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diff --git a/vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex b/vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex new file mode 100644 index 0000000..1db50e1 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% polynomefp.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Polynome über $\mathbb{F}_p[X]$} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Polynomring} +$\mathbb{F}_p[X]$ sind Polynome +\[ +p(X) += +a_0+a_1X+\dots+a_nX^n +\] +mit $a_i\in\mathbb{F}_p$. +\uncover<2->{ObdA: $a_n=1$}% + +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Irreduzible Polynome} +$m(X)$ ist irreduzibel, wenn es keine Faktorisierung +$m(X)=p(X)q(X)$ mit $p,q\in\mathbb{F}_p[X]$ gibt +\end{block}} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Rest modulo $m(X)$} +$X^{n+k}$ kann immer reduziert werden: +\[ +X^{n+k} = -(a_0+a_1X+\dots+a_{n-1}X^{n-1})X^k +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Körper $\mathbb{F}_p/(m(X))$} +Wenn $m(X)$ irreduzibel ist, dann ist +$\mathbb{F}_p[X]$ nullteilerfrei. +\medskip + +\uncover<6->{$a\in \mathbb{F}_p[X]$ mit $\deg a < \deg m$, dann ist} +\begin{enumerate} +\item<7-> +$\operatorname{ggT}(a,m) = 1$ +\item<8-> +Es gibt $s,t\in\mathbb{F}_p[X]$ mit +\[ +s(X)m(X)+t(X)a(X) = 1 +\] +(aus dem euklidischen Algorithmus) +\item<9-> +$a^{-1} = t(X)$ +\end{enumerate} +\uncover<9->{$\Rightarrow$ $\mathbb{F}_p[X]/(m(X))$ ist ein Körper +mit genau $p^n$ Elementen} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} |