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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 99b576f..5f38570 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -27,7 +27,7 @@ Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem \] erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind. Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , -ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. \subsection{Translationssymmetrie} Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. @@ -66,9 +66,9 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden. Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird. - An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein um die Rotationssymmetrie zu erfüllen. + An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen. \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. - Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden. + Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden. Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} @@ -78,7 +78,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet. \end{itemize} Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen. - Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen. + Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen. Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$. Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also \[ @@ -95,7 +95,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. n = 1 - 2cos\alpha \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2}) \] - Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf + Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf \[ \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\} \] @@ -115,7 +115,7 @@ Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dre nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können. Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet. Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, -welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat. +welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat. Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet. Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex index f3c1cb5..3c40aa8 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex @@ -5,17 +5,17 @@ Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung \begin{figure} \centering \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo} %das Efeld mit Naoki disskutieren, müssen sicher gehen, dass es mit jenen in Abbildung Piezo aufbau übereinstimmt - \caption{Piezoelektrisches Material in ruhe und unter Druck} + \caption{Piezoelektrisches Material in Ruhe und unter Druck} \label{fig:punktgruppen:basicPiezo} \end{figure} \subsection{Polarisierung} -Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberfläche des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}. +Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}. Dieses Ungleichgewicht resultiert, weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen, -wärend auf der gegenüberliegender Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln. +wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln. Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben. -Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles ist daher relevant für die entstehung dieses Effektes. +Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes. \begin{figure} \centering @@ -29,43 +29,43 @@ Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, ent Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren. In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. %liste oder anderes format?.. -Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist das Selbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. -Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden. +Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. +Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden. Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. -$(d)$ ist nicht Piezoelektrisch. +$(d)$ ist nicht piezoelektrisch. Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt. Setzt man $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt. Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt. Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, -im gegensatz zu $(b)$. +im Gegensatz zu $(b)$. Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. -Das fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. +Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. \subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.} Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein. -Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine Piezoelektrische Kristalle bilden. +Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden. Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden. Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt. Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen, -was der Definition einer Symmetrie deutlich wiederspricht. +was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht. \subsection{Vom Kristall zum Feuer} -Piezoelektrizität hat durhaus nutzen im Alltag. +Piezoelektrizität hat durchaus nutzen im Alltag. Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität. Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung. Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer, welcher auf das Piezoelement aufschlägt. -Der augenblicklich hohen Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung. -Die Spannung reicht aus um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden. +Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung. +Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden. Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben -und ein Piezoelektrisches feuerzeug bauen müssen, +und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen, wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist, -versuche sie es mt dem Anderen. -Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht Piezoelektrisch ist. +versuche sie es mit dem anderen. +Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist. ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
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