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-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex | 75 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..64418d5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +% +% drehfaktorisierung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{4pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{4pt} +\frametitle{Faktorisierung von $X^2+X+1$} +\vspace{-3pt} +$X^2+X+1$ kann faktorisiert werden, wenn man $i\sqrt{3}$ +hinzufügt: +\uncover<2->{% +\[ +\biggl(X+\frac12+\frac{i\sqrt{3}}2\biggr) +\biggl(X+\frac12-\frac{i\sqrt{3}}2\biggr) += +X^2+X+\frac14 ++ +\frac34 +\uncover<3->{= +X^2+X+1} +\]} +\vspace{-10pt} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Was ist $i\sqrt{3}$?} +Matrix mit Minimalpolynom $X^2+3$: +\[ +W=\begin{pmatrix}0&-3\\1&0\end{pmatrix} +\uncover<5->{% +\qquad\Rightarrow\qquad +W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I} +\uncover<6->{% +\qquad\Rightarrow\qquad +W^2+3I=0} +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Faktorisierung von $X^2+X+1$} +\vspace{-10pt} +\begin{align*} +\uncover<8->{B_\pm +&= +-\frac12I\pm\frac12W} +& +&\uncover<10->{\Rightarrow +& +(X+B_+)(X+B_-)} +&\uncover<11->{= +(X+\frac12I+\frac12W) +(X+\frac12I-\frac12W)} +\\ +&\uncover<9->{= +\smash{ +{\textstyle\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac32\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}} +}} +& +& +& +&\uncover<12->{= +X^2+X + \frac14I - \frac14W^2} +\\ +& +& +&%\Rightarrow +& +&\uncover<13->{= +X^2+X + \frac14I + \frac34I} +\uncover<14->{= +X^2+X+I} +\end{align*} +\end{block}} + +\end{frame} |