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diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index fa6c29b..2257810 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -10,5 +10,20 @@ chapter9 = \ ../slides/9/irreduzibel.tex \ ../slides/9/stationaer.tex \ ../slides/9/pf.tex \ + ../slides/9/potenz.tex \ + ../slides/9/pf/positiv.tex \ + ../slides/9/pf/primitiv.tex \ + ../slides/9/pf/trennung.tex \ + ../slides/9/pf/vergleich.tex \ + ../slides/9/pf/vergleich3d.tex \ + ../slides/9/pf/dreieck.tex \ + ../slides/9/pf/folgerungen.tex \ + ../slides/9/parrondo/uebersicht.tex \ + ../slides/9/parrondo/erwartung.tex \ + ../slides/9/parrondo/spiela.tex \ + ../slides/9/parrondo/spielb.tex \ + ../slides/9/parrondo/spielbmod.tex \ + ../slides/9/parrondo/kombiniert.tex \ + ../slides/9/parrondo/deformation.tex \ ../slides/9/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index 9e26587..cbab0f0 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -10,5 +10,21 @@ \folie{9/stationaer.tex} \folie{9/irreduzibel.tex} \folie{9/pf.tex} +\folie{9/potenz.tex} +\folie{9/pf/positiv.tex} +\folie{9/pf/primitiv.tex} +\folie{9/pf/trennung.tex} +\folie{9/pf/vergleich.tex} +\folie{9/pf/vergleich3d.tex} +\folie{9/pf/dreieck.tex} +\folie{9/pf/folgerungen.tex} + +\folie{9/parrondo/uebersicht.tex} +\folie{9/parrondo/erwartung.tex} +\folie{9/parrondo/spiela.tex} +\folie{9/parrondo/spielb.tex} +\folie{9/parrondo/spielbmod.tex} +\folie{9/parrondo/kombiniert.tex} +\folie{9/parrondo/deformation.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex new file mode 100644 index 0000000..40d2eb9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +% +% deformation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Deformation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Verlustspiele} +Durch Deformation (Parameter $e$ und $\varepsilon$) kann man +aus $A_e$ und $B_\varepsilon$ Spiele mit negativer Gewinnerwartung machen +\uncover<2->{% +\begin{align*} +E(X)&=0&&\rightarrow&E(X_e)&<0\\ +E(Y)&=0&&\rightarrow&E(Y_\varepsilon)&<0\\ +\end{align*}} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Kombiniertes Spiel} +\uncover<3->{% +Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$}% +\begin{align*} +\uncover<4->{E(Z)&=\frac{18}{709}>0} +&&\uncover<5->{\rightarrow& +E(Z_*)&>0} +\end{align*} +\uncover<6->{Wegen Stetigkeit!} +\\ +\uncover<5->{Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel (für Parameter klein genug)} +\end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Parrondo-Paradoxon} +Zufällig zwischen zwei Verlustspielen auswählen kann trotzdem ein +Gewinnspiel ergeben +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex new file mode 100644 index 0000000..b58c37f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +% +% erwartung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Erwartung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zufallsvariable} +\begin{center} +\[ +\begin{array}{c|c} +\text{Werte $X$}&\text{Wahrscheinlichkeit $p$}\\ +\hline +x_1&p_1=P(X=x_1)\\ +x_2&p_2=P(X=x_2)\\ +\vdots&\vdots\\ +x_n&p_n=P(X=x_n) +\end{array} +\] +\end{center} +\end{block} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Einervektoren/-matrizen} +\[ +U=\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1\\ +1&1&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +\in +M_{n\times m}(\Bbbk) +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Erwartungswerte} +\begin{align*} +E(X) +&= +\sum_i x_ip_i += +x^tp +\uncover<5->{= +U^t x\odot p} +\hspace*{3cm} +\\ +\uncover<2->{E(X^2) +&= +\sum_i x_i^2p_i} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<6>{= +(x\odot x)^tp}}{} +\uncover<7->{= +U^t (x\odot x) \odot p} +\\ +\uncover<3->{E(X^k) +&= +\sum_i x_i^kp_i} +\uncover<8->{= +U^t x^{\odot k}\odot p} +\end{align*} +\uncover<9->{% +Substitution: +\begin{align*} +\uncover<10->{\sum_i &\to U^t}\\ +\uncover<11->{x_i^k &\to x^{\odot k}} +\end{align*}}% +\uncover<12->{Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex new file mode 100644 index 0000000..5012d06 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex @@ -0,0 +1,73 @@ +% +% kombiniert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Kombiniertes Spiel $C$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Ein fairer Münzwurf entscheidet, ob +Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt wird +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Übergangsmatrix} +Münzwurf $X$ +\begin{align*} +C +&= +P(X=\text{Kopf})\cdot A ++ +P(X=\text{Zahl})\cdot B +\\ +&\uncover<3->{= +\begin{pmatrix} + 0&\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\ +\frac{3}{10}& 0&\frac{3}{8}\\ +\frac{7}{10}&\frac{5}{8}& 0 +\end{pmatrix}} +\end{align*} +\end{block}} +\vspace{-8pt} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Gewinnerwartung im Einzelspiel} +\[ +p=\frac13U +\Rightarrow +U^t(G\odot C)p +\uncover<5->{= +-\frac{1}{30}} +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Iteriertes Spiel} +\[ +\overline{p}=C\overline{p} +\quad +\uncover<7->{\Rightarrow +\quad +\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix}} +\] +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(Z) +&= +U^t (G\odot C) \overline{p} +\uncover<9->{= +\frac{18}{709}} +\end{align*} +\uncover<10->{$C$ ist ein Gewinnspiel!} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex new file mode 100644 index 0000000..629586f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex @@ -0,0 +1,52 @@ +% +% spiela.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spiel $A$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn = Zufallsvariable $X$ mit Werten $\pm 1$ +\begin{align*} +P(X=\phantom{+}1) +&= +\frac12\uncover<2->{+e} +\\ +P(X= - 1) +&= +\frac12\uncover<2->{-e} +\end{align*} +Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12\uncover<2->{+e}$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{ +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(X) +&=\uncover<4->{ +P(X=1)\cdot (1)} +\\ +&\qquad +\uncover<4->{+ +P(X=-1)\cdot (-1)} +\\ +&\uncover<5->{= +\biggl(\frac12+e\biggr)\cdot 1 ++ +\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1)} +\\ +&\uncover<6->{=2e} +\end{align*} +\uncover<7->{$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$}} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex new file mode 100644 index 0000000..f65564f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex @@ -0,0 +1,100 @@ +% +% spielb.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spiel $B$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des +aktuellen Kapitals $K$: +\begin{center} +\uncover<2->{% +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A0) at (90:2); +\coordinate (A1) at (210:2); +\coordinate (A2) at (330:2); + +\node at (A0) {$0$}; +\node at (A1) {$1$}; +\node at (A2) {$2$}; + +\draw (A0) circle[radius=0.4]; +\draw (A1) circle[radius=0.4]; +\draw (A2) circle[radius=0.4]; + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A1); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A2); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) -- (A2); + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) to[out=90,in=-150] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=90,in=-30] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=-150,in=-30] (A1); + +\def\R{1.9} +\def\r{0.7} + +\node at (30:\r) {$\frac{9}{10}$}; +\node at (150:\r) {$\frac1{10}$}; +\node at (270:\r) {$\frac34$}; + +\node at (30:\R) {$\frac{3}{4}$}; +\node at (150:\R) {$\frac1{4}$}; +\node at (270:\R) {$\frac14$}; + +\end{tikzpicture}} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Markov-Kette $Y$} +Übergangsmatrix +\[ +B=\begin{pmatrix} +0&\frac14&\frac34\\ +\frac{1}{10}&0&\frac14\\ +\frac{9}{10}&\frac34&0 +\end{pmatrix} +\] +\vspace{-10pt} + +\uncover<4->{% +Gewinnmatrix: +\vspace{-2pt} +\[ +G=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&1\\ +1&0&-1\\ +-1&1&0 +\end{pmatrix*} +\]} +\end{block}} +\vspace{-12pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +&&&& +E(Y) +&= +U^t(G\odot B)p +\\ +p&={\textstyle\frac13}U +&&\Rightarrow& +E(Y)&={\textstyle\frac1{15}} +\\ +\overline{p}&={\tiny\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5\\2\\6\end{pmatrix}} +&&\Rightarrow& +E(Y)&=0 +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex new file mode 100644 index 0000000..66d39bc --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex @@ -0,0 +1,103 @@ +% +% spielb.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Modifiziertes Spiel $\tilde{B}$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des +aktuellen Kapitals $K$: +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A0) at (90:2); +\coordinate (A1) at (210:2); +\coordinate (A2) at (330:2); + +\node at (A0) {$0$}; +\node at (A1) {$1$}; +\node at (A2) {$2$}; + +\draw (A0) circle[radius=0.4]; +\draw (A1) circle[radius=0.4]; +\draw (A2) circle[radius=0.4]; + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A1); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A2); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) -- (A2); + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) to[out=90,in=-150] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=90,in=-30] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=-150,in=-30] (A1); + +\def\R{1.9} +\def\r{0.7} + +\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}\uncover<2->{+\varepsilon}$}; +\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}\uncover<2->{-\varepsilon}$}; +\node at (270:\r) {$\frac34\uncover<2->{-\varepsilon}$}; + +\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}\uncover<2->{-\varepsilon}$}; +\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}\uncover<2->{+\varepsilon}$}; +\node at (270:\R) {$\frac14\uncover<2->{+\varepsilon}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Markov-Kette $\tilde{Y}$} +Übergangsmatrix +\[ +\tilde{B}= +B\uncover<2->{+\varepsilon F} +\uncover<3->{= +B+\varepsilon\begin{pmatrix*}[r] +0&1&-1\\ +-1&0&1\\ +1&-1&0 +\end{pmatrix*}} +\] +\vspace{-12pt} + +\uncover<4->{% +Gewinnmatrix: +\[ +G=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&1\\ +1&0&-1\\ +-1&1&0 +\end{pmatrix*} +\]} +\end{block} +\vspace{-12pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +\uncover<6->{E(\tilde{Y}) +&= +U^t(G\odot \tilde{B})p} +\\ +&\uncover<7->{= +E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p} +\uncover<8->{= +{\textstyle\frac1{15}}+2\varepsilon} +\\ +\uncover<9->{ +\text{rep.} +&= +-{\textstyle\frac{294}{169}}\varepsilon+O(\varepsilon^2) +\quad\text{Verlustspiel} +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex new file mode 100644 index 0000000..2f3597a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +% +% uebersicht.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Parrondo-Paradoxon} +\begin{center} +\Large +Zufällige +Wahl zwischen zwei Verlustspielen = Gewinnspiel? +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0a572f3 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex @@ -0,0 +1,44 @@ +% +% dreieck.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Verallgemeinerte Dreiecksungleichung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.32\textwidth} +\begin{block}{Satz} +\[ +|u+v|\le |u|+|v| +\] +Gleichheit wenn lin.~abh. +\end{block} +\begin{block}{Satz} +\[ +\biggl|\sum_i u_i\biggr| +\le +\sum_i |u_i| +\] +Gleichheit wenn $u_i = \lambda_i u$ +\end{block} +\begin{block}{Satz} +\[ +\biggl|\sum_i z_i\biggr| +\le +\sum_i |z_i| +\] +Gleichheit, wenn $z_i=|z_i|c$, $c\in\mathbb{C}$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.68\textwidth} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf} +\end{center} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex new file mode 100644 index 0000000..5042c78 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex @@ -0,0 +1,203 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Folgerungen für $A>0$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$u\ge 0$ ein EV zum EW $ \lambda\ne 0$, +dann ist $u>0$ und $\lambda >0$ +\end{block} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Satz} +$v$ ein EV zum EW $\lambda$ mit $|\lambda| = \varrho(A)$, +dann ist $u=|v|$ mit $u_i=|v_i|$ ein EV mit EW $\varrho(A)$ +\end{block}} +\uncover<29->{% +\begin{block}{Satz} +$v$ ein EV zum EW $\lambda$ mit $|\lambda|=\varrho(A)$, +dann ist $\lambda=\varrho(A)$ +\end{block}} +\uncover<46->{% +\begin{block}{Satz} +Der \only<57->{verallgemeinerte }Eigenraum zu EW $\varrho(A)$ +ist eindimensional +\end{block} +} +\end{column} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<-6>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<3-> +Vergleich: $Au>0$ +\item<4-> +$Au=\lambda u > 0$ +\item<5-> +$\lambda >0$ und $u>0$ +\end{itemize} +\end{proof} +\end{column}} +\only<7-20>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{align*} +(Au)_i +&\only<-8>{= +\sum_j a_{ij}u_j} +\only<8-9>{= +\sum_j |a_{ij}v_j|} +\only<9->{\ge} +\only<9-10>{ +\biggl|\sum_j a_{ij}v_j\biggr|} +\only<10>{=} +\only<10-11>{ +|(Av)_i|} +\only<11>{=} +\only<11-12>{ +|\lambda v_i|} +\only<12>{=} +\only<12-13>{ +\varrho(A) |v_i|} +\only<13>{=} +\uncover<13->{ +\varrho(A) u_i} +\hspace*{5cm} +\\ +\uncover<14->{Au&\ge \varrho(A)u} +\intertext{\uncover<15->{Vergleich}} +\uncover<16->{A^2u&> \varrho(A)Au} +\intertext{\uncover<17->{Trennung: $\exists \vartheta >1$ mit}} +\uncover<18->{A^2u&\ge \vartheta \varrho(A) Au }\\ +\uncover<19->{A^3u&\ge (\vartheta \varrho(A))^2 Au }\\ +\uncover<20->{A^ku&\ge (\vartheta \varrho(A))^{k-1} Au }\\ +\end{align*} +\end{proof} +\end{column}} +\only<21-29>{% +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis, Fortsetzung] +Abschätzung der Operatornorm: +\begin{align*} +\|A^k\|\, |Au| +\ge +\|A^{k+1}u\| +\uncover<22->{ +\ge +(\vartheta\varrho(A))^k |Au|} +\end{align*} +\uncover<23->{Abschätzung des Spektralradius} +\begin{align*} +\uncover<24->{\|A^k\| &\ge (\vartheta\varrho(A))^k} +\\ +\uncover<25->{\|A^k\|^{\frac1k} &\ge \vartheta \varrho(A)} +\\ +\uncover<26->{\lim_{k\to\infty}\|A^k\|^{\frac1k} &\ge \vartheta \varrho(A)} +\\ +\uncover<27->{\varrho(A) &\ge \underbrace{\vartheta}_{>1} \varrho(A)} +\end{align*} +\uncover<28->{Widerspruch: $u=v$} +\end{proof} +\end{column}} +\only<30-46>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +$u$ ist EV mit EW $\varrho(A)$: +\[ +Au=\varrho(A)u +\uncover<31->{\Rightarrow +\sum_j a_{ij}|v_j| = {\color<38->{red}\varrho(A) |v_i|}} +\] +\uncover<33->{Andererseits: $Av=\lambda v$} +\[ +\uncover<34->{\sum_{j}a_{ij}v_j=\lambda v_i} +\] +\uncover<35->{Betrag} +\begin{align*} +\uncover<36->{\biggl|\sum_j a_{ij}v_j\biggr| +&= +|\lambda v_i|} +\uncover<37->{= +{\color<38->{red}\varrho(A) |v_i|}} +\uncover<39->{= +\sum_j a_{ij}|v_j|} +\end{align*} +\uncover<40->{Dreiecksungleichung: $v_j=|v_j|c, c\in\mathbb{C}$} +\[ +\uncover<41->{\lambda v = Av} +\uncover<42->{= Acu} +\uncover<43->{= c\varrho(A) u} +\uncover<44->{= \varrho(A)v} +\] +\uncover<45->{$\Rightarrow +\lambda=\varrho(A) +$} +\end{proof} +\end{column}} +\only<47-57>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<48-> $u>0$ ein EV zum EW $\varrho(A)$ +\item<49-> $v$ ein weiterer EV, man darf $v\in\mathbb{R}^n$ annehmen +\item<50-> Da $u>0$ gibt es $c>0$ mit $u\ge cv$ aber $u\not > cv$ +\item<51-> $u-cv\ge 0$ aber $u-cv\not > 0$ +\item<52-> $A$ anwenden: +\[ +\begin{array}{ccc} +\uncover<53->{A(u-cv)}&\uncover<54->{>&0} +\\ +\uncover<53->{\|}&& +\\ +\uncover<53->{\varrho(A)(u-cv)}&\uncover<55->{\not>&0} +\end{array} +\] +\uncover<56->{Widerspruch: $v$ existiert nicht} +\end{itemize} +\end{proof} +\end{column}} +\only<58->{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<59-> $Au=\varrho(A)u$ und $A^tp^t=\varrho(A)p^t$ +\item<60-> $u>0$ und $p>0$ $\Rightarrow$ $up>0$ +\item<61-> $px=0$, dann ist +\[ +\uncover<62->{pAx} +\only<62-63>{= +(A^tp^t)^t x} +\only<63-64>{= +\varrho(A) (p^t)^t x} +\uncover<64->{= +\varrho(A) px} +\uncover<65->{= 0} +\] +\uncover<66->{also ist $\{x\in\mathbb{R}^n\;|\; px=0\}$ +invariant} +\item<67-> Annahme: $v\in \mathcal{E}_{\varrho(A)}$ +\item<68-> Dann muss es einen EV zum EW $\varrho(A)$ in +$\mathcal{E}_{\varrho(A)}$ geben +\item<69-> Widerspruch: der Eigenraum ist eindimensional +\end{itemize} +\end{proof} +\end{column}} +}{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{} +\usebeamercolor[fg]{title} +Beweise: Buch Abschnitt 9.3 +\end{block} +\end{column} +} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex new file mode 100644 index 0000000..d7e833d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex @@ -0,0 +1,64 @@ +% +% positiv.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Positive und nichtnegative Matrizen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Positive Matrix\strut} +Eine Matrix $A$ heisst positiv, wenn +\[ +a_{ij} > 0\quad\forall i,j +\] +Man schreibt $A>0\mathstrut$ +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Relation $>\mathstrut$} +Man schreibt $A>B$ wenn $A-B > 0\mathstrut$ +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsmatrix} +\[ +W=\begin{pmatrix} +0.7&0.2&0.1\\ +0.2&0.6&0.1\\ +0.1&0.2&0.8 +\end{pmatrix} +\] +Spaltensumme$\mathstrut=1$, Zeilensumme$\mathstrut=?$ +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Nichtnegative Matrix\strut} +Eine Matrix $A$ heisst nichtnegativ, wenn +\[ +a_{ij} \ge 0\quad\forall i,j +\] +Man schreibt $A\ge 0\mathstrut$ +\end{block}} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Relation $\ge\mathstrut$} +Man schreibt $A\ge B$ wenn $A-B \ge 0\mathstrut$ +\end{block}} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Permutationsmatrix} +\[ +P=\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +1&0&0\\ +0&1&0 +\end{pmatrix} +\] +Genau eine $1$ in jeder Zeile/Spalte +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex new file mode 100644 index 0000000..961b1d5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% primitiv.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Primitive Matrix} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +$A\ge 0$ heisst primitiv, wenn es ein $n>0$ gibt mit $A^n>0$ +\end{block} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Intuition} +\begin{itemize} +\item<10-> +Markov-Ketten: $a_{ij} > 0$ bedeutet, $i$ von $j$ aus erreichbar. +\item<11-> +Band: {\em alle} Verbindung mit allen Nachbarn +\item<12-> +$n$-te Potenz: Pfade der Länge $n$ +\item<13-> +Durchmesser: wenn $n>\text{Durchmesser des Zustandsdiagramms}$, +dann ist $A^n>0$ +\end{itemize} +\end{block} +} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Beispiel: Reduzible W'keitsmatrix} +\vspace{-5pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\fill[color=gray!40] (-1,0) rectangle (0,1); +\fill[color=gray!40] (0,-1) rectangle (1,0); +\draw[line width=0.3pt] (0,-1) -- (0,1); +\draw[line width=0.3pt] (-1,0) -- (1,0); +%\draw (-1,-1) rectangle (1,1); +\node at (0,0) {$\left( \raisebox{0pt}[1cm][1cm]{\hspace*{2cm}} \right)$}; +\node at (-1.3,0) [left] {$\mathstrut W=$}; +\node at (0.5,0.5) {$0$}; +\node at (-0.5,-0.5) {$0$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\vspace{-10pt} + +$\Rightarrow$ $W$ ist nicht primitiv +\end{block}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Beispiel: Bandmatrix} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope} +\clip (-1,-1) rectangle (1,1); +\foreach \n in {3,...,8}{ + \pgfmathparse{0.3*(\n-2)} + \xdef\x{\pgfmathresult} + \only<\n>{ + \fill[color=gray!40] + ({-1.2-\x},1) -- (1,{-1.2-\x}) -- (1,{-0.8+\x}) + -- ({-0.8+\x},1) -- cycle; + } +} +\fill[color=gray] (-1.2,1) -- (1,-1.2) -- (1,-0.8) -- (-0.8,1) -- cycle; +\end{scope} +\foreach \n in {2,...,8}{ + \uncover<\n>{ + \pgfmathparse{int(\n-2)} + \xdef\k{\pgfmathresult} + \node at (-1.3,0) [left] {$\mathstrut B^{\k}=$}; + } +} +\node at (0,0) {$\left( \raisebox{0pt}[1cm][1cm]{\hspace*{2cm}} \right)$}; +\end{tikzpicture} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex new file mode 100644 index 0000000..9c85849 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex @@ -0,0 +1,99 @@ +% +% trennung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Trennung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\coordinate (u) at (3.5,4.5); +\coordinate (v) at (2.5,2); +\coordinate (va) at ({(3.5/2.5)*2.5},{(3.5/2.5)*2}); + +\uncover<3->{ +\fill[color=darkgreen!20] (0,0) rectangle (5.3,5.3); +\node[color=darkgreen] at (1.5,4.9) {$u\not\ge w$}; +\node[color=darkgreen] at (4.4,0.6) {$u\not\ge w$}; +} + +\uncover<5->{ +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle (5.3,5.3); +\draw[color=darkgreen] (0,0) -- ($3*(v)$); +\end{scope} + +\node[color=darkgreen] at ($1.2*(va)$) + [below,rotate={atan(2/2.5)}] {$(1+\mu)v$}; +} + +\uncover<2->{ + \fill[color=red!20] (0,0) rectangle (u); +} + +\fill[color=red] (u) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (u) [above right] {$u$}; + +\uncover<4->{ + \fill[color=blue!40,opacity=0.5] (0,0) rectangle (v); +} + +\uncover<2->{ + \fill[color=blue] (v) circle[radius=0.08]; + \node[color=blue] at (v) [above] {$v$}; +} + +\uncover<4->{ + \draw[color=blue] (0,0) -- (va); + + \fill[color=blue] (va) circle[radius=0.08]; + \node[color=blue] at (va) [above left] {$(1+\varepsilon)v$}; +} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (5.5,0) coordinate[label={$x_1$}]; +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,5.5) coordinate[label={right:$x_2$}]; + +\uncover<2->{ + \draw[->,color=red] (3.0,-0.2) -- (3.0,1.5); + \node[color=red] at (3.0,-0.2) [below] + {$\{w\in\mathbb{R}^n\;|\; w<u\}$}; +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$u>v\ge 0$\uncover<4->{, dann gibt es $\varepsilon>0$ mit +\[ +u\ge (1+\varepsilon)v +\]}% +\uncover<5->{und für $\mu>\varepsilon$ ist +\[ +u \not\ge (1+\mu)v +\]} +\uncover<6->{% +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<7-> +$u>v$ $\Rightarrow$ $u_i/v_i>1$ falls $v_i>0$ +\item<8-> +\[ +\vartheta = \min_{v_i\ne 0} \frac{u_i}{v_i} > 1 +\] +\uncover<9->{$\varepsilon = \vartheta - 1$} +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex new file mode 100644 index 0000000..c1a1f7a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex @@ -0,0 +1,113 @@ +% +% vergleich.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Vergleich} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\def\a{1.2} \def\b{0.35} +\def\c{0.5} \def\d{1.25} +\def\r{4} + +\coordinate (u) at (3.5,0); +\coordinate (v) at (2.5,0); + +\coordinate (Au) at ({3.5*\a},{3.5*\c}); +\coordinate (Av) at ({2.5*\a},{2.5*\c}); + +\uncover<2->{ + \begin{scope} + \clip (0,0) rectangle (5,5); + \fill[color=red!20] (0,0) circle[radius=4]; + \end{scope} + \node[color=red] at (0,4) [below right] {$\mathbb{R}^n$}; + + \fill[color=blue!40,opacity=0.5] (0,0) -- ({\a*\r},{\c*\r}) + -- plot[domain=0:90,samples=100] + ({\r*(\a*cos(\x)+\b*sin(\x))},{\r*(\c*cos(\x)+\d*sin(\x))}) + -- ({\b*\r},{\d*\r}) -- cycle; + \node[color=blue] at ({\r*\b},{\r*\d}) [below right] {$A\mathbb{R}^n$}; +} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (5.5,0) coordinate[label={$x_1$}]; +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,5.5) coordinate[label={right:$x_2$}]; + +\uncover<3->{ + \fill[color=darkgreen!30,opacity=0.5] + (0,0) rectangle ({3.5*\a},{3.5*\c}); + \draw[color=white,line width=0.7pt] + ({3.5*\a},0) -- ({3.5*\a},{3.5*\c}) -- (0,{3.5*\c}); +} + +\uncover<2->{ + \draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\r*\a},{\r*\c}); + \draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\r*\b},{\r*\d}); + + \draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (4,0); + \draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (0,4); +} + +\draw[color=darkgreen,line width=2pt] (u) -- (v); +\fill[color=darkgreen] (u) circle[radius=0.08]; +\fill[color=darkgreen] (v) circle[radius=0.08]; + +\node[color=darkgreen] at (u) [below right] {$u$}; +\node[color=darkgreen] at (v) [below left] {$v$}; +\node[color=darkgreen] at ($0.5*(u)+0.5*(v)$) [above] {$v\le u$}; + +\uncover<3->{ + \draw[color=darkgreen,line width=2pt] (Au) -- (Av); + \fill[color=darkgreen] (Au) circle[radius=0.08]; + \fill[color=darkgreen] (Av) circle[radius=0.08]; + + \node[color=darkgreen] at (Au) [above left] {$Au$}; + \node[color=darkgreen] at (Av) [above left] {$Av$}; + + \node[color=darkgreen] at ($0.5*(Au)+0.5*(Av)$) + [below,rotate={atan(\c/\a)}] {$Av<Au$}; +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$u\ge v\ge 0$ \uncover<2->{und $A > 0$}\uncover<3->{ $\Rightarrow$ $Au>Av$} +\end{block} +\uncover<4->{% +\begin{block}{intuitiv} +$A>0$ befördert $\ge$ zu $>$ +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{proof}[Beweis] +$d=u-v\ge 0$ +\begin{align*} +(Ad)_i +\uncover<6->{= +\sum_{j} +\underbrace{a_{ij}}_{>0}d_j} +\uncover<7->{> +0} +\uncover<8->{\quad\Rightarrow\quad +Au > Av} +\end{align*} +\uncover<7->{da mindestens ein $d_j>0$ ist} +\end{proof}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Korollar} +$A>0$ und $d\ge 0$ $\Rightarrow$ $Ad > 0$ +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex new file mode 100644 index 0000000..1c019a6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Vergleich} + +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.57\textwidth} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf} +\end{center} +\end{column} +\begin{column}{0.38\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$u\ge v\ge 0$ $\Rightarrow$ $Au>Av$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/potenz.tex b/vorlesungen/slides/9/potenz.tex new file mode 100644 index 0000000..2c3afa3 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/potenz.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +% +% potenz.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Potenzmethode} +\begin{center} +\includegraphics[width=0.9\textwidth]{../../buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf} +\end{center} +\end{frame} +\egroup |