From ab0623229f0189745f61f70d9197f58c9d2e0716 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 22 Sep 2021 21:15:47 +0200 Subject: add missing periods --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex | 4 ++-- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex | 4 ++-- buch/chapters/20-polynome/chapter.tex | 1 + buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex | 6 +++--- buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex | 6 +++--- 5 files changed, 11 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex index dab4d3c..199b481 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex @@ -9,7 +9,7 @@ A 0&0&1&\dots&0&a_{4n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1&a_{nn} -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] \begin{teilaufgaben} \item Berechnen Sie $\det A$ @@ -105,7 +105,7 @@ A^{-1} \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\frac{a_{nn}}{a_{1n}}&0&0&\dots&1\\ \frac{1}{a_{1n}}&0&0&\dots&0\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \label{buch:1001:inverse} \end{align} \item diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex index 73f22fe..a4323a8 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1002.tex @@ -43,7 +43,7 @@ A^2 0&1&b\\ 0&a&1+ab\\ 1&b&a+b^2 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Gesucht sind jetzt die Koeffizienten $\lambda_i$ einer Linearkombination @@ -89,7 +89,7 @@ Wir setzen dies ein: -b & 1 &b-a \\ -a &a-b &1+a(b-a) \\ 1 &b-a &(1-b)(a-b)\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} Diese Matrix kann nur dann mit $A^{-1}$ übereinstimmen, wenn $a-b=0$ ist, als $a=b$. diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex index 19f0221..5920991 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex @@ -112,6 +112,7 @@ a_0b_0 \\ &= \sum_{i + j = k}a_ib_j X^k. +\notag \label{buch:eqn:polynome:faltung} \end{align} Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 1d4a9c9..7b0c1f3 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -206,7 +206,7 @@ Q \begin{pmatrix} 385& -393\\ -818& 835 \end{pmatrix} \\ &= -\begin{pmatrix} -818& 835\\ 2021& -2063\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -818& 835\\ 2021& -2063\end{pmatrix}. \end{align*} Daraus können wir ablesen, dass \[ @@ -406,13 +406,13 @@ Die Inverse von $2\in\mathbb{F}_7$ ist \begin{align*} a^{-1} &= --\underbrace{1\cdot 3\cdot 4}_{}\cdot \underbrace{5\cdot 6}_{} +-\underbrace{1\cdot 3\cdot 4}_{5}\cdot \underbrace{5\cdot 6}_{2} \\ &= -5\cdot 2 = -3 -=4 +=4. \end{align*} Tatsächlich ist $2\cdot 4=8\equiv 1\mod 7$. \end{beispiel} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index 1118387..da8997d 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -388,7 +388,7 @@ wie man durch Ausmultiplizieren überprüfen kann: \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1&0\\ 0&0&0&\dots&0&1 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Die Invertierung in $\Bbbk(M_\alpha)$ ist damit zwar geklärt, aber es wäre viel einfacher, wenn man die Inverse auch in $\Bbbk(\alpha)$ @@ -881,7 +881,7 @@ s&t\\ \begin{pmatrix} 3X+2 & 2X^2 +X\\ 5X^2+5X+6 & X^3+2X^2+2X+6 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} Daraus liest man \[ @@ -906,7 +906,7 @@ Es ist (2X^2+X) (2X^2+2X+1) = -6=r_1 +6=r_1. \end{align*} Die multiplikative Inverse ist daher $ -- cgit v1.2.1