt werden wir einige Anwendungen vorstellen, bei denen ein Reed-Solomon-Code zum Einsatz kommt. -Dabei teilen all diese Anwendungen das gleiche Problem: Die Daten können nur durch einen (höchst Wahrscheinlichen) fehlerbehafteten Kanal empfangen werden. Es gibt keine andere Methode, an diese Daten zu kommen, als über diesen Kanal. +All diese Anwendungen teilen das gleiche Problem: Die Daten können nur durch einen höchstwahrscheinlich fehlerbehafteten Kanal empfangen werden. Es gibt keine andere Methode, an diese Daten zu kommen, als über diesen Kanal. In der Netzwerktechnik zum Beispiel ist es üblich, dass bei Paketverluste oder beschädigt empfangene Datenpaketen diese einfach noch einmal innert wenigen Millisekunden angefordert werden können. +\index{Paketverluste}% In der Raumfahrt ist dies nicht möglich, da aufgrund der beschränkten Speichermöglichkeit die gesammelten Daten so rasch wie möglich zur Erde gesendet werden. +\index{Raumfahrt}% Diese Daten wiederum brauchen aufgrund der grossen Distanz Stunden bis die Daten beim Empfänger ankommen. -Fehlerhafte Daten kann also auf Grund der Zeitverzögerung nicht mehr angefordert werden. +Fehlerhafte Daten können also auf Grund der Zeitverzögerung nicht mehr angefordert werden. Bei CDs oder DVDs gibt es zwar kein zeitliches Problem, jedoch erschweren Kratzer, Verschmutzungen oder Produktionsfehler das Lesen einer solchen Disk. -Da vor allem Produktionsfehler und Kratzer irreversibel sind und die Disk nicht nach jedem Kratzer ersetzt werden muss, so wird die korrekte Ausgabe der gespeicherten Information durch die Fehlerkorrektur sichergestellt. +\index{CD}% +\index{Compact-Disc}% +\index{DVD}% +\index{Digital Video Disk}% +Da vor allem Produktionsfehler und Kratzer irreversibel sind und die Disk nicht nach jedem Kratzer ersetzt werden, wird die korrekte Ausgabe der gespeicherten Information durch die Fehlerkorrektur sichergestellt. Einen ähnlichen Ansatz verfolgen QR-Codes, wobei die Information auch dann noch gelesen werden kann wenn der Code nicht mehr vollständig vorhanden ist. +\index{QR-Code}% %Wie man sieht, eignen sich Reed-Solomon-Codes vor allem für Anwendungen, bei der die Informationen nicht auf einen Anderen Weg beschafft werden kann. % % %, bei denen die Wahrscheinlichkeit hoch ist, dass während der Übertragung % -%Es ist deshalb umso wichtiger die Daten Codiert zu lesen um so gleich die Lesefehler zu korrigieren. +%Es ist deshalb umso wichtiger die Daten codiert zu lesen um so gleich die Lesefehler zu korrigieren. % % da aufgrund der grossen Distanz Stunden vergehen können bis gesendete Daten auf der Erde empfangen werden kann. % @@ -68,15 +75,36 @@ Um die Fähigkeit eines verwendeten Reed-Solomon-Codes zu beschreiben verwendet % %In den letzten abschnitten haben wir uns ausführlich die Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes angeschaut. In diesem Abschnitt möchten wir dem Leser ein paar bekannte beispiele vorstellen, in denen Reed-Solomon-Codes zum einsatz kommen. Es sei jedoch angemerkt, dass diese Anwendungen in der Umsetzung oft ein wenig anderst funktionieren als hier vorgestellt. Dies wurde vor allem wegen technischen optimierungen realisiert. (technische tricks und finessen), von der logik jedoch sehr stark an unserem Beispiel orientieren +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde} + \caption{Mit einer Entfernung von über 22.8 Milliarden Kilometer ist die Voyager 1 Raumsonde das am weitesten entfernte, von Menschen erschaffene Objekt. Obwohl ihre Schwestersonde Voyager 2 zuerst ins All gestartet wurde befindet Sie sich ``nur'' 19 Milliarden Kilometer weit weg von der Erde. Aufgrund abnehmender Batterieleistung werden die beiden Sonden ihre wissenschaftlichen Aktivitäten etwa 2025 einstellen, bleiben aber bis in die 2030er mit uns in Kontakt.} +\index{Voyager 1 und 2}% + \label{fig:voyager} +\end{figure} + \subsection{Raumfahrt} Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden (siehe Abbildung \ref{fig:voyager}) werden mit einem ($255$,$233$)-Code -Codiert. +\index{Voyager Raumsonde}% +\index{NASA}% +codiert. Der Nachrichtenblock hat somit eine Länge von $255$ Zahlen, wovon $233$ als Nutzlast zur Verfügung stehen. Damit ist es möglich bis zu $11$ Fehler im Nachrichtenblock zu korrigieren. -Der Codierte Nachrichtenblock wird in kleinere Blöcke aufgeteilt, mit einem Faltungscode erneut Codiert und anschliessend gesendet. +Der codierte Nachrichtenblock wird in kleinere Blöcke aufgeteilt, mit einem Faltungscode erneut codiert und anschliessend gesendet. Ein Faltungscode ist wie ein Reed-Solomon-Code in der Lage Fehler zu korrigieren, -Codiert seine Information aber auf eine andere weise. Aus jedem unterteilten Block wird vor dem Versenden ein Paritätsbit erzeugt und dem Block angehängt. Anhand diesem Paritätsbit überprüft der Empfänger, ob bei der Übertragung der Block beschädigt wurde. Ist dies der Fall, wird der Block bei der Decodierung nicht beachtet. Diese so entstandenen ``Lücken'' im Datenstrom werden wiederum vom Reed-Solomon-Code korrigiert. Dieses Zusammenspiel beider Codes garantiert so eine hohe Robustheit gegenüber Übertragungsfeher. +codiert seine Information aber auf eine andere Weise. Aus jedem unterteilten Block wird vor dem Versenden ein Paritätsbit erzeugt und dem Block angehängt. Anhand dieses Paritätsbits überprüft der Empfänger, ob bei der Übertragung der Block beschädigt wurde. Ist dies der Fall, wird der Block bei der Decodierung nicht beachtet. Diese so entstandenen ``Lücken'' im Datenstrom werden wiederum vom Reed-Solomon-Code korrigiert. Dieses Zusammenspiel beider Codes garantiert so eine hohe Robustheit gegenüber Übertragungsfehler. +\begin{figure} + \centering + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc} + } + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in} + } + \caption{CDs kamen 1982 auf den Markt. Sie funktioniert durch das Einpressen oder Einbrennen von Punkten und Strichen, die die Daten repräsentieren. Gelesen werden diese wiederum durch die Reflektion eines Lasers an diesen Punkten und Strichen.} + \label{fig:cd} +\end{figure} % % Funktioniert aber nach einem ganz anderen Prinzip. % @@ -92,16 +120,12 @@ Codiert seine Information aber auf eine andere weise. Aus jedem unterteilten Blo % %mit der Erde mit einem RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde} - \caption{Mit einer Entfernung von über 22.8 Milliarden Kilometer ist die Voyager 1 Raumsonde das am weitesten entfernte, von Menschen erschaffene Objekt. Obwohl ihre Schwestersonde Voyager 2 zuerst ins All gestartet wurde befindet Sie sich ``nur'' 19 Milliarden Kilometer weit weg von der Erde. Aufgrund abnehmender Batterieleistung werden die beiden Sonden ihre wissenschaftlichen Aktivitäten etwa 2025 einstellen, bleiben aber bis in die 2030er mit uns in Kontakt.} - \label{fig:voyager} -\end{figure} \subsection{CD/DVD} Compact discs verwenden sogar zwei ineinander verschachtelte Reed-Solomon-Codes, einen (32,28)-Code und einen (28,24)-Code. -Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle Zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt. +Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle Zusammenspielen dieser beiden Codes wird auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Code (CIRC) genannt. +\index{CIRC}% +\index{Cross-interleaved Reed-Solomon code}% Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehlern oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CDs sind diese in der Lage, bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren. Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeblöcken. Die DVD verwendet einen (208,192)-Code und einen (182,172)-Code. @@ -112,28 +136,6 @@ Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeb \begin{figure} \centering \subfigure[]{ - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc} - } - \subfigure[]{ - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in} - } - \caption{CDs kamen 1982 auf den Markt. Sie funktioniert durch das Einpressen oder Einbrennen von Punkten und Strichen, die die Daten repräsentieren. Gelesen werden diese wiederum durch die Reflektion eines Lasers an diesen Punkten und Strichen.} - \label{fig:cd} -\end{figure} - -\subsection{QR-Codes} -Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Menge an codierten Daten sowie dem verwendeten Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Designer-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist unter Abbildung \ref{fig:designqr} zu finden. - -% - -%So kann auf den ersten Blick nicht -% -% -% funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%. - -\begin{figure} - \centering - \subfigure[]{ \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_h} } \subfigure[]{ @@ -145,7 +147,7 @@ Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen % \subfigure[]{ % \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode} % } - \caption{Anhand der grösse würde man darauf schliessen, dass bei (a) mehr Informationen Codiert sind als bei (b). Tatsächlich aber beinhalten beide Codes die gleiche Information. Das liegt daran, da die Fehlerkorrekturfähigkeit von QR-Codes sich in insgesamt vier Levels aufteilen lassen. Der höchste Fehlerkorrektur-Level, der bei (a) angewendet wurde, ist in der Lage, bis zu 30\% der Daten wiederherzustellen. Der kleinste Level schafft etwa 7\%, der in (b) veranschaulicht wird. Da die Grösse also nichts über die Menge an Daten aussagt, könnte es sich bei (a) auch um einen Code mit viel Nutzdaten und kleinem Fehlerkorrektur-Level handeln. Der Unterschied ist von Auge nicht sichtbar.} + \caption{Anhand der grösse würde man darauf schliessen, dass bei (a) mehr Informationen codiert sind als bei (b). Tatsächlich aber beinhalten beide Codes die gleiche Information. Das liegt daran, da die Fehlerkorrekturfähigkeit von QR-Codes sich in insgesamt vier Levels aufteilen lassen. Der höchste Fehlerkorrektur-Level, der bei (a) angewendet wurde, ist in der Lage, bis zu 30\% der Daten wiederherzustellen. Der kleinste Level schafft etwa 7\%, der in (b) veranschaulicht wird. Da die Grösse also nichts über die Menge an Daten aussagt, könnte es sich bei (a) auch um einen Code mit viel Nutzdaten und kleinem Fehlerkorrektur-Level handeln. Der Unterschied ist von Auge nicht sichtbar.} \label{fig:qr} \end{figure} @@ -165,4 +167,22 @@ Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen } \caption{Während (a) noch einen unveränderten QR-Code repräsentiert, handelt es sich bei (b) nun um einen Designer-QR-Code. Beide Codes verfügen über einen mittleren Fehlerkorrektur-Level von theoretisch 15\%. Da bei (b) jetzt einen Teil des Codes durch ein Logo verdeckt wird, schränkt sich die Fehlerkorrekturfähigkeit je nach Grösse des verdeckten Teils mehr oder weniger stark ein. Unser Designer-Code in (b) ist nur noch in der Lage etwa 9\% des Codes zu rekonstruieren.} \label{fig:designqr} -\end{figure}
\ No newline at end of file +\end{figure} + +\subsection{QR-Codes} +\index{QR-Code}% +Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. +Die physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Menge an codierten Daten sowie dem verwendeten Fehlerkorrektur-Level. +Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein QR-Code enthält. +Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. +Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Designer-Codes zweckentfremdet werden. +\index{Designed-QR-Code}% +Dabei wird z.~B.~das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den QR-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist in Abbildung \ref{fig:designqr} zu finden. + +% + +%So kann auf den ersten Blick nicht +% +% +% funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex index eb4e82f..02484e0 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex @@ -26,7 +26,7 @@ Der Nachrichtenblock im Beispiel besteht aus \[ n = q - 1 = 10 \text{ Zahlen}, \] -wobei die null weggelassen wird. Wenn wir versuchen würden, mit der null zu codieren, so stellen wir fest, dass wir wieder null an der gleichen Stelle erhalten und somit wäre die Codierung nicht eindeutig. +wobei die Null weggelassen wird. Wenn wir versuchen würden, mit der Null zu codieren, so stellen wir fest, dass wir wieder Null an der gleichen Stelle erhalten und somit wäre die Codierung nicht eindeutig. % Notes %Da bei allen Codes, die codiert werden wird an der gleichen Stelle eine Nullstelle auftreten. @@ -51,7 +51,7 @@ k = n - 2t = 6\text{ Zahlen} \] übertragen. -Zusammenfassend haben wir einen Nachrichtenblock mit der Länge von 10 Zahlen definiert, der 6 Zahlen als Nutzlast beinhaltet und in der Lage ist, aus 2 fehlerhafte Stellen im Block die ursprünglichen Nutzdaten zu rekonstruieren. Zudem werden wir im weiteren feststellen, dass dieser Code maximal vier Fehlerstellen erkennen, diese aber nicht rekonstruieren kann. +Zusammenfassend haben wir einen Nachrichtenblock mit der Länge von 10 Zahlen definiert, der 6 Zahlen als Nutzlast beinhaltet und in der Lage ist, aus 2 fehlerhafte Stellen im Block die ursprünglichen Nutzdaten zu rekonstruieren. Zudem werden wir im Weiteren feststellen, dass dieser Code maximal vier Fehlerstellen erkennen, diese aber nicht rekonstruieren kann. Wir legen nun für das Beispiel die Nachricht \[ @@ -76,7 +76,7 @@ dar. \subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation \label{reedsolomon:subsection:diskFT}} -Im vorherigen Abschnitt \ref{reedsolomon:section:dtf} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. +Im vorherigen Abschnitt \ref{reedsolomon:section:dtf} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulersche Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken. Dazu ändern wir die Darstellung von \[ @@ -115,7 +115,8 @@ in die von $a$ abhängige Schreibweise \subsubsection{Die primitiven Einheitswurzeln \label{reedsolomon:subsection:primsqrt}} - +\index{primitive Einheitswurzel}% +\index{Einheitswurzel, primitiv}% Wenn wir jetzt Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ an Stelle von $a$ einsetzen, erhalten wir \begin{center} \begin{tabular}{c c c c c c c} @@ -151,6 +152,7 @@ Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere endliche Körper an, so werden \subsubsection{Bildung einer Transformationsmatrix \label{reedsolomon:subsection:transMat}} +\index{Transformationsmatrix}% Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung setzen wir alle Zahlen in $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ nacheinander in $m(X)$ ein. Da wir zuvor eine von $a$ abhängige Schreibweise gewählt haben setzen wir stattdessen $a^i$ ein mit $a = 8$ als die von uns gewählten primitiven Einheitswurzel. Daraus ergibt sich @@ -167,6 +169,7 @@ Für die Codierung setzen wir alle Zahlen in $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ nac \end{tabular} \end{center} als unser Übertragungsvektor. +\index{Ubertragungsvektor@Übertragungsvektor}% \subsection{Allgemeine Codierung \label{reedsolomon:subsection:algCod}} @@ -197,3 +200,4 @@ Für unseren Übertragungsvektor resultiert v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4], \] den wir jetzt über einen beliebigen Nachrichtenkanal versenden können. +\index{Nachrichtenkanal}% diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex index 598cf68..97694ae 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex @@ -11,7 +11,7 @@ In der realen Welt müssen wir uns jedoch damit abfinden, dass kein Übertragung Genau für dieses Problem wurden Fehler korrigierende Codes, wie der Reed-Solomon-Code, entwickelt. In diesem Abschnitt betrachten wir somit die Idee der Fehlerkorrektur und wie wir diese auf unser Beispiel anwenden können. -Der Übertragungskanal im Beispiel weisst jetzt den Fehlervektor +Der Übertragungskanal im Beispiel weist jetzt den Fehlervektor \[ u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0] \] @@ -76,16 +76,18 @@ als neuen, fehlerbehafteten Übertragungsvektor $w$ auf der Empfängerseite. Als Empfänger wissen wir jedoch nicht, dass der erhaltene Übertragungsvektor jetzt fehlerbehaftet ist und werden dementsprechend den Ansatz aus Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} anwenden. Wir stellen jedoch recht schnell fest, dass am decodierten Nachrichtenblock \[ -r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{\text{Syndrom}}5,4,5,7,6,7] +r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{\displaystyle\text{Syndrom}}5,4,5,7,6,7] \] etwas nicht in Ordnung ist, denn die vorderen vier Fehlerkorrekturstellen haben nicht mehr den Wert null. -Der Nachrichtenblock weisst jetzt ein \em Syndrom \em auf, welches anzeigt, dass der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen wurde. +Der Nachrichtenblock weisst jetzt ein {\em Syndrom} auf, welches anzeigt, dass der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen wurde. +\index{Syndrom}% % Old Text %Wenn wir den Übertragungsvektor jetzt Rücktransformieren wie im vorherigen Kapitel erhalten wir %\[ %r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]. %\] Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie wir daraus den ursprünglich gesendeten Nachrichtenvektor zurückerhalten sollen. Laut der Definition über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes können wir aus den Fehlerkorrekturstellen ein ``Lokatorpolynom'' berechnen, welches die Information enthält, welche Stellen innerhalb des empfangenen Übertragungsvektors fehlerhaft sind. +\index{Lokatorpolynom}% \subsection{Das Fehlerstellenpolynom $d(X)$ \label{reedsolomon:subsection:fehlerpolynom}} @@ -101,9 +103,11 @@ In einem ersten Versuch berechnen wir die Differenz $d$ des empfangenen und dem $d(X)$ & $=$ & $r(X) - m(X)$ \end{tabular} \end{center} -und nennen $d(X)$ als unseres Fehlerstellenpolynom. Dieses Polynom soll uns sagen, welche Stellen korrekt und welche fehlerhaft sind. +und nennen $d(X)$ unser {\em Fehlerstellenpolynom}. +\index{Fehlerstellenpolynom}% +Dieses Polynom soll uns sagen, welche Stellen korrekt und welche fehlerhaft sind. -Durch das verwenden von $m(X)$ stossen wir auf weitere Probleme, da wir den Nachrichtenvektor auf der Empfängerseite nicht kennen (unser Ziel ist es ja genau diesen zu finden). Dieses Problem betrachten wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} genauer. Um die Überlegungen in den folgenden Abschnitten besser zu verstehen sei $m(X)$ bekannt auf der Empfängerseite. +Durch das Verwenden von $m(X)$ stossen wir auf weitere Probleme, da wir den Nachrichtenvektor auf der Empfängerseite nicht kennen (unser Ziel ist es ja genau diesen zu finden). Dieses Problem betrachten wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} genauer. Um die Überlegungen in den folgenden Abschnitten besser zu verstehen sei $m(X)$ bekannt auf der Empfängerseite. %Dies wird uns zwar andere sorgen wegen $m(X)$ bereiten, wir werden werden deshalb erst in Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} darauf zurückkommen. @@ -127,18 +131,19 @@ Setzen wir jetzt unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir \end{tabular} \end{center} und damit die Information, dass allen Stellen, die nicht Null sind, Fehler enthalten. -Aus der Tabelle lesen wir ab, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind. +Aus der Tabelle lesen wir ab, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle $3$ und $8$ zu finden sind. Für das einfache Bestimmen von Hand mag dies ja noch ausreichen, jedoch können wir mit diesen Stellen nicht das Lokatorpolynom bestimmen, denn dafür bräuchten wir alle Nullstellen, an denen es Fehler gegeben hat (also sozusagen genau das umgekehrte). Um dies zu erreichen wenden wir eine andere Herangehensweise und nehmen uns den Satz von Fermat sowie den kleinsten gemeinsamen Teiler zur Hilfe. \subsection{Mit dem grössten gemeinsamen Teiler auf Nullstellenjagd \label{reedsolomon:subsection:ggT}} - +\index{ggT}% +\index{grösster gemeinsamer Teiler}% Zuerst betrachten wir den Satz von Fermat, dessen Funktionsweise wir in Abschnitt \ref{buch:section:galoiskoerper} kennengelernt haben. Der besagt, dass \[ f(X) = X^{q-1} -1 = 0 \] -gilt für jedes $X$. Setzen wir das $q$ von unserem Beispiel ein +gilt für jedes $X$. Setzen wir das $q$ von unserem Beispiel ein, erhalten wir \[ f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \] @@ -165,7 +170,8 @@ Dies scheint zuerst nicht sehr hilfreich zu sein, da wir für das Lokatorpolynom \subsection{Mit dem kgV fehlerhafte Nullstellen finden \label{reedsolomon:subsection:kgV}} - +\index{kgV}% +\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches}% Das kgV hat nämlich die Eigenschaft sämtliche Nullstellen zu finden, also nicht nur die fehlerhaften sondern auch die korrekten, was in \[ \operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X). @@ -181,7 +187,7 @@ Somit ist l(X) = (X-a^3)(X-a^8) \] unser gesuchtes Lokatorpolynom. -Es scheint so als müssten wir nur noch an den besagten Stellen den Übertragungsvektor korrigieren und wir währen fertig mit der Fehlerkorrektur. +Es scheint so als müssten wir nur noch an den besagten Stellen den Übertragungsvektor korrigieren und wir wären fertig mit der Fehlerkorrektur. Jedoch haben wir noch ein grundlegendes Problem, dass zu Beginn aufgetaucht ist, wir aber beiseite geschoben haben. Die Rede ist natürlich vom Nachrichtenvektor $m(X)$, mit dem wir in erster Linie das wichtige Fehlerstellenpolynom $d(X)$ berechnet haben, auf der Empfängerseite aber nicht kennen. \subsection{Der problematische Nachrichtenvektor $m(X)$ @@ -214,7 +220,7 @@ so zu berechnen, dass wir die wichtigen vier Stellen kennen, der Rest des Polyno \subsection{Die Berechnung der Fehlerstellen \label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}} - +\index{Fehlerstellen}% Um die Fehlerstellen zu berechnen wenden wir die gleiche Vorgehensweise wie zuvor an, also zuerst den ggT, danach berechnen wir das kgV um am Ende das Lokatorpolynom zu erhalten. \subsubsection{Schritt 1: ggT} @@ -309,11 +315,12 @@ l(X) = (X-a^i)(X-a^j). \] Also brauchen wir nur noch $i$ und $j$ zu berechnen und wir haben unsere gesuchten Fehlerstellen. Diese bekommen wir recht einfach mit -\begin{center} - $a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$ - - $a^j = 6 \qquad \Rightarrow \qquad j = 8$. -\end{center} +\begin{equation*} +\begin{aligned} + a^i &= 5 &&\Rightarrow & i &= 3\\ + a^j &= 6 &&\Rightarrow & j &= 8. +\end{aligned} +\end{equation*} Schlussendlich erhalten wir \[ d(X) = (X-a^3)(X-a^8) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex index 50bd8d6..2c755f9 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex @@ -33,7 +33,8 @@ Definiert ist sie als \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega. \] -Im wesentlichen ändert sich bei der inversen diskreten Fouriertransformation $e^{j/2\pi}$ zu $e^{-j/2\pi}$. Zusätzlich benötigt die inverse noch einen Korrekturfaktor $1/n$. Wir erwarten daher, dass wir auch im endlichen Körper $A$ die Zahl $a$ durch $a^{-1}$ ersetzen können. Mit der primitiven Einheitswurzel ergibt das +Im wesentlichen ändert sich bei der inversen diskreten Fouriertransformation $e^{j/2\pi}$ zu $e^{-j/2\pi}$. Zusätzlich benötigt die Inverse noch einen Korrekturfaktor $1/n$. Wir erwarten daher, dass wir auch im endlichen Körper $A$ die Zahl $a$ durch $a^{-1}$ ersetzen können. Mit der primitiven Einheitswurzel ergibt das +\index{Korrekturfaktor}% %Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. \[ 8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}. @@ -45,7 +46,7 @@ Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:e \subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel \label{reedsolomon:subsection:invEinh}} - +\index{Inverse}% Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Abschnitt \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben. Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$). Daraus erhalten wir @@ -169,7 +170,8 @@ als unseren Vorfaktor setzen müssen um, die Gleichung \ref{reedsolomon:equation \subsection{Allgemeine Decodierung \label{reedsolomon:subsection:algdec}} -Wir haben jetzt alles für eine erfolgreiche Rücktransformation vom empfangenen Nachrichtenvektor beisammen. Die allgemeine Gleichung für die Rücktransformation lautet +Wir haben jetzt alles für eine erfolgreiche Rücktransformation vom empfangenen Nachrichtenvektor beisammen. +Die allgemeine Gleichung für die Rücktransformation lautet \[ m = s \cdot A^{-1} \cdot v. \] @@ -201,10 +203,11 @@ m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatri \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}, \] -und wir erhalten +erhalten wir \[ m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1] \] -als unsere Nachricht zurück.
\ No newline at end of file +als unsere Nachricht zurück. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 9647775..a50a134 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,26 +1,30 @@ % % dtf.tex -- Idee mit DFT % -\section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation +\section{Übertragung mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} -\rhead{Umwandlung mit DTF} +\rhead{Fehlerkorrektur mit diskreter Fourier-Transformation} Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunktes durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden. Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. \par Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, +\index{Fourier-Transformation}% eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. +\index{Dirac-Funktion}% +\index{Spektrum}% Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist, vorausgesetzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. -\par +\index{Filtertheorie}% Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation für Codierung und Decodierung zu verwenden. -\subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation +\subsection{Beispiel: Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation \label{reedsolomon:subsection:sendbsp}} Das folgende Beispiel soll zeigen, wie die Idee der Fehlerkorrektur umgesetzt wurde. Die Fehlererkennung des Reed-Solomon-Codes funktioniert nach einem sehr Ähnlichen Prinzip. +\index{Reed-Solomon-Code}% %Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. %Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, @@ -45,8 +49,10 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut \begin{enumerate}[(1)] \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10. Für die Rekonstruktion werden zusätzliche Datenwerte benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. - Diese setzen wir willkürlich alle auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. + Diese setzen wir willkürlich alle auf Null und nennen sie {\em Fehlerkorrekturstellen}. +\index{Fehlerkorrekturstellen}% Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$. +\index{Signalvektor}% \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene @@ -58,11 +64,12 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut Der Empfänger erkennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch die inverse Fourier-Transformation vollständig wiederhergestellt werden. - Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. + Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64--96. \par Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen die Werte von Null abweichen. Somit haben wir bereits Fehler erkannt. - \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom. + \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64--96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das {\em Syndrom}. +\index{Syndrom}% Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt. \item Um die Fehler zu rekonstruieren, kann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler. @@ -70,7 +77,6 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut \end{enumerate} Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind. -\par Damit können die Fehler korrigiert und die Originaldaten wiederhergestellt werden. Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. @@ -116,9 +122,12 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. \end{equation} für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt. Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$ (graue Koeffizenten). -\par + Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reellen Zahlen. -Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, +Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist, um die Fehler zu erkennen und zu rekonstruieren, dann brauchen wir andere Varianten. -Um dieser Approximation zu entkommen, verlassen wir die reellen Zahlen und gehen zum endlichen Körpern, oder auch Galois-Körper genannt. -Dieser bietet uns einige Vorteile.
\ No newline at end of file +Um dieser Approximation zu entkommen, verlassen wir die reellen Zahlen und gehen zu endlichen Körpern, auch Galois-Körper genannt. +\index{endlicher Körper}% +\index{Galois-Körper}% +\index{Körper, endlich}% +Diese bieten uns einige Vorteile. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index f99ad82..cf46c27 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,11 +6,13 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt. -Dabei haben sie das Problem der Fehlerhaften Datenübertragung gelöst. -In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge und +Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematikern Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt. +\index{Reed, Irving S.}% +\index{Solomon, Gustave}% +Dabei haben sie das Problem der fehlerhaften Datenübertragung gelöst. +In diesem Kapitel wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge und Funktionsweise des Reed-Solomon-Code erklärt. -Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen, jedoch wird im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:anwendung} einige Anwendungen des Reed-Solomon-Codes vorgestellt. +Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen, jedoch werden im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:anwendung} einige Anwendungen des Reed-Solomon-Codes vorgestellt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index daa2913..b1ab8f6 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -5,13 +5,13 @@ \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, -also den gleiche Wert immer zweimal versenden. -Tritt ein Fehler ein wird sich dies in der Differenz der beiden Werten bemerkbar machen. +also den gleiche Wert immer zweimal. +Tritt ein Fehler ein wird sich dies in der Differenz der beiden Werte bemerkbar machen. Aber wie erkennen wir, welcher nun der richtige ist? Die Lösung ist simpel: Wir übertragen den Wert einfach dreimal. -Wenn jetzt ein Fehler auftritt, kann durch die beiden unveränderten Werten den richtigen bestimmt werden. +Wenn jetzt ein Fehler auftritt, kann durch die beiden unveränderten Werte der richtige bestimmt werden. Doch was machen wir, wenn bei dieser Übertragung zwei Fehler auftreten? -Oder noch schlimmer: Was wenn zweimal derselbe Fehler auftritt? Die beiden Fehlerhaften Werte überstimmen bei der Evaluierung den gesendeten Datenwert, der dann unwiderruflich verloren geht. -Wir könnten dies noch steigern mit vier, fünf oder mehr gleichen Übertragenen Werte. Dies erhöht zwar die Robustheit der gesendeten Daten, führt aber auch dazu, dass wir durch die Mehrfachübertragung nur sehr wenige Nutzdaten versenden können. +Oder noch schlimmer: Was wenn zweimal derselbe Fehler auftritt? Die beiden fehlerhaften Werte überstimmen bei der Evaluierung den gesendeten Datenwert, der dann unwiderruflich verloren geht. +Wir könnten dies noch steigern mit vier, fünf oder mehr gleichen übertragenen Werte. Dies erhöht zwar die Robustheit der gesendeten Daten, führt aber auch dazu, dass wir durch die Mehrfachübertragung nur sehr wenige Nutzdaten versenden können. Gerade in unserer heutigen Zeit wäre dies ein enorm grosses Problem und aus diesem Grund wurden alternative Ansätze ausgearbeitet um dieses grundlegende Problem zu lösen. % % @@ -69,58 +69,60 @@ p(x) \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}. \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} -\par + Ein Polynom zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragenen Werten +Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit drei übertragenen Werten das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus den Punkten wieder ein Polynom zu bilden. Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1} und \textcolor{blue}{5}. -\par + Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? -Versuchen wir doch, mehr Werte zu übertragen, wie zum Beispiel 7 Werte. +Versuchen wir doch, mehr Werte zu übertragen, wie zum Beispiel sieben Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} des \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7. In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün, wobei diese Punkte aufgrund von Übertragungsfehler jetzt eine Parabel darstellen. -Die Fehlerhaften Punkte lassen sich sehr einfach bestimmen, weil diese nicht auf der ursprünglichen Funktion liegen. +Die fehlerhaften Punkte lassen sich sehr einfach bestimmen, weil diese nicht auf der ursprünglichen Funktion liegen. Somit können die roten Punkte auf der Parabel durch die grauen ersetzt werden und sind damit korrigiert. -Bisher konnten wir von 7 Zahlen zwei Fehler erkennen und korrigieren. Können wir in diesem Beispiel noch mehr Fehler korrigieren? +Bisher konnten wir von sieben Zahlen zwei Fehler erkennen und korrigieren. Können wir in diesem Beispiel noch mehr Fehler korrigieren? Wir erhöhen dazu die Fehleranzahl Schritt für Schritt: +\begin{figure}%[!ht] + \centering + %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} + \input{papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex} + \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} + \label{fig:polynom} +\end{figure}% \begin{itemize} \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. - Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. + Dabei können aber maximal drei Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. Da 6 > 3 ist haben wir unser originales Polynom gefunden. \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden. Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom} zu sehen ist. - Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und ein konkurrenzierendes mit 4 Punkten. - Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. - \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 1 oder 2 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmt werden. + Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{fünf} übereinstimmenden und ein konkurrenzierendes mit vier Punkten. + Da fünf noch grösser als vier ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. + \item[\textit{3 Fehler}:] Bei drei kann genau wie bei ein oder zwei Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmt werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. - Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. + Nun ist es so das fünf Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und vier Punkte auf dem originalen liegen. Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. - \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier kann noch erkannt werden, dass Fehler aufgetreten sind, da 3 originale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. - Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, was bedeutet, dass Fehler entstanden sind. - \item[\textit{5 Fehler:}] Bei Fünf kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + \item[\textit{4 Fehler}:] Bei vier kann noch erkannt werden, dass Fehler aufgetreten sind, da drei originale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Somit haben wir mindestens zwei verschiedene Polynome, was bedeutet, dass Fehler entstanden sind. + \item[\textit{5 Fehler:}] Bei fünf kann mit den zwei originalen Punkten das originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit kann auch keine Aussage mehr gemacht werden, ob Fehler aufgetreten sind oder nicht. -\end{itemize} - -\begin{figure}%[!ht] - \centering - %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} - \input{papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex} - \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} - \label{fig:polynom} -\end{figure} \qedhere +\end{itemize} \end{beispiel} \section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} -Um zu bestimmen, wie viele zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind um die Fehler zu korrigieren, +Um zu bestimmen, wie viele zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, muss man zuerst wissen, wie viele \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wie viele \textcolor{red}{Fehler} erkannt werden sollen. -Die Anzahl Datenwerte ergeben die Anzahl Polynomkoeffizenten \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$ des Polynoms. -Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. +Die Anzahl Datenwerte ergibt die Anzahl +\textcolor{blue}{$k$} +Polynomkoeffizenten +und somit den Grad $k-1$ des Polynoms. +Die Bestimmung der Anzahl \textcolor{red}{$t$} der Fehler, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. Bilden wir verschieden grosse Polynome und untersuchen diese mit unterschiedlich vielen Fehlern erkennt man allmählich ein Muster. \begin{table}%[!ht] @@ -142,12 +144,14 @@ Bilden wir verschieden grosse Polynome und untersuchen diese mit unterschiedlich \par Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr. -Wie in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} ersichtlich ist ergeben sich diese Anzahl an \textcolor{darkgreen}{Punkte} für die Übertragung. +Wie in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} ersichtlich ist ergibt sich die +Anzahl \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. \label{reedsolomon:equation2} \end{equation} +von \textcolor{darkgreen}{Punkten} für die Übertragung. Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, die aber nicht korrigiert werden können. Um die Polynomkoeffizenten nach der Übertragung zu rekonstruieren, haben wir jedes mal die Polynominterpolationsmethode angewendet. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex index b099e68..4f7fd7b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex @@ -23,9 +23,10 @@ Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr d Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen: \[ \textcolor{gray}{ - \begin{pmatrix} + \begin{matrix} a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\ -\end{pmatrix}} +\end{matrix}} +\qquad \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\ \end{pmatrix} @@ -176,7 +177,7 @@ Nun können wir den Gauss-Algorithmus anwenden um die Matrix zu Invertieren. \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Multiplizieren wir nun aus, erhalten wir unseren Nutzdatenteil \[ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex index c24fcf3..a098107 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex @@ -6,6 +6,8 @@ \section{Zusammenfassung \label{reedsolomon:section:zf}} \rhead{Zusammenfassung} +\index{Reed-Solomon-Code, Zusammenfassung}% +\index{Zusammenfassung Reed-Solomon-Code}% Dieser Abschnitt beinhaltet eine Übersicht über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes für beliebige endliche Körper. \subsubsection{Schritt 1: primitives Element} @@ -55,11 +57,11 @@ Die Codierungsmatrix ändert sich somit zur Decodierungsmatrix Daraus lässt sich der Nachrichtenblock aus dem Übertragungsvektor rekonstruieren. \subsubsection{Schritt 4: Decodierung mit Fehler} -Sollte der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen werden, so kann der Nachrichtenblock nicht durch invertieren der Matrix rekonstruiert werden. +Sollte der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen werden, so kann der Nachrichtenblock nicht durch Invertieren der Matrix rekonstruiert werden. Zur Lokalisierung der Fehlerstellen nehmen wir das Polynom $f(X)$ zur Hilfe, welches wir über den Satz von Fermat bestimmt haben. Berechnen wir daraus das $\operatorname{kgV}$ von $f(X)$ und $d(X)$, so erhalten wir ein Lokatorpolynom. -Durch das bestimmen der Exponenten erhalten wir die Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor. -Für die Rekonstruktion stellen wir ein Gleichungssystem auf und entfernen daraus die Fehlerhaften Zeilen. +Durch das Bestimmen der Exponenten erhalten wir die fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor. +Für die Rekonstruktion stellen wir ein Gleichungssystem auf und entfernen daraus die fehlerhaften Zeilen. Im Anschluss kann das verkleinerte Gleichungssystem gelöst werden. Als Resultat erhalten wir die fehlerfreie Nachricht. %Aus diesem Grund suchen wir nach einem Lokatorpolynom, welches uns die Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor anzeigt. diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex index 8e0d36d..1062b8b 100644 --- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex +++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex @@ -1,6 +1,10 @@ \section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}} \rhead{Einleitung} Das Hook'sche Gesetz beschreibt die Beziehung von Spannung und Dehnung von linear-elastischen Materialien im Eindimensionalen. +\index{Hook'sches Gesetz}% +\index{Spannung}% +\index{Dehnung}% +\index{elastisches Material}% In diesem Kapitel geht es darum, das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben. Durch variable Krafteinwirkungen entstehen in jedem Punkt des Materials eine Vielzahl an unterschiedlichen Spannungen. In jedem erdenklichen Punkt im Dreidimensionalen herrscht daher ein entsprechender individueller Spannungszustand. @@ -8,6 +12,7 @@ Um das Hook'sche Gesetz für den 3D Spannungszustand formulieren zu können, rei Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zu Hilfe gezogen. Mit diesen lässt sich eine Spannungsformel für den 3D Spannungszustand bilden. Diese Spannungsformel ist Grundlage für Computerprogramme und geotechnische Versuche, wie der Oedometer-Versuch. +\index{Oedometer-Versuch}% Um die mathematischen und physikalischen Berechnungen anwenden zu können, müssen vorerst ein paar spezifische Bedingungen vorausgesetzt und Annahmen getroffen werden. @@ -18,7 +23,11 @@ wie sie in gängigen Lehrbüchern der Mechanik oder der Geotechnik behandelt wer \section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}} \rhead{Spannungsausbreitung} Die Geotechnik ist eine Ingenieurdisziplin, bei welcher man Erdbau und den Erdbau tangierende Bauwerke dimensioniert. +\index{Geotechnik}% +\index{Erdbau}% Sie beinhaltet aber auch die statische Beurteilung von Boden und Fels. +\index{Boden}% +\index{Fels}% Belastet man den Boden mit einer Spannung \[ @@ -47,12 +56,14 @@ Das können beispielsweise verschiedene Bodenkennwerte oder auch der Wassergehal \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png} + %\includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png} + \includegraphics{papers/spannung/images/tiefe.pdf} \caption{Funktionen der Spannung und Dehnung im Zusammenhang mit der Tiefe} \label{fig:Bild5} \end{figure} -Bei jeder dieser Zusatzspannung geht eine entsprechende Zusatzdehnung des Bodens einher, welche eine Setzung bedeutet. +Mit jeder dieser Zusatzspannung geht eine entsprechende Zusatzdehnung des Bodens einher, welche eine Setzung bedeutet. +\index{Setzung}% Im einfachsten Fall kann modellhaft mit \[ \varepsilon @@ -76,6 +87,7 @@ berechnet werden mit: Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im Lehrbuch \cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik} beschrieben. In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen. Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild3}). +\index{Baugrube}% Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen. Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$. Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden. diff --git a/buch/papers/spannung/images/Makefile b/buch/papers/spannung/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0c6ccc7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/images/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile -- build images +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: tiefe.pdf + +tiefe.pdf: tiefe.tex ../Grafiken/Bild5.png + pdflatex tiefe.tex diff --git a/buch/papers/spannung/images/tiefe.pdf b/buch/papers/spannung/images/tiefe.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..de9e7cf --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/images/tiefe.pdf diff --git a/buch/papers/spannung/images/tiefe.tex b/buch/papers/spannung/images/tiefe.tex new file mode 100644 index 0000000..9ad7fa4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/images/tiefe.tex @@ -0,0 +1,42 @@ +% +% tiefe.tex -- Abhängigkeit von \varepsilon und \sigma von der Tiefe +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{1} +\newboolean{debug} +\setboolean{debug}{true} +\setboolean{debug}{false} + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6cm]{../Grafiken/Bild5.png}}; +\def\beschriftung#1#2#3{ + \ifthenelse{\boolean{debug}}{ + \fill[color=red,opacity=0.2] ({(#1-0.22)*\s},{(#2-0.22)*\s}) + rectangle ({(#1+0.22)*\s},{(#2+0.22)*\s}); + }{ + \fill[color=white] ({(#1-0.22)*\s},{(#2-0.22)*\s}) + rectangle ({(#1+0.22)*\s},{(#2+0.22)*\s}); + } + \node at ({#1*\s-0.1},{#2*\s}) {#3\strut}; +} + +\beschriftung{2.75}{2.9}{$\varepsilon$} +\beschriftung{-0.4}{2.9}{$\sigma$} + +\beschriftung{-2.5}{-2.9}{$t$} +\beschriftung{0.67}{-2.9}{$t$} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex index 089c28e..f9afde0 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil0.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex @@ -17,6 +17,8 @@ Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenü sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist. Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen. Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinatenachsen $1$, $2$, $3$. +\index{Normalspannung}% +\index{Schubspannung}% Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt. So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, konkret sind dies drei Normal- und sechs Schubspannungen. Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche. @@ -61,6 +63,9 @@ mit \end{align*} Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen. Es ist praktisch, die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$. +\index{Dehnung, relativ}% +\index{Längenänderung}% +\index{Elastizitätsmodul}% \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png} @@ -78,6 +83,6 @@ Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, wird dieser durch \[ E = -\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}\varepsilon} +\frac{d\sigma}{d\varepsilon} \] -ausgedrückt.
\ No newline at end of file +ausgedrückt. diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex index 647b452..10f7663 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil1.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex @@ -1,9 +1,11 @@ \section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}} \rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren} Der Begriff Tensor kann als Überbegriff der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden. +\index{Tensor}% Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet. Skalare, Vektoren oder Matrizen sind daher auch Tensoren. Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe. +\index{Stufe}% Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden. Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar. Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden. @@ -14,10 +16,18 @@ Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln. So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2. Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben. -In den 40er Jahren vom 19. Jahrhundert wurde der Begriff Tensor von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt. +In den 40er Jahren des 19.~Jahrhunderts wurde der Begriff Tensor von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt. +\index{Hamilton, Rowan}% James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben. +\index{Maxwell, James Clerk}% Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert. +\index{Voigt, Woldemar} Er hat in der Elastizitätstheorie als erstes Tensoren eingesetzt und beschrieben. +\index{Elastizitätstheorie}% Auch Albert Einstein hat solche Tensoren eingesetzt, -um in der Relativitätstheorie die Änderung der 4D Raumzeit beschreiben zu können. -\cite{spannung:Tensor} +\index{Einstein, Albert}% +um in der Relativitätstheorie die Änderung der vierdimensionalen Raumzeit beschreiben zu können +\index{Relativitätstheorie}% +\index{Raumzeit}% +\cite{spannung:Tensor}. + diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 8620afe..8bf1968 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -1,18 +1,18 @@ \section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}} \rhead{Dreiachsiger Spannungszustand} -Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen. +Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.30\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png} \caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen} \label{fig:infinitesimalerWuerfel} \end{figure} -Ein Tensor 0. Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben. -Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2. Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. +Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben. +Um den 3D-Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt. Die Spannungen sind durch die zwei Indizes -\[ +\( i, j\in\left\{1, 2, 3\right\} -\] +\) definiert. Daher ergeben sich die neun Spannungen. Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben. @@ -30,11 +30,11 @@ Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Mat \] dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand. Die Dehnungen wirken in die gleichen Richtungen wie die korrespondierenden Spannungen und sind durch die zwei Indizes -\[ +\( k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} -\] +\) definiert. -Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit +Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.~Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit \[ \overline{\varepsilon} = @@ -48,7 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\ \] dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand. -Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. +Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist. Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt. So ergibt sich der Spannungsvektor @@ -108,18 +108,19 @@ und der Dehnungsvektor \end{pmatrix} . \] -Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2. Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4. Stufe benötigt. -Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0. Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$. +Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2.~Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4.~Stufe benötigt. +\index{Elastizitätstensor}% +Dieser ist im 1D-Spannungszustand ein Tensor 0.~Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$. -Dieser Elastizitätstensor 4. Stufe kann als Tensor 2. Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. +Dieser Elastizitätstensor 4.~Stufe kann als Tensor 2.~Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden. So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert. -Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen. -Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. -Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes -\[ +Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen neun Dehnungen mit Konstanten erfassen. +Dies bedeutet um eine von neun Spannungen berechnen zu können müssen alle neun Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden. +Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den vier Indizes +\( i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\} , -\] +\) die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist. Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein \[ @@ -157,6 +158,7 @@ C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl} \] geschrieben werden. Der Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein. +\index{isotrop}% Folglich gilt: \[ \overline{\overline{C}} @@ -169,6 +171,8 @@ Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizit Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist, muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden. Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche durch +\index{Querdehnungszahl}% +\index{Poisson-Zahl}% \[ \nu = @@ -228,7 +232,7 @@ Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich zum Beispiel als \] berechnen. -Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen +\section{Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen} Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors. Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab. @@ -270,6 +274,7 @@ und folglich auch \] gilt. Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation \cite{spannung:Voigtsche-Notation} ausgenutzt, um die Gleichung vereinfachen zu können. +\index{Voigt'sche Notation}% Durch diese Symmetrie gilt \[ \overline{\sigma} @@ -442,7 +447,8 @@ Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ ha Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss. Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss. -Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$, mithilfe des Gauss - Jordan Algorithmus, um die Gleichung umstellen zu können. +Von $\overline{\overline{C}}$ bildet man die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$, mithilfe des Gauss-Jordan-Algorithmus, um die Gleichung umstellen zu können. +\index{Gauss-Algorithmus}% Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung: \[ @@ -492,4 +498,4 @@ Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man \] Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab. Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert. -Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=0.5$. +Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=\frac12$. diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index a9080ea..c68c0d1 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -62,7 +62,7 @@ und \frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\displaystyle{\varepsilon_{s}}} . \] -Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit +Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so als \[ \varepsilon_{v} = diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index 00b2d4f..2e0de45 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -1,6 +1,9 @@ \section{Oedometrischer Elastizitätsmodul\label{spannung:section:Oedometrischer Elastizitätsmodul}} \rhead{Oedometrischer Elastizitätsmodul} Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{\text{OED}}$ bestimmt werden. +\index{Oedometer-Versuch}% +\index{oedometrischer Elastizitätsmodul}% +\index{Elastizitätsmodul, oedometrisch}% Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen. Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$. Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken. @@ -33,6 +36,12 @@ Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit = \frac{F}{A} \] +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} + \caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material} + \label{fig:DiagrammOedometer-Versuch} +\end{figure}% und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet. Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung \eqref{spannung:Matrixschreibweise} eingesetzt werden. Diese lautet nun: @@ -71,9 +80,3 @@ Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe A Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} - \caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material} - \label{fig:DiagrammOedometer-Versuch} -\end{figure}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 8994066..4a450f1 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -1,55 +1,87 @@ \label{section:verkehr/einfuehrung} Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke. +\index{Verkehrsnetz}% +\index{Fortbewegung}% +\index{topographische Karte}% +\index{Flugplatz}% Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können. +\index{Knotenpunkt}% +\index{Hinterland}% +\index{Verkehrtsstrom}% Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes. +\index{Graphentheorie}% Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz. \section{Suchalgorithmen} Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eine Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren. +\index{kürzester Weg}% +\index{Optimierungsproblem}% +\index{Suchalgorithmus}% Einerseits wird zwischen optimalen und nicht-optimalen Algorithmen unterschieden. Ein Suchalgorithmus gilt als optimal, falls er einen günstigsten Pfad zwischen zwei Knoten findet. Es gilt zu beachten, dass im Falle des Vorhandenseins von mehrerern Pfaden mit identischer, minimaler Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten, mindestens einer dieser Pfade gefunden wird. +\index{optimaler Algorithmus}% +\index{Algorithmus, optimal}% Weiter wird zwischen informierten und uninformierten Algorithmen differenziert. Während uninformierte Suchalgorithmen den Suchraum schematisch auf Basis der Eigenschaften des Graphen absuchen, bis eine günstigste Lösung gefunden wurde, verwenden informierte Suchalgorithmen eine Heuristik zur Abschätzung der Suchrichtung. Oftmals wird bei informierten Algorithmen ein Verlust der Optimalität zugunsten einer verbesserten Rechenzeit in Kauf genommen. Es exisitieren jedoch auch Heurstiken, die eine optimale Lösung gewährleisten. +\index{Heuristik}% +\index{informierter Algorithmus}% +\index{Algorithmus, informiert}% +\index{Greedy-Algorithmus}% +\index{gieriger Algorithmus}% +\index{Algorithmus, gierig}% Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie stets den zurzeit günstigsten Folgezustand auswählen. Dadurch sind sie in der Regel äusserst effizient, garantieren bei vielen Problemstellungen jedoch keine optimale Lösung. \subsection{Dijkstra-Algorithmus} Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikt positiven Kantengewichten gewährleistet. +\index{Dijkstra, Edsger}% +\index{Dijkstra-Algorithmus}% Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. Die für dieses Paper verwendete programmierte Funktion (MATLAB) verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt: +\index{Matlab}% +\index{Adjazenz-Matrix}% Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ enthält das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades. Zudem werden zwei Hilfs-Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{b}$ der Länge $n$ eingeführt, wobei $n$ die Anzahl Knoten des Graphen ist. Im Vektoreintrag $\vec{d}(i)$ wird das kummulierte Kantengewicht zur Erreichung von Knoten $i$ vom Startknoten $a$ gespeichert. Der Eintrag $\vec{d}(a)$ beträgt somit $0$. Im Vektor $\vec{b}$ wird zudem vermerkt, falls ein Knoten bereits als Ziel eines kürzesten Pfads gefunden wurde und somit für die weitere Suche nicht mehr berücksichtigt werden muss ($\vec{b}(i)=1$, sonst $\vec{b}(i)=0$). -Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$. Ausschlaggebend für die folgende Auswahl ist die Summe der kummulierten Kantengewichte und des Kantengewichts des nächsten Knotens. Als Beispiel zur Erreichung von Knoten $k$ über Knoten $j$: +Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. So wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$. Ausschlaggebend für die folgende Auswahl ist die Summe der kummulierten Kantengewichte und des Kantengewichts des nächsten Knotens. Als Beispiel zur Erreichung von Knoten $k$ über Knoten $j$: \begin{equation} -\vec{d}(k)=\vec{d}(j)+A(k,j) +\vec{d}(k)=\vec{d}(j)+A(k,j). \end{equation} Diese Iteration wird solange durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht. \subsection{A*-Algorithmus} Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine Heuristik zur Abschätzung der günstigsten Suchrichtung. Somit handelt es sich um einen informierten Greedy-Algorithmus, der abhängig von der verwendeten Heuristik auch optimal sein kann. Er wurde von Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael entwickelt. +\index{Hart, Peter}% +\index{Nilsson, Nils}% +\index{Raphel, Bertram}% +\index{A*-Algorithmus}% \subsection{Anwendung A*-Algorithmus} Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch eine optimale Lösung darstellt.\\ +\index{Shortest-Path-Algorithmus}% -Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht. Ein Beispiel dafür, wie eine Abschätzfunktion gebildet werden kann findet sich in Abschnitt \ref{sec:verkehr/euklidische} +Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht. Ein Beispiel dafür, wie eine Abschätzfunktion gebildet werden kann, findet sich in Abschnitt \ref{sec:verkehr/euklidische} \subsection{Euklidische Heuristik} \label{sec:verkehr/euklidische} -Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. Unter Verwendung dieser Heuristik gilt der A*-Algorithmus als optimal. +Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heuristik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. Unter Verwendung dieser Heuristik gilt der A*-Algorithmus als optimal. -Bei der euklidischen Heuristik wird die Abschätzfunktion $f(k)$ für jeden Knoten $k$ durch euklidische Distanz zum Zielknoten $b$ gebildet. +Bei der euklidischen Heuristik wird die Abschätzfunktion $f(k)$ für jeden Knoten $k$ durch euklidische Distanz \begin{equation} f(k)=\sqrt{(x_k-x_b)^2+(y_k-y_b)^2} \end{equation} +zum Zielknoten $b$ gebildet. Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant. Hier können hingegen andere Eigenschaften des Netzwerks verwendet werden, auf welche in diesem Paper nicht weiter eingegangen wird. \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus} +\index{Floyd-Warshall-Algorithmus}% Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt. -Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ein Kreis, sprich ein Weg mit identischem Start- und Zielknoten, ist negativ, falls die Summe der Kantengewichte des Weges kleiner als null ist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis. +Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algorithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ein Kreis, sprich ein Weg mit identischem Start- und Zielknoten, ist negativ, falls die Summe der Kantengewichte des Weges kleiner als null ist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis. +\index{Zyklus}% +\index{Kreis (Graphentheorie)}% \subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus} @@ -66,6 +98,9 @@ ermittelt. \section{PageRank-Algorithmus} +\index{PageRank-Algorithmus}% +\index{Page, Larry}% +\index{Brin, Sergey}% Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc. Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich nicht um einen Suchalgorithmus, stattdessen werden Knoten aufgrund der Vernetzung des vorliegenden Graphen bewertet. Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt. @@ -84,10 +119,15 @@ Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseina -Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}\end{equation} +Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter +\begin{equation} +A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}. +\end{equation} Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet. Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt, so entsteht die Link-Matrix -\[ P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{k=1}^{n}A_{k,j}} \] +\[ +P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{k=1}^{n}A_{k,j}}. +\] Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt: \( \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\} \) Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet. @@ -95,4 +135,4 @@ Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der d \( \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\) und somit allgemein: \( \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\) -Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ der das abschliessende Ranking darstellt. +Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$, der das abschliessende Ranking darstellt. diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex index 527885e..a0e88b6 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section2.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex @@ -4,6 +4,7 @@ Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der Dijkstra- und der A*-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal wiederholt. Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(|E|\log{}|V|)$ auf, wobei $E$ die Menge der Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Menge der Knoten (engl. \emph{vertices}) des Graphen $G$ darstellt. +\index{Zeitkomplexität}% Für den A*-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine definitive Angabe zur Zeitkomplexität machen. Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. diff --git a/buch/papers/verkehr/section3.tex b/buch/papers/verkehr/section3.tex index 9aa8ae4..50bae2a 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section3.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section3.tex @@ -1,9 +1,20 @@ \section{Ausblick} \subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen} -Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Graphen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen. +Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Graphen aufstellen lassen. +Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen. -Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem Dijkstra- oder dem A*-Algorithmus anstelle der gewichteten Adjazenz-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die ungewichtet Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten. +Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. +Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem Dijkstra- oder dem A*-Algorithmus anstelle der gewichteten Adjazenz-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die ungewichtet Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. +Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten. \subsection{Wahl der Heuristik} -Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des A* oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch. -In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden. +Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des A* oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. +Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw.~die euklidische Distanz problems ermittelt werde. +Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. +Dies gilt z.~B.~auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.}. +Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. +Ansonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch. +In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. +Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. +Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. +Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden. |