From e42e7f03932de6d3d0966bb603c58f7e603b240c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 2 Aug 2021 16:46:52 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1835758 -> 1830948 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 5 +++-- buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex | 1 + 5 files changed, 6 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 4552bed..3e16d81 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -42,7 +42,7 @@ Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist. \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom. In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden. \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. - Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der Ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. + Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder. \end{enumerate} Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 41e0d4c..7620df1 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -16,7 +16,7 @@ Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur di Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. -Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} +Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. \subsection{Polynom-Ansatz diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index 4a44333..2666d1e 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index bb74dfb..3b0c421 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -8,6 +8,7 @@ \usepackage{pgfplotstable} \usepackage{csvsimple} \usepackage{filecontents} +\definecolor{darkgreen}{RGB}{0,0.6,0} \begin{document} @@ -30,7 +31,7 @@ \begin{tikzpicture}[] \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] - \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; \end{axis} \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; @@ -47,7 +48,7 @@ \node(empfangen) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex index 141d2ce..db35734 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex @@ -1,3 +1,4 @@ + \begin{tikzpicture}[] %--------------------------------------------------------------- -- cgit v1.2.1 From c059993bcc52aef36aee3a9c5d0b43777db9b061 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 4 Aug 2021 10:10:17 +0200 Subject: dtf ausgeschrieben --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 153 +++++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 95 insertions(+), 58 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 3e16d81..362f4eb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,85 +1,122 @@ % % dtf.tex -- Idee mit DFT % -\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourientransformation +\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourietransformation. -Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. -Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourietransformation auf Fehler reagiert. -Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourietransformation. +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt, +durch die Codierung, auf viele übertragene Werte verteilt werden. +Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, +sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. +\par +Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, +eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. +Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist. +Forausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. +\par +Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation +für Codierung und Decodierung zu verwenden. -\subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang -\label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +\subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation +\label{reedsolomon:subsection:sendbsp}} + +Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. +Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, +der später erklärt wird, analog ist. +\par +Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler rekonstruieren. +Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. - -\subsubsection{Beispiel einer Übertragung -\label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} -Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, -16 Fehler erkennen und rekonstruieren. - -Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. -In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für Schritt, -und hier werden die einzelne Schritte erklärt: -\begin{enumerate}[(1)] - \item Das Signal hat 64 die Daten $k$, hier zufällige Zahlen, welche übertragen werden sollen. - Zusätzlich soll nach 16 Fehler $t$, die rekonstruierbar sind abgesichert werden. - Das macht dann insgesamt $k + 2t = - 64 +2 \cdot 16= 96$ Übertragungszahlen. - (siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) - Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Nullzahlen Übertragen. - \item Nun werden mittels der diskreten Fourietransformation diese 96 codiert, transformiert. - Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden, auch die Fehlerkorrekturstellen Nullzahlen. - \item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. - Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. -Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist.Die Fehlerskala ist rechts. - \item Dieses wird nun Empfangen, man kann keine Fehler erkennen, da diese soviel kleiner sind. - Für das Decodieren wird die Inverse Fourietransformation angewendet, und alle Fehler werden mittransformiert. - \item Nun sieht man die Fehler im decodierten Signal in den Übertragungszahlen. - Von den Übertragungsstellen 64 bis 96 erkennt man, das diese nicht mehr Null sind. - \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom. - In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden. - \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. - Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. - Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder. - \end{enumerate} - Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, - jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. +\par \begin{figure} \centering - \resizebox{1.1\textwidth}{!}{ + \resizebox{\textwidth}{!}{ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } - \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} + \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}} \label{fig:sendorder} \end{figure} +In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt illustriert. +In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: +\begin{enumerate}[(1)] + \item Das Signal ist mit 64 zufälligrn, ganzzahligen Datenwerten, zwischen 0 und 10. + Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. + Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen + \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}. + Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der länge $N =96$. + \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. + Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. + \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene Werte durch Fehler, + verändert werden. + \par + Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 7, 21 und 75(\textcolor{red}{rote Kurve}), + die um einen Betrag verändert werden. + Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. + Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch Inverse Fourier-Transformation vollständig + wiederhergestellt werden. + Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. + \par + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen, Werte abweichend von Null, auftreten. + Somit haben wir bereits Fehler erkannt. + \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennenwir das Syndrom. + Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die Inverse Fourier-Transformation erzeugt. + \item Um die Fehler zu rekonstruieren, ann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. + Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler. + Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu localisieren. +\end{enumerate} +Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, +dass die Fehlerwerte auch nur ein drittel so gross sind. +\par +Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. +Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. -Nun zur Definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als +\subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}} +Im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:polynomansatz} +wurden Werte eines Polynoms zur Codierung verwendet. +Die 7 Übertragungspunkte könnten ein Polynom +\begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{p(x)} + = + \textcolor{blue}{a_0} + \textcolor{blue}{a_1}x + \textcolor{blue}{a_2}x^2 + + \textcolor{gray}{a_3}x^3 + \textcolor{gray}{a_4}x^4 + \textcolor{gray}{a_5}x^5 + + \textcolor{gray}{a_6}x^6 +\label{reedsolomon:equationpoly} +\end{equation} +sechsten Grades bestimmen. +Durch die Wahl von $\textcolor{gray}{a_3=0}$, $\textcolor{gray}{a_4=0}$, $\textcolor{gray}{a_5=0}$, $\textcolor{gray}{a_6=0}$ +erzeugen wir die, für die Fehlerkorrektur, +nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. +\par +Die Analogie geht aber noch weiter. + Schreibt man + \( w = + e^{-\frac{2\pi j}{N} k}\) + \label{reedsolomon:DFT_summand}, damit wird aus der Formel \begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} - {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}. + {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} - Wenn man nun + für die Diskrte-Fourier-Transformation das Polynom \begin{equation} - w = - e^{-\frac{2\pi j}{N} k} - \label{reedsolomon:DFT_summand} + q(w)= + \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1} + \label{reedsolomon:DFT_polynom} \end{equation} - ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man + Im Beispiel werden aber Werte des des Polynoms $q(w)$ für verschieden + \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots , k=N-1\) übermittelt. \begin{equation} - \hat{c}_{k}= - \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) - \label{reedsolomon:DFT_polynom} + \textcolor{darkgreen}{q(w)}= + \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + + \frac{\textcolor{blue}{{f}_63}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_64}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} + \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} - was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -Die Polynominterpolation und die Fourietransformation rechnen beide mit reelen Zahlen. -Wenn die Fehlerabweichung sehr sehr klein ist, erkennt man diese irgendwann nicht mehr. -Zusätzlich muss mann immer Grenzen bestimmen auf wieviel Stellen gerechnet wird und wie die Fehler erkannt werden im Locator. -Deshalb haben Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen. +Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist im die Fehler zu erkennen und rekonstruieren. +Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. -- cgit v1.2.1 From 4215ac353f9234914d5564f82f85045debb40d0b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 4 Aug 2021 11:22:14 +0200 Subject: save changes --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 7 ++++-- buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 39 ++++++++++++++++++++------------ 2 files changed, 29 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 362f4eb..a975da8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -112,11 +112,14 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{q(w)}= \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + - \frac{\textcolor{blue}{{f}_63}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_64}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_{63}}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{64}}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} +Das syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) +\par Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen. -Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist im die Fehler zu erkennen und rekonstruieren. +Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, +dann müssen wir von den Reelen-Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index 3b0c421..77c4dc3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \usepackage{pgfplotstable} \usepackage{csvsimple} \usepackage{filecontents} -\definecolor{darkgreen}{RGB}{0,0.6,0} + \begin{document} @@ -29,12 +29,13 @@ \node(codiert) [] { \begin{tikzpicture}[] - \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, - xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] - \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}] + \addplot[color=white] {0}; \end{axis} - \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] - \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert}}, axis y line*=left] + \addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; \\ @@ -47,8 +48,12 @@ \node(empfangen) [] { \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ @@ -61,7 +66,12 @@ \node(locator) [] { \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}]; + \addplot[color=black!60] {0.3}; + \end{axis} + + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}},axis y line*=left] \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ @@ -75,7 +85,6 @@ \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); - \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); %Arrows \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); @@ -86,10 +95,10 @@ %item \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {6}; \end{tikzpicture} \end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 8f906697fbe2f35756537e95e034ae8f88f8f026 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Fri, 6 Aug 2021 13:38:46 +0200 Subject: Corrections from feedback --- buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 2 +- buch/papers/punktgruppen/intro.tex | 4 ++-- buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 2 +- buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 27 ++++++++++++++------------- 4 files changed, 18 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 45761f8..4b93927 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -145,7 +145,7 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklas \begin{itemize} \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden. Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher in der Kristallographie nicht relevant. - \item Dank Abschintt \ref{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. + \item Dank Abschnitt \ref{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie. Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen, da \(360^\circ/5 = 72^\circ\) was nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist. \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex index 0a0cc86..e3f0226 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{Einleitung} Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren. -Auch wenn man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen. +Auch wenn man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen, sich mit Kristallen zu beschäftigen. In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt. Zu Beginn werden wir zeigen, was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen. Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben. @@ -10,7 +10,7 @@ Diese erlauben alle möglichen Kristalle nach ihren Symmetrien in erstaunlich we Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf physikalische Eigenschaften schliessen. Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität. Piezoelektrizität beschreibt einen Effekt, ohne welchen diverse Altagsgegenständen nicht besonders nützlich wären. -Wie zum Beispiel sorgt er in den allermeisten Feuerzeugen für die Zündung. +Zum Beispiel sorgt er in den allermeisten Feuerzeugen für die Zündung. Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten. %% vim:linebreak breakindent showbreak=.. spell spelllang=de: diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex index 334e4e7..1cf9b98 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex @@ -73,5 +73,5 @@ Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu einer kon Drückt der Nutzende stärker zu, entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer, welcher auf das Piezoelement aufschlägt. Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung. Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden. -Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich am anderen zu versuchen. +Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich mit dem anderen zu versuchen. diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 51620a4..4a8d911 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -20,11 +20,11 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi \subsection{Geometrische Symmetrien} In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind. -Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. +Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an der es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt. -Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. +Das letzte Beispiel auf der rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. -Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden. +Zum Beispiel kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden. Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. \begin{definition}[Symmetriegruppe] @@ -45,7 +45,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. - Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. + Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \{ g^k : k \in \mathbb{Z} \}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. \end{definition} \begin{beispiel} Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\). @@ -57,11 +57,11 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ C_n = \langle r \rangle - = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} + = \{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\} \] der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt. - In ähnlicher Weise, aber weniger interessant enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). + In ähnlicher Weise, aber weniger interessant, enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). \end{beispiel} Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem @@ -70,7 +70,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen. %@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? \begin{definition}[Erzeugendensystem] Jede diskrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden. - Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein. + Wir lassen \(g_1, g_2, g_3, \ldots\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein. Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben. Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensystem. @@ -84,10 +84,10 @@ komplexere Strukturen aufbauen. Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe \begin{align*} D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\ - &= \left\{ + &= \{ \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} - \right\}. - \end{align*} \qedhere + \}. \qedhere + \end{align*} \end{beispiel} Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. @@ -115,11 +115,12 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \end{beispiel} \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe] - Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet. + Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus \[ - \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}). + \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}), \] - Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\). + der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet. + Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man \(\Phi : G \times V \to V\) definiert. \end{definition} \begin{beispiel} Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. -- cgit v1.2.1 From f93391f38bb4fcc1aaad4a22fa23fca78375cf82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 11:19:04 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 96 +++++++++++++++---------- buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ 8 files changed, 729 insertions(+), 39 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 7620df1..c071b5e 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -5,60 +5,78 @@ \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, -und so jeweilige Fehler zu erkennen. + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen. +Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll, +dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, -zu Übertragen und Fehler zu erkennen. + zu Übertragen und Fehler zu erkennen. Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, -man kann sogar einige Fehler korrigieren. + man kann sogar einige Fehler korrigieren. Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), -was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. +Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. -Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt. -\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, -welche uns dann das Polynom +Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. +In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code. +Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen. +\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, + welche uns dann das Polynom \begin{equation} p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} -ergeben. +ergibt. +\par +Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. +Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte, + das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. +Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, + sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden. +Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? +Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} -dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. + dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, -mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, -\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, -\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, -\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ -Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. -Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. -Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}). -Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. -Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den -\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden. -Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? -Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, -gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom} -Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt. -Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet. -Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. -\end{beispiel} + mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, + \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, + \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, + \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ +Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und + alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen. +Dabei gingen wir von keinem Fehler aus, + hat es Fehler in der Übertragunge gegeben. +Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: +\begin{enumerate} + \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. + Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, + ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler. + Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. + \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden + Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden. + \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. + Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist. + \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden + \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. + Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. + Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen. + Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden. + \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden + \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. + \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. +\end{enumerate} \begin{figure}%[!ht] \centering @@ -71,13 +89,13 @@ Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Üb \section{Fehlerkorekturstellen bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, -muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. + muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, -brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. + brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. \begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden. Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom, -maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. + maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. \end{beispiel} Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung @@ -86,7 +104,7 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, =2 \label{reedsolomon:equation2} \end{equation} -zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. + zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. \begin{table} \centering diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt new file mode 100644 index 0000000..4a481d8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,24.0186013379153 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 +13,44.9845039238714 +14,13.5324640263625 +15,10.1736266929292 +16,4.58257569495584 +17,23.217268502288 +18,16.5769107917917 +19,6.89948680823017 +20,4.84567134895776 +21,10.4219666223433 +22,43.6179140616243 +23,35.9073375743642 +24,15.0332963783729 +25,21.7594021268945 +26,23.2496572716993 +27,17.9815599423852 +28,11.3577742151117 +29,38.467599433197 +30,28.3035029562577 +31,9.54321919833388 +32,21.377558326432 +33,17.6292439561917 +34,12.6951848921471 +35,20.0667752354841 +36,22.9097309529208 +37,8.78894645948548 +38,13.360682005498 +39,25.1757616314718 +40,38.0357773686457 +41,18.4633287776253 +42,19.0584505869806 +43,10.8631093309173 +44,12.6147770818983 +45,12.5398140021274 +46,34.901983501949 +47,22.3480442021702 +48,6 +49,22.3480442021702 +50,34.901983501949 +51,12.5398140021274 +52,12.6147770818983 +53,10.8631093309173 +54,19.0584505869806 +55,18.4633287776253 +56,38.0357773686457 +57,25.1757616314718 +58,13.360682005498 +59,8.78894645948548 +60,22.9097309529208 +61,20.0667752354841 +62,12.6951848921471 +63,17.6292439561917 +64,21.377558326432 +65,9.54321919833388 +66,28.3035029562577 +67,38.467599433197 +68,11.3577742151117 +69,17.9815599423852 +70,23.2496572716993 +71,21.7594021268945 +72,15.0332963783729 +73,35.9073375743642 +74,43.6179140616243 +75,10.4219666223433 +76,4.84567134895776 +77,6.89948680823017 +78,16.5769107917917 +79,23.217268502288 +80,4.58257569495584 +81,10.1736266929292 +82,13.5324640263625 +83,44.9845039238714 +84,32.1114345314062 +85,24.5237955316204 +86,15.6627133315015 +87,12.3214904922455 +88,18.2010889773887 +89,37.3066577242559 +90,24.0186013379153 +91,69.1793197789512 +92,23.8408857476069 +93,12.1189172092243 +94,41.9840308053375 +95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt new file mode 100644 index 0000000..f6221e6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,6.05208333333333 +1,6.02602539785853 +2,0.0261327016093151 +3,5.98927158561317 +4,4.019445724874 +5,0.0247005083663722 +6,4.97798278395618 +7,1.95246440445439 +8,0.974000110512201 +9,2.00528527696027 +10,1.00071804528155 +11,1.97630907888264 +12,0.0232923747656228 +13,6.01302820392331 +14,3.03567381915226 +15,5.02435590137329 +16,7.00526061008995 +17,5.00739608089369 +18,5.02211514480064 +19,4.02175864806658 +20,1.00236543833726 +21,4.98147315261261 +22,8.97728828610336 +23,8.98481304394618 +24,2.98958333333333 +25,1.98491220960989 +26,5.97728835934715 +27,5.98144124907561 +28,4.00163839998525 +29,2.02176249296313 +30,9.02210713874162 +31,1.00742763919872 +32,1.00557258081044 +33,1.02435888848794 +34,2.03577412756745 +35,6.01302820392331 +36,5.97917574041123 +37,0.976310374034338 +38,9.00062625447998 +39,7.00515849238528 +40,6.97396416790894 +41,0.95256880864368 +42,8.97794719866783 +43,9.01850701506487 +44,10.0194409579917 +45,8.98926601525997 +46,7.9866590265379 +47,5.02603060999077 +48,2.05208333333333 +49,4.02603841132848 +50,0.986882897867895 +51,0.0177592928994285 +52,9.01944131204563 +53,3.0185365665612 +54,2.97803642439316 +55,2.95243072164649 +56,4.97396651395488 +57,6.00516695947321 +58,0.0143895905726619 +59,7.97630812771393 +60,5.97917574041123 +61,9.01298821331865 +62,3.03567381915226 +63,4.02435609145793 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt new file mode 100644 index 0000000..38c13b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,23.6290258699579 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 +13,44.9845039238714 +14,13.5324640263625 +15,10.1736266929292 +16,4.58257569495584 +17,23.217268502288 +18,16.5769107917917 +19,6.89948680823017 +20,5.55320238736303 +21,10.4219666223433 +22,43.6179140616243 +23,35.9073375743642 +24,15.0332963783729 +25,21.7594021268945 +26,23.2496572716993 +27,17.9815599423852 +28,11.3577742151117 +29,38.467599433197 +30,28.3035029562577 +31,9.54321919833388 +32,21.377558326432 +33,17.6292439561917 +34,12.6951848921471 +35,20.0667752354841 +36,22.9097309529208 +37,8.78894645948548 +38,13.360682005498 +39,25.1757616314718 +40,38.0357773686457 +41,18.4633287776253 +42,19.0584505869806 +43,10.8631093309173 +44,12.6147770818983 +45,12.5398140021274 +46,34.901983501949 +47,22.3480442021702 +48,6 +49,22.3480442021702 +50,34.901983501949 +51,12.5398140021274 +52,12.6147770818983 +53,10.8631093309173 +54,19.0584505869806 +55,18.4633287776253 +56,38.0357773686457 +57,25.1757616314718 +58,13.360682005498 +59,8.78894645948548 +60,22.9097309529208 +61,20.0667752354841 +62,12.6951848921471 +63,17.6292439561917 +64,21.377558326432 +65,9.54321919833388 +66,28.3035029562577 +67,38.467599433197 +68,11.3577742151117 +69,17.9815599423852 +70,23.2496572716993 +71,21.7594021268945 +72,15.0332963783729 +73,35.9073375743642 +74,44.6135417384784 +75,10.4219666223433 +76,4.84567134895776 +77,6.89948680823017 +78,16.5769107917917 +79,23.217268502288 +80,4.58257569495584 +81,10.1736266929292 +82,13.5324640263625 +83,44.9845039238714 +84,32.1114345314062 +85,24.5237955316204 +86,15.6627133315015 +87,12.3214904922455 +88,18.2010889773887 +89,37.3066577242559 +90,24.0186013379153 +91,69.1793197789512 +92,23.8408857476069 +93,12.1189172092243 +94,41.9840308053375 +95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt new file mode 100644 index 0000000..23f1a83 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,2 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,2 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,1 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt new file mode 100644 index 0000000..b28988c --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0.0301224340567056 +1,0.141653026854885 +2,0.138226631799377 +3,0.0339903276086929 +4,0.310585462557496 +5,0.551427312631385 +6,0.628514858396814 +7,0.51102386251559 +8,0.275861355940449 +9,0.0502396354182268 +10,0.090185502547573 +11,0.110759344849756 +12,0.0684618905063001 +13,0.0362855426992259 +14,0.0697096919781468 +15,0.109288539370248 +16,0.0923187999496653 +17,0.0512198536768088 +18,0.274192386987782 +19,0.51349614953654 +20,0.633154426602466 +21,0.553283743533942 +22,0.307840573214514 +23,0.0341664350328392 +24,0.140270857957 +25,0.138527177682831 +26,0.029637547736156 +27,0.0816962563186052 +28,0.0944383203811073 +29,0.0263932110686261 +30,0.0585881348402056 +31,0.0737117341599984 +32,0.0239973937701886 +33,0.0464215468420038 +34,0.0616218854220964 +35,0.0221963086695009 +36,0.0390764778127646 +37,0.0537637218396934 +38,0.0208333333333332 +39,0.0343107696069045 +40,0.0483441215964552 +41,0.0198077862118806 +42,0.0311207395968725 +43,0.0444955089373458 +44,0.0190533549944159 +45,0.0290049795038723 +46,0.0417536642697558 +47,0.0185261550443084 +48,0.0277059929762261 +49,0.0398606084144816 +50,0.0181978813094817 +51,0.0271098219177584 +52,0.0386836665079729 +53,0.0180518611046889 +54,0.0272138992557141 +55,0.0381891287148314 +56,0.0180809085252469 +57,0.0281418959420061 +58,0.0384596362516637 +59,0.0182864418432272 +60,0.0302250788423173 +61,0.0397874837986351 +62,0.0186786556701694 +63,0.0342489348284216 +64,0.0429932815348666 +65,0.0192777878591759 +66,0.0422808966931999 +67,0.0506815964680563 +68,0.0201167847752226 +69,0.0615048274405271 +70,0.0744953894508454 +71,0.021246054596492 +72,0.142602265816215 +73,0.273502052865436 +74,0.325309673287599 +75,0.272705389655349 +76,0.149074257381345 +77,0.0247199397628712 +78,0.0680137859566976 +79,0.075388270873485 +80,0.0273637831604903 +81,0.0407867704453274 +82,0.0632964886441949 +83,0.0309749128751093 +84,0.0315202035072035 +85,0.0627625211892184 +86,0.0360843918243497 +87,0.02794920551495 +88,0.0677921493367236 +89,0.0437167157553067 +90,0.0270640150996317 +91,0.0783380025231622 +92,0.0561293738314281 +93,0.0278742033265809 +94,0.0981443889498639 +95,0.0794543457386548 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt new file mode 100644 index 0000000..c4fa5f8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,6 +1,6 +2,0 +3,6 +4,4 +5,0 +6,5 +7,2 +8,1 +9,2 +10,1 +11,2 +12,0 +13,6 +14,3 +15,5 +16,7 +17,5 +18,5 +19,4 +20,1 +21,5 +22,9 +23,9 +24,3 +25,2 +26,6 +27,6 +28,4 +29,2 +30,9 +31,1 +32,1 +33,1 +34,2 +35,6 +36,6 +37,1 +38,9 +39,7 +40,7 +41,1 +42,9 +43,9 +44,10 +45,9 +46,8 +47,5 +48,2 +49,4 +50,1 +51,0 +52,9 +53,3 +54,3 +55,3 +56,5 +57,6 +58,0 +59,8 +60,6 +61,9 +62,3 +63,4 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,0 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt new file mode 100644 index 0000000..8ca9eed --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,0 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,0 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 -- cgit v1.2.1 From 14c4c9bde57c1cd89510719439bdd31374ddc280 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 14:11:14 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 4 +- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 116 ++++++++++------------ buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1830948 -> 1835588 bytes 4 files changed, 55 insertions(+), 67 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index a975da8..179d90d 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -28,7 +28,7 @@ Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler re Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\par + \begin{figure} \centering \resizebox{\textwidth}{!}{ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 074df05..ca4f398 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um, -das Problem der Fehler bei der Datenübertragung, zu lösen. +Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S.Reed und Gustave Solomon, im Jahre 1960, entwickelt. +Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst. In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index c071b5e..3061498 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -4,79 +4,69 @@ \section{Idee \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} -Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, - also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen. +Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen. Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll, dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, - zu Übertragen und Fehler zu erkennen. -Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, - man kann sogar einige Fehler korrigieren. + zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. -Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} -\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. +Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert. +Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung. +In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} +ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. +Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. -In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code. +Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen. -\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, - welche uns dann das Polynom +\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, + welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom \begin{equation} p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} \label{reedsolomon:equation1} -\end{equation} -ergibt. +\end{equation}. \par Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte, das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. -Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, - sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden. +Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, + wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet. Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} - dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. -Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, - mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, - \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, - \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, - \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ -Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und - alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen. -Dabei gingen wir von keinem Fehler aus, - hat es Fehler in der Übertragunge gegeben. + dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 . +In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, +die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün. +Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. +Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen. +Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. +bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren? Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: -\begin{enumerate} - \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. - Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, - ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler. +\begin{itemize} + \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. + Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. - \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden - Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden. - \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. - Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten. - Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist. - \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden - \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. + \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. + Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist. + \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen. Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden. - \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden - \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. - \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. -\end{enumerate} +\end{itemize} \begin{figure}%[!ht] \centering @@ -85,27 +75,16 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} - -\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen -\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} -Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, - muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, - brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. -Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. -\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden. -Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom, - maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. -Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. \end{beispiel} -Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung -\begin{equation} - \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}} - =2 - \label{reedsolomon:equation2} -\end{equation} - zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. +\section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen +\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} +Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, + muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. +Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz. +Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, + erkennt man almählich ein Muster. \begin{table} \centering \begin{tabular}{ c c | c} @@ -122,8 +101,17 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} +Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden. +Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr. +Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl +\begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{u}= + \textcolor{blue}{k}2\textcolor{red}{t} + \label{reedsolomon:equation2} +\end{equation}. -Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. -Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, -doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig. +Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. +Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht. +Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig. +Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index 2666d1e..dc34b2d 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 00406f140fd8a0680ef9d03a88ec032134e13566 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 14:22:04 +0200 Subject: + --- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 3061498..2142f88 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -106,7 +106,7 @@ Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr. Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= - \textcolor{blue}{k}2\textcolor{red}{t} + \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t} \label{reedsolomon:equation2} \end{equation}. -- cgit v1.2.1 From b147539fdc2367938af08293aa16808adf6260fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 14:22:30 +0200 Subject: plot-green --- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 59617 -> 59772 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf index 80d17d2..b455da5 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 0a784fbf3f8b5acf9103dc3587b4c1cfdcca688b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 11:43:48 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/main.tex | 2 -- buch/papers/munkres/teil1.tex | 8 +++---- buch/papers/munkres/teil3.tex | 52 +++++++++++++------------------------------ 3 files changed, 19 insertions(+), 43 deletions(-) diff --git a/buch/papers/munkres/main.tex b/buch/papers/munkres/main.tex index e5282dc..201e70b 100644 --- a/buch/papers/munkres/main.tex +++ b/buch/papers/munkres/main.tex @@ -13,8 +13,6 @@ \input{papers/munkres/teil1.tex} \input{papers/munkres/teil2.tex} \input{papers/munkres/teil3.tex} -\input{papers/munkres/teil4.tex} -\input{papers/munkres/teil5.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 3bec61d..a0cc739 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -45,13 +45,13 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} \] - -$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. + +$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ + +kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. -Die oben ersichtliche Matrix $A$ besitzt Matrix-Elemente. Die Elemente einer Matrix vom Typ $(n,n)$ mit Namen $A$ sind $a_{ij}$ wobei $i$ = 1,..., $n$ ist und $j$ = 1,...,$n$. $a_{ij}$ ist der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der Matrix . Zum Beispiel ist a21 das Element der 2. Zeile und 1. Spalte. $i$ wird auch der Zeilenindex, $j$ der Spaltenindex genannt. - \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \subsubsection{Netzwerk} diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index 964444c..692bfdf 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -41,53 +41,28 @@ Es gibt Fälle, in welchen das Ausgangsproblem keine quadratische Form besitzt. \subsection{Beispiel eines händischen Verfahrens \label{munkres:subsection:malorum}} -Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel erläutert werden. Es gibt eine Ausgangsmatrix. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer weiter reduziert. Anschließend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt. Die optimale Lösung ist erreicht, wenn genau $n$ Zuordnungen gefunden sind. Das Vorgehen wird in den nachfolgenden Schritten 1-16 beschrieben und auch in der Abbildung 21.5 dargestellt. +Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel erläutert werden. Es gibt eine Ausgangsmatrix. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer weiter reduziert. Anschließend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt. Es gibt Situationen, in denen man nichts mehr tun muss, um eine optimale Zuordnung zu finden. Eine optimale Zuordnung ohne zusätzliche Kosten ist eine Auswahl genau eines Feldes in jeder Zeile und Spalte, welches 0 enthält. Das Ziel des Algorithmus ist also, die Matrix so zu ändern, dass genügend Nullen in der Matrix vorkommen. Es ist zudem wichtig, dass man nach jeder Modifikation der Matrix testet, ob man bereits eine Zuordnung machen kann, also genügend Nullen hat. +Das Vorgehen wird in den nachfolgenden Schritten 1-6 beschrieben und auch in der Abbildung 21.5 dargestellt. \begin{enumerate} -\item Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl wird bei -allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab, die man hat, um eine Baustelle zu erreichen. +\item Man beginnt mit der Zeilen-Reduktion. Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl, jeweils in rot markiert, wird bei allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab, die man hat, um eine Baustelle zu erreichen. Man erkennt, dass die Nullen mit zwei Linien abdeckbar sind. Das heisst es gibt 2 Spalten bei denen noch keine Zuordnungen möglich sind. -\item Auch in diesem Schritt werden die unvermeidbaren Weg-Kosten abgezogen. Man zieht die kleinste Zahl in jeder Spalte von allen Zahlen in der Spalte ab. +\item Auch im zweiten Schritt werden mittels der Spalten-Reduktion die unvermeidbaren Weg-Kosten abgezogen. Man zieht die kleinste Zahl, wiederum in rot markiert, in jeder Spalte von allen Zahlen in der Spalte ab. +Die Nullen können somit mit 3 Linien abgedeckt werden. Im Idealfall hat die Matrix in jeder Zeile und Spalte bereits genügend viele Nullen, so dass man bereits eine Zuordnung ohne Mehrkosten machen kann. Dies ist jedoch noch nicht der Fall. Es sollen weitere Nullen in die Matrix hineingebracht werden. -\item Bei den nachfolgenden Schritten bleiben dann nur noch die Kosten übrig, die man hat, wenn man eine andere Zuordnung wählt. Hierbei sollen möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind. -(Freistehend bedeutet, sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte nur -eine markierte Null zu haben) +\item Es bleiben jetzt einige Felder übrig, für die noch keine Zuordnung möglich ist. Die kleinste Ziffer wird dabei aus den noch nicht mit blau markierten Zahlen ausgewählt werden. Im Beispiel ist es die Zahl 1. Das Feld mit dem kleinsten Eintrag beinhaltet die Kosten, die unvermeidlich sind, wenn man für diese Felder auch noch eine Zuordnung machen will. Um neue Nullen zu bekommen, lagert man jetzt die Kosten auf die anderen Zeilen und Spalten um. Dies tut man, indem man in allen nicht abgedeckten Feldern die minimalen Kosten subtrahiert und in den blau markierten Kreuzungspunkten dazu addiert. -\item Weiter werden die jeweiligen Zeilen eruiert, bei welchen keine markierte Null vorhanden sind. Diese kennzeichnet man mit einer blauen Fläche. +\item in Schritt 4 sollen jetzt möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind. +Freistehend bedeutet, dass sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte keine andere markierte Null vorhanden ist. -\item In der vorherigen, mit blauer Fläche markierten Zeile die 0 eruieren und dann die dazugehörige Spalte ebenfalls -blau markieren. +\item Alle markierten Nullen werden jetzt in eine 1 umgewandelt. Die restlichen Ziffern in der Matrix, exklusiv die einsen, sollen jetzt ignoriert und durch eine Null ersetzt werden. -\item Im der selben Spalte die markierte Null eruieren und die dazugehörige -Zeile ebenfalls blau kennzeichnen. - -\item Alle Zeilen mit einem gelben Balken durchstreichen, welche KEINE blauen Markierungen haben. - -\item Alle Spalten durchstreichen, welche eine Blaue Markierung besitzt! - -\item In den übrigen Zahlen soll nun die kleinste Ziffer ausgewählt werden, welche nicht schon durchgestrichen sind. -(Im Beispiel ist es die Zahl 1 in rot markiert. (Bei diesem Schritt ist es egal, welche 1 man wählt) - -\item Die eruierte kleinste Ziffer, wird von den nicht durchgestrichenen Ziffern -subtrahiert. Danach muss die Matrix wieder komplettiert werden. (inkl. Unterstreichen der Nullen) - -\item Jeweilige Zahlen eruieren, welche vorgängig doppelt mit einer gelben Fläche durchgestrichen wurden. - -\item Kleinste eruierte Ziffer aus Schritt 9, soll nun auf die zwei in rot markierten Ziffern aus Schritt 11 dazu addiert werden. - -\item In diesem Schritt sollen wiederum von neuem möglichst viele Nullen markiert werden, -welche freistehend sind. Es werden nur die markierten Nullen betrachtet. - -\item Alle markierten Nullen werden jetzt in eine 1 umgewandelt. - -\item Die restlichen Ziffern in der Matrix, exklusiv die einsen, sollen jetzt ignoriert und durch eine Null ersetzt werden. - -\item Zu guter Letzt werden überall wo eine 1 steht, die Zahlen aus der Ausgangsmatrix eingefügt. Nach Einsetzen der Zahlen können die in rot markierten Zahlen aufsummiert werden. Es ergibt der minimalste Transportweg. Im erwähnten Beispiel sind es total 13 Kilometer. +\item Zu guter Letzt werden überall wo eine 1 steht, die Zahlen aus der Ausgangsmatrix eingefügt. Nach Einsetzen der Zahlen können die in rot markierten Zahlen aufsummiert werden. Man erhält den minimalsten Transportweg von total 13 Kilometer. \end{enumerate} \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=14cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png} +\includegraphics[width=8cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png} \caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, minimalster Transportweg.} \label{munkres:Vr2} \end{figure} @@ -95,6 +70,7 @@ welche freistehend sind. Es werden nur die markierten Nullen betrachtet. \subsection{Zuordnung der Kräne \label{munkres:subsection:malorum}} +Als Resultat des Munkres-Algorithmus kann man jetzt die folgende Zuordnung aus der Matrix ablesen: \begin{itemize} \item Der Kran von Baustelle A1 soll zur Baustelle B2. \item Der Kran von Baustelle A2 soll zur Baustelle B3. @@ -107,4 +83,6 @@ welche freistehend sind. Es werden nur die markierten Nullen betrachtet. \includegraphics[width=3cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel_Zuw.png} \caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, Zuweisung der Kräne } \label{munkres:Vr2} -\end{figure} Wie in Abbildung 21.6 ersichtlich, kann somit dank der Ungarischen Methode sowohl der minimalste Transportweg als auch die optimalste Zuweisung der Kräne auf die neuen Standorte ermittelt werden. \ No newline at end of file +\end{figure} + +In Abbildung 21.6 ist nebst dem minimalsten Transportweg auch ersichtlich, wie die optimalste Zuweisung der Kräne auf die neuen Standorte erfolgen soll. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 6824f0a18d2fe5aa999596b2ad72cc7ee186622a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 11:44:47 +0200 Subject: fehlendes bild --- .../figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png | Bin 1179631 -> 485941 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) diff --git a/buch/papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png b/buch/papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png index fb4d061..242db77 100644 Binary files a/buch/papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png and b/buch/papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png differ -- cgit v1.2.1 From d223220e4fdd827a5c0dd76e3d7b1453876f3e4b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 11:47:57 +0200 Subject: add image to reedsolomon --- buch/papers/clifford/3d/common.inc | 24 ++++++ buch/papers/clifford/3d/dq.jpg | Bin 135038 -> 135088 bytes buch/papers/clifford/3d/dq.pdf | Bin 156467 -> 156514 bytes buch/papers/clifford/3d/drehung.jpg | Bin 203814 -> 203830 bytes buch/papers/clifford/3d/drehung.pdf | Bin 224521 -> 224538 bytes buch/papers/clifford/3d/drehung.pov | 37 +-------- buch/papers/clifford/3d/q23.jpg | Bin 77888 -> 85740 bytes buch/papers/clifford/3d/q23.pov | 2 + buch/papers/clifford/3d/q31.jpg | Bin 75576 -> 82876 bytes buch/papers/clifford/3d/q31.pov | 3 + buch/papers/clifford/3d/qq.pdf | Bin 170756 -> 185901 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile | 7 ++ buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 0 -> 59496 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 132 +++++++++++++++++++++++++++++++ 14 files changed, 170 insertions(+), 35 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex diff --git a/buch/papers/clifford/3d/common.inc b/buch/papers/clifford/3d/common.inc index 54aa7fe..55bf6e1 100644 --- a/buch/papers/clifford/3d/common.inc +++ b/buch/papers/clifford/3d/common.inc @@ -245,3 +245,27 @@ cylinder { #end +#macro bogen(v1, v2, center, winkelbogen, farbe) + +union { + #declare phi = 0; + #declare phimax = winkelbogen; + #declare phistep = (phimax - phi) / N; + #while (phi < phimax - phistep/2) + cylinder { + cos(phi ) * v1 + sin(phi ) * v2 + center, + cos(phi+phistep) * v1 + sin(phi+phistep) * v2 + center, + 0.01 + } + sphere { + cos(phi ) * v1 + sin(phi ) * v2 + center, + 0.01 + } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } +} + +#end diff --git a/buch/papers/clifford/3d/dq.jpg b/buch/papers/clifford/3d/dq.jpg index bd44a65..690cfdc 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/dq.jpg and b/buch/papers/clifford/3d/dq.jpg differ diff --git a/buch/papers/clifford/3d/dq.pdf b/buch/papers/clifford/3d/dq.pdf index 71727d2..797a558 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/dq.pdf and b/buch/papers/clifford/3d/dq.pdf differ diff --git a/buch/papers/clifford/3d/drehung.jpg b/buch/papers/clifford/3d/drehung.jpg index ad7cd47..2347296 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/drehung.jpg and b/buch/papers/clifford/3d/drehung.jpg differ diff --git a/buch/papers/clifford/3d/drehung.pdf b/buch/papers/clifford/3d/drehung.pdf index de29085..bc8036e 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/drehung.pdf and b/buch/papers/clifford/3d/drehung.pdf differ diff --git a/buch/papers/clifford/3d/drehung.pov b/buch/papers/clifford/3d/drehung.pov index 54b5a2e..b86a2c5 100644 --- a/buch/papers/clifford/3d/drehung.pov +++ b/buch/papers/clifford/3d/drehung.pov @@ -60,24 +60,6 @@ mesh { } } -union { - #declare phi = 0; - #declare phimax = 2*pi/3; - #declare phistep = (phimax - phi) / N; - #while (phi < phimax - phistep/2) - cylinder { - r * (cos(phi ) * e1 + sin(phi ) * e2), - r * (cos(phi+phistep) * e1 + sin(phi+phistep) * e2), - 0.01 - } - sphere { r * (cos(phi ) * e1 + sin(phi ) * e2), 0.01 } - #declare phi = phi + phistep; - #end - pigment { - color Blue - } -} - mesh { #declare phi = 0; #declare phimax = 2*pi/3; @@ -100,21 +82,6 @@ mesh { } } -union { - #declare phi = 0; - #declare phimax = 2*pi/3; - #declare phistep = (phimax - phi) / N; - #while (phi < phimax - phistep/2) - cylinder { - r * (cos(phi ) * e1 + sin(phi ) * e2) + Vparallel, - r * (cos(phi+phistep) * e1 + sin(phi+phistep) * e2) + Vparallel, - 0.01 - } - sphere { r * (cos(phi ) * e1 + sin(phi ) * e2) + Vparallel, 0.01 } - #declare phi = phi + phistep; - #end - pigment { - color Green - } -} +bogen(r * e1, r * e2, <0,0,0>, 2*pi/3, Blue) +bogen(r * e1, r * e2, Vparallel, 2*pi/3, Green) diff --git a/buch/papers/clifford/3d/q23.jpg b/buch/papers/clifford/3d/q23.jpg index 50ca028..929ef90 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/q23.jpg and b/buch/papers/clifford/3d/q23.jpg differ diff --git a/buch/papers/clifford/3d/q23.pov b/buch/papers/clifford/3d/q23.pov index e3e5d49..2e55c96 100644 --- a/buch/papers/clifford/3d/q23.pov +++ b/buch/papers/clifford/3d/q23.pov @@ -7,6 +7,8 @@ circlearrow(<1,0,0>, 0.01*<0,0,-1>, <0, 0, 0>, 1.0, thick, 0.98*pi/2, 4) +bogen( <0,1.7,0>, <-1.7, 0, 0>, <0,0,0>, pi/2, Blue) + arrow( <0,0,0>, <-2.0,0,0>, 0.99*thick, Blue) arrow( <0,0,0>, <0,2.0,0>, 0.99*thick, Blue) arrow( <0,0,0>, <0,0,2.0>, 0.99*thick, Red) diff --git a/buch/papers/clifford/3d/q31.jpg b/buch/papers/clifford/3d/q31.jpg index 10313fa..c240b4f 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/q31.jpg and b/buch/papers/clifford/3d/q31.jpg differ diff --git a/buch/papers/clifford/3d/q31.pov b/buch/papers/clifford/3d/q31.pov index 901f838..4abe1ed 100644 --- a/buch/papers/clifford/3d/q31.pov +++ b/buch/papers/clifford/3d/q31.pov @@ -10,3 +10,6 @@ circlearrow(<1,0,0>, 0.01*<0,-1,0>, <0, 0, 0>, 1.0, thick, 0.98*pi/2, 4) arrow( <0,0,0>, <-2.0,0,0>, 0.99*thick, Blue) arrow( <0,0,0>, <0,2.0,0>, 0.99*thick, Red) arrow( <0,0,0>, <0,0,2.0>, 0.99*thick, Blue) + +bogen( <0,0,1.7>, <-1.7, 0, 0>, <0,0,0>, pi/2, Blue) + diff --git a/buch/papers/clifford/3d/qq.pdf b/buch/papers/clifford/3d/qq.pdf index 4c55d57..fd7dbfa 100644 Binary files a/buch/papers/clifford/3d/qq.pdf and b/buch/papers/clifford/3d/qq.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile new file mode 100644 index 0000000..1753f37 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile @@ -0,0 +1,7 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +fourier.pdf: fourier.tex + pdflatex fourier.tex diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf new file mode 100644 index 0000000..a1b6e24 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex new file mode 100644 index 0000000..af556d1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -0,0 +1,132 @@ +% +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{pgfplotstable} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{filecontents} + +\def\plotwidth{7.5cm} +\def\plotheight{5.5cm} +\def\xverschiebung{4.5cm} +\def\yverschiebung{-7cm} +\def\yyverschiebung{-14cm} + +\def\marke#1{ + \coordinate (M) at (-0.8,4.6); + \fill[color=lightgray] (M) circle[radius=0.3]; + \draw (M) circle[radius=0.3]; + \node at (M) {#1}; +} + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); +\coordinate (B) at (2.6,-1.3); +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich}; + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] + \begin{axis} + [title = {\large Signal\strut}, + xtick={0,32,64,96}, width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] + {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \marke{1} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=white] {0}; + \end{axis} + + \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, axis y line*=left, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] + table[col sep=comma] + {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \marke{2} + \draw[->,line width=1pt] (3,-0.4) -- node[right] {Übertragung} (3,-2.2); +\end{scope} + +\definecolor{pink}{rgb}{0.6,0.2,1} + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] + \fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + \begin{axis}[title = {\large Decodiert\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[blue,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \marke{4} + \draw[color=pink] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + \draw[->,color=pink,line width=1pt] + (4.65,-0.15) to[out=-90,in=90] (3,-2.2); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] + \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehler}\strut}, + xtick={0,96}, + axis y line*=left, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] + table[col sep=comma] + {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={6,20,74}, axis y line*=right, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[red,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \marke{3} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] + \begin{axis}[title = {\large \color{pink}Syndrom\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[pink,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \marke{5} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; + \end{axis} + \begin{axis}[title = {\large Locator\strut},axis y line*=left, + xtick={0,6,20,74,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[gray,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \marke{6} +\end{scope} + +% Fourier-Transformations-Pfeile + +\draw[->,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT\strut} (3.8,2); + +\begin{scope}[yshift=\yverschiebung] +\draw[<-,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT$\mathstrut^{-1}$} (3.8,2); +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=\yyverschiebung] +\draw[->,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT\strut} (3.8,2); +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} -- cgit v1.2.1 From 08ea2ca03c7cc6dc99550dc0c768ad690b7e96bb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 12:56:13 +0200 Subject: improve spacing --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59496 -> 59500 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 4 ++-- 2 files changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index a1b6e24..b200458 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index af556d1..d5a8d06 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -27,8 +27,8 @@ \draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); \coordinate (B) at (2.6,-1.3); -\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich}; -\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich\strut}; \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] \begin{axis} -- cgit v1.2.1 From 2805ea85b02609e6f7b7c2d511260ed94944722e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 13:34:03 +0200 Subject: mehr Farbe ;-) --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59500 -> 59572 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 17 +++++++++++++++-- 2 files changed, 15 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index b200458..6491f08 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index d5a8d06..bbe0508 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -22,9 +22,14 @@ \node at (M) {#1}; } +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + \begin{document} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\fill[color=blue!10] (-5.7,-14.5) rectangle (2.6,5.0); +\fill[color=darkgreen!10] (2.6,-14.5) rectangle (11.1,5.0); + \draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); \coordinate (B) at (2.6,-1.3); \node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; @@ -33,7 +38,9 @@ \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] \begin{axis} [title = {\large Signal\strut}, - xtick={0,32,64,96}, width=\plotwidth,height=\plotheight] + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; \end{axis} @@ -42,12 +49,14 @@ \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=white] {0}; \end{axis} \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, axis y line*=left, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] table[col sep=comma] @@ -60,9 +69,10 @@ \definecolor{pink}{rgb}{0.6,0.2,1} \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] - \fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + %\fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); \begin{axis}[title = {\large Decodiert\strut}, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; @@ -76,6 +86,7 @@ \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehler}\strut}, xtick={0,96}, + axis background/.style={fill=white}, axis y line*=left, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] @@ -93,6 +104,7 @@ \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] \begin{axis}[title = {\large \color{pink}Syndrom\strut}, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[pink,line width=1pt] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; @@ -104,6 +116,7 @@ % Beschriftung Rechts \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; \end{axis} -- cgit v1.2.1 From b76522a3dda77a3319d92c901b5e27586686c3d2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Sun, 8 Aug 2021 15:53:09 +0200 Subject: chapters updated --- buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex | 69 +++++++++++++++++++++++------ 2 files changed, 56 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex index 8430ebd..eb4e82f 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex @@ -76,7 +76,7 @@ dar. \subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation \label{reedsolomon:subsection:diskFT}} -In einem vorherigen Abschnitt \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. +Im vorherigen Abschnitt \ref{reedsolomon:section:dtf} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken. Dazu ändern wir die Darstellung von \[ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index 1d196fd..d70125b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -3,21 +3,62 @@ % % (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % -\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern +\section{Reed-Solomon in endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} \rhead{Reed-Solomon in endlichen Körpern} -\[ -\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} -\] -Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: +Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit keine Konkreten Angaben haben, wo sich Fehler garantiert aufhalten. +Um dies zu ändern wechseln wir vom Komplexen Zahlenraum in den endlichen Körper. +In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. +Zudem beschränken sich die möglichen arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. +Wir können also nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. +Dies erleichtert auch die Umsetzung auf ein digitales System, da Computer in der Regel lieber mit ganzen als mit gebrochenen oder komplexen Zahlen arbeiten. -\begin{itemize} - \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. - - \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. - -\end{itemize} +Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren gehen wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. +Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil. +Diese Nachricht wird Codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. +In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen. +Wir müssen also eine Alternative finden, welche die gleichen Eigenschaften wie die Fouriertransformation aufweist, aber im endlichen Körper verwendet werden kann. +Auch beim decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, damit die Vorgehensweise mit dem Lokatorpolynom auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. -Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen. - -Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. +% +%Damit all diese Probleme möglichst verständlich +% +% +%Um all diese Probleme und möglichst +% +% +%um Fehler zu erkennen und mittels Lokatorpolynom +% +% +% ein Lokatorpolynom zu finden. +% +% +% +% Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenanteil und einem Fehlerkorrekturteil, +% +% +% +%In diesem Zahlenraum gibt es nur Natürliche Zahlen und es darf nur Addiert oder Multipliziert werden. +%Der grosse Vorteil an endlichen Körper ist, dass dich der einfacher Digital umsetzen lässt. +% +% +%Dieser Zahlenraum bringt eine Menge von neuen Regeln mit sich. +%So gibt es dort nur Natürliche Zahlen und die Arithmetischen Rechenoperationen sind beschränkt auf die Addition und Multiplikation. +% +% +% +%\[ +%\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} +%\] +%Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: +% +%\begin{itemize} +% \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. +% +% \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. +% +%\end{itemize} +% +%Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen. +% +%Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. -- cgit v1.2.1 From db34dc83135d3f17713279a0a7265f9381417e33 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 18:02:12 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 14 ++++++-------- buch/papers/munkres/teil2.tex | 2 +- buch/papers/munkres/teil3.tex | 15 ++++++++------- 3 files changed, 15 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index a0cc739..6d8762e 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -8,14 +8,14 @@ \rhead{Problemstellung} Das Spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen -Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. +Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} Als Beispiel betrachten wir den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne soll möglichst klein werden. -Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. +Die Frage lautet: Wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran (Anzahl 1) von A nach B oder gar kein Kran (Anzahl 0) verschoben werden. Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art und Weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. @@ -45,17 +45,15 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} \] - -$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ - +$\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. -Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. +In den Zellen dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \subsubsection{Netzwerk} -Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.2 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Arbeiter und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jede Tätigkeit. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. +Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.2 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Kran und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jeden Baustellenort. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. \subsubsection{Matrix} Im Bild 21.3 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. \subsubsection{Bitpartiter Graph} diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex index a3b249e..9407c96 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil2.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex @@ -9,5 +9,5 @@ Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine optimale Zuordnung gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. -Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer $n$×$n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigender Permutationen. +Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer $n$×$n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigende Permutationen. diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index 692bfdf..2693185 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -11,7 +11,7 @@ Mit der ungarischen Methode können also Optimierungsprobleme gelöst werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen. Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen so optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der -Gesamtgewinn maximiert werden kann. +Gesamtgewinn maximiert werden kann. \subsection{Geschichte \label{munkres:subsection:malorum}} @@ -32,27 +32,28 @@ um eine $O(n^3)$-Laufzeit zu erreichen. Die Ungarische Methode ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem in polynomieller Zeit löst. Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms -wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. $n$ ist hierbei die "Grösse" des Problems. +wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. $n$ ist hierbei die ''Grösse'' des Problems. \subsection{Unterschiedliche Anzahl von Quellen und Zielen \label{munkres:subsection:malorum}} -Es gibt Fälle, in welchen das Ausgangsproblem keine quadratische Form besitzt. Das ist z.B. dann der Fall, wenn drei Mitarbeiter vier verschiedene Eignungstests absolvieren müssen. In diesem Fall wird in der Ungarischen Methode die Matrix künstlich mittels einer Dummy Position quadratisch ergänzt. Dummy-Positionen werden dann mit der größten vorhandenen Zahl aus der Matrix besetzt. Beispielsweise wird eine $3\times 4$ zu einer $4\times 4$-Matrix. +Es gibt Fälle, in welchen das Ausgangsproblem keine quadratische Form besitzt. Das ist z. B. dann der Fall, wenn drei Mitarbeiter vier verschiedene Eignungstests absolvieren müssen. In diesem Fall wird in der Ungarischen Methode die Matrix künstlich mittels einer Dummy Position zu einem Quadrat ergänzt. Dummy-Positionen werden dann mit der größten vorhandenen Zahl aus der Matrix besetzt. Beispielsweise wird eine $3\times 4$ zu einer $4\times 4$-Matrix. \subsection{Beispiel eines händischen Verfahrens \label{munkres:subsection:malorum}} -Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel erläutert werden. Es gibt eine Ausgangsmatrix. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer weiter reduziert. Anschließend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt. Es gibt Situationen, in denen man nichts mehr tun muss, um eine optimale Zuordnung zu finden. Eine optimale Zuordnung ohne zusätzliche Kosten ist eine Auswahl genau eines Feldes in jeder Zeile und Spalte, welches 0 enthält. Das Ziel des Algorithmus ist also, die Matrix so zu ändern, dass genügend Nullen in der Matrix vorkommen. Es ist zudem wichtig, dass man nach jeder Modifikation der Matrix testet, ob man bereits eine Zuordnung machen kann, also genügend Nullen hat. +Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel erläutert werden. Wir gehen von der Kostenmatrix $A$ aus. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer weiter reduziert. Anschliessend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt. Es gibt Situationen, in denen man nichts mehr tun muss, um eine optimale Zuordnung zu finden. Eine optimale Zuordnung ohne zusätzliche Kosten ist eine Auswahl genau eines Feldes in jeder Zeile und Spalte, welches 0 enthält. Das Ziel des Algorithmus ist also, die Matrix so zu ändern, dass genügend Nullen in der Matrix vorkommen. Es ist zudem wichtig, dass man nach jeder Modifikation der Matrix testet, ob man bereits eine Zuordnung machen kann, also genügend Nullen hat. Das Vorgehen wird in den nachfolgenden Schritten 1-6 beschrieben und auch in der Abbildung 21.5 dargestellt. \begin{enumerate} -\item Man beginnt mit der Zeilen-Reduktion. Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl, jeweils in rot markiert, wird bei allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab, die man hat, um eine Baustelle zu erreichen. Man erkennt, dass die Nullen mit zwei Linien abdeckbar sind. Das heisst es gibt 2 Spalten bei denen noch keine Zuordnungen möglich sind. +\item Man beginnt mit der Zeilen-Reduktion. Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl, jeweils in rot markiert, wird bei allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab, die man hat, um eine Baustelle zu erreichen. Man erkennt, dass die Nullen mit zwei Linien abdeckbar sind. Das heisst es gibt zwei Spalten bei denen noch keine Zuordnungen möglich sind. \item Auch im zweiten Schritt werden mittels der Spalten-Reduktion die unvermeidbaren Weg-Kosten abgezogen. Man zieht die kleinste Zahl, wiederum in rot markiert, in jeder Spalte von allen Zahlen in der Spalte ab. -Die Nullen können somit mit 3 Linien abgedeckt werden. Im Idealfall hat die Matrix in jeder Zeile und Spalte bereits genügend viele Nullen, so dass man bereits eine Zuordnung ohne Mehrkosten machen kann. Dies ist jedoch noch nicht der Fall. Es sollen weitere Nullen in die Matrix hineingebracht werden. +Die Nullen können somit mit drei Linien abgedeckt werden. Im Idealfall hat die Matrix in jeder Zeile und Spalte bereits genügend viele Nullen, so dass man bereits eine Zuordnung ohne Mehrkosten machen kann. Dies ist jedoch noch nicht der Fall. Es sollen weitere Nullen in die Matrix hineingebracht werden. \item Es bleiben jetzt einige Felder übrig, für die noch keine Zuordnung möglich ist. Die kleinste Ziffer wird dabei aus den noch nicht mit blau markierten Zahlen ausgewählt werden. Im Beispiel ist es die Zahl 1. Das Feld mit dem kleinsten Eintrag beinhaltet die Kosten, die unvermeidlich sind, wenn man für diese Felder auch noch eine Zuordnung machen will. Um neue Nullen zu bekommen, lagert man jetzt die Kosten auf die anderen Zeilen und Spalten um. Dies tut man, indem man in allen nicht abgedeckten Feldern die minimalen Kosten subtrahiert und in den blau markierten Kreuzungspunkten dazu addiert. +Dieser Schritt 3 muss so oft wiederholt werden, bis genügend viele Nullen in der Matrix vorhanden sind. -\item in Schritt 4 sollen jetzt möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind. +\item In Schritt 4 sollen jetzt möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind. Freistehend bedeutet, dass sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte keine andere markierte Null vorhanden ist. \item Alle markierten Nullen werden jetzt in eine 1 umgewandelt. Die restlichen Ziffern in der Matrix, exklusiv die einsen, sollen jetzt ignoriert und durch eine Null ersetzt werden. -- cgit v1.2.1 From 3b4f8802c52ed799fc37d3c1338ac71905c2ed12 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 20:13:10 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 6d8762e..97359fb 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -44,8 +44,8 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} +\in \mathbb{R}^{n,n} \] -$\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. In den Zellen dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. -- cgit v1.2.1 From 8f68f18b9745cec1257e1e1fef9a2c9076839ddd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 20:17:16 +0200 Subject: trennlinie zwischen Zeit/Frequenzbereich --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59572 -> 59767 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 6 +++--- 2 files changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index 6491f08..25e8d6d 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index bbe0508..d151b2b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -30,7 +30,7 @@ \fill[color=blue!10] (-5.7,-14.5) rectangle (2.6,5.0); \fill[color=darkgreen!10] (2.6,-14.5) rectangle (11.1,5.0); -\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); +\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.9) -- (2.6,-14.4); \coordinate (B) at (2.6,-1.3); \node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; \node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich\strut}; @@ -84,7 +84,7 @@ \end{scope} \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] - \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehler}\strut}, + \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehlern}\strut}, xtick={0,96}, axis background/.style={fill=white}, axis y line*=left, @@ -120,7 +120,7 @@ width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; \end{axis} - \begin{axis}[title = {\large Locator\strut},axis y line*=left, + \begin{axis}[title = {\large Lokator\strut},axis y line*=left, xtick={0,6,20,74,96}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[gray,line width=1pt] -- cgit v1.2.1 From 7b66eb6617ad735754e009e3801aaa5acbcf2586 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 20:34:58 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 2 +- buch/papers/munkres/teil2.tex | 1 - buch/papers/munkres/teil3.tex | 7 +++---- 3 files changed, 4 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 97359fb..aad45cc 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -47,7 +47,7 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \in \mathbb{R}^{n,n} \] kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In den Zellen dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +In den Zellen dieser Matrix sind die Zahlen $a_{i,j}$ dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex index 9407c96..2fe24f8 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil2.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex @@ -8,6 +8,5 @@ \rhead{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen)} Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine optimale Zuordnung gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. - Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer $n$×$n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigende Permutationen. diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index 2693185..fd25a74 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -71,7 +71,8 @@ Freistehend bedeutet, dass sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte keine ander \subsection{Zuordnung der Kräne \label{munkres:subsection:malorum}} -Als Resultat des Munkres-Algorithmus kann man jetzt die folgende Zuordnung aus der Matrix ablesen: +Als Resultat des Munkres-Algorithmus werden in Abbildung 21.6 nebst dem minimalsten Transportweg auch die optimalste Zuweisung der Kräne auf die neuen Standorte ersichtlich. +Es können die folgenden Zuordnungen aus der Matrix abgelesen werden: \begin{itemize} \item Der Kran von Baustelle A1 soll zur Baustelle B2. \item Der Kran von Baustelle A2 soll zur Baustelle B3. @@ -84,6 +85,4 @@ Als Resultat des Munkres-Algorithmus kann man jetzt die folgende Zuordnung aus d \includegraphics[width=3cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel_Zuw.png} \caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, Zuweisung der Kräne } \label{munkres:Vr2} -\end{figure} - -In Abbildung 21.6 ist nebst dem minimalsten Transportweg auch ersichtlich, wie die optimalste Zuweisung der Kräne auf die neuen Standorte erfolgen soll. \ No newline at end of file +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 89874953eb8c9d2e4ac9bb1cfe77a4e7e2ace9a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Sun, 8 Aug 2021 21:32:38 +0200 Subject: minor improvements --- buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex | 17 +++++++++-------- 1 file changed, 9 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index d70125b..3019dd7 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -6,19 +6,20 @@ \section{Reed-Solomon in endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} \rhead{Reed-Solomon in endlichen Körpern} -Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit keine Konkreten Angaben haben, wo sich Fehler garantiert aufhalten. -Um dies zu ändern wechseln wir vom Komplexen Zahlenraum in den endlichen Körper. -In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. -Zudem beschränken sich die möglichen arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. +Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit nur ungefähre Angaben haben, wo sich Fehler aufhalten. +Um dies zu ändern wechseln wir vom komplexen Zahlenraum in endliche Körper. +In endlichen Körpern gibt es keine Approximationen wie bei den rationalen und reellen Zahlen. +Alle Zahlen sind richtig oder falsch, ``fast richtig'' gibt es nicht. +Zudem beschränken sich die arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Wir können also nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. Dies erleichtert auch die Umsetzung auf ein digitales System, da Computer in der Regel lieber mit ganzen als mit gebrochenen oder komplexen Zahlen arbeiten. -Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren gehen wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. +Um jetzt eine Nachricht in einem endlichen Körpern zu konstruieren gehen, wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil. -Diese Nachricht wird Codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. -In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen. +Diese Nachricht wird codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. +In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation zur Hilfe nehmen. Wir müssen also eine Alternative finden, welche die gleichen Eigenschaften wie die Fouriertransformation aufweist, aber im endlichen Körper verwendet werden kann. -Auch beim decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, damit die Vorgehensweise mit dem Lokatorpolynom auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. +Auch beim Decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, wenn die Vorgehensweise mit dem Lokator auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. % %Damit all diese Probleme möglichst verständlich -- cgit v1.2.1 From 28671e349f82540cf0a4b683a6d70206ce621de2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 9 Aug 2021 10:31:47 +0200 Subject: add chaosspiel.pdf --- buch/papers/ifs/images/chaosspiel.pdf | Bin 0 -> 12525821 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/ifs/images/chaosspiel.pdf diff --git a/buch/papers/ifs/images/chaosspiel.pdf b/buch/papers/ifs/images/chaosspiel.pdf new file mode 100644 index 0000000..23f0dd2 Binary files /dev/null and b/buch/papers/ifs/images/chaosspiel.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 787033c0f57c0890d2c248e95df70281546b3313 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 9 Aug 2021 11:21:36 +0200 Subject: orthofehler korrigiert --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 67 ++++++++++++------------- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 59772 -> 59772 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 74 ++++++++++++++-------------- 4 files changed, 71 insertions(+), 72 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 179d90d..559ea1b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -4,15 +4,15 @@ \section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt, -durch die Codierung, auf viele übertragene Werte verteilt werden. +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt +durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden. Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. \par Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. -Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist. -Forausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. +Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist, + vorausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. \par Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation für Codierung und Decodierung zu verwenden. @@ -24,15 +24,15 @@ Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, der später erklärt wird, analog ist. \par -Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler rekonstruieren. -Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +Der Auftrag ist nun 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler zu erkennen und 16 Fehler zu rekonstruieren. +Mit Hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\begin{figure} +\begin{figure}%[!ht] \centering \resizebox{\textwidth}{!}{ - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/fourier} %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}} @@ -41,34 +41,33 @@ Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt illustriert. In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: \begin{enumerate}[(1)] - \item Das Signal ist mit 64 zufälligrn, ganzzahligen Datenwerten, zwischen 0 und 10. + \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10. Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. - Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen - \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}. - Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der länge $N =96$. + Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. + Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$. \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. - \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene Werte durch Fehler, - verändert werden. + \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene + Werte durch Fehler verändert werden. \par - Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 7, 21 und 75(\textcolor{red}{rote Kurve}), - die um einen Betrag verändert werden. + Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 6, 20 und 74 (\textcolor{red}{rote Kurve}), + die um einen Betrag verändert werden. Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. - \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch Inverse Fourier-Transformation vollständig - wiederhergestellt werden. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch inverse Fourier-Transformation vollständig + wiederhergestellt werden. Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. \par - Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen, Werte abweichend von Null, auftreten. + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen Werte abweichend von Null auftreten. Somit haben wir bereits Fehler erkannt. - \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennenwir das Syndrom. - Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die Inverse Fourier-Transformation erzeugt. - \item Um die Fehler zu rekonstruieren, ann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. + \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom. + Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt. + \item Um die Fehler zu rekonstruieren, kann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler. - Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu localisieren. + Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu lokalisieren. \end{enumerate} Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, -dass die Fehlerwerte auch nur ein drittel so gross sind. +dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind. \par Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. @@ -87,8 +86,7 @@ Die 7 Übertragungspunkte könnten ein Polynom \end{equation} sechsten Grades bestimmen. Durch die Wahl von $\textcolor{gray}{a_3=0}$, $\textcolor{gray}{a_4=0}$, $\textcolor{gray}{a_5=0}$, $\textcolor{gray}{a_6=0}$ -erzeugen wir die, für die Fehlerkorrektur, -nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. +erzeugen wir die für die Fehlerkorrektur nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. \par Die Analogie geht aber noch weiter. Schreibt man @@ -101,25 +99,24 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} - für die Diskrte-Fourier-Transformation das Polynom + für die diskrete-Fourier-Transformation das Polynom \begin{equation} q(w)= - \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1} + \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1}. \label{reedsolomon:DFT_polynom} \end{equation} - Im Beispiel werden aber Werte des des Polynoms $q(w)$ für verschieden - \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots , k=N-1\) übermittelt. + Im Beispiel werden aber Werte des Polynoms \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{q(w)}= \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + \frac{\textcolor{blue}{{f}_{63}}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{64}}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} -Das syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) + für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt. +Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) \par -Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen. +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen. Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, -dann müssen wir von den Reelen-Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. -Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, -dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. +dann müssen wir von den reeleen Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. +Dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index ca4f398..04f1fe2 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S.Reed und Gustave Solomon, im Jahre 1960, entwickelt. +Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt. Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst. In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf index b455da5..80adafb 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 2142f88..26e617c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -5,18 +5,18 @@ \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, - also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen. -Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll, + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweils einzelne Fehler erkennen. +Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden soll und sogar noch das Orginal rekonstruiert werden soll, dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. -Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? -Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert. -Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung. -In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} -ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. +Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert. +Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert. +Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung. +In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} + ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. \subsection{Polynom-Ansatz @@ -34,35 +34,35 @@ p(x) \end{equation}. \par Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte, +Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragene Werte das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. -Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, - wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet. -Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus Punkte wieder Polynom zu berechnen. +Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +\par Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? -Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. +Versuchen wir doch mehr Werte zu übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} - dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 . + dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7. In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, -die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün. + die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün. Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. -Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen. -Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. -bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren? +Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punkte nicht auf der Parabel liegen. +Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. +Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren? Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \begin{itemize} - \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. - Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. - Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. - \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. + \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurrenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. + Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. + Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. + \item Bei \textit{2 Fehlern} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein Konkurrenzpolynom bilden. Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. - Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist. - \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. + Nun haben wir, ein originales Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. + \item Bei \textit{3 Fehlern} kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. - Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen. - Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden. - \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. + Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. + \item Bei \textit{4 Fehlern} Es kann noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. @@ -75,17 +75,18 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} +\qedhere \end{beispiel} \section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. -Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz. +Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, erkennt man almählich ein Muster. -\begin{table} +\begin{table}%[!ht] \centering \begin{tabular}{ c c | c} \hline @@ -101,17 +102,18 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} -Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden. -Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr. +Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. +Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler zwei Übertragungspunkte mehr. Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= - \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t} + \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. \label{reedsolomon:equation2} -\end{equation}. +\end{equation} Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. -Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht. +Für die Polynomkoeffizente nach der Übertragung zu rekonstruieren, + haben wir jedes mal die Polynominterpolationmethode angewendet. Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig. Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt. -- cgit v1.2.1 From f54db89a60364ccec5822ab025d2caadb52def8c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 9 Aug 2021 13:45:45 +0200 Subject: feinheiten --- buch/papers/reedsolomon/Makefile | 2 +- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf | Bin 0 -> 59770 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 23 +++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1835588 -> 1837295 bytes 5 files changed, 14 insertions(+), 13 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/Makefile index 25fd98b..4be963e 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile +++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile @@ -24,7 +24,7 @@ SOURCES := \ TIKZFIGURES := \ tikz/polynom2.tex \ - tikz/plotfft.tex + tikz/fourier.tex FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 559ea1b..7c88c16 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % % dtf.tex -- Idee mit DFT % -\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation +\section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf new file mode 100644 index 0000000..4995141 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 26e617c..6ee42ef 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -51,20 +51,20 @@ Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit ko Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren? Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \begin{itemize} - \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurrenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. + \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. - \item Bei \textit{2 Fehlern} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein Konkurrenzpolynom bilden. - Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, ein originales Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden. + Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. - \item Bei \textit{3 Fehlern} kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. + \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. - \item Bei \textit{4 Fehlern} Es kann noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier, kann es noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. - \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + \item[\textit{5 Fehler}] Bei Fünf, kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. \end{itemize} @@ -82,8 +82,8 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. -Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. +Die Anzahl Datenwerte, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, erkennt man almählich ein Muster. \begin{table}%[!ht] @@ -102,9 +102,10 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} +\par Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. -Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler zwei Übertragungspunkte mehr. -Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl +Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr. +Wie in der Tabelle ergibt sich diese \textcolor{darkgreen}{Übertragungsanzahl} \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index dc34b2d..dfa9eea 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 49646a239bcd153e6fb2b85f5839d2f1853b33f0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 9 Aug 2021 14:14:19 +0200 Subject: fix right axis --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59767 -> 59721 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 8 +------- 2 files changed, 1 insertion(+), 7 deletions(-) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index 25e8d6d..7e0198b 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index d151b2b..7b4ccea 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -48,13 +48,7 @@ \end{scope} \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] - \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}, - axis background/.style={fill=white}, - width=\plotwidth,height=\plotheight] - \addplot[color=white] {0}; - \end{axis} - - \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, axis y line*=left, + \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, xtick={0,32,64,96}, axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] -- cgit v1.2.1