From fad0bd1f2032b530d71370e66b3b2bb75b7ef20a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 21 Sep 2021 15:51:04 +0200 Subject: fixes kapitel 1 --- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 24 ++++++++++++++++++++++-- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 21 +++++++++++++-------- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 12 ++++++------ buch/chapters/05-zahlen/rational.tex | 29 ++++++++++++++++------------- buch/chapters/05-zahlen/reell.tex | 10 +++++----- 5 files changed, 62 insertions(+), 34 deletions(-) diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 7e0ec8c..827346d 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -93,7 +93,7 @@ $-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die {\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$. \subsubsection{Lösung von Gleichungen} -Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen +Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige natürliche Zahlen immer gelöst werden. Dazu schreibt man $a,b\in\mathbb{N}$ als Paare und sucht die Lösung in der Form $x=(u,v)$. @@ -106,11 +106,31 @@ Man erhält Das Paar $(u,v) = (a,b)$ ist eine Lösung, die man normalerweise als $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt. +Für ganze Zahlen $a=(a_+,a_-)$ und $b=(b_+,b_-)$ kann man die Gleichung +mit der gleichen Methode lösen, man addiert $-b=(b_-,b_+)$ und bekommt +die Lösung +\[ +\begin{aligned} +(a_+,a_-) &= (u,v) + (b_+,b_-) +& +\quad &\Rightarrow \quad +& +(u,v)+(b_+,b_-) + (b_-,b_+) +&= +(a_+,a_-) + (b_-,b_+) +\\ +&& +\quad &\Rightarrow \quad +& +(u,v) &= (a_++b_-,a_-+b_+). +\end{aligned} +\] + \subsubsection{Ring} \index{Ring}% Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring}, \index{Ring}% -eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und +eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert sind. Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt, darunter diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 17f6e16..f1f2f05 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -17,7 +17,7 @@ haben weiterhin keine Lösung. Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, die Ordnungsrelation zu erhalten. \index{Ordnungsrelation}% -Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen +Diese ermöglicht, Näherungsintervalle und Intervallschachtelungen zu definieren. Die Ordnungsrelation sagt aber auch, dass $x^2\ge 0$ ist für jedes @@ -66,7 +66,7 @@ ist \] mit den Rechenoperationen~\eqref{buch:zahlen:cregeln}. Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler -reeller Vektorraum. +reeller Vektorraum mit Basisvektoren $1$ und $i$. \subsubsection{Real- und Imaginärteil} Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$ @@ -74,8 +74,11 @@ Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$ und $b$ heisst der {\em Imaginärteil} $\Im z$. \index{Imaginärteil}% Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, -sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend -auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. +wenn man $\mathbb{C}$ als linearen $\mathbb{R}$-Vektorraum betrachtet. +Sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend +auch die {\em reelle} und die {\em imaginäre Achse} heissen. +\index{reelle Achse}% +\index{imaginäre Achse}% Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: \[ @@ -97,7 +100,8 @@ Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:ringe} komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben. \subsubsection{Gausssche Zahlenebene} -Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ +Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$, +wie wir bereits ausgeführt haben, zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der sogenannten {\em Gaussschen Ebene} betrachten (Abbildung~\ref{buch:zahlen:cfig}). @@ -110,7 +114,7 @@ genauer untersuchen müssen. \centering \includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} \caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der -Gaussschen Zahlenebene +Gaussschen Zahlen\-ebene \label{buch:zahlen:cfig}} \end{figure}% @@ -125,8 +129,9 @@ charakterisiert werden. \subsubsection{Komplexe Konjugation} Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte -{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$. -Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil +{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$ zu. +Mit Hilfe der komplexen Konjugation $z\mapsto\overline{z}$ +kann man den Real- und Imaginärteil \index{komplexe Konjugation}% \index{Konjugation, komplexe}% algebraisch ausdrücken: diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 8c51346..629e539 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -57,7 +57,7 @@ Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung die vertrautere Addition konstruieren. \index{Addition!in $\mathbb{N}$}% Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also -$n+m$ auszurechnen, kann man rekursive Regeln +$n+m$ auszurechnen, kann man die rekursiven Regeln \begin{align*} n+0&=n\\ n+m'&=(n+m)' @@ -79,7 +79,7 @@ Nach diesen Regeln ist = (((5)')')'. \] -Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen. +Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder rechnen lernen. Sie zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter, manchmal unter Zuhilfenahme ihrer Finger. Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$. @@ -88,7 +88,7 @@ Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst ein {\em Monoid}. \index{Monoid}% Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen -lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung. +lösen, so etwa hat $3+x=1$ keine Lösung. Die Addition ist nicht immer umkehrbar. \subsubsection{Multiplikation} @@ -164,7 +164,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac (a+b)\cdot c = ac+bc \] gelten. -Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig, +Bei einem nicht kommutativen Produkt ist es notwendig, zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden. Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des @@ -195,8 +195,8 @@ Die Zahlen \] haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}. \index{Primzahl}% -Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena -für die Zahlentheorie. +Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit der Teilbarkeit zur naheliegenden +Arena für die Zahlentheorie. \index{Zahlentheorie}% \subsubsection{Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex index 440cc73..666bc21 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \label{buch:section:rationale-zahlen}} \rhead{Rationale Zahlen} In den ganzen Zahlen sind immer noch nicht alle linearen Gleichungen -lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$. +lösbar: Es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$. Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie die negativen Zahlen kennenlernen. @@ -32,14 +32,14 @@ $z \mapsto (z, 1)$ in diese Menge von Paaren einbetten. Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung aber nicht eindeutig. -Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor -unterscheiden, +Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich ihre beide Elemente um denselben +Faktor unterscheiden, \[ (a, b) \sim (c, d) \quad \Leftrightarrow \quad -\exists \lambda \in \mathbb Z \colon +\exists \lambda \in \mathbb Z\setminus\{0\} \colon \lambda a = c \wedge \lambda b = d @@ -76,9 +76,9 @@ Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten \qquad\text{und}\qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = -\frac{ac}{bd} +\frac{ac}{bd}. \] -und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die +Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die Regeln \[ \frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b}, @@ -104,15 +104,17 @@ Zum Beispiel folgt wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten. Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt. -Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation -und bestätigt, dass die beiden Brüche -\[ +Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation. +Aus ihr folgt wieder, dass die beiden Brüche +\begin{equation} \frac{ac}{bc} \qquad\text{und}\qquad \frac{a}{b} -\] +\label{buch:zahlen:eqn:kuerzen-erweitern} +\end{equation} als gleichwertig zu betrachten sind. -Der Übergang von links nach rechts heisst {\em Kürzen}, +Der Übergang von links nach rechts in \eqref{buch:zahlen:eqn:kuerzen-erweitern} +heisst {\em Kürzen}, \index{Kürzen}% der Übergang von rechts nach links heisst {\em Erweitern}. \index{Erweitern}% @@ -127,7 +129,7 @@ gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben, uneingeschränkt möglich. \subsubsection{Kehrwert} -Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$, +Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$, $a\ne 0$, lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$, der sogenannte {\em Kehrwert} \index{Kehrwert}% konstruieren. @@ -144,7 +146,8 @@ Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene rationale Zahl hat eine solche Inverse. \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen} -Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen. +Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung mit ganzen +Koeffizienten lösen. \index{lineares Gleichungssystem}% Die Gleichung $ax=b$ hat die Lösung \[ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index 06eb7aa..7af07e8 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Pythagoräern aufgefallen. \index{Pythagoräer} Ziel dieses Abschnitts ist, den Körper $\mathbb{Q}$ zu einem Körper $\mathbb{R}$ zu erweitern, in dem die Gleichung -gelöst werden kann, ohne dabei Ordnungsrelation zu zerstören, die +gelöst werden kann, ohne dabei die Ordnungsrelation zu zerstören, die die hilfreiche und anschauliche Vorstellung der Zahlengeraden liefert. \index{Zahlengerade}% @@ -37,7 +37,7 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. -Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, +Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine ``Zahl'', \index{Intervallschachtelung}% aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. @@ -52,10 +52,10 @@ Das Problem dieser wohlbekannten Definition für die Konstruktion reeller Zahle ist, dass im Falle der Folge \[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}= -(1, +\biggl(1, \frac75, \frac{41}{29}, -\frac{239}{169},\dots) \to a=\sqrt{2} +\frac{239}{169},\dots\biggr) \to a=\sqrt{2} \] das Objekt $a$ noch gar nicht existiert. Es gibt keine rationale Zahl, die als Grenzwert dieser Folge dienen @@ -71,7 +71,7 @@ Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $a_n\in\mathbb{Q}$, betrachten. \index{Cauchy-Folge}% -Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ +Eine Folge ist eine {\em Cauchy-Folge}, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon)$. Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also -- cgit v1.2.1