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| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/Makefile.inc | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/chapter.tex | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/ring.tex | 58 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex | 90 |
4 files changed, 152 insertions, 0 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc index 46bf6b3..38b47b3 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc @@ -9,6 +9,8 @@ chapter1 = \ ../slides/1/peano.tex \ ../slides/1/ganz.tex \ ../slides/1/bruch.tex \ + ../slides/1/ring.tex \ + ../slides/1/schwierigkeiten.tex \ ../slides/1/strukturen.tex \ ../slides/1/j.tex \ ../slides/1/vektorraum.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex index 1b971f7..7bdda34 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex @@ -7,6 +7,8 @@ \folie{1/peano.tex} \folie{1/ganz.tex} \folie{1/bruch.tex} +\folie{1/ring.tex} +\folie{1/schwierigkeiten.tex} \folie{1/strukturen.tex} \folie{1/j.tex} \folie{1/vektorraum.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/1/ring.tex b/vorlesungen/slides/1/ring.tex new file mode 100644 index 0000000..9641975 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/ring.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +% +% ring.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Ring\only<15->{/Körper}} +\vspace{-10pt} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Addition und Multiplikation} +$\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$ +haben zwei Verknüpfungen: +\begin{enumerate} +\item<2-> Addition +\[ +a,b\in R\Rightarrow a+b\in R +\] +\item<3-> Multiplikation +\[ +a,b\in R\Rightarrow a\cdot b=ab\in R +\] +\end{enumerate} +\vspace{-5pt} +\uncover<4->{% +Gilt auch für +\begin{itemize} +\item<5-> Polynome +\item<6-> $M_{n}(\mathbb{R})$ +\item<7-> $\mathbb{R}^3$ mit Vektorprodukt +\end{itemize}} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Definition} +Ein Ring\only<15->{/{\color{red}Körper}} ist eine Menge $R$ mit zwei +Verknüpfungen $+$ und $\cdot$: +\begin{enumerate} +\item<9-> +$R$ mit $+$ ist eine abelsche Gruppe +\item<10-> +$R$ mit $\cdot$ ist ein Monoid\only<15->{/{\color{red}eine Gruppe}} +\item<11-> +Verträglichkeit: Distributivgesetz +\begin{align*} +\uncover<12->{a(b+c)&=ab+bc} +\\ +\uncover<13->{(a+b)c&=ac+bc} +\end{align*} +\uncover<14->{(Ausmultiplizieren)} +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex b/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex new file mode 100644 index 0000000..fb22e58 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex @@ -0,0 +1,90 @@ +% +% schwierigkeiten.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Schwierigkeiten} +\vspace{-15pt} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Nullteiler} +Elemente $a,b$ mit $ab=0$ +$\Rightarrow$ nicht invertierbar +\begin{itemize} +\item<3-> Projektionen +\[ +\begin{pmatrix} +1&0\\0&0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&0\\0&1 +\end{pmatrix} += +0 +\] +\item<4-> Nilpotente Matrizen +\[ +\begin{pmatrix} +0&1&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix}^3 +=0 +\] +\item<5-> +In $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (modulo 15): +\[ +3\cdot 5 = 15 \equiv 0\mod 15 +\] +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Invertierbarkeit} +\begin{itemize} +\item<7-> +$7\in\mathbb{Z}$, aber $7^{-1}\not\in\mathbb{Z}$, $7^{-1}\in\mathbb{Q}$ +\item<8-> +$A$ regulär heisst nicht $A^{-1}\in M_n(\mathbb{Z})$ +\[ +A=\begin{pmatrix} +1&-1\\ +1&1 +\end{pmatrix} +\;\Rightarrow\; +A^{-1} += +\begin{pmatrix} +\frac12&\frac12\\ +-\frac12&\frac12 +\end{pmatrix} +\] +\item<9-> +$A\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ invertierbar in +$M_n(\mathbb{Z})$: +\[ +A= +\begin{pmatrix} +5&4\\4&3 +\end{pmatrix} +\; +\Rightarrow +\; +A^{-1}= +\begin{pmatrix} +-3&4\\4&-5 +\end{pmatrix} +\] +\end{itemize} +\uncover<10->{% +Invertierbarkeit erreichen durch ``vergrössern'' des Ringes +} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} |