diff options
Diffstat (limited to '')
| -rw-r--r-- | vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex | 10 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/8/chapter.tex | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 60 |
4 files changed, 66 insertions, 6 deletions
diff --git a/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex b/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex index f016e72..b598aaf 100644 --- a/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex +++ b/vorlesungen/13_msegraphwavelets/slides.tex @@ -4,14 +4,14 @@ % (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% XXX Funktionen auf einem Graphen -\folie{8/wavelets/funktionen.tex} +% Funktionen auf einem Graphen +%\folie{8/wavelets/funktionen.tex} -% XXX Laplace-Basis auf dem Graphen -\folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} +% Laplace-Basis auf dem Graphen +%\folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} % XXX Fourier-Transformation auf einem Graphen -% XXX \folie{8/wavelets/fourier.tex} +\folie{8/wavelets/fourier.tex} % XXX Lokalisierung in Standardbasis und Fourier-Basis % XXX \folie{8/wavelets/lokalisierungvergleich.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index 9a059b3..73a9061 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -38,5 +38,6 @@ chapter8 = \ ../slides/8/wavelets/funktionen.tex \ ../slides/8/wavelets/laplacebasis.tex \ ../slides/8/wavelets/vektoren.tex \ + ../slides/8/wavelets/fourier.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index dc6b522..38a656a 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -40,4 +40,5 @@ \folie{8/wavelets/funktionen.tex} \folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} +\folie{8/wavelets/fourier.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex index 4bd507b..6b44fb8 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -7,12 +7,70 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Fourier} +\frametitle{Fourier-Transformation} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Aufgabe} +Gegeben: Funktion $f$ auf dem Graphen +\\ +Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis +\end{block} +\begin{block}{Definition $\chi$-Matrix} +Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture} +\node at (-1.9,0) [left] {$\chi=\mathstrut$}; +\node at (0,0) {$\left(\raisebox{0pt}[1.7cm][1.7cm]{\hspace{3.5cm}}\right)$}; + +\fill[color=blue!20] (-1.7,-1.7) rectangle (-1.1,1.7); +\draw[color=blue] (-1.7,-1.7) rectangle (-1.1,1.7); +\node at (-1.4,0) [rotate=90] {$v_1=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_1$\strut}; + +\fill[color=blue!20] (-1.0,-1.7) rectangle (-0.4,1.7); +\draw[color=blue] (-1.0,-1.7) rectangle (-0.4,1.7); +\node at (-0.7,0) [rotate=90] {$v_2=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_2$\strut}; + +\fill[color=blue!20] (1.1,-1.7) rectangle (1.7,1.7); +\draw[color=blue] (1.1,-1.7) rectangle (1.7,1.7); +\node at (1.4,0) [rotate=90] {$v_n=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_n$\strut}; + +\node at (0.4,0) {$\dots$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Transformation} +$L$ symmetrisch +\\ +$\Rightarrow$ +Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden +\\ +$\Rightarrow$ +Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden: +\[ +\hat{f}(k) += +\langle v_k, f\rangle +\quad\Rightarrow\quad +\hat{f} += +\chi^tf +\] +$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation} +\end{block} +\begin{block}{Rücktransformation} +Eigenvektoren orthonormiert +\\ +$\Rightarrow$ +$\chi$ orthogonal +\[ +\chi\chi^t = I +\] +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} |