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diff --git a/vorlesungen/slides/7/ableitung.tex b/vorlesungen/slides/7/ableitung.tex new file mode 100644 index 0000000..b061b9a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/ableitung.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% ableitung.tex -- Ableitung in der Lie-Gruppe +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Ableitung in der Matrix-Gruppe} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Ableitung in $\operatorname{O}(n)$} +$s \mapsto A(s)\in\operatorname{O}(n)$ +\begin{align*} +I +&= +A(s)^tA(s) +\\ +0 += +\frac{d}{ds} I +&= +\frac{d}{ds} (A(s)^t A(s)) +\\ +&= +\dot{A}(s)^tA(s) + A(s)^t \dot{A}(s) +\intertext{An der Stelle $s=0$, d.~h.~$A(0)=I$} +0 +&= +\dot{A}(0)^t ++ +\dot{A}(0) +\\ +\Leftrightarrow +\qquad +\dot{A}(0)^t &= -\dot{A}(0) +\end{align*} +``Tangentialvektoren'' sind antisymmetrische Matrizen +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Ableitung in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$} +$s\mapsto A(s)\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +\begin{align*} +1 &= \det A(t) +\\ +0 += +\frac{d}{dt}1 +&= +\frac{d}{dt} \det A(t) +\intertext{mit dem Entwicklungssatz kann man nachrechnen:} +0&=\operatorname{Spur}\dot{A}(0) +\end{align*} +``Tangentialvektoren'' sind spurlose Matrizen +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |