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| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/Makefile.inc | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/chapter.tex | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/eigenraeume.tex | 42 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/folgerungen.tex | 5 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/injektiv.tex | 9 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/normalnilp.tex | 8 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/zerlegung.tex | 73 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/test.tex | 5 |
8 files changed, 147 insertions, 3 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index d081b29..0975571 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -11,6 +11,10 @@ chapter5 = \ ../slides/5/ketten.tex \ ../slides/5/dimension.tex \ ../slides/5/folgerungen.tex \ + ../slides/5/injektiv.tex \ ../slides/5/nilpotent.tex \ + ../slides/5/eigenraeume.tex \ + ../slides/5/zerlegung.tex \ + ../slides/5/normalnilp.tex \ ../slides/5/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index 4bcee8e..245b31d 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -9,4 +9,8 @@ folie{5/kernbild.tex} folie{5/ketten.tex} folie{5/dimension.tex} folie{5/folgerungen.tex} +folie{5/injektiv.tex} folie{5/nilpotent.tex} +folie{5/eigenraeume.tex} +folie{5/zerlegung.tex} +folie{5/normalnilp.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/eigenraeume.tex b/vorlesungen/slides/5/eigenraeume.tex new file mode 100644 index 0000000..5192cbc --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/eigenraeume.tex @@ -0,0 +1,42 @@ +% +% eigenraeume.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Eigenräume} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Eigenraum} +Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst +\begin{align*} +E_\lambda(f) +&= +\ker (f-\lambda) +\\ +&= +\{v\in V\;|\; f(v) = \lambda v\} +\end{align*} +{\em Eigenraum} von $f$ zum Eigenwert $\lambda$. +\end{block} +$E_\lambda(f)\subset V$ ist ein Unterraum + +\begin{block}{Eigenwert} +Falls $\dim E_\lambda(f)>0$ heisst $\lambda$ Eigenwert von $f$. +\end{block} + +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{verallgemeinerter Eigenraum} +Für $\lambda\in \Bbbk$ heisst +\[ +\mathcal{E}_\lambda(f) += +\mathcal{K}(f-\lambda) +\] +verallgemeinerter Eigenraum +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/folgerungen.tex b/vorlesungen/slides/5/folgerungen.tex index 96efd7f..a1fa6bf 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/folgerungen.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/folgerungen.tex @@ -24,8 +24,9 @@ Ausserdem ist $l\le n$ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} -\begin{block}{} -\end{block} +\begin{proof}[Beweis] +XXX +\end{proof} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/injektiv.tex b/vorlesungen/slides/5/injektiv.tex new file mode 100644 index 0000000..e08cafd --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/injektiv.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +% +% injektiv.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{$f$ injektiv auf $\mathcal{J}(f)$} +XXX +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/normalnilp.tex b/vorlesungen/slides/5/normalnilp.tex new file mode 100644 index 0000000..a7af682 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/normalnilp.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +% +% normalnilp.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Normalform einer nilpotenten Matrix} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/zerlegung.tex b/vorlesungen/slides/5/zerlegung.tex new file mode 100644 index 0000000..9c20c60 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/zerlegung.tex @@ -0,0 +1,73 @@ +% +% zerlegung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\frametitle{Zerlegung in Eigenräume} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.38] +\fill[color=blue!20] (0,11) rectangle (4,15); +\fill[color=red!20] (4,0) rectangle (15,11); +\fill[color=red!40] (9,0) rectangle (15,6); +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] (4,6) rectangle (9,11); +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] (9,3) rectangle (12,6); +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] (12,0) rectangle (15,3); +\draw[line width=0.1pt] (0,11) -- (15,11); +\draw[line width=0.1pt] (0,6) -- (15,6); +\draw[line width=0.1pt] (0,3) -- (15,3); +\draw[line width=0.1pt] (4,0) -- (4,15); +\draw[line width=0.1pt] (9,0) -- (9,15); +\draw[line width=0.1pt] (12,0) -- (12,15); +\draw (0,0) rectangle (15,15); +\node[color=darkgreen] at (2,15) [above] {$\mathcal{E}_{\lambda_1}$}; +\node at (7,15) [above] {$\mathcal{E}_{\lambda_2}$}; +\node at (10.5,15) [above] {$\mathcal{E}_{\lambda_3}$}; +\node at (13.5,15) [above] {$\mathcal{E}_{\lambda_4}$}; +\node[color=darkgreen] at (0,13) [above,rotate=90] {$\mathcal{K}(f-\lambda_1)$}; +\node at (2,13) {$f_{|\mathcal{E}_{\lambda_1}}$}; +\node at (7,8.5) {$(f_1)_{|\mathcal{E}_{\lambda_2}}$}; +\node at (10.5,4.5) {$(f_2)_{|\mathcal{E}_{\lambda_3}}$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Iteration} +$\Lambda=\{\lambda_1,\dots,\lambda_s\}$ Eigenwerte +\begin{align*} +V +&= +\mathcal{K}(f-\lambda_1) +\oplus +\raisebox{-22pt}{\smash{\rlap{\tikz{\fill[color=red!20] (0,0) rectangle (1.83,1.1);}}}} +\underbrace{\mathcal{J}(f-\lambda_1)}_{\displaystyle=V_1} +\\[-15pt] +f_1 &= f_{|V_1} +\\[10pt] +V_1 +&= +\mathcal{K}(f_1-\lambda_2) +\oplus +\raisebox{-22pt}{\smash{\rlap{\tikz{\fill[color=red!40] (0,0) rectangle (1.9,1.1);}}}} +\underbrace{\mathcal{J}(f_1-\lambda_2)}_{\displaystyle=V_2} +\\[-15pt] +f_1 &= f_{|V_1} +\\ +&\phantom{0}\vdots +\end{align*} +$\Rightarrow$ $f$ hat {\color{blue}Blockdiagonalform} für die Zerlegung +\begin{align*} +V&=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda} \mathcal{E}_{\lambda} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 5c1b5af..03601bd 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -56,8 +56,11 @@ \folie{5/ketten.tex} \folie{5/dimension.tex} \folie{5/folgerungen.tex} +\folie{5/injektiv.tex} \folie{5/nilpotent.tex} -% XXX \folie{5/eigenraeume.tex} +\folie{5/eigenraeume.tex} +\folie{5/zerlegung.tex} +\folie{5/normalnilp.tex} % Jordan Normalform \section{Jordan-Normalform} |