From 240a691645b230f235aa94ba8de87c2354ab2b11 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 10 Sep 2021 11:34:57 +0200 Subject: =?UTF-8?q?neue=20=C3=9Cbungsaufgabe=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/60-gruppen/Makefile.inc | 3 + buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex | 1 + buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex | 5 +- buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex | 134 ++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 141 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/Makefile.inc b/buch/chapters/60-gruppen/Makefile.inc index 8b3d974..fe327a9 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/60-gruppen/Makefile.inc @@ -9,4 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex \ chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex \ chapters/60-gruppen/homogen.tex \ + chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex \ + chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex \ + chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex \ chapters/60-gruppen/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex index 872a241..4f2fb5a 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex @@ -61,5 +61,6 @@ Zusammenhangs darzustellen. \begin{uebungsaufgaben} \uebungsaufgabe{6002} \uebungsaufgabe{6001} +\uebungsaufgabe{6003} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index 860f27d..94df38e 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -187,14 +187,15 @@ beschrieben werden kann. $\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$} Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch Matrizen der Form -\[ +\begin{equation} R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{pmatrix} -\] +\label{buch:lie:eqn:ralphadefinition} +\end{equation} dargestellt werden. Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit $\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex new file mode 100644 index 0000000..663b1a0 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex @@ -0,0 +1,134 @@ +Für die Lie-Algebra $\operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$ wurde die Basis +\[ +A=\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}, +\qquad +N=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}, +\qquad +N=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0\end{pmatrix} +\] +gefunden. +Dies bedeutet, dass die Elemente +der Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ nahe der Einheitsmatrix +als ein Produkt von Matrizen der Form +\[ +D=e^{At}=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-1}\end{pmatrix}, +\quad +S=e^{Ns} = \begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}, +\quad +T=e^{Mt} = \begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix} +\] +geschrieben werden können. +\begin{teilaufgaben} +\item +Finden Sie zur Drehung $R_\alpha\in\operatorname{SO}(2)$ +aus \eqref{buch:lie:eqn:ralphadefinition} eine solche Zerlegung +$R_\alpha=DST$. +\item +Schreiben Sie die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +\frac12&-\frac{\sqrt{3}}2\\ +\frac{\sqrt{3}}2&\frac12 +\end{pmatrix} +\] +als Produkt $A=DST$. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Zunächst schreiben wir etwas einfacher +\[ +D=\begin{pmatrix}c&0\\0&c^{-1}\end{pmatrix}. +\] +Dann multiplizeren wir +\begin{align*} +DST +&= +\begin{pmatrix}c&0\\0&c^{-1}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix}c&0\\0&c^{-1}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1+st&s\\t&1\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +(1+st)c&sc\\ +c^{-1}t&c^{-1} +\end{pmatrix}. +\end{align*} +Der Vergleich mit +\[ +R_\alpha += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +(1+st)c&sc\\ +c^{-1}t&c^{-1} +\end{pmatrix} +\] +erlaubt jetzt, die Parameter, $c$, $s$ und $t$ abzulesen. +Zunächst folgt aus dem Eintrag rechts unten, dass +\[ +c=\frac{1}{\cos\alpha} +\] +sein muss. +Aus dem Eintrag links unten in der Matrix folgt dann +\[ +c^{-1}t = t\cos\alpha = \sin\alpha +\quad\Rightarrow\quad +t=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha. +\] +Der Eintrag rechts oben führt schliesslich auf die Gleichung +\[ +sc=\frac{s}{\cos\alpha}=-\sin\alpha +\quad\Rightarrow\quad +s=-\sin\alpha\cos\alpha +\] +für $s$. +Damit sind zwar die Parameter bestimmt, es ist aber noch nachzuprüfen, +dass sich damit auch der korrekte Eintrag oben links in der Matrix +ergibt. +Es ist +\[ +(1+st)c += +\frac{1-\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha}{\cos\alpha} += +\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha} += +\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha, +\] +somit ist +\[ +c=\frac{1}{\cos\alpha},\; t=\tan\alpha,\; s=-\sin\alpha\cos\alpha=-\frac12\sin2\alpha +\] +tatsächlich die gesuchte Lösung. +\item +Die Matrix $A$ ist die Drehung $A=R_{60^\circ}$, daher können wir nach +a) folgern: +\begin{align*} +c&=\frac{1}{\cos 60^\circ}= 2\\ +s&=-\frac12\sin120^\circ =-\frac{\sqrt{3}}4\\ +t&=\tan 60^\circ = \sqrt{3}. +\end{align*} +Daher gilt +\[ +DST += +\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac12\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&-\frac{\sqrt{3}}4\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\ \sqrt{3}&1\end{pmatrix} += +A, +\] +wie man mit einem Computeralgebraprogramm leicht nachprüfen kann. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} -- cgit v1.2.1