From 8e60e54d34a85a7458457ec7e7c2359204e9d55f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 26 Jan 2021 18:43:06 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Illustrationen=20zum=20Kapitel=20=C3=BCber=20positive?= =?UTF-8?q?=20Matrizen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile | 7 ++- .../80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf | Bin 0 -> 124093 bytes .../80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex | 51 +++++++++++++++++++++ .../80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf | Bin 120558 -> 120558 bytes buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex | 23 ++++++++++ 5 files changed, 79 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf create mode 100644 buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile index 5511f14..8042eb1 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile @@ -3,8 +3,8 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschulen # -all: dreieck.pdf trenn.pdf vergleich.pdf vergleich.jpg positiv.jpg \ - diffusion.png diffusion.pdf +all: dreieck.pdf trenn.pdf vergleich.pdf vergleich.jpg \ + positiv.pdf positiv.jpg diffusion.png diffusion.pdf # Visualisierung diffusion in einer primitiven Matrix diffusion.pdf: diffusion.tex diffusion.jpg @@ -20,6 +20,9 @@ vektoren.inc: diffusion.m octave diffusion.m # Visualizierung positive Matrix +positiv.pdf: positiv.tex positiv.jpg + pdflatex positiv.tex + positiv.png: positiv.pov quadrant.inc povray +A0.1 +W1920 +H1080 -Opositiv.png positiv.pov diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf new file mode 100644 index 0000000..39aa3cd Binary files /dev/null and b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf differ diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex new file mode 100644 index 0000000..911b599 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% positiv.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{positiv.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (-2.6,-3.8) [right] {$x_1$}; +\node at (-5.4,3.8) [right] {$x_3$}; + +\node[color=red] at (-4.5,-1.3) {$0$}; +\node[color=red] at (-4.15,-1.25) {$1$}; +\node[color=red] at (-3.75,-0.90) {$2$}; +\node[color=red] at (-3.22,-0.80) {$3$}; +\node[color=red] at (-2.6,-0.70) {$4$}; +\node[color=red] at (-1.8,-0.60) {$5$}; +\node[color=red] at (-0.9,-0.50) {$6$}; +\node[color=red] at (0.2,-0.40) {$7$}; +\node[color=red] at (1.6,-0.20) {$8$}; +\node[color=red] at (4.0,0.10) {$9$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf index feb19a2..bbcc95a 100644 Binary files a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf and b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf differ diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex index 935aa2d..4cdc533 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex @@ -399,6 +399,29 @@ zu einem Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$ geben, aber a priori wissen wir nicht, ob es einen reellen Eigenwert vom Betrag $\varrho(A)$ gibt, und ob der Eigenvektor dazu reell ist. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf} +\caption{Die Iteration einer positiven Matrix bildet den positiven Oktanten +in immer enger werdende Kegel ab, die die Richtung des gesuchten Eigenvektors +gemeinsam haben. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}} +\end{figure} + +In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich} kann man sehen, +dass eine positive Abbildung den positiven Oktanten in einen etwas engeren +Kegel hinein abbildet. +Iteriert man dies (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}), +wird die Bildmenge immer enger, bis sie nur ein +sehr enger Kegel um die Richtung des Eigenvektors ist. +Tatsächlich kann man aus dieser Idee auch einen topologischen +Beweis des untenstehenden Satzes von Perron-Frobenius konstruieren. +Er beruht darauf, dass eine Abbildung, die Distanzen verkleinert, +einen Fixpunkt hat. +Die Konstruktion einer geeigneten Metrik ist allerdings eher +kompliziert, weshalb wir im Beweise der nachstehenden Aussagen +den konventionellen Weg wählen. + Wir beginnen damit zu zeigen, dass für positive Matrizen $A$, nichtnegative Eigenvektoren zu Eigenwerten $\lambda\ne 0$ automatisch positiv sind. -- cgit v1.2.1