diff options
Diffstat (limited to 'vorlesungen/slides/5/unitaer.tex')
-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/unitaer.tex | 75 |
1 files changed, 75 insertions, 0 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex b/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex new file mode 100644 index 0000000..36e3be2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +% +% unitaer.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Unitäre Matrizen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Eigenwerte} +$U$ unitär lässt das Skalarprodukt invariant +\[ +\langle Ux,Uy\rangle += +\langle x,y\rangle +\] +\uncover<2->{% +$\lambda$ ein Eigenwert mit Eigenvektor $v$: +\begin{align*} +\langle u,v\rangle +&= +\langle Uu,Uv\rangle +\uncover<3->{= \langle \lambda u,\lambda v\rangle} +\uncover<4->{= |\lambda|^2 \langle u,v\rangle} +\\ +\uncover<5->{\Rightarrow\;|\lambda|&=1} +\end{align*}} +\end{block} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Diagonalisierbar} +Unitäre Matrizen sind über $\mathbb{C}$ diagonalisierbar +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Grosse Jordan-Blöcke?} +Falls es Vektoren $v,w$ gibt mit +\begin{align*} +\uncover<7->{ Uv&=\lambda v} +\\ +\uncover<8->{ Uw&=\lambda w + v} +\intertext{\uncover<9->{Skalarprodukt:}} +\uncover<10->{ +\langle v,w\rangle +&= +\langle Uv,Uw\rangle} +\\ +\uncover<11->{ +&= +\langle \lambda v,\lambda w\rangle ++ +\langle\lambda v,v\rangle} +\\ +\uncover<12->{ +&= +|\lambda|^2 \langle v,w\rangle ++ +\langle\lambda v,v\rangle} +\\ +\uncover<13->{ +&= +\langle v,w\rangle ++ +\lambda \| v\|^2} +\\ +\uncover<14->{ +\Rightarrow\quad +0&=\|v\|^2\quad\Rightarrow\quad \|v\|=0} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} |