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| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/2/operatornorm.tex | 59 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/2/operatornorm.tex b/vorlesungen/slides/2/operatornorm.tex new file mode 100644 index 0000000..d20461a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/operatornorm.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% operatorname.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Operatornorm} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Lineare Operatoren} +$A\colon U\to V$ lineare Abbildung mit $U$, $V$ normiert +\end{block}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Operatornorm} +eines linearen Operators $A$: +\[ +\|A\| += +\sup_{\|x\|_U\le 1} \|Ax\|_V +\] +\uncover<4->{$\Rightarrow \|Ax\| \le \| A \|\cdot \|x\|$} +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Stetigkeit} +Wenn $\|A\|<\infty$, dann ist $A$ stetig, d.~h. +\[ +\lim_{n\to\infty} Ax_n += +A\lim_{n\to\infty} x_n +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Algebranorm} +$A$ ein normierter Raum, der auch ein Algebra ist. +Dann heisst $A$ eine normierte Algebra, wenn +\[ +\| ab\| \le \| a\|\cdot \|b\| +\quad\forall a,b\in A +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Operatoralgebra} +$U$ ein normierter Raum, dann ist die Algebra der linearen Operatoren +$A\colon U\to U$ mit der Operatornorm eine normierte Algebra +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Banach-Algebra} +Ein Banach-Raum, der auch eine normierte Algebra ist +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} |