aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/vorlesungen/slides/6
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/Makefile.inc6
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/chapter.tex6
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex12
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex10
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex7
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex39
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex25
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex77
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex79
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex14
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex66
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex79
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex6
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex14
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex9
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex8
-rw-r--r--vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex22
17 files changed, 418 insertions, 61 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
index 793d402..bc6882a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
@@ -12,6 +12,12 @@ chapter6 = \
../slides/6/punktgruppen/chemie.tex \
../slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex \
\
+ ../slides/6/produkte/frei.tex \
+ ../slides/6/produkte/direkt.tex \
+ \
+ ../slides/6/normalteiler/normal.tex \
+ ../slides/6/normalteiler/konjugation.tex \
+ \
../slides/6/permutationen/matrizen.tex \
\
../slides/6/darstellungen/definition.tex \
diff --git a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
index 57db282..e1711d7 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
@@ -12,6 +12,12 @@
\folie{6/punktgruppen/chemie.tex}
\folie{6/punktgruppen/aufspaltung.tex}
+\folie{6/produkte/frei.tex}
+\folie{6/produkte/direkt.tex}
+
+\folie{6/normalteiler/normal.tex}
+\folie{6/normalteiler/konjugation.tex}
+
\folie{6/permutationen/matrizen.tex}
\folie{6/darstellungen/definition.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
index 6a6991e..bfbd4a5 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
@@ -17,26 +17,30 @@ irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei
Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$)
gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Isomorphe Darstellungen}
$\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es
$f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit
\begin{align*}
f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g)
\\
+\uncover<3->{%
f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Lemma von Schur}
$\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass
$f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
-\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
-\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
+\item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
+\item<6-> $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
\end{enumerate}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
index 69ce9ee..9f1db9e 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
@@ -17,19 +17,21 @@ $h\colon V_1\to V_2$
h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g)
\]
\begin{enumerate}
-\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
-\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
+\item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
+\item<3-> $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
\end{enumerate}
\end{block}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph}
$\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist
\[
\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0
\]
für alle $k,l,u,v$
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso}
F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt
\[
@@ -38,7 +40,7 @@ F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt
\frac1n
\]
und $=0$ sonst
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
index 653bdce..46cc8e9 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
@@ -21,18 +21,21 @@ $\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$:
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Satz}
\begin{enumerate}
\item
$\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung
$\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$.
-\item
+\item<3->
$\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen
$\Rightarrow$
$\langle \chi,\chi'\rangle=0$
\end{enumerate}
+\uncover<4->{%
D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert
-\end{block}
+}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
index 9152e1f..3087b4a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
@@ -20,39 +20,45 @@ Gegeben zwei Darstellungen
\end{align*}
\end{block}
\vspace{-12pt}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen}
-\vspace{-12pt}
+%\vspace{-12pt}
\begin{align*}
\varrho_1\oplus\varrho_2
&\colon
-G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}
-=:
-\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}
+G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2}
+\only<3>{
+= \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}}
+\uncover<4->{=:
+\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}}
+\hspace*{5cm}
\\
&\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g))
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-12pt}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Charakter}
-\vspace{-12pt}
+%\vspace{-12pt}
\begin{align*}
\chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g)
&=
\operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g)
\\
-&=
+&\uncover<6->{=
\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
+
-\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}}
\\
-&=
+&\uncover<7->{=
\chi_{\varrho_1}(g)
+
-\chi_{\varrho_2}(g)
+\chi_{\varrho_2}(g)}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Tensorprodukt}
$n_1\times n_2$-dimensionale
Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
@@ -67,15 +73,16 @@ Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
&\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g)
\end{pmatrix}
\]
-Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke
-\end{block}
+\uncover<9->{Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{block}{Darstellungsring}
Die Menge der Darstellungen $R(G)$ einer Gruppe hat
einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$
\\
-$\Rightarrow$
-Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden
-\end{block}
+\uncover<11->{$\Rightarrow$
+Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
index 6e36d1d..312d0e8 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
@@ -16,15 +16,17 @@
C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
\)
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Darstellungen von $C_n$}
Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$,
\[
\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-10pt}
+\uncover<3->{
\begin{block}{Charaktere}
-\vspace{-10pt}
+%\vspace{-10pt}
\[
\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
\]
@@ -38,13 +40,15 @@ haben Skalarprodukte
\end{cases}
\]
Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Orthonormalbasis}
Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-4pt}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Analyse einer Darstellung}
$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung,
$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen:
@@ -53,24 +57,27 @@ c_k
&=
\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n}
\\
+\uncover<7->{
\chi(l)
&=
\sum_{k} c_k \chi_k
=
\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n}
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-13pt}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Fourier-Theorie}
\vspace{-3pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
-C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\
-U(1)&Fourier-Reihen\\
-\mathbb{R}&Fourier-Integral
+\uncover<9->{C_n&Diskrete Fourier-Theorie}\\
+\uncover<10->{U(1)&Fourier-Reihen}\\
+\uncover<11->{\mathbb{R}&Fourier-Integral}
\end{tabular}
\end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex
new file mode 100644
index 0000000..70ce01f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% konjugation.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Konjugation}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{``Basiswechsel''}
+In der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$
+\[
+A' = TAT^{-1}
+\]
+$T\in\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$
+\\
+$A$ und $A'$ sind ``gleichwertig''
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Definition}
+$g_1,g_2\in G$ sind {\em konjugiert}, wenn es
+$h\in G$ gibt mit
+\[
+g_1 = hg_2h^{-1}
+\]
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Beispiel}
+Konjugierte Elemente in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ haben die
+gleiche Spur und Determinante
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Konjugationsklasse}
+Die Konjugationsklasse von $g$ ist
+\[
+\llbracket g\rrbracket
+=
+\{h\in G\;|\; \text{$h$ konjugiert zu $g$}\}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-7pt}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Klassenzerlegung}
+\begin{align*}
+G
+&=
+\{e\}
+\cup
+\llbracket g_1\rrbracket
+\cup
+\llbracket g_2\rrbracket
+\cup
+\dots
+\\
+&\uncover<6->{=
+C_e\cup C_1 \cup C_2\cup\dots}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\vspace{-7pt}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Klassenfunktionen}
+Funktionen, die auf Konjugationsklassen konstant sind
+\end{block}}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Beispiele}
+Spur, Determinante
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex
new file mode 100644
index 0000000..42336b9
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% normal.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Normalteiler}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gegeben}
+Eine Gruppe $G$ mit Untergruppe $N\subset G$
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Bedingung}
+Welche Eigenschaft muss $N$ zusätzlich haben,
+damit
+\[
+G/N
+=
+\{ gN \;|\; g\in G\}
+\]
+eine Gruppe wird.
+
+\uncover<3->{Wähle Repräsentaten $g_1N=g_2N$}
+\uncover<4->{%
+\begin{align*}
+g_1g_2N
+&\uncover<5->{=
+g_1g_2NN}
+\uncover<6->{=
+g_1g_2Ng_2^{-1}g_2N}
+\\
+&\uncover<7->{=
+g_1(g_2Ng_2^{-1})g_2N}
+\\
+&\uncover<8->{\stackrel{?}{=} g_1Ng_2N}
+\end{align*}}
+\uncover<9->{Funktioniert nur wenn $g_2Ng_2^{-1}=N$ ist}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+Ist $\varphi\colon G\to G'$ ein Homomorphismus mit $\varphi(N)=\{e\}$%
+\uncover<11->{, dann gibt es einen Homomorphismus $G/N\to G'$:}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\coordinate (N) at (-2.5,0);
+\coordinate (G) at (0,0);
+\coordinate (quotient) at (2.5,0);
+\coordinate (Gprime) at (0,-2.5);
+\coordinate (e) at (-2.5,-2.5);
+\node at (N) {$N$};
+\node at (e) {$\{e\}$};
+\node at (G) {$G$};
+\node at (Gprime) {$G'$};
+\node at (quotient) {$G/N$};
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (G);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (e);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (e) -- (Gprime);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (Gprime);
+\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (quotient);
+\uncover<11->{
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm,color=red] (quotient) -- (Gprime);
+\node[color=red] at ($0.5*(quotient)+0.5*(Gprime)$) [below right] {$\exists!$};
+}
+\node at ($0.5*(quotient)$) [above] {$\pi$};
+\node at ($0.5*(Gprime)$) [left] {$\varphi$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
index 346993d..d40c396 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
@@ -20,6 +20,7 @@ e_i \mapsto e_{\sigma(i)}
\]
($e_i$ Standardbasisvektor)
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Lineare Abbildung}
$f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung
\[
@@ -31,9 +32,10 @@ $f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung
\mapsto
\sum_{k=1}^n a_i f(e_i)
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Permutationsmatrix}
Matrix $A_{\tilde{f}}$ der linearen Abbildung $\tilde{f}$
hat die Matrixelemente
@@ -45,10 +47,11 @@ a_{ij}
0&\qquad\text{sonst}
\end{cases}
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-10pt}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Beispiel}
-\vspace{-20pt}
+\vspace{-10pt}
\[
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
@@ -62,13 +65,14 @@ a_{ij}
0&0&1&0
\end{pmatrix}
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-10pt}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Homomorphismus}
Die Abbildung
$S_n\to\operatorname{GL}(\Bbbk)\colon \sigma \mapsto A_{\tilde{f}}$
ist ein Homomorphismus
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex
new file mode 100644
index 0000000..c851335
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% direkt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Direktes Produkt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Zwei Gruppen $H_1$ und $H_2$
+\\
+Gruppe $G=H_1\times H_2$ mit
+\begin{itemize}
+\item<2-> Elemente $(h_1,h_2)\in H_1\times H_2$
+\item<3-> Neutrales Element $(e_1,e_2)$
+\item<4-> Inverses Elemente $(h_1,h_2)^{-1}=(h_1^{-1},h_2^{-1})$
+\end{itemize}
+heisst {\em direktes Produkt}
+\end{block}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Vertauschbarkeit}
+Das direkte Produkt ist ein Produkt, in dem Elemente von $H_1$ und
+$H_2$ vollständig vertauschbar sind
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\coordinate (S) at (0,2.5);
+\coordinate (H1) at (-2.5,0);
+\coordinate (H2) at (2.5,0);
+
+\node at (H1) {$H_1$};
+\node at (H2) {$H_2$};
+\node at (0,0) {$H_1\times H_2$};
+\node at (S) {$S$};
+
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H1);
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H2);
+
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H1);
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H2);
+
+\node at ($0.5*(S)+0.5*(H1)$) [above left] {$f_1$};
+\node at ($0.5*(S)+0.5*(H2)$) [above right] {$f_2$};
+
+\uncover<7->{
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm,color=red] (S) -- (0,0);
+\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [left] {$f_1\times f_2$};
+\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [right] {$\exists!$};
+}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex
new file mode 100644
index 0000000..6c23e6b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% template.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Freie Gruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gruppe aus Symbolen}
+Erzeugende Elemente $\{a,b,c,\dots\}$
+\\
+\uncover<2->{%
+Wörter =
+Folgen von Symbolen $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$}
+\\
+\uncover<3->{
+{\em freie Gruppe}:
+\begin{align*}
+F&=\langle a,b,c,\dots\rangle
+\\
+&=
+\{\text{Wörter}\}
+/\text{Kürzungsregel}
+\end{align*}}
+\vspace{-10pt}
+\begin{itemize}
+\item<4-> neutrales Element: $e = \text{leere Symbolfolge}$
+\item<5-> Gruppenoperation: Verkettung
+\item<6-> Kürzungsregel:
+\begin{align*}
+xx^{-1}&\to e,
+&
+x^{-1}x&\to e
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+$g_i\in G$, dann gibt es genau einen Homomorphismus
+\[
+\varphi
+\colon
+\langle g_i| 1\le i\le k\rangle
+\to
+G
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Quotient einer freien Gruppe}
+Jede endliche Gruppe ist Quotient einer freien Gruppe
+\[
+N
+\xhookrightarrow{}
+\langle g_i\rangle
+\twoheadrightarrow
+G
+\]
+oder
+\[
+G = \langle g_i\rangle / N
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<11->{%
+\begin{block}{Maximal nichtkommutativ}
+Die freie Gruppe ist die ``maximal nichtkommutative'' Gruppe
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
index 5394f51..80790b1 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
@@ -21,6 +21,7 @@
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{$C_{nv}$}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg}
@@ -29,9 +30,10 @@
\item Eine $n$-zählige Achse
\item $n$ dazu senkrechte Symmetrieebenen
\end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{$C_{nh}$}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg}
@@ -40,7 +42,7 @@
\item Eine $n$-zählige Achse
\item Eine dazu senkrechte Spiegelebene
\end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
index 43e8dc4..7f8b7a8 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Anwendung}
+\frametitle{Anwendung: Energieniveaus eines Atoms}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
@@ -23,6 +23,7 @@ E\Psi
\]
$V(x)$ = Potential der Atomkerne eines Molekuls
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Symmetrien}
$g\in\operatorname{O}(3)$ wirkt auf $V$ und $\Psi$
\begin{align*}
@@ -31,9 +32,10 @@ $g\in\operatorname{O}(3)$ wirkt auf $V$ und $\Psi$
(g\cdot \Psi)(x) &= \Psi(g\cdot x)
\end{align*}
Symmetrie von $V$: $g\cdot V=V$
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Lösungen}
Eigenfunktionen $\Psi$ zum Eigenwert $E$
\[
@@ -43,16 +45,18 @@ g\cdot \Psi
\text{ Lösung}
\]
mit gleichem Eigenwert!
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Eigenräume}
Die Symmetriegruppe $G\subset \operatorname{O}(3)$ eines Moleküls
operiert auf dem Eigenraum
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Externe Felder}
Externe Felder zerstören die Symmetrie
$\Rightarrow$
die Energieniveaus/Spektrallinien spalten sich auf
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
index a4824b5..9dd0a7a 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg}
\end{center}
+\vspace{-8pt}
\begin{itemize}
\item $C_n$ Achse
\item $n$ $C_2$ Achse senkrecht dazu
@@ -22,26 +23,30 @@
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{$D_{nd}$}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg}
\end{center}
+\vspace{-8pt}
\begin{itemize}
\item $D_n$ Achse
\item $n$ winkelhalbierende Spiegelebenen der $C_2$-Achsen
\end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{$D_{nh}$}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg}
\end{center}
+\vspace{-8pt}
\begin{itemize}
\item $D_n$ Achse
\item Spiegelbene senkrecht dazu
\end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
index 908e76a..ea51e93 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Drehgruppen}
+\frametitle{Platonische Körper}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.33\textwidth}
@@ -18,18 +18,20 @@
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{$O = O_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg}
\end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{$I = I_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg}
\end{center}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
index b8636be..69c1173 100644
--- a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
@@ -23,53 +23,57 @@ G\ltimes A
\]
heisst {\em semidirektes Produkt}.
\begin{itemize}
-\item
+\item<2->
Neutrales Element: $(e,0)$
-\item
+\item<3->
Gruppenoperation
\[
(h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2)
=
(h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2)
\]
-\item
+\item<4->
Inverse:
$(h,a)^{-1}
=
(h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
$
+\uncover<5->{%
Kontrolle:
\begin{align*}
&\phantom{\mathstrut=\mathstrut}
(h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
\\
-&=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)
-=(e,0)
-\end{align*}
+&\uncover<6->{=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)}
+\uncover<7->{=(e,0)}
+\end{align*}}
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$}
Spiegelung: $C_2$
Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$
Drehungen und Spiegelungen:
$C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
\begin{block}{Drehungen und Translationen}
Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$
\\
Translationen: $A=\mathbb{R}^2$
\\
Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit}
Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung)
\\
Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung)
\\
Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}