From 8ca5b82187860699d4ab3f3b9771c1b12aed7370 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 8 Mar 2021 20:22:40 +0100 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex | 94 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/2/norm.tex | 58 +++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex | 93 +++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 4 ++ 6 files changed, 251 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/norm.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index 93bcbd5..2eb3ce9 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -7,5 +7,6 @@ chapter2 = \ ../slides/2/norm.tex \ ../slides/2/skalarprodukt.tex \ + ../slides/2/cauchyschwarz.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex b/vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex new file mode 100644 index 0000000..a24ada8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% +% cauchyschwarz.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz (Cauchy-Schwarz)} +$\langle\;,\;\rangle$ eine positiv definite, hermitesche Sesquilinearform +\[ +{\color{darkgreen} +|\operatorname{Re}\langle u,v\rangle| +\le +|\langle u,v\rangle| +\le +\|u\|_2\cdot \|v\|_2 +} +\] +Gleichheit genau dann, wenn $u$ und $v$ linear abhängig sind +\end{block} +\begin{block}{Dreiecksungleichung} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +\|u+v\|_2^2 +&= +\|u\|_2^2 + 2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + \|v\|_2^2 +\\ +&\le +\|u\|_2^2 + 2{\color{darkgreen}|\langle u,v\rangle|} + \|v\|_2^2 +\\ +&\le +\|u\|_2^2 + 2{\color{darkgreen}\|u\|_2\cdot \|v\|_2} + \|v\|_2^2 +\\ +&=(\|u\|_2 + \|v\|_2)^2 +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{proof}[Beweis] +Die quadratische Funktion +\begin{align*} +Q(t) +&= +\langle u+tv,u+tv\rangle \ge 0 +\\ +\uncover<3->{ +Q(t) +&= +\|u\|_2^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + t^2\|v\|_2^2} +\end{align*} +\uncover<4->{hat ihr Minimum bei}% +\begin{align*} +\uncover<5->{ +t&= +-\operatorname{Re}\langle u,v\rangle/\|v\|_2^2} +\intertext{\uncover<6->{mit Wert}} +\uncover<7->{ +Q(t) +&= +\|u\|_2^2 +-2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2/\|v\|_2^2} +\\ +\uncover<7->{ +&\qquad + \operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2/\|v\|_2^2} +\\ +\uncover<8->{ +0 +&\le +\|u\|_2^2-\operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2/\|v\|_2^2} +\\ +\uncover<9->{ +\operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2 +&\le +\|u\|_2^2\cdot\|v\|_2^2} +\\ +\uncover<10->{ +\operatorname{Re}\langle u,v\rangle +&\le +\|u\|_2\cdot\|v\|_2} +\qedhere +\end{align*} +\end{proof}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index cfca9ab..4c86f39 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -5,3 +5,4 @@ % \folie{2/norm.tex} \folie{2/skalarprodukt.tex} +\folie{2/cauchyschwarz.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/norm.tex b/vorlesungen/slides/2/norm.tex new file mode 100644 index 0000000..35d2513 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/norm.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +% +% norm.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Norm} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Wozu} +Ziel: Konvergenz von Folgen, Grenzwert in einem Vektorraum +\end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Cauchy-Folge} +Eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ von Vektoren in $V$ heisst +{\em Cauchy-Folge}, +wenn es für alle $\varepsilon >0$ ein $N$ gibt mit +\[ +\|x_n-x_m\| < \varepsilon\; \forall n,m>N +\] +\end{block}} +\vspace{-8pt} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Grenzwert} +$x\in V$ heisst Grenzwert der Folge $x_n$, wenn es für alle $\varepsilon>0$ +ein $N$ gibt mit +\[ +\| x-x_n\| < \varepsilon \;\forall n>N +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Definition} +$V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum. +Eine Funktion +\[ +\|\cdot\| \colon V \to \mathbb{R}_{\ge 0} : v \mapsto \|v\| +\] +heisst eine {\em Norm}, wenn +\begin{itemize} +\item<3-> $\| v \|>0$ für $v\ne 0$ +\item<4-> $\|\lambda v\| = |\lambda|\cdot\|v\|$ +\item<5-> $\| u + v \| \le \|u\| + \|v\|$ (Dreiecksungleichung) +\end{itemize} +\uncover<6->{% +Ein Vektorraum mit einer Norm heisst {\em normierter Raum}} +\end{block}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Banach-Raum} +Normierter Raum, in dem jede Cauchy-Folge einen Grenwzert hat +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex new file mode 100644 index 0000000..2a9784f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +% +% skalarprodukt.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Skalarprodukt} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Positiv definite, symmetrische Bilinearform} +$\langle \;\,,\;\rangle\colon V\times V\to \mathbb{R}$ +\begin{itemize} +\item +Bilinear: +\begin{align*} +\langle \alpha u+\beta v,w\rangle +&= +\alpha\langle u,w\rangle ++ +\beta\langle v,w\rangle +\\ +\langle u,\alpha v+\beta w\rangle +&= +\alpha\langle u,v\rangle ++ +\beta\langle u,w\rangle +\end{align*} +\item +Symmetrisch: $\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$ +\item +$\langle x,x\rangle >0 \quad\forall x\ne 0$ +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Positive definite, hermitesche Sesquilinearform} +$\langle \;\,,\;\rangle\colon V\times V\to \mathbb{C}$ +\begin{itemize} +\item +Sesquilinear: +\begin{align*} +\langle \alpha u+\beta v,w\rangle +&= +\overline{\alpha}\langle u,w\rangle ++ +\overline{\beta}\langle v,w\rangle +\\ +\langle u,\alpha v+\beta w\rangle +&= +\alpha\langle u,v\rangle ++ +\beta\langle u,w\rangle +\end{align*} +\item +Hermitesch: $\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}$ +\item +$\langle x,x\rangle >0 \quad\forall x\ne 0$ +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.28\textwidth} +\begin{block}{$2$-Norm} +$\|v\|_2^2 = \langle v,v\rangle$ +\\ +$\|v\|_2 = \sqrt{\langle v,v\rangle}$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.78\textwidth} +\begin{itemize} +\item $\|v\|_2 = \sqrt{\langle v,v\rangle} > 0\quad\forall v\ne 0$ +\item $\| \lambda v \|_2 += +\sqrt{\langle \lambda v,\lambda v\rangle\mathstrut} += +\sqrt{\overline{\lambda}\lambda\langle v,v\rangle} += +|\lambda|\cdot \|v\|_2$ +\item +\raisebox{-8pt}{ +$\begin{aligned} +\|u+v\|_2^2 &= \|u\|_2^2 + 2{\color{red}\operatorname{Re}\langle u,v\rangle} + \|v\|_2^2 +\\ +(\|u\|_2+\|v\|_2)^2 &= \|u\|_2^2 + 2{\color{red}\|u\|_2\|v\|_2} + \|v\|_2^2 +\end{aligned}$} +\end{itemize} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index eea9bec..b71c64b 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -80,6 +80,10 @@ \folie{2/norm.tex} % XXX Skalarprodukt und L^2-Norm \folie{2/skalarprodukt.tex} +% XXX Cauchy-Schwarz-Ungleichung +\folie{2/cauchyschwarz.tex} +% XXX Polarformel +% XXX \folie{2/polarformel.tex} % XXX Normen, die sich aus der Vektornorm ableiten lassen % XXX \folie{2/operatornorm.tex} % XXX Frobenius-Norm und Hadamard-Algebra -- cgit v1.2.1