From f93391f38bb4fcc1aaad4a22fa23fca78375cf82 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Sat, 7 Aug 2021 11:19:04 +0200
Subject: save

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 buch/papers/reedsolomon/idee.tex                | 96 +++++++++++++++----------
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt   | 96 +++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt    | 96 +++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt   | 96 +++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt    | 96 +++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt   | 96 +++++++++++++++++++++++++
 8 files changed, 729 insertions(+), 39 deletions(-)
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 7620df1..c071b5e 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -5,60 +5,78 @@
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
 Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
-und so jeweilige Fehler zu erkennen.
+    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen.
+Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll,
+dann werden die Daten drei oder vierfach versendet.
 Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
-Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
-zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
+    zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
 Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
-man kann sogar einige Fehler korrigieren.
+    man kann sogar einige Fehler korrigieren.
 Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
 Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), 
-was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
+Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
 \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden.
-Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt.
-\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
-welche uns dann das Polynom 
+Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. 
+In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code.
+Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen.
+\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
+    welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
 p(x)
 =
 \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
 \label{reedsolomon:equation1}
 \end{equation}
-ergeben.
+ergibt.
+\par 
+Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
+Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte,
+    das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren.
+Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, 
+    sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden.
+Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
+Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren?
+Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
 Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
-dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
+    dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
 Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
-mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
-\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
-\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
-\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
-Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
-Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. 
-Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}).
-Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. 
-Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den 
-\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden.
-Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
-Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
-gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom}
-Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
-Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet.
-Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
-\end{beispiel}
+    mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
+    \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
+    \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
+    \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
+Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und 
+    alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen.
+Dabei gingen wir von keinem Fehler aus,
+    hat es Fehler in der Übertragunge gegeben.
+Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
+\begin{enumerate}
+    \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten.
+        Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, 
+        ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler.
+        Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
+        \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden
+        Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden.
+    \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden.
+        Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
+        Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten.
+        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist.
+        \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden
+    \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden.
+        Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
+        Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen.
+        Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden.
+        \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden
+    \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+        Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
+    \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
+        somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
+\end{enumerate}
 
 \begin{figure}%[!ht]
 	\centering
@@ -71,13 +89,13 @@ Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Üb
 \section{Fehlerkorekturstellen bestimmen
 \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
 Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
-muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
+    muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
 Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, 
-brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
+    brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
 Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel.
 \begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir  \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden.
 Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom,
-maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
+    maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
 Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen.
 \end{beispiel}
 Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung
@@ -86,7 +104,7 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen,
     =2
     \label{reedsolomon:equation2}
 \end{equation}
-zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
+    zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
 \begin{table}
     \centering
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt
new file mode 100644
index 0000000..4a481d8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,284
+1,131.570790435043
+2,41.9840308053375
+3,12.1189172092243
+4,23.8408857476069
+5,69.1793197789512
+6,24.0186013379153
+7,37.3066577242559
+8,18.2010889773887
+9,12.3214904922455
+10,15.6627133315015
+11,24.5237955316204
+12,32.1114345314062
+13,44.9845039238714
+14,13.5324640263625
+15,10.1736266929292
+16,4.58257569495584
+17,23.217268502288
+18,16.5769107917917
+19,6.89948680823017
+20,4.84567134895776
+21,10.4219666223433
+22,43.6179140616243
+23,35.9073375743642
+24,15.0332963783729
+25,21.7594021268945
+26,23.2496572716993
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+29,38.467599433197
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+36,22.9097309529208
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+46,34.901983501949
+47,22.3480442021702
+48,6
+49,22.3480442021702
+50,34.901983501949
+51,12.5398140021274
+52,12.6147770818983
+53,10.8631093309173
+54,19.0584505869806
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+59,8.78894645948548
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+70,23.2496572716993
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+95,131.570790435043
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new file mode 100644
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--- /dev/null
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