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diff --git a/vorlesungen/slides/7/algebraisch.tex b/vorlesungen/slides/7/algebraisch.tex index 31d209a..fba42cf 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/algebraisch.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/algebraisch.tex @@ -1,115 +1,115 @@ -% -% algebraisch.tex -- algebraische Definition der Symmetrien -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\bgroup -\begin{frame}[t] -\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} -\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Erhaltungsgrössen und Algebra} -\vspace{-20pt} -\begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} -\begin{block}{Längen und Winkel} -Längenmessung mit Skalarprodukt -\begin{align*} -\|\vec{v}\|^2 -&= -\langle \vec{v},\vec{v}\rangle -= -\vec{v}\cdot \vec{v} -\uncover<2->{= -\vec{v}^t\vec{v}} -\end{align*} -\end{block} -\end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<3->{% -\begin{block}{Flächeninhalt/Volumen} -$n$ Vektoren $V=(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)$ -\\ -Volumen des Parallelepipeds: $\det V$ -\end{block}} -\end{column} -\end{columns} -% -\vspace{-7pt} -\begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<4->{% -\begin{block}{Längenerhaltende Transformationen} -$A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ -\begin{align*} -\vec{x}^t\vec{y} -&= -(A\vec{x}) -\cdot -(A\vec{y}) -\uncover<5->{= -(A\vec{x})^t -(A\vec{y})} -\\ -\uncover<6->{ -\vec{x}^tI\vec{y} -&= -\vec{x}^tA^tA\vec{y}} -\uncover<7->{ -\Rightarrow I=A^tA} -\end{align*} -\uncover<8->{Begründung: $\vec{e}_i^t B \vec{e}_j = b_{ij}$} -\end{block}} -\end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<9->{% -\begin{block}{Volumenerhaltende Transformationen} -$A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ -\begin{align*} -\det(V) -&= -\det(AV) -\uncover<10->{= -\det(A)\det(V)} -\\ -\uncover<11->{ -1&=\det(A)} -\end{align*} -\uncover<10->{ -(Produktsatz für Determinante) -} -\end{block}} -\end{column} -\end{columns} -% -\vspace{-3pt} -\begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<12->{% -\begin{block}{Orthogonale Matrizen} -Längentreue Abbildungen = orthogonale Matrizen: -\[ -O(n) -= -\{ -A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) -\;|\; -A^tA=I -\} -\] -\end{block}} -\end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<13->{% -\begin{block}{``Spezielle'' Matrizen} -Volumen-/Orientierungserhaltende Transformationen: -\[ -\operatorname{SL}_n(\mathbb R) -= -\{ A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \;|\; \det A = 1\} -\] -\end{block}} -\end{column} -\end{columns} - -\end{frame} -\egroup +%
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