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| -rw-r--r-- | buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex | 41 |
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diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex index 5aceb24..58337c8 100644 --- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex +++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex @@ -75,7 +75,7 @@ womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde: &=d_k\,. \end{align*} Möchte ein Angreifer die verschlüsselte Nachricht knacken, muss dieser die drei privaten Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$ kennen. -Aus dem Öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren +Aus dem öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren und eine systematische Analyse der Codeworte wird durch das Hinzufügen von zufälligen Bitfehlern zusätzlich erschwert. \subsection{Beispiel} @@ -336,21 +336,21 @@ Die Verschlüsselung soll mittels einem numerischen Beispiel demonstriert werden \subsubsection{7/4-Code} -Bem 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code, +Beim 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code, der ein Bitfehler korrigieren kann. Es gibt unterschiedliche Varianten zum Erzeugen eines 7/4-Codes, wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generator-Polynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. -Somit lässt sich das Code-Polynom $P_c$ berechnen, indem das Daten-Polynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird: +Somit lässt sich das Code-Polynom $P_c$ berechnen, indem das Daten-Polynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): \[ P_c=P_g \cdot P_d\,. \] -Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt weredn kann, werden die Polynome in Vektoren abgefüllt: +Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome in mit Vektoren dargestellt: \[ P_g = \textcolor{red}{1}\cdot x^0 + \textcolor{blue}{1}\cdot x^1 + \textcolor{green}{0}\cdot x^2 + \textcolor{orange}{1}\cdot x^3 \implies [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{green}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4\,. \] -Auch das Datenpolynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$\,. -Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepakt, +Auch das Daten-Polynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$\,. +Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepackt, sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisiert werden kann: \[ @@ -381,12 +381,31 @@ sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisie c_6\\ \end{pmatrix}\,. \] -Beim nun entstandenen Code-Vektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Code-Polynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$ +Beim nun entstandenen Code-Vektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Code-Polynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. Aufgrund der Multiplikation mit dem Generatorpolynom $P_g$ lässt sich das Codewort auch wieder restlos durch $P_g$ dividieren. Wird dem Codewort nun einen Bitfehler hinzugefügt, entsteht bei der Division durch $P_g$ einen Rest. Beim gewählten Polynom beträgt die sogenannte Hamming-Distanz drei, das bedeutet, -dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler vorkommen müssen. +dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler auftreten müssen. Somit ist es möglich, auf das ursprüngliche Bitmuster zu schliessen, solange maximal ein Bitfehler vorhanden ist. -Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Divison zu einem anderen Rest, -womit das Dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann, -indem beispielsweise die Bitfehler mit dem Dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndrom-Tabelle hinterlegt werden. +Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Division zu einem anderen Rest, +womit das dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann, +indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndrom-Tabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l|c} + \hline + Syndrom (Divisionsrest) &korrespondierender Bitfehler\\ + \hline + 1 ($[1,0,0]$) &$[1,0,0,0,0,0,0]$\\ + 2 ($[0,1,0]$) &$[0,1,0,0,0,0,0]$\\ + 3 ($[1,1,0]$) &$[0,0,0,1,0,0,0]$\\ + 4 ($[0,0,1]$) &$[0,0,1,0,0,0,0]$\\ + 5 ($[1,0,1]$) &$[0,0,0,0,0,0,1]$\\ + 6 ($[0,1,1]$) &$[0,0,0,0,1,0,0]$\\ + 7 ($[1,1,1]$) &$[0,0,0,0,0,1,0]$\\ + \hline + + \end{tabular} + \end{center} + \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndrom-Tabelle 7/4-Code} +\end{table} |