From 15b6405261f267d24c509ed8f356d4eaffda1794 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 9 Sep 2021 16:25:47 +0200 Subject: Kapitel 7 --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex | 2 +- buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex | 2 +- buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex | 2 +- buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex | 26 ++- buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile | 8 +- buch/chapters/60-gruppen/images/c60.jpg | Bin 0 -> 142174 bytes buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf | Bin 0 -> 157193 bytes buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.tex | 68 ++++++ buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.jpg | Bin 0 -> 168776 bytes buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.pdf | Bin 0 -> 181775 bytes buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.tex | 45 ++++ buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 289 ++++++++++++++++---------- buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex | 287 +++++++++++++++++-------- buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex | 104 +++++---- buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex | 2 +- buch/papers/multiplikation/einlteung.tex | 2 +- buch/papers/munkres/teil3.tex | 2 +- buch/papers/spannung/teil1.tex | 4 +- buch/papers/uebersicht.tex | 16 ++ buch/papers/verkehr/section1.tex | 2 +- vorlesungen/slides/7/kommutator.tex | 6 +- 21 files changed, 615 insertions(+), 252 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/images/c60.jpg create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.tex create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.jpg create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.pdf create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.tex diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex index 1149e29..433f1e9 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex @@ -57,7 +57,7 @@ in denen die Multiplikation nicht kommutativ ist, die Multiplikation kein neutrales Element hat oder beides. \begin{definition} -\index{Ring mit Eins}% +\index{Ring!mit Eins}% Ein Ring $R$ heisst ein {\em Ring mit Eins}, wenn die Multiplikation ein neutrales Element hat. \index{Ring mit Eins}% diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex index 563b58a..1af91f8 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex @@ -19,7 +19,7 @@ Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. \label{buch:eigenwerte:def:spektrum} Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum {\em Eigenwert} \index{Eigenwert}% -\index{Eigenvekor}% +\index{Eigenvektor}% $\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. Die Menge \[ diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index 08f2105..b41da1d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -387,7 +387,7 @@ $A^k=0$. \begin{beispiel} Obere (oder untere) Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen sind nilpotent. -\index{Dreicksmatrix}% +\index{Dreiecksmatrix}% Wir rechnen dies wie folgt nach. Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{i\!j}$ \[ diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex index 3b1abc1..872a241 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex @@ -9,22 +9,40 @@ \rhead{} Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder physikalischen Systemen zu beschreiben. +\index{Symmetrie}% +\index{physikalisches System}% Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu +\index{diskrete Symmetrie}% +\index{Symmetrie!diskret}% +\index{Spiegelung}% auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer -phyisikalischen Grösse über die Zeit. +\index{kontinuierliche Symmetrie}% +\index{Symmetrie!kontinuierlich}% +\index{Translation}% +physikalischen Grösse über die Zeit. Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können, die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen. Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen +\index{Stetigkeit}% +\index{Differenzierbarkeit}% zu sprechen. Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe, -die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus +die zusätzliche differenzierbare Struktur macht daraus eine sogenannte Lie-Gruppe. -Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten -Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen +\index{Lie-Gruppe}% +Die Ableitungen nach einem Parameter sind nicht mehr Gruppenelemente, +wie man nach allem, was man in der Analysis-Grundvorlesung +gelernt hat, vielleicht erwarten würde. +Sie liegen in der sogenannten Lie-Algebra, +einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen +\index{Lie-Algebra}% +\index{antisymmetrisch}% Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt. +\index{Lie-Klammer}% +\index{Kommutator}% Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft, so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile index 3ed39e5..294ecfa 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile @@ -3,7 +3,8 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf +all: phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf \ + rodriguez.pdf nichtkomm.pdf phasenraum.pdf: phasenraum.tex pdflatex phasenraum.tex @@ -23,3 +24,8 @@ sl2.pdf: sl2.tex scherungen.pdf: scherungen.tex pdflatex scherungen.tex +rodriguez.pdf: rodriguez.tex rodriguez.jpg + pdflatex rodriguez.tex + +nichtkomm.pdf: nichtkomm.tex c60.jpg + pdflatex nichtkomm.tex diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/c60.jpg b/buch/chapters/60-gruppen/images/c60.jpg new file mode 100644 index 0000000..2bc77e7 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/60-gruppen/images/c60.jpg differ diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf new file mode 100644 index 0000000..8b66ea3 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf differ diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.tex new file mode 100644 index 0000000..53cf87a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% nichtkomm.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{c60.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\coordinate (A) at (-0.3,3); +\coordinate (B) at (-1.1,2); +\coordinate (C) at (-2.1,-1.2); +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] + (A) + to[out=-143,in=60] + (B) + to[out=-120,in=80] + (C); +%\fill[color=red] (B) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (-1.2,1.5) [above left] {$R_{x_1,\alpha}$}; +\coordinate (D) at (0.3,3.2); +\coordinate (E) at (1.8,2.8); +\coordinate (F) at (5.2,-0.3); +\draw[->,color=blue,line width=1.4pt] + (D) + to[out=-10,in=157] + (E) + to[out=-23,in=120] + (F); +%\fill[color=blue] (E) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (2.4,2.4) [above right] {$R_{x_2,\beta}$}; +\draw[->,color=darkgreen,line width=1.4pt] + (0.7,-3.1) to[out=1,in=-160] (3.9,-2.6); +\node[color=darkgreen] at (2.5,-3.4) {$R_{x_3,\gamma}$}; + +\node at (6.4,-2.9) {$x_1$}; +\node at (-0.2,3.8) {$x_3$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.jpg b/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.jpg new file mode 100644 index 0000000..5c49700 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.jpg differ diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.pdf new file mode 100644 index 0000000..d947fe1 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.pdf differ diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.tex new file mode 100644 index 0000000..8544739 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/rodriguez.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +% +% 3dimagetemplate.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{rodriguez.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node[color=blue] at (0.6,3.0) {$\vec{k}\mathstrut$}; +\node[color=red] at (1.8,-1.0) [below right] {$\vec{x}\mathstrut$}; +\node[color=darkgreen] at (-4.5,1.0) [below left] + {$\vec{x}\times\vec{k}\mathstrut$}; +\node[color=yellow] at (1.9,-0.5) [right] {$\vec{x}-(\vec{x}\cdot\vec{k})\vec{k}$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index cee8510..0f6429f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \rhead{Lie-Algebren} Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen -Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Vektorraum $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können. Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer Mannigfaltigkeit. @@ -27,6 +27,7 @@ Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ übereinstimmt. +\index{Vektorprodukt}% % % Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe @@ -78,12 +79,12 @@ I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots \intertext{% Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden -sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der -Einparameteruntergruppe von $A+B$} +sich aber für $t>0$ und sie unterscheiden sich von der +Einparameteruntergruppe} e^{(A+B)t} &= I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots -\intertext{Für die Unterschiede finden wir} +\intertext{von $A+B$. Für die Unterschiede finden wir} e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} &= \biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 @@ -110,15 +111,19 @@ e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} = \phantom{-}[A,B]t^2+\ldots \end{align*} -wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. +wobei $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. \begin{definition} \label{buch:gruppen:def:kommutator} -Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix +Der {\em Kommutator} zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix $[A,B]=AB-BA$. +\index{Kommutator}% +\index{Lie-Klammer}% \end{definition} Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da +\index{bilinear}% +\index{antisymmetrisch}% \begin{align*} [\lambda A+\mu B,C] &= @@ -139,11 +144,13 @@ AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]. Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$ Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied -zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$. +zwischen den +$ e^{At} e^{Bt} $ +und +$ e^{Bt} e^{At} $. Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab. - \subsubsection{Die Jacobi-Identität} Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft: \begin{align*} @@ -182,6 +189,7 @@ Identität. \label{buch:gruppen:def:jacobi} Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn +\index{Jacobi-Identität}% \[ [u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0 \] @@ -199,23 +207,26 @@ Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt \] welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. +\index{Lie-Algebra}% \end{definition} Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet. $LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$. -Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +Die {\em Exponentialabbildung} $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +\index{Exponentialabbildung}% ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$. Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden. Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden -sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der +sind, verwenden wir die Notationskonvention, dass der Name der Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist. Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also -$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$, +$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{so}(n)$, +\index{so(n)@$\operatorname{so}(n)$}% die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist $L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$. - +\index{sln(r)@$\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$}% % % Die Lie-Algebra von SO(3) @@ -229,34 +240,126 @@ Solche Matrizen haben die Form \Omega = \begin{pmatrix} - 0 & \omega_3&-\omega_2\\ --\omega_3& 0 & \omega_1\\ - \omega_2&-\omega_1& 0 + 0 &-\omega_3& \omega_2\\ + \omega_3& 0 &-\omega_1\\ +-\omega_2& \omega_1& 0 \end{pmatrix} \] +Die antisymmetrischen Matrizen +\[ +\omega_{23} += +\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}, +\quad +\omega_{31} += +\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}, +\quad +\omega_{12} += +\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\] +bilden eine Basis für $\operatorname{so}(3)$, man kann +\[ +\Omega += +\omega_1\omega_{23} ++ +\omega_2\omega_{31} ++ +\omega_3\omega_{12} +\] +schreiben. Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. -Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist +Die Kommutatoren der Basisvektoren sind +\begin{equation} +\setlength\arraycolsep{4pt} +\begin{aligned} +[\omega_{23},\omega_{31}] +&= +\begin{pmatrix} +0&-1&0\\ +1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{12}, +%\\ +& +[\omega_{31},\omega_{12}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&-1\\ +0&1&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{23}, +%\\ +& +[\omega_{12},\omega_{23}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +0&0&0\\ +-1&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{31}, +\end{aligned} +\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} +\end{equation} +wie man durch direkte Rechnung bestätigt. +Diese Regeln stimmen mit den Vektorprodukten der Standardbasisvektoren +in $\mathbb{R}^3$ überein. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf} +\caption{Der Kommutator zweier Drehungen um die $x_1$ und $x_2$ +Achse ist eine Drehung um die $x_3$-Achse. +\label{buch:lie:fig:kommutator}} +\end{figure} +Abbildung~\ref{buch:lie:fig:kommutator} illustriert, wie der +Kommutator die Nichtkommutativität der Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ +wiedergibt. +Die Matrix $\omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$ +um die $x_1$-Achse, +die Matrix $\omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse. +Der Kommutator $[\omega_{23},\omega_{31}]=\omega_{12}$ beschreibt in +niedrigster Ordnung den Unterschied, der entsteht, wenn man die +beiden Drehungen in verschiedenen Reihenfolgen ausführt. +Dies ist eine Drehung $R_{x_3,\gamma}$ um die $x_3$-Achse. + +Aus der Rodriguez-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir +bereits, dass die Ableitung der Drehung das Vektorprodukt +$\vec{\omega}\times\vec{x}$ ist. +Dieses kann jedoch auch als +$\Omega\vec{x} = \vec{omega}\times\vec{x}$ +ausgedrückt werden. + +Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $\vec{x}$ ist \[ (I+t\Omega) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\ --t\omega_3& 1 & t\omega_1\\ - t\omega_2&-t\omega_1& 1 + 1 &-t\omega_3& t\omega_2\\ + t\omega_3& 1 &-t\omega_1\\ +-t\omega_2& t\omega_1& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ -x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ -x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) +x_1+t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ +x_2+t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ +x_3+t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) \end{pmatrix} = -x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x +\vec{x}+ t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x = -x+ tx\times \omega. +\vec{x}+ t\vec{\omega}\times \vec{x}. \] Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung um die Achse $\omega$. @@ -271,9 +374,9 @@ mit Hilfe der Abbildung \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 + 0 &-v_3& v_2\\ + v_3& 0 &-v_1\\ +-v_2& v_1& 0 \end{pmatrix}. \] Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ @@ -285,56 +388,56 @@ UV-VU \\ &= \begin{pmatrix} - 0 & u_3&-u_1\\ --u_3& 0 & u_2\\ - u_1&-u_2& 0 + 0 &-u_3& u_2\\ + u_3& 0 &-u_1\\ +-u_2& u_1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 + 0 &-v_3& v_2\\ + v_3& 0 &-v_1\\ +-v_2& v_1& 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 + 0 &-v_3& v_2\\ + v_3& 0 &-v_1\\ +-v_2& v_1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 0 & u_3&-u_1\\ --u_3& 0 & u_2\\ - u_1&-u_2& 0 + 0 &-u_3& u_2\\ + u_3& 0 &-u_1\\ +-u_2& u_1& 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1 - & u_1v_2 - u_2v_1 - & u_3v_2 - u_2v_3 -\\ -u_2v_1 - u_1v_2 - & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2 +-u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3 + u_2v_2 + & u_2v_1 - u_1v_2 & u_3v_1 - u_1v_3 \\ -u_2v_3 - u_3v_2 - & u_1v_3 - u_3v_1 - &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2 +u_1v_2 - u_2v_1 + & -u_3v_3-u_1v_1 + u_3v_3+u_1v_1 + & u_3v_2 - u_2v_3 +\\ +u_1v_3 - u_3v_1 + & u_2v_3 - u_3v_2 + &-u_2v_2-u_1v_1+ u_2v_2+u_1v_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 - & u_1v_2 - u_2v_1 - &-(u_2v_3-u_3v_2) + &-(u_1v_2 - u_2v_1) + &u_3v_1-u_1v_3 \\ --( u_1v_2 - u_2v_1) +u_1v_2 - u_2v_1 & 0 - & u_3v_1 - u_1v_3 + &-(u_2v_3 - u_3v_2) \\ -u_2v_3 - u_3v_2 - &-( u_3v_1 - u_1v_3) +-(u_3v_1 - u_1v_3) + & u_3v_2 - u_2v_3 & 0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$. Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass @@ -349,10 +452,10 @@ Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist. Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird. -In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation +In der Tat verwenden einige Lehrbücher statt der vertrauten Notation $\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel -das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} +auch das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} von Landau und Lifschitz. Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt @@ -361,56 +464,6 @@ Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell: es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur möglich ist. -Die antisymmetrischen Matrizen -\[ -\omega_{23} -= -\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} -\quad -\omega_{31} -= -\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} -\quad -\omega_{12} -= -\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} -\] -haben die Kommutatoren -\begin{equation} -\begin{aligned} -[\omega_{23},\omega_{31}] -&= -\begin{pmatrix} -0&0&0\\ -0&0&1\\ -0&-1&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{12} -\\ -[\omega_{31},\omega_{12}] -&= -\begin{pmatrix} -0&1&0\\ --1&0&0\\ -0&0&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{23} -\\ -[\omega_{12},\omega_{23}] -&= -\begin{pmatrix} -0&0&-1\\ -0&0&0\\ -1&0&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{31} -\end{aligned} -\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} -\end{equation} - \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$} Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$. @@ -448,13 +501,16 @@ A\in M_n(\mathbb{C} AA^*=I \} \] +\index{unitäre Gruppe}% +\index{Gruppe, unitär}% +\index{U(n)@$\operatorname{U}(n)$}% heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ derart, dass $\gamma(0)=I$. Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf -\begin{align*} +\begin{equation*} 0 = \frac{d}{dt} @@ -469,14 +525,17 @@ Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf + \dot{\gamma}(0)^* \quad\Rightarrow\quad -\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*. -A&=-A^* -\end{align*} +\dot{\gamma}(0)=-\dot{\gamma}(0)^* +\quad\Rightarrow\quad +A=-A^* +\end{equation*} Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen Matrizen. +\index{u(n)@$\operatorname{u}(n)$}% Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen Matrizen wieder anithermitesch ist: +\index{antihermitesch}% \begin{align*} [A,B]^* &= @@ -489,7 +548,7 @@ BA - AB -[B,A]. \end{align*} -Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$, +Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{i\!j}=-\overline{a}_{ji}$, für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$ oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$. Der Realteil von $a_{ii}$ ist @@ -510,6 +569,7 @@ imaginär. \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den spurlosen antihermiteschen Matrizen. +\index{su(n)@$\operatorname{su}(n)$}% Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: \[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} @@ -557,6 +617,7 @@ iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2} is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3} \end{align*} Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren +\index{Pauli-Matriizen}% \begin{align*} [\sigma_1,\sigma_2] &= @@ -623,7 +684,7 @@ Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte = -{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2 = --{\textstyle\frac12}i\sigma_2 +-{\textstyle\frac12}i\sigma_2. \end{align*} Die lineare Abbildung, die \begin{align*} @@ -631,7 +692,7 @@ Die lineare Abbildung, die \omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ \omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 \end{align*} -abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ +abbildet, ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ haben also die gleiche Lie-Algebra. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index e92c254..860f27d 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -16,11 +16,13 @@ Die Gruppe \] besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist. Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge -in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist +in $M_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$, sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit. -Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem -Abschnitt genauer untersucht werden sollen. +Doch auch alle anderen Matrizengruppen, +die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden sollen, +stellens ich als Untermannigfaltigkeiten von +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus. \subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen \label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}} @@ -74,8 +76,9 @@ Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation $l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist. -Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt, -die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten. +Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt. +Somit sind +die Matrizengruppen automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen @@ -115,7 +118,7 @@ enthalten. Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können. -Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der +Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{i\!j}(t)$ hat, dann ist der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch \[ \frac{d}{dt} @@ -152,7 +155,8 @@ Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor in $e=I$ ist. -Die Matrixexponentialfunktion +Die {\em Matrixexponentialfunktion} +\index{Matrixexponentialfunktion}% \[ e^{At} = @@ -184,7 +188,7 @@ $\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$} Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch Matrizen der Form \[ -D_{\alpha} +R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ @@ -196,36 +200,39 @@ Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit $\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. Die Abbildung \[ -D_{\bullet} +R_{\bullet} \colon \mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2) : -\alpha \mapsto D_{\alpha} +\alpha \mapsto R_{\alpha} \] hat die Eigenschaften -\begin{align*} -D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta} +\begin{equation} +\begin{aligned} +R_{\alpha+\beta}&= R_{\alpha}R_{\beta} \\ -D_0&=I +R_0&=I \\ -D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}. -\end{align*} -Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische +R_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}. +\end{aligned} +\label{buch:lie:so2matrizen} +\end{equation} +Daraus folgt zum Beispiel, dass $R_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische Funktion ist. -$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf +$R_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab. Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge -$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar, +$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto R_{\alpha}$ umkehrbar, die Umkehrung kann als Karte verwendet werden. Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und $\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$ in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die -$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt. +$R_{\alpha_1(g)}=R_{\alpha_2(g)}$ gilt. Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$ mit $k\in \mathbb{Z}$. In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein. -Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen +Die Kartenwechselabbildung ist also nur die Addition eines Vielfachen von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung. Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen. @@ -239,22 +246,27 @@ Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha} \] hat die Eigenschaften -\begin{align*} +\begin{equation} +\begin{aligned} f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta) \\ f(0)&=1 \\ f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z}, -\end{align*} -die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ +\end{aligned} +\label{buch:lie:so2komplex} +\end{equation} +die zu den Eigenschaften +\eqref{buch:lie:so2matrizen} der Abbildung $\alpha\mapsto R_{\alpha}$ analog sind. Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form -$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des +$z=e^{i\alpha}$. +Die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des Einheitskreises in der Ebene. Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom Betrag $1$. -$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl +$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für alle Zahlen $z,w\in S^1$ gilt $|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$. @@ -266,32 +278,32 @@ Damit kann man jetzt die Abbildung \colon S^1\to \operatorname{SO}(2) : -z\mapsto D_{\alpha(z)} +z\mapsto R_{\alpha(z)} \] konstruieren. -Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache +Da $R_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche -Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher +Matrix $R_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher wohldefiniert. $\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen \begin{align*} \varphi(z_1z_2) &= -D_{\alpha(z_1z_2)} +R_{\alpha(z_1z_2)} = -D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)} +R_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)} = -D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)} +R_{\alpha(z_1)}R_{\alpha(z_2)} = -\varphi(z_1)\varphi(z_2) +\varphi(z_1)\varphi(z_2), \\ \varphi(1) &= -D_{\alpha(1)} +R_{\alpha(1)} = -D_0 +R_0 = -I +I. \end{align*} Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$ in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$. @@ -301,7 +313,7 @@ in der komplexen Ebene identifiziert werden. \subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$} Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$ -mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden. +mit $\gamma(t) = R_{\alpha(t)}$ beschrieben werden. Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist \begin{align*} \frac{d}{dt} \gamma(t) @@ -334,24 +346,27 @@ Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist \cdot \dot{\alpha}(t) = -D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t). +R_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t). \end{align*} -Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$ -entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung -mit $\dot{\alpha}(t)$. +Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $R_\alpha$ +entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $R_\alpha$ und Skalierung +mit der Winkelgeschwindigkeit $\dot{\alpha}(t)$. +\index{Winkelgeschwindigkeit}% % % Isometrien von R^n % \subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$ \label{buch:gruppen:isometrien}} +Isometrien von $\mathbb{R}^n$ führen automatisch auf eine interessante +Lie-Gruppe. \subsubsection{Skalarprodukt} Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch $n\times n$-Matrizen beschrieben werden. Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten, bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll. -Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn +Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt nicht, wenn für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt $\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$. Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden: @@ -372,17 +387,20 @@ Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen. Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$. -Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$. -Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente -$a_{ij}=e_i^tAe_j$. +Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{i\!j}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$. +Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat folglich die Matrixelemente +$a_{i\!j}=e_i^tAe_j$. \subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$} Die Matrixelemente von $A^tA$ sind -$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$ -sind diejenigen der Einheitsmatrix, -die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$. +$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{i\!j}$ +also die der Einheitsmatrix. +Die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$. Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen. -Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht +\index{orthogonale Matrix}% +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen +\index{O(n)@$\operatorname{O}(n)$}% +von $\mathbb{R}^n$ besteht daher aus den Matrizen \[ \operatorname{O}(n) @@ -401,7 +419,7 @@ n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}2. \] -Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional. +Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $\operatorname{O}(2)$ eindimensional. \subsubsection{Tangentialvektoren} Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit @@ -440,16 +458,17 @@ A^t&=-A \] Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau die antisymmetrischen Matrizen. +\index{antisymmetrisch}% Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix $J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d} gezeigt wurde. -Für jedes Paar $i,color=darkgreen,line width=1.4pt] (0.7,-3.1) to[out=1,in=-160] (3.9,-2.6); -\node[color=darkgreen] at (2.5,-3.4) {$D_{z,\gamma}$}; +\node[color=darkgreen] at (2.5,-3.4) {$R_{x_3,\gamma}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} -- cgit v1.2.1