From 5051f2259e3a36e2195fbcad5d6fa2244c370427 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Oct 2021 20:49:18 +0200 Subject: chapter 8, intro typos --- buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex | 32 +++++++++++----------- buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex | 10 +++---- buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex | 8 ++++-- buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex | 5 ++-- buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 2 +- buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex | 8 +++--- buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex | 7 +++-- buch/chapters/70-graphen/chapter.tex | 6 ++-- 8 files changed, 41 insertions(+), 37 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex index b8298b1..9ca210d 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex @@ -6,7 +6,7 @@ % \section{Determinante \label{buch:section:determinante}} -Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich +Das Signum einer Permutationsmatrix lässt sich gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante} mit der Determinanten berechnen. Umgekehrt sollte es auch möglich sein, eine Formel @@ -70,28 +70,28 @@ schreiben lassen, wobei die Koeffizienten $c(\sigma)$ noch zu bestimmen sind. Setzt man in \eqref{buch:permutationen:cformel} -eine Permutationsmatrix $P_\tau$ ein, dann verschwinden alle -Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\tau$, +eine Permutationsmatrix $P_\gamma$ ein, dann verschwinden alle +Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\gamma$, also \[ -\det(P_\tau) +\det(P_\gamma) = \sum_{\sigma \in S_n} c(\sigma) \, -(P_\tau)_{1\sigma(1)} -(P_\tau)_{2\sigma(2)} +(P_\gamma)_{1\sigma(1)} +(P_\gamma)_{2\sigma(2)} \cdots -(P_\tau)_{n\sigma(n)} +(P_\gamma)_{n\sigma(n)} = -c(\tau) +c(\gamma) \, 1\cdot 1\cdots 1 = -c(\tau). +c(\gamma). \] -Der Koeffizientn $c(\tau)$ ist also genau das Vorzeichen -der Permutation $\tau$. +Der Koeffizient $c(\gamma)$ ist also genau das Vorzeichen +der Permutation $\gamma$. Damit erhalten wir den folgenden Satz: \begin{satz} @@ -106,12 +106,12 @@ a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} = -\sum_{\tau\in S_n} -\operatorname{sgn}(\tau) -a_{\tau(1)1} -a_{\tau(2)2} +\sum_{\gamma\in S_n} +\operatorname{sgn}(\gamma) +a_{\gamma(1)1} +a_{\gamma(2)2} \cdots -a_{\tau(n)n}. +a_{\gamma(n)n}. \] Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$. \end{satz} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex index 24ed053..32bf217 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex @@ -12,7 +12,7 @@ Da es in dieser Diskussion nicht auf die Art der Objekte ankommt, nehmen wir als Objektmenge die Zahlen $[n] = \{ 1,\dots,n\}$ (siehe auch Definition~\ref{buch:zahlen:def:[n]}). Die Operation, die die Objekte in eine bestimmte Reihenfolge bringt, -ist eine Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$. +ist eine umkehrbare Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$. \begin{definition} \label{buch:permutationen:def:permutation} @@ -80,8 +80,8 @@ Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung analysiert werden. \begin{definition} -Ein Zyklus $Z$ ist eine unter $\sigma$ invariante Teilmenge von $[n]$ -minimaler Grösse. +Der Zyklus $Z$ eines Elements von $[n]$ ist die unter $\sigma$ invariante +Teilmenge von $[n]$ minimaler Grösse, die das Element enthält. \index{Zyklus}% \index{invariante Teilmenge}% \index{minimale Grösse}% @@ -106,11 +106,11 @@ Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung von $\sigma$: \begin{enumerate} \item -$i=1$ +$i=1$. \item Wähle das erste noch nicht verwendete Element \[ -s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr) +s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr). \] \item Bestimme alle Elemente, die aus $s_i$ durch Anwendung von $\sigma$ diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex index 9108824..0a5aea0 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex @@ -77,7 +77,7 @@ Die Verknüpfung von Permutationen wird zur Matrixmultiplikation von Permutationsmatrizen, die Zuordnung $\sigma\mapsto P_\sigma$ ist also ein Homomorphismus \index{Homomorphismus}% -$S_n \to M_n(\Bbbk^n)$, +$S_n \to \operatorname{GL}_n(\Bbbk)$, es ist $P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$. $\sigma$ heisst gemäss Definition~\ref{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} @@ -105,9 +105,11 @@ P_{\tau_{i\!j}} \end{pmatrix}. \] -Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus $1\to 2\to\dots\to l-1\to l\to 1$ +Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus +$1\mapsto 2\mapsto\dots\mapsto l-1\mapsto l\mapsto 1$ der Länge $l$ kann aus aufeinanderfolgenden Transpositionen zusammengesetzt -werden, die zugehörigen Permutationsmatrizen sind +werden. +Die zugehörigen Permutationsmatrizen sind \begin{align*} P_\sigma &= diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index 222a7cc..8e8fefb 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -32,7 +32,8 @@ Zyklen haben die Länge $1$. \subsection{Zyklus und Permutationen aus Transpositionen} Sei $\sigma$ die zyklische Vertauschung der Elemente $1,\dots,k\in [n]$, -also die Permutation, die $1\to2\to3\to\dots\to k-2\to k-1\to k\to 1$ +also die Permutation, die +$1\mapsto2\mapsto3\mapsto\dots\mapsto k-2\mapsto k-1\mapsto k\mapsto 1$ abbildet. Dieser Zyklus lässt sich wie folgt aus Transpositionen zusammensetzen: \begin{center} @@ -63,7 +64,7 @@ werden. Die Anzahl Transpositionen, die zur Darstellung einer Permutation nötig ist, ändert sich aber immer nur um eine gerade Zahl. Die Anzahl ist also keine Invariante einer Permutation, aber ob -die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkterisierende +die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkteristische Eigenschaft einer Permutation. \begin{definition} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index e19f76f..6ee51cf 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -204,7 +204,7 @@ eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra. \begin{definition} Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt \[ -[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], +[\;\,,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], \] welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index c67a304..fb1b4ae 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -21,7 +21,7 @@ $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$, sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit. Doch auch alle anderen Matrizengruppen, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden sollen, -stellens ich als Untermannigfaltigkeiten von +stellen sich als Untermannigfaltigkeiten von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus. \subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen @@ -181,8 +181,8 @@ Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}. Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis} als Mannigfaltigkeit erkannt wurde. -Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix -beschrieben werden kann. +Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrizen +beschrieben werden können. \subsubsection{Die Untergruppe $\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$} @@ -882,7 +882,7 @@ Der Tangentialraum ist also dreidimensional. für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$. In allen drei Fällen wird das blaue Quadrat mit den Ecken in den -Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu +Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten. In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen der Bilder der Standardbasisvektoren dar. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index 3db4873..640c73f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -289,7 +289,7 @@ Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. Der Grund dafür ist, dass die Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} -linear zu sein braucht. +linear sind. Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$ die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also @@ -468,8 +468,8 @@ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) \] -als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar -ist. +als Abbildungen von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar +sind. Eine {\em $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas. \index{Atlas}% @@ -698,6 +698,7 @@ Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch \dot{x}(t) = D\varphi_{31}(\gamma(t)) +\cdot \dot{y}(t). \] Für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu diff --git a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex index 14240f4..80f953d 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex @@ -18,8 +18,8 @@ dann Beziehungen zwischen diesen Objekten. Graphen haben zwar nur eine eindimensionale Geometrie, sie können aber auch als erste Approximation höherdimensionaler geometrischer Strukturen dienen. -Die Bedeutung des Graphenkozeptes wird unterstrichen von der Vielzahl -von Fragestellungen, die über Graphen gestellt worden sind, und der +Die Bedeutung des Graphenkonzeptes wird unterstrichen von der Vielzahl +von Fragestellungen, die über Graphen untersucht worden sind, und der zugehörigen Lösungsalgorithmen, die zu ihrer Beantwortung gefunden worden sind. Die Komplexitätstheorie hat sogar gezeigt, dass sich jedes NP-vollständige @@ -28,7 +28,7 @@ Problem in ein Graphenproblem umformulieren lässt. Das Problem, einen Stundenplan zu finden, der sicherstellt, dass \index{Stundenplan}% -alle Studierenden jedes Fach besuchen können, für die sie sich +alle Studierenden jedes Fach besuchen können, für das sie sich angemeldet haben, lässt sich zum Beispiel wie folgt als ein Graphenproblem formulieren. Die Fächer betrachten wir als Knoten des Graphen. -- cgit v1.2.1