From fad0bd1f2032b530d71370e66b3b2bb75b7ef20a Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 21 Sep 2021 15:51:04 +0200
Subject: fixes kapitel 1

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 buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 24 ++++++++++++++++++++++--
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index 7e0ec8c..827346d 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -93,7 +93,7 @@ $-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die
 {\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$.
 
 \subsubsection{Lösung von Gleichungen}
-Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen
+Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige natürliche Zahlen
 immer gelöst werden.
 Dazu schreibt man $a,b\in\mathbb{N}$ als Paare und sucht die
 Lösung in der Form $x=(u,v)$.
@@ -106,11 +106,31 @@ Man erhält
 Das Paar $(u,v) = (a,b)$ ist eine Lösung, die man normalerweise als
 $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt.
 
+Für ganze Zahlen $a=(a_+,a_-)$ und $b=(b_+,b_-)$ kann man die Gleichung
+mit der gleichen Methode lösen, man addiert $-b=(b_-,b_+)$ und bekommt
+die Lösung
+\[
+\begin{aligned}
+(a_+,a_-) &= (u,v) + (b_+,b_-)
+&
+\quad &\Rightarrow \quad
+&
+(u,v)+(b_+,b_-) + (b_-,b_+)
+&=
+(a_+,a_-) + (b_-,b_+)
+\\
+&&
+\quad &\Rightarrow \quad
+&
+(u,v) &= (a_++b_-,a_-+b_+).
+\end{aligned}
+\]
+
 \subsubsection{Ring}
 \index{Ring}%
 Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring},
 \index{Ring}%
-eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und
+eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion und
 Multiplikation definiert sind.
 Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt,
 darunter
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cgit v1.2.1

