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diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex index 6b4438d..80d4f03 100644 --- a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex @@ -86,7 +86,7 @@ Der rote Teil von \ref{eq:quad_a_3} ist nun bereits die Länge im Quadrat, also Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung \begin{equation} \label{eq:Mischterme_Null} - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{rot}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0. + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{red}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0. \end{equation} ergeben muss. Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden. @@ -122,4 +122,4 @@ Dieses Wissen reicht nun bereits, um alle Produkte der Basisvektoren zu berechne \end{center} \caption{Multiplikationstabelle für Vektoren} \label{tab:multip_vec} -\end{table}
\ No newline at end of file +\end{table} diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex index f8dc837..412f38b 100644 --- a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex @@ -4,7 +4,7 @@ Was geschieht nun, wenn zwei beliebige Vektoren \textbf{u} = \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i \quad - \intertext{und} + \text{und} \quad \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i \end{equation} @@ -91,7 +91,7 @@ Im letzten Schritt des Beispiels wurden, mit Hilfe der Antikommutativität des P u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j, \label{eq:u_wedge_v} \intertext{wird in zwei verschiedene Summen} - \label{eq:u_wedge_v_1} + %\label{eq:u_wedge_v_1} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + diff --git a/buch/papers/ifs/teil0.tex b/buch/papers/ifs/teil0.tex index af2105e..2a803d6 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil0.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil0.tex @@ -5,8 +5,13 @@ % \section{Einleitung \label{ifs:section:teil0}} \rhead{Was ist ein Iteriertes Funktionsschema} -Mit der Hilfe von Iterierten Funktionsschemata (IFS) können mit nur wenigen affinen Funktionen komplexe Bilder beschrieben werden. +Mit der Hilfe von iterierten Funktionsschemata (IFS) können mit nur wenigen affinen Funktionen komplexe Bilder beschrieben werden. +\index{iterierte Funktionsschemata}% +\index{Funktionschemata, iterierte}% +\index{affine Funktion}% In der Regel sind diese Bilder Fraktale. -Wie es dazu kommt, und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. +\index{Fraktal}% +Wie es dazu kommt und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. +\index{Bildkompression}% diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex index caba120..08e1cbf 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil1.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex @@ -11,20 +11,27 @@ Bevor wir die IFS ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an. In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften, welche Kenneth Falconer in seinem Buch {\em Fractal Geometry} \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \begin{enumerate} - \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur + \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur. \item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden. \item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. +\index{Selbstähnlichkeit}% Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind. - \item Die `fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension. + \item Die ``fraktale Dimension'' ist grösser als die topologische Dimension. +\index{Dimension, topologische}% +\index{topologische Dimension}% +\index{fraktale Dimension}% +\index{Dimension, fraktale}% \item Viele Fraktale lassen sich auf eine simple Art definieren. Es genügen zum Beispiel nur wenige Funktionen, welche rekursiv ausgeführt werden, um ein Fraktal zu definieren. \end{enumerate} -\subsection{Koch Kurve +\subsection{Koch-Kurve \label{ifs:subsection:lilkoch}} -Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen. -In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selbst. +\index{Kochsche Kurve}% +\index{Schneeflockenkurve}% +Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch-Kurve näher anschauen. +In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch-Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selbst. Der Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. -Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. +Diese wird im ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt. Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. @@ -33,7 +40,7 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unte \begin{figure} \centering \includegraphics{papers/ifs/images/koch8} - \caption{Koch Kurve} + \caption{Koch-Kurve} \label{ifs:kochkurve8} \end{figure} @@ -48,23 +55,24 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unte \subfigure[]{ \label{kochconstc} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}} - \caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration} + \caption{(a) Start, (b) 1.~Iteration, (c) 2.~Iteration} \label{ifs:kochconst} \end{figure} Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften. Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit \begin{align*} - l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad \cdots , \quad + l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \dots , \quad l_n = a \cdot \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty \end{align*} berechnen. In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. +\index{divergiert}% -Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen +Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen: \begin{align*} A_0 &= 0 \\ A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ @@ -72,36 +80,39 @@ Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1. \end{align*} Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist. -Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe, +Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe \begin{align*} - A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\ + A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \end{align*} mit dem Grenzwert \begin{align*} \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. \end{align*} -Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. +Wie wir sehen, ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten. -Da die Kochsche Kurve selbstähnlich ist, ist die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry} die angemessene Messzahl für die Dimension. -Die Ähnlichkeits-Dimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$ +Da die Kochsche Kurve selbstähnlich ist, ist die Ähnlichkeitsdimension \cite{ifs:fractal-geometry} die angemessene Masszahl für die Dimension. +Die Ähnlichkeitsdimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\varepsilon$ \begin{align*} - D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }. + D = - \frac{\log N}{\log \varepsilon }. \end{align*} -Die Ähnlichkeits-Dimension stimmt für viele gewöhnliche Geometrische Objekte mit der intuitiven Vorstellung von Dimension überein. -Zum Beispiel besteht ein Dreieck aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. +Die Ähnlichkeitsdimension stimmt für viele gewöhnliche geometrische Objekte mit der intuitiven Vorstellung von Dimension überein. +Zum Beispiel besteht das Dreieck +von Abbildung \ref{ifs:trinagle} +aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\varepsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$. Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. -Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$. -Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist somit + +Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\varepsilon =l \cdot 1/3$. +Ihre Ähnlichkeitsdimension ist somit \begin{align*} - D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. + D = - \frac{\log N }{\log \varepsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. \end{align*} Wie wir nun sehen, besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. -Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall sein. Sonst wäre die Frage nach einer `richtigen' Definition einfach zu beantworten. +Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall sein. Sonst wäre die Frage nach einer ``richtigen'' Definition einfach zu beantworten. \begin{figure} \centering \begin{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index d0110ed..360a2c0 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -8,7 +8,8 @@ \rhead{Teil 2} Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale erzeugen kann. Im Beispiel auf Seite \pageref{ifs:trinagle} haben wir ein Dreieck aus 4 skalierten Kopien zusammengefügt. -Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sogenannten Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpinski10}. +Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sogenannten Sierpinski-Dreiecks in Abbildung \ref{ifs:sierpinski10}. +\index{Sierpinski-Dreieck}% \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski} @@ -16,7 +17,7 @@ Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sog \label{ifs:sierpinski10} \end{figure} Es besteht aus drei kleineren Kopien von sich selbst. -Es ist also ein Selbstähnliches Gebilde. +Es ist also ein selbstähnliches Gebilde. Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen. @@ -73,7 +74,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X), \end{align*} entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck. -Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck. +Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck. \begin{figure} \centering \subfigure[]{ @@ -88,19 +89,21 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion \subfigure[]{ \label{ifs:sierpconstd} \includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}} - \caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\ - (a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration} + \caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem schwarzen Quadrat als Start\\ + (a) 1.~Iteration, (b) 2.~Iteration, (c) 3.~Iteration, (d) 5.~Iteration} \label{ifs:sierpconst} \end{figure} Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird. -Der `Abstand' zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null. +Der `Abstand' zum Original wird immer kleiner und konvergiert gegen null. \subsection{Iterierte Funktionensysteme \label{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme}} +\index{iterierte Funktionssysteme}% In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern. $S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf einer Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt +\index{Kontraktion}% \begin{align} |S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y| \end{align} @@ -124,10 +127,37 @@ Wird diese Transformation iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = \end{equation} In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt gegen eine eindeutige Menge konvergiert. Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt. +\index{Attraktor}% Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn} +\begin{figure} + \centering + \makebox[\textwidth][c]{ + \includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}} + \caption{Barnsley-Farn} + \label{ifs:farn} +\end{figure}% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2} + \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben} + \label{ifs:farncolor} +\end{figure}% +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/chaosspiel.pdf} + %\subfigure[]{ + % \label{ifs:farnNoWeight} + % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} + %\subfigure[]{ + % \label{ifs:farnrightWeight} + % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} + \caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung, (b) $S_4$ zu wenig gewichtet} + \label{ifs:farnweight} +\end{figure}% Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktals, welches mit einem IFS generiert werden kann. +\index{Barnsley-Farn}% Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben. Die vier affinen Transformationen \begin{align} @@ -185,7 +215,7 @@ Die vier affinen Transformationen \begin{pmatrix} 0 \\ 0.44 - \end{pmatrix},\\ + \end{pmatrix}, \label{ifs:farnFormel} \end{align} welche für die Konstruktion des Farns benötigt werden, sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt. @@ -211,6 +241,7 @@ Weitere Iterationen hätten in dieser Darstellungsgrösse kaum mehr einen Unters Die zweite Methode ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. +\index{Chaosspiel}% Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden. Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv. Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt. @@ -220,41 +251,13 @@ Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation $S_i$, welche zufäl Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet. Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es, um die resultierende Teilabbildung darzustellen. Im Fall des Barnsley-Farns wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3$ und $S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. -Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, viel weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$. +Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, erzeugt von $S_1$, viel weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, erzeugt von $S_2$. -In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet. -Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird. +In Abbildung \ref{ifs:farnweight}(a) wurden die vier Transformationen gleich stark gewichtet. +Man sieht, dass trotz gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird. -Am besten sieht man den Effekt einer schlechten Gewichtung in Abbildung \ref{ifs:farnrightWeight}. +Am besten sieht man den Effekt einer schlechten Gewichtung in Abbildung \ref{ifs:farnweight}(b). Hier wurde $S_4$, welches für das rechte untere Teilblatt zuständig ist, mit nur $1\%$ statt $7\%$ gewichtet. Man sieht, wie sich der Mangel an Punkten auf die anderen Abbildungen das Farnblattes auswirkt. In jeder Kopie des ganzen Farns fehlen die Punkte für dieses rechte untere Teilblatt. - - -\begin{figure} - \centering - \makebox[\textwidth][c]{ - \includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}} - \caption{Barnsley-Farn} - \label{ifs:farn} -\end{figure} -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2} - \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben} - \label{ifs:farncolor} -\end{figure} - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics{papers/ifs/images/chaosspiel.pdf} - %\subfigure[]{ - % \label{ifs:farnNoWeight} - % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} - %\subfigure[]{ - % \label{ifs:farnrightWeight} - % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} - \caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung (b) $S_4$ zu wenig gewichtet} - \label{ifs:farnweight} -\end{figure} diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex index cebb664..0ce12d8 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil3.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex @@ -6,6 +6,7 @@ \section{Fraktale Bildkomprimierung \label{ifs:section:teil3}} \rhead{Fraktale Bildkomprimierung} +\index{Bildkomprimierung}% Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich, Bilder zu komprimieren. Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch {\em Fractals Everywhere} einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat. Das Ziel ist, ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat. @@ -23,17 +24,21 @@ Doch wie finden wir das PIFS, welches das Bild als Attraktor hat? \subsection{Das Kompressionsverfahren \label{ifs:subsection:malorum}} -Wir beschränken das Verfahren für Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. +\index{Kompressionsverfahren}% +Wir beschränken das Verfahren auf Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. +\index{Graustufenbild}% Ein Graustufenbild kann man als Pixelraster mit einer $x$ und $y$ Achse verstehen. Jedem dieser Pixel wird ein Grauwert zugeordnet. Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert \(z = f(x,y)\) zuweist. Wir suchen ein PIFS, welches das zu komprimierende Bild als Attraktor hat. -In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$. Diese sind als Raster im rechten Bild der Abbildung \ref{ifs:FIC} dargestellt. +In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$\,Pixel Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$. Diese sind als Raster im rechten Bild der Abbildung \ref{ifs:FIC} dargestellt. +\index{Range-Block}% +\index{Domain-Block}% -Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. +Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$\,Pixel Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist. -Zwei Beispiele wie solche Domain-, und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC} +Zwei Beispiele, wie solche Domain- und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC} \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$} Zuerst brauchen wir die Transformation @@ -54,10 +59,10 @@ Zuerst brauchen wir die Transformation \alpha_i \\ \beta_i \\ g_i - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}, \end{align*} um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ abzubilden. -Das bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. +Das Bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. \textbf{Schritt 1: }Wenn wir die Grauwerte ausser acht lassen, haben wir die affine Abbildung \begin{align} @@ -74,9 +79,10 @@ Das bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. \begin{pmatrix} \alpha_i \\ \beta_i - \end{pmatrix}. + \end{pmatrix} \label{ifs:affTrans} \end{align} +zu finden. Da wir mit Pixeln arbeiten, ist die Auswahl der möglichen Abbildungen begrenzt. Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt: \begin{itemize} @@ -85,25 +91,29 @@ Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt: \item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen. \end{itemize} Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $D_j$ um $1/2$ skalieren. -Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ Pixel Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen. +Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$\,Pixel Blöcke durch ein Pixel mit dem Grauton des Mittelwertes ersetzen. +\index{Grauton}% \textbf{Schritt 2: }Es muss nicht nur eine geometrische Abbildung, sondern auch eine Abbildung für die Grautöne gewählt werden. Letztere lässt sich mit den Parametern $s_i$ und $g_i$ beschrieben. -Wir suchen einen linearen Zusammenhang zwischen den Grautönen des Domain-, und Range-Block. $s_i$ verändert den Kontrast und $g_i$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion +Wir suchen einen linearen Zusammenhang zwischen den Grautönen des Domain- und Range-Block. $s_i$ verändert den Kontrast und $g_i$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion +\index{Helligkeit}% \begin{align*} z' = s_i z + g_i. \end{align*} -Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein. -$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst skalierten und dann mit \eqref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. +Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f}_{R_i}$ ein. +$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f}_{R_i}$ ist die Bildfunktion des zuerst skalierten und dann mit \eqref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das der quadratische Abstand zwischen \begin{align*} - \bar{f_{R_i}} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i + \bar{f}_{R_i} = s_i \tilde{f}_{R_i} + g_i \end{align*} und $f_{R_i}$ am kleinsten ist. Dies ist ein klassisches Problem der linearen Regression. Die Parameter lassen sich mit +\index{lineare Regression}% +\index{Regression, lineare}% \begin{align*} - s_i = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}, \tilde{f_{R_i}})}{\operatorname{var}(\tilde{f_{R_i}})} \\ - g_i = E(f_{R_i}) - s E(\tilde{f_{R_i}}) + s_i = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}, \tilde{f}_{R_i})}{\operatorname{var}(\tilde{f}_{R_i})} \\ + g_i = E(f_{R_i}) - s E(\tilde{f}_{R_i}) \end{align*} berechnen. Die Varianz und Kovarianz erstrecken sich über die Grauwerte der Pixel der Blöcke. @@ -111,13 +121,15 @@ Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt. Um zu beurteilen wie ähnlich der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block ist, berechnet man den quadratischen Fehler \begin{align*} - e = d(f_{R_i}, \bar{f_{R_i}}). + e = d(f_{R_i}, \bar{f}_{R_i}) += +E(|f_{R_i} - \bar{f}_{R_i}|^2) \end{align*} $e$ sollte so klein wie möglich sein. \textbf{Schritt 3: } Somit haben wir die zwei Schritte um eine Transformation $T_i$ zu finden. -Wir führen den zweiten Schritt für jede der acht möglichen affinen Abbildungen vom ersten Schritt aus, und bestimmen den jeweilig resultierenden Fehler $e$. +Wir führen den zweiten Schritt für jede der acht möglichen affinen Abbildungen vom ersten Schritt aus und bestimmen den jeweilig resultierenden Fehler $e$. Es resultieren acht $T_j$ mit ihren jeweiligen Fehlern. Um den besten Domain-Block zu finden, führen wir die drei Schritte für jeden Domain-Block aus. @@ -129,11 +141,12 @@ Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/FIC} - \caption{Domain-, und Range-Block Paare in Grün und Rot} + \caption{Domain- und Range-Block Paare in Grün und Rot} \label{ifs:FIC} \end{figure} \subsubsection{Rekonstruktion des Bildes} +\index{Rekonstruktion}% Mit den gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren. Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge. In unserem Fall ist dieses ein Bild $f_0$ derselben Grösse. @@ -143,22 +156,31 @@ So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$. Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen Unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Attraktor, das Bild, erreicht. \subsubsection{Farbbilder} +\index{Farbbild}% Dieses Verfahren mit Graustufenbilder lässt sich ganz einfach auf Farbbilder erweitern. -Jeder Pixel eines Farbbildes besteht aus einem Rot, Grün und Blauwert (RGB). +Jeder Pixel eines Farbbildes besteht aus einem Rot-, Grün- und Blauwert (RGB). +\index{Rotwert}% +\index{Grünwert}% +\index{Blauwert}% +\index{RGB}% Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein Farbwert benutzt, erhält man drei Bilder, welche wie ein Graustufenbild sind. -Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. +\index{Farbkanal}% +Nun wendet man auf jedes dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. \subsubsection{Performance des Verfahren} Experimentelle Beobachtungen haben gezeigt, dass dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression recht langsam ist und auch schlecht für grössere Bilder skaliert. -Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren. -Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können, vor allem in der Laufzeit, noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten. +Man kann die Laufzeit zwar verbessern, indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren. +\index{JPEG}% +Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können vor allem in der Laufzeit noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten. \subsection{Beispiel} +Als Beispiel wählen wir das 360$\times$360 Pixel Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. +\index{Rapperswil}% Wir verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert. Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren. Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Domain dementsprechend $8\times8$. Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht. -Als erstes Beispiel wählen wir das 360$\times$360 Pixel Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. + Das Startbild ist ein mittelgraues 360$\times$360 Pixel Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}. Es kann jedoch ein beliebiges Startbild sein. Nun lassen wir das PIFS laufen. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 0a9d3b6..1ba5466 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -1,9 +1,11 @@ \section{Kristalle} +\index{Kristalle}% Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist. Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist jedoch genau diese Frage äusserst relevant. Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. \begin{definition}[Kristall] Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt. +\index{periodisch}% \end{definition} \begin{figure} @@ -15,18 +17,22 @@ Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. } \end{figure} \subsection{Kristallgitter} +\index{Kristallgitter}% Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}. Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen. Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. +\index{Gitterpunkt}% Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{a}_3\) also \[ \vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i \] erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind. Sind die Vektoren \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +\index{Grundvektor}% \subsection{Translationssymmetrie} +\index{Translationssymmetrie}% Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{translationssymmetrisch} in der Translation @@ -54,6 +60,7 @@ Dabei sollte erwähnt werden, dass eine Translationssymmetrie nur in unendlich g \end{figure} \begin{satz} \label{thm:punktgruppen:crystal-restriction} +\index{Rotationssymmetrie} Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt. Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von 0\(^{\circ}\), @@ -122,6 +129,7 @@ ein. \end{figure} \subsection{Kristallklassen} +\index{Kristallklasse}% Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können. @@ -138,13 +146,21 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri \end{figure} \subsubsection{Schönflies-Symbolik} - +\index{Schönflies-Symbol}% Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet. Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat. +\index{Schönflies, Arthur Moritz}% Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen sind. \begin{itemize} \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden. +\index{Drehgruppe}% +\index{Diedergruppe}% +\index{Drehspiegelgruppe}% +\index{Tetraedergruppe}% +\index{Oktaedergruppe}% Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher in der Kristallographie nicht relevant. +\index{Ikosaedergruppe}% +\index{Kugelgruppe}% \item Dank Abschnitt \ref{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie. Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen, da \(360^\circ/5 = 72^\circ\) was nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist. @@ -159,6 +175,7 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklas \item[\(d\)] symbolisiert eine diagonale Symmetrieebene. Es wird ersichtlich wie diagonal gemeint ist, wenn man \(D_2\) zu \(D_{2d}\) vergleicht. \item[\(i\)] steht für ein Inversionszentrum. Hat eine Symmetriegruppe ein Inversionszentrum, bedeutet dies dass sie im Ursprung punktsymmetrisch ist. +\index{Inversionszentrum}% \end{itemize} \end{itemize} Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex index e3f0226..f11a346 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex @@ -1,14 +1,19 @@ \section{Einleitung} Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren. +\index{Kristall}% Auch wenn man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen, sich mit Kristallen zu beschäftigen. In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt. Zu Beginn werden wir zeigen, was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen. Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben. +\index{Symmetrie}% Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht. +\index{Kristallographie}% Diese erlauben alle möglichen Kristalle nach ihren Symmetrien in erstaunlich wenige Klassen zu kategorisieren. +\index{Kristallklasse}% Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf physikalische Eigenschaften schliessen. Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität. +\index{Piezoelektrizität}% Piezoelektrizität beschreibt einen Effekt, ohne welchen diverse Altagsgegenständen nicht besonders nützlich wären. Zum Beispiel sorgt er in den allermeisten Feuerzeugen für die Zündung. Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex index 1cf9b98..cc4272b 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex @@ -1,5 +1,8 @@ \section{Piezoelektrizität} +\index{Piezoelektrizität}% Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn mechanischer Druck auf sie ausgeübt wird. +\index{elektrische Spannung}% +\index{mechanischer Druck}% \begin{figure} \centering @@ -9,9 +12,10 @@ Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle ein \end{figure} \subsection{Polarisierung} - +\index{Polarisierung}% Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht (siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}). Dieses Ungleichgewicht resultiert, weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positive Ionen näher an die Oberfläche gelangen, wärend auf der gegenüberliegenden Seite dasselbe mit negativen Ionen passiert. +\index{Ionen}% Es besitzt jedoch nicht jeder Kristall eine atomare Struktur, welche sich unter Druck genau so verformt. Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes. @@ -41,6 +45,8 @@ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass ro Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die Ladungsträger ganz links und rechts weiter auseinander gedrückt werden. +\index{elektrisches Feld}% +\index{Ladungsträger}% Als Hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. @@ -60,7 +66,7 @@ Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie bestätigt sich auch wenn \subref{fig:punkt Piezoelektrische Kristalle können nicht punktsymmetrisch sein. Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden. -Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden. +In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden. Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles wie \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} vor Augen führen, welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt. Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den positiven auf der anderen Seite landen, was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht. @@ -69,9 +75,11 @@ Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so Piezoelektrizität hat durchaus Nutzen im Alltag. Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, sondern ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität. +\index{Feuerzeug}% Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu einer konfigurierten Spannung. Drückt der Nutzende stärker zu, entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer, welcher auf das Piezoelement aufschlägt. Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung. Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden. + Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich mit dem anderen zu versuchen. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 4a8d911..ec06046 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -22,18 +22,23 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an der es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt. -Das letzte Beispiel auf der rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. +Das letzte Beispiel in Abbildung~\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. + Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. Zum Beispiel kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden. Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. \begin{definition}[Symmetriegruppe] +\index{Symmetriegruppe}% Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, sogenannte Symmetrieoperationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. +\index{Komposition}% \end{definition} Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. +\index{neutrales Element}% +\index{1@$\mathds{1}$}% Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die rückgängig macht, was \(g\) getan hat. Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden. @@ -41,11 +46,16 @@ Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inv Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. +\index{Potenzen von Symmetrieoperationen}% +\index{wiederholte Komposition}% \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] +\index{zyklische Gruppe}% +\index{Erzeuger}% Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \{ g^k : k \in \mathbb{Z} \}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. +\index{g@$\langle g\rangle$}% \end{definition} \begin{beispiel} Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\). @@ -53,12 +63,14 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine \end{beispiel} \begin{beispiel} Als anschaulicheres Beispiel können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren. +\index{n-Gon@$n$-Gon}% Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ C_n = \langle r \rangle = \{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\} \] +\index{Cn@$C_n$}% der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant, enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). @@ -104,14 +116,17 @@ Die anschliessende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, m Die Antwort lautet natürlich ja. Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus] +\index{Gruppenhomomorphismus}% \(G\) und \(H\) seien Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). +\index{Homomorphismus}% Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert. \end{definition} \begin{beispiel} Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht genau dem komplexen Einheitskreis. - Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. +\index{Cunendlich@$C_{\infty}$}% + Der Homomorphismus \(\varphi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\varphi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. \end{beispiel} \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe] @@ -131,7 +146,7 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n) \end{pmatrix} \] - definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). + definierte Funktion von \(C_n\) nach \(\operatorname{O}(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} |