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| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/Makefile.inc | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/cayleyhamilton.tex | 91 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/chapter.tex | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/jordanblock.tex | 68 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/reellenormalform.tex | 115 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index 872798e..617e09f 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -19,6 +19,7 @@ chapter5 = \ ../slides/5/bloecke.tex \ ../slides/5/jordanblock.tex \ ../slides/5/jordan.tex \ + ../slides/5/reellenormalform.tex \ ../slides/5/cayleyhamilton.tex \ ../slides/5/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/5/cayleyhamilton.tex b/vorlesungen/slides/5/cayleyhamilton.tex new file mode 100644 index 0000000..c0813be --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/cayleyhamilton.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +% +% cayleyhamilton.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Satz von Cayley-Hamilton} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Ein Eigenwert $\lambda$\strut} +$A$ besteht aus +$b$ Blöcken $J_\lambda$ mit maximaler Dimension $l$: +\phantom{blubb\strut} +\begin{align*} +\uncover<2->{ +\chi_{A}(X) +&= +\det (A-XI) = (\lambda-X)^n +} +\\ +\uncover<3->{ +m_{A}(X) +&= +(\lambda-X)^l +} +\\ +\uncover<4->{ +b&= \ker A +} +\end{align*} +\uncover<5->{% +Wegen $l \le n$ folgt +\[ +m_A(X) | \chi_A(X) +\uncover<6->{\quad\Rightarrow\quad +\chi_A(A) = 0} +\]} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% +\begin{block}{$A=A_1\oplus\dots\oplus A_k$} +\uncover<8->{% +$A_i\in M_{n_i}(\Bbbk)$ mit EW $\lambda_i$, +$A_i$ besteht aus +$b_i$ Blöcken $J_{\lambda_i}$ mit max.~Dimension $l_i$\strut:} +\begin{align*} +\uncover<9->{ +\chi_A(X) +&= +(\lambda_1-X)^{n_1} +\dots +(\lambda_k-X)^{n_k} +} +\\ +\uncover<10->{ +m_A(X) +&= +(\lambda_1-X)^{l_1} +\dots +(\lambda_k-X)^{l_k} +} +\\ +\uncover<11->{ +b_i &= \ker (A-\lambda_iI) +} +\end{align*} +\uncover<12->{% +$A=A_1\oplus\dots\oplus A_k$} +\begin{align*} +\uncover<13->{ +\chi_{A_i}(A_i)&=0\;\forall i +} +\\ +\uncover<14->{% +\chi_A(A) &= +\chi_{A_1}(A)\dots\chi_{A_k}(A) + = 0} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<15->{% +\begin{block}{Satz} +Für jede Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ gilt +$m_A(X) | \chi_A(X)$ oder $\chi_A(A)=0$ +\end{block}} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index 7698f01..1ce9d26 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -17,4 +17,5 @@ folie{5/normalnilp.tex} folie{5/bloecke.tex} folie{5/jordanblock.tex} folie{5/jordan.tex} +folie{5/reellenormalform.tex} folie{5/cayleyhamilton.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/jordanblock.tex b/vorlesungen/slides/5/jordanblock.tex new file mode 100644 index 0000000..1c3bce9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/jordanblock.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% jordanblock.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup + +\def\NL{ +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<-8>{\phantom{\lambda}\llap{$0$}}\only<9->{\lambda} +}{ +\lambda +} +} + +\begin{frame}[t] +\frametitle{Jordan-Block} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gegeben} +Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ derart, dass +\begin{itemize} +\item<2-> +$A-\lambda I$ nilpotent +\item<5-> +$A^{n-1}\ne 0$ +\end{itemize} +\end{block} +\vspace{-5pt} +\uncover<3->{ +\begin{block}{Folgerungen} +Es gibt eine Basis derart, dass +\begin{enumerate} +\item<4-> +$A-\lambda I$ hat Normalform einer nilpotenten Matrix +\item<6-> +Es gibt nur einen Block, da $\dim\ker(A-\lambda I)=1$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<-8>{Normalform einer nilpotenten Matrix\strut}}{}\only<9->{Normalform: genau ein Eigenwert\strut}} +\[ +A\uncover<-8>{-\lambda I}=\begin{pmatrix} +\NL &1& & & & & & & \\ + &\NL &1& & & & & & \\ + & &\NL &\uncover<7->{{\color<7>{red}1}}& & & & & \\ + & & &\NL &1& & & & \\ + & & & &\NL &1& & & \\ + & & & & &\NL &1& & \\ + & & & & & &\NL &\uncover<7->{{\color<7>{red}1}}& \\ + & & & & & & &\NL &\uncover<7->{{\color<7>{red}1}}\\ + & & & & & & & &\NL +\end{pmatrix} +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\vspace{-5pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Jordan-Normalform} +In dieser Basis hat $A$ Jordan-Normalform +\end{block}} +\end{frame} + +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/5/reellenormalform.tex b/vorlesungen/slides/5/reellenormalform.tex new file mode 100644 index 0000000..4ceabe9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/reellenormalform.tex @@ -0,0 +1,115 @@ +% +% reellenormalform.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Reelle Normalform} +$A\in M_n(\mathbb{R})\subset M_n(\mathbb{C})$ hat reelle und Paare von +konjugiert komplexen Eigenwerten +\medskip + +$\Rightarrow$ Konjugiert komplexe Eigenvektoren $v$ und $\overline{v}$, +$x=\operatorname{Re}v$ und $y=\operatorname{Im}v$ +\begin{align*} +\only<-2>{ +\begin{pmatrix} +Av\\ +A\overline v +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +Ax+Ay J \\ +Ax-Ay J +\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} +\lambda v\\ +\overline{\lambda}\overline{v} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +a+bJ & 0 \\ + 0 & a-bJ +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +x+ yJ\\ +x- yJ +\end{pmatrix} +\\ +} +\only<2-3>{ +\begin{pmatrix} +Ax&-Ay\\ +Ay& Ax\\ +Ax& Ay\\ +-Ay&Ax +\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} +a&-b& 0& 0\\ +b& a& 0& 0\\ +0& 0& a& b\\ +0& 0&-b& a +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +x&-y\\ +y& x\\ +x& y\\ +-y&x +\end{pmatrix} +\\ +} +\only<3-4>{ +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\begin{pmatrix} +Ax&-Ay\\ +Ax& Ay\\ +Ay& Ax\\ +-Ay&Ax +\end{pmatrix} +& += +\begin{pmatrix} +a& 0&-b& 0\\ +0& a& 0& b\\ +b& 0& a& 0\\ +0&-b& 0& a +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +x&-y\\ +x& y\\ +y& x\\ +-y&x +\end{pmatrix} +\Rightarrow +\\ +}{} +} +\only<4->{ +Ax &= ax -by \\ +Ay &= bx +ay +} +\end{align*} +\uncover<5->{% +D.h. in Basis $x=\operatorname{Re}v,y=\operatorname{Im}v$ hat $A$ die Matrix +$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$} +\uncover<6->{% +\[ +\text{ +Reeller +Jordan-Block: +} +\qquad +J_{\lambda,\overline{\lambda}} += +\begin{pmatrix} +a&-b&1& 0&0& 0\\ +b& a&0& 1&0& 0\\ + & &a&-b&1& 0\\ + & &b& a&0& 1\\ + & & & &a&-b\\ + & & & &b& a +\end{pmatrix} +\]} +\end{frame} |