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diff --git a/vorlesungen/slides/4/galois/aufloesbarkeit.tex b/vorlesungen/slides/4/galois/aufloesbarkeit.tex index 3215689..ef5902b 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/galois/aufloesbarkeit.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/galois/aufloesbarkeit.tex @@ -4,11 +4,117 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % \begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \frametitle{Auflösbarkeit} +\vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Radikalerweiterung} +Automorphismen $f\in \operatorname{Gal}(\Bbbk(\alpha)/\Bbbk)$ +einer Radikalerweiterung +\[ +\Bbbk \subset \Bbbk(\alpha) +\] +sind festgelegt durch Wahl von $f(\alpha)$. + +\begin{itemize} +\item<3-> Warum: Alle $f(\alpha^k)$ sind auch festgelegt +\item<4-> $f(\alpha)$ muss eine andere Nullstelle des Minimalpolynoms sein +\end{itemize} + +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Irreduzibles Polynom $m(X)\in\mathbb{Q}[X]$} +$\mathbb{Q}\subset \Bbbk$, +$n$ verschiedene Nullstellen $\mathbb{C}$: +\[ +\uncover<9->{ +\operatorname{Gal}(\Bbbk/\mathbb{Q}) +\cong +S_n} +\uncover<10->{ +\quad +\text{auflösbar?}} +\] +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{\uncover<5->{Galois-Gruppen}} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\s{1.2} + +\uncover<2->{ +\fill[color=blue!20] (-1.1,-0.3) rectangle (0.3,{5*\s+0.3}); +\node[color=blue] at (-0.7,{2.5*\s}) [rotate=90] {Radikalerweiterungen}; +} + +\node at (0,0) {$\mathbb{Q}$}; +\node at (0,{1*\s}) {$E_1$}; +\node at (0,{2*\s}) {$E_2$}; +\node at (0,{3*\s}) {$E_3$}; +\node at (0,{4*\s}) {$\vdots\mathstrut$}; +\node at (0,{5*\s}) {$\Bbbk$}; +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{0*\s}) -- (0,{1*\s}); +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{1*\s}) -- (0,{2*\s}); +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{2*\s}) -- (0,{3*\s}); +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{3*\s}) -- (0,{4*\s}); +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{4*\s}) -- (0,{5*\s}); + +\begin{scope}[xshift=0.5cm] +\uncover<7->{ +\fill[color=red!20] (0,{0*\s-0.3}) rectangle (4.8,{5*\s+0.3}); +\node[color=red] at (4.5,{2.5*\s}) [rotate=90] {Auflösung der Galois-Gruppe}; +} +\uncover<5->{ +\node at (0,{0*\s}) [right] {$\operatorname{Gal}(\Bbbk/\mathbb{Q})$}; +\node at (0,{1*\s}) [right] {$\operatorname{Gal}(\Bbbk/E_1)$}; +\node at (0,{2*\s}) [right] {$\operatorname{Gal}(\Bbbk/E_2)$}; +\node at (0,{3*\s}) [right] {$\operatorname{Gal}(\Bbbk/E_3)$}; +\node at (1,{4*\s}) {$\vdots\mathstrut$}; +\node at (0,{5*\s}) [right] {$\operatorname{Gal}(\Bbbk/\Bbbk)$}; +\node at (1,{0.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (1,{1.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (1,{2.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (1,{3.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (1,{4.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +} + +\uncover<6->{ +\begin{scope}[xshift=2.5cm] +\node at (0,{0*\s}) {$G_n$}; +\node at (0,{1*\s}) {$G_{n-1}$}; +\node at (0,{2*\s}) {$G_{n-2}$}; +\node at (0,{3*\s}) {$G_{n-3}$}; +\node at (0,{5*\s}) {$G_0=\{e\}$}; +\node at (0,{0.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (0,{1.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (0,{2.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (0,{3.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +\node at (0,{4.5*\s}) {$\cap\mathstrut$}; +} + +\uncover<7->{ +\node[color=red] at (0.2,{0.5*\s+0.1}) [right] {\tiny $G_n/G_{n-1}$}; +\node[color=red] at (0.2,{0.5*\s-0.1}) [right] {\tiny abelsch}; + +\node[color=red] at (0.2,{1.5*\s+0.1}) [right] {\tiny $G_{n-1}/G_{n-2}$}; +\node[color=red] at (0.2,{1.5*\s-0.1}) [right] {\tiny abelsch}; + +\node[color=red] at (0.2,{2.5*\s+0.1}) [right] {\tiny $G_{n-2}/G_{n-3}$}; +\node[color=red] at (0.2,{2.5*\s-0.1}) [right] {\tiny abelsch}; +} + +\end{scope} +\end{scope} + + + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/galois/automorphismus.tex b/vorlesungen/slides/4/galois/automorphismus.tex index ab666cf..6051813 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/galois/automorphismus.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/galois/automorphismus.tex @@ -4,11 +4,115 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % \begin{frame}[t] -\frametitle{Automorphismen} +\setlength{\abovedisplayskip}{4pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{4pt} +\frametitle{Galois-Gruppe} +\vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\s{3.0} +\begin{scope}[xshift=-1.5cm] +\node at (0,{\s+0.1}) [above] {Körpererweiterung\strut}; +\node at (0,{\s}) {$G$}; +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{-\s}) -- (0,0); +\draw[shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (0,{\s}) -- (0,0); +\node at (0,{-0.5*\s}) [left] {$[F:E]$}; +\node at (0,{0.5*\s}) [left] {$[G:F]$}; +\node at (0,0) {$F$}; +\node at (0,{-\s}) {$E$}; +\end{scope} +\uncover<3->{ +\begin{scope}[xshift=1.8cm] +\node at (0,{\s+0.1}) [above] {Gruppe\strut}; +\fill (0,{-\s}) circle[radius=0.06]; +\fill (0,0) circle[radius=0.06]; +\fill (0,{\s}) circle[radius=0.06]; +\draw[shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.1cm] + (0,{-\s}) to[out=100,in=-100] (0,{\s}); +\draw[shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.1cm] + (0,{-\s}) to[out=80,in=-80] (0,0); +\draw[shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.1cm] + (0,0) to[out=80,in=-80] (0,{\s}); +\node at (-0.6,0) [rotate=90] {$\operatorname{Gal}(G/E)$}; +\node at (0.45,{0.5*\s}) [rotate=90] {$\operatorname{Gal}(G/F)$}; +\node at (0.45,{-0.5*\s}) [rotate=90] {$\operatorname{Gal}(F/E)$}; +\end{scope} +\draw[->,color=red!20,line width=14pt] (-1.4,{0.6*\s}) -- (1.4,{0.6*\s}); +\node[color=red] at (0,{0.6*\s}) {$\operatorname{Gal}$}; +} +\uncover<4->{ +\draw[<-,color=blue!20,line width=14pt] (-1.4,{-0.6*\s}) -- (1.4,{-0.6*\s}); +\node[color=blue] at (0,{-0.6*\s}) {$\operatorname{Fix}, F^H$}; +} +\end{tikzpicture} +\end{center} \end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.56\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Automorphismus} +\vspace{-10pt} +\[ +\operatorname{Aut}(F) += +\left\{ +f\colon F\to F +\left| +\begin{aligned} +f(x+y)&=f(x)+f(y)\\ +f(xy)&=f(x)f(y) +\end{aligned} +\right. +\right\} +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Galois-Gruppe} +Automorphismen, die $E$ festlassen +\[ +{\color{red} +\operatorname{Gal}(F/E) +} += +\left\{ +\varphi\in\operatorname{Aut}(F)\;|\; \varphi(x)=x\forall x\in E +\right\} +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Fixkörper} +$H\subset \operatorname{Aut}(F)$: +\begin{align*} +{\color{blue}F^H} +&= +\{x\in F\;|\; hx = x\forall h\in H\} +=\operatorname{Fix}(H) +\end{align*} +\end{block}} +\vspace{-13pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Beispiel} +\begin{itemize} +\item<6-> +\( +\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) += +\{ +\operatorname{id}_{\mathbb{C}}, +\operatorname{conj}\colon z\mapsto\overline{z} +\} +\) +\item<7-> +\( +\mathbb{C}^{\operatorname{conj}} += +\mathbb{R} +\) +\end{itemize} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/galois/erweiterung.tex b/vorlesungen/slides/4/galois/erweiterung.tex index 1cf0bec..6909849 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/galois/erweiterung.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/galois/erweiterung.tex @@ -4,11 +4,62 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % \begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \frametitle{Körpererweiterungen} +\vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Körpererweiterung} +$E,F$ Körper: $E\subset F$ +\end{block} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Vektorraum} +$F$ ist ein Vektorraum über $E$ +\end{block}} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Endliche Körpererweiterung} +$\dim_E F < \infty$ +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Adjunktion eines $\alpha$} +$\Bbbk(\alpha)$ kleinster Körper, der $\Bbbk$ und +$\alpha$ enthält. +\end{block}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Algebraische Erweiterung} +$\alpha$ algebraisch über $\Bbbk$, i.~e.~Nullstelle von +$m(X)\in\Bbbk[X]$ +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Beispiele} +\begin{enumerate} +\item<3-> +$\mathbb{R} \subset \mathbb{R}(i) = \mathbb{C}$ +\item<4-> +$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ +\item<5-> +$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Grad} +$E\subset F$ heisst Körpererweiterung vom Grad $n$, falls +\[ +\dim_E F = n =: [F:E] +\] +\uncover<8->{% +Gleichbedeutend: $\deg m(X) = n$} +\uncover<10->{% +\[ +E\subset F\subset G +\Rightarrow +[G:E] = [G:F]\cdot [F:E] +\] +(in unseren Fällen)} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/galois/konstruktion.tex b/vorlesungen/slides/4/galois/konstruktion.tex index 6afa359..094b570 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/galois/konstruktion.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/galois/konstruktion.tex @@ -142,4 +142,6 @@ $\Rightarrow$ jede beliebige Quadratwurzel kann konstruiert werden} \end{center}} \end{column} \end{columns} +\uncover<14->{{\usebeamercolor[fg]{title}Folgerung:} +Konstruierbar sind Körpererweiterungen $[F:E] = 2^l$} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/galois/radikale.tex b/vorlesungen/slides/4/galois/radikale.tex index 52fc4b9..e9e4ce8 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/galois/radikale.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/galois/radikale.tex @@ -4,11 +4,66 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % \begin{frame}[t] -\frametitle{Radikale} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lösung durch Radikale} +\vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Problemstellung} +Finde Nullstellen eines Polynomes +\[ +p(X) += +a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} ++\dots+ +a_1X+a_0 +\] +$p\in\mathbb{Q}[X]$ +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Radikale} +Geschachtelte Wurzelausdrücke +\[ +\sqrt[3]{ +-\frac{q}2 +\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}} +} ++ +\sqrt[3]{ +-\frac{q}2 -\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}} +} +\] +\uncover<3->{(Lösung von $x^3+px+q=0$)} +\end{block}} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Lösbar durch Radikale} +Nullstelle von $p(X)$ ist ein Radikal +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Algebraische Formulierung} +Gegeben ein irreduzibles Polynom $p\in\mathbb{Q}[X]$, +finde eine Körpererweiterung $\mathbb{Q}\subset\Bbbk$, derart, +dass $p$ in $\Bbbk$ eine Nullstelle hat\uncover<6->{: +$\Bbbk = \mathbb{Q}[X]/(p)$} +\end{block}} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Radikalerweiterung} +Körpererweiterung $\Bbbk\subset\Bbbk'$ um $\alpha$ mit einer der Eigenschaften +\begin{itemize} +\item<8-> $\alpha$ ist eine Einheitswurzel +\item<9-> $\alpha^k\in\Bbbk$ +\end{itemize} +\end{block}} +\vspace{-5pt} +\uncover<10->{% +\begin{block}{Lösbar durch Radikale} +Radikalerweiterungen +\[ +\mathbb{Q} \subset \Bbbk \subset \Bbbk' \subset \dots \subset \Bbbk'' \ni \alpha +\] +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/4/galois/sn.tex b/vorlesungen/slides/4/galois/sn.tex index 0e3ebe2..1cae3fa 100644 --- a/vorlesungen/slides/4/galois/sn.tex +++ b/vorlesungen/slides/4/galois/sn.tex @@ -4,11 +4,84 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % \begin{frame}[t] -\frametitle{Auflösbarkeit von $S_n$} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Nichtauflösbarkeit von $S_n$} +\vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Die symmetrische Gruppe $S_n$} +Permutationen auf $n$ Elementen +\[ +\sigma += +\begin{pmatrix} +1&2&3&\dots&n\\ +\sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)&\dots&\sigma(n) +\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Signum} +$t(\sigma)=\mathstrut$ Anzahl Transpositionen +\[ +\operatorname{sgn}(\sigma) += +(-1)^{t(\sigma)} += +\begin{cases} +\phantom{-}1&\text{$t(\sigma)$ gerade} +\\ +-1&\text{$t(\sigma)$ ungerade} +\end{cases} +\] +Homomorphismus! +\end{block}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Die alternierende Gruppe $A_n$} +\vspace{-12pt} +\[ +A_n = \ker \operatorname{sgn} += +\{\sigma\in S_n\;|\;\operatorname{sgn}(\sigma)=1\} +\] +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Normale Untergruppe} +\begin{itemize} +\item +$H\triangleleft G$ wenn $gHg^{-1}\subset G\;\forall g\in G$ +\item +$G/N$ ist wohldefiniert +\end{itemize} +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Einfache Gruppe} +$G$ einfach $\Leftrightarrow$ +\[ +H\triangleleft G +\; +\Rightarrow +\; +\text{$H=\{e\}$ oder $H=G$} +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<6->{% +\begin{block}{$n\ge 5 \Rightarrow A_n \text{ einfach}$} +\begin{enumerate} +\item<7-> Zeigen, dass $A_5$ einfach ist +\item<8-> Vollständige Induktion: $A_n$ einfach $\Rightarrow A_{n+1}$ einfach +\end{enumerate} +\uncover<9->{% +$\Rightarrow$ i.~A.~keine Lösung der +einer Polynomgleichung vom Grad $\ge 5$ durch Radikale +} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} |