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diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf.tex b/vorlesungen/slides/9/pf.tex new file mode 100644 index 0000000..da2ef2b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +% +% pf.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Perron-Frobenius-Theorie} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Positive Matrizen und Vektoren} +$P\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ +\begin{itemize} +\item<2-> +$P$ heisst positiv, $P>0$, wenn $p_{ij}>0\;\forall i,j$ +\item<3-> +$P\ge 0$, wenn $p_{ij}\ge 0\;\forall i,j$ +\end{itemize} +\end{block} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Beispiele} +\begin{itemize} +\item<5-> +Adjazenzmatrix $A(G)$ +\item<6-> +Gradmatrix $D(G)$ +\item<7-> +Wahrscheinlichkeitsmatrizen +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Satz} +Es gibt einen positiven Eigenvektor $p$ von $P$ zum Eigenwert $1$ +\end{block}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Satz} +$P$ irreduzible Matrix, $P\ge 0$, hat einen Eigenvektor $p$, $p\ge 0$, +zum Eigenwert $1$ +\end{block}} +\uncover<10->{% +\begin{block}{Potenzmethode} +Falls $P\ge 0$ einen eindeutigen Eigenvektor $p$ hat\uncover<11->{, +dann konveriert die rekursiv definierte Folge +\[ +p_{n+1}=\frac{Pp_n}{\|Pp_n\|}, p_0 \ge 0, p_0\ne 0 +\]}% +\uncover<12->{$\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n = p$} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} |