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| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/Makefile.inc | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/bruch.tex | 72 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/chapter.tex | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/ganz.tex | 104 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/1/peano.tex | 72 | ||||
| -rw-r--r-- | vorlesungen/slides/test.tex | 8 |
6 files changed, 259 insertions, 3 deletions
diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc index 3c1b5d4..46bf6b3 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc @@ -6,6 +6,9 @@ # chapter1 = \ ../slides/1/zahlensysteme.tex \ + ../slides/1/peano.tex \ + ../slides/1/ganz.tex \ + ../slides/1/bruch.tex \ ../slides/1/strukturen.tex \ ../slides/1/j.tex \ ../slides/1/vektorraum.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex new file mode 100644 index 0000000..f6e551b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% bruch.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Brüche} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-8pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Division} +Nicht für alle $a,b\in\mathbb{Z}$ hat die Gleichung +\[ +ax=b +\uncover<2->{ +\;\Rightarrow\; +x=\frac{b}{a}} +\] +eine Lösung in $\mathbb{Z}$\uncover<2->{, nämlich wenn $b\nmid a$} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Brüche} +Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$ +\begin{enumerate} +\item<4-> $(b,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ +\item<5-> Äquivalenzrelation +\[ +(b,a)\sim (d,c) +\only<5>{ +\Leftrightarrow +\text{`` +$\displaystyle +\frac{b}{a}=\frac{d}{c} +$ +''} +} +\only<6->{ +\Leftrightarrow +bc=ad +} +\] +\end{enumerate} +\vspace{-15pt} +\uncover<7->{% +$\Rightarrow$ alle Quotienten +} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Gruppe} +$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ ist eine multiplikative Gruppe: +\begin{enumerate} +\item<10-> Neutrales Element: $1\in \mathbb{Q}^*$ +\item<11-> Inverses Element $q=\frac{b}{a}\in\mathbb{Q} +\Rightarrow +q^{-1}=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ +\end{enumerate} +\end{block} +} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Rationale Zahlen} +Alle Brüche, gleiche Werte zusammengefasst: +\[ +\mathbb{Q} = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\sim +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex index fec3330..1b971f7 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex @@ -4,6 +4,9 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % \folie{1/zahlensysteme.tex} +\folie{1/peano.tex} +\folie{1/ganz.tex} +\folie{1/bruch.tex} \folie{1/strukturen.tex} \folie{1/j.tex} \folie{1/vektorraum.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex new file mode 100644 index 0000000..196a495 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex @@ -0,0 +1,104 @@ +% +% ganz.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Ganze Zahlen: Gruppe} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{block}{Subtrahieren} +Nicht für alle $a,b\in \mathbb{N}$ hat die +Gleichung +\[ +a+x=b +\uncover<2->{ +\quad +\Rightarrow +\quad +x=b-a} +\] +eine Lösung in $\mathbb{N}$\uncover<2->{, nämlich wenn $a>b$}% +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Ganze Zahlen = Paare} +Idee: $b-a = (b,a)$ +\begin{enumerate} +\item<4-> $(b,a)=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ +\item<5-> Äquivalenzrelation +\[ +(b,a)\sim (d,c) +\only<6>{\Leftrightarrow +\text{``\strut} +b-a=c-d +\text{\strut''}} +\only<7->{ +\Leftrightarrow +b+d=c+a} +\] +\end{enumerate} +\vspace{-10pt} +\uncover<8->{% +Ganze Zahlen: +\( +\mathbb{Z} += +\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim +\)} +\\ +\uncover<9->{% +$z\in\mathbb{Z}$, $z=\mathstrut$ Paare $(u,v)$ mit +``gleicher Differenz''} +\uncover<10->{% +$\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Gruppe} +Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element +\[ +a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G} +\Rightarrow +\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G} +\text{ mit } +\only<11>{ +a+(-a)=0 +} +\only<12->{ +\left\{ +\begin{aligned} +aa^{-1}&=e +\\ +a^{-1}a&=e +\end{aligned} +\right. +} +\] +\end{block}} +\vspace{-15pt} +\uncover<13->{% +\begin{block}{Abelsche Gruppe} +Verknüpfung ist kommutativ: +\[ +a+b=b+a +\] +\end{block}} +\vspace{-12pt} +\uncover<14->{% +\begin{block}{Beispiele} +\begin{itemize} +\item<15-> Brüche reelle Zahlen +\item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +\item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$ +\item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$ +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/peano.tex b/vorlesungen/slides/1/peano.tex new file mode 100644 index 0000000..219c853 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/peano.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% peano.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Natürliche Zahlen\uncover<2->{: Peano}} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zählen} +Mit den natürlichen Zahlen zählt man: +\[ +\mathbb{N} += +\left\{ +\begin{minipage}{5cm} +\raggedright +Äquivalenzklassen von gleich mächtigen +endlichen Mengen +\end{minipage} +\right\} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Peano-Axiome} +\begin{enumerate} +\item<3-> $0\in\mathbb{N}$ +\item<4-> $n\in\mathbb{N}\Rightarrow \text{Nachfolger }n'\in\mathbb{N}$ +\item<5-> $0$ ist nicht Nachfolger +\item<6-> $n,m\in\mathbb{N}\wedge n'=m'\Rightarrow n=m$ +\item<7-> $X\subset \mathbb{N}\wedge 0\in X\wedge \forall n\in X(n'\in X) +\Rightarrow +\mathbb{N}=X +$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Monoid} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +Menge $\only<8-10>{\mathbb{N}}\only<11->{M}$ mit einer +zweistelligen Verknüpfung $a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b$ +\begin{enumerate} +\item<9-> Assoziativ: $a,b,c\in M$ +\[ +(a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b)\only<8-10>{+}\only<11->{*}c=a\only<8-10>{+}\only<11->{*}(b\only<8-10>{+}\only<11->{*}c) +\] +\item<10-> Neutrales Element: $\only<8-10>{0}\only<11->{e}\in M$ +\[ +\only<8-10>{0+}\only<11->{e*} a += +a \only<8-10>{+0}\only<11->{*e} +\] +\end{enumerate} +\end{block}}% +\vspace{-15pt} +\uncover<12->{% +\begin{block}{Axiom 5 = Vollständige Induktion} +$X=\{n\in\mathbb{N}\;|\; \text{$P(n)$ ist wahr}\}$ +\begin{enumerate} +\item<13-> Verankerung: $0\in X$ +\item<14-> Induktionsannahme: $n\in X$ +\item<15-> Induktionsschritt: $n'\in X$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 56164b2..e10b0ab 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -4,6 +4,8 @@ % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % - -\folie{3/polynome.tex} -\folie{3/motivation.tex} +%\folie{1/peano.tex} +\folie{1/ganz.tex} +\folie{1/bruch.tex} +%\folie{3/polynome.tex} +%\folie{3/motivation.tex} |