From fad0bd1f2032b530d71370e66b3b2bb75b7ef20a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 21 Sep 2021 15:51:04 +0200 Subject: fixes kapitel 1 --- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 21 +++++++++++++-------- 1 file changed, 13 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 17f6e16..f1f2f05 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -17,7 +17,7 @@ haben weiterhin keine Lösung. Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, die Ordnungsrelation zu erhalten. \index{Ordnungsrelation}% -Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen +Diese ermöglicht, Näherungsintervalle und Intervallschachtelungen zu definieren. Die Ordnungsrelation sagt aber auch, dass $x^2\ge 0$ ist für jedes @@ -66,7 +66,7 @@ ist \] mit den Rechenoperationen~\eqref{buch:zahlen:cregeln}. Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler -reeller Vektorraum. +reeller Vektorraum mit Basisvektoren $1$ und $i$. \subsubsection{Real- und Imaginärteil} Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$ @@ -74,8 +74,11 @@ Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$ und $b$ heisst der {\em Imaginärteil} $\Im z$. \index{Imaginärteil}% Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, -sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend -auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. +wenn man $\mathbb{C}$ als linearen $\mathbb{R}$-Vektorraum betrachtet. +Sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend +auch die {\em reelle} und die {\em imaginäre Achse} heissen. +\index{reelle Achse}% +\index{imaginäre Achse}% Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: \[ @@ -97,7 +100,8 @@ Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:ringe} komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben. \subsubsection{Gausssche Zahlenebene} -Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ +Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$, +wie wir bereits ausgeführt haben, zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der sogenannten {\em Gaussschen Ebene} betrachten (Abbildung~\ref{buch:zahlen:cfig}). @@ -110,7 +114,7 @@ genauer untersuchen müssen. \centering \includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} \caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der -Gaussschen Zahlenebene +Gaussschen Zahlen\-ebene \label{buch:zahlen:cfig}} \end{figure}% @@ -125,8 +129,9 @@ charakterisiert werden. \subsubsection{Komplexe Konjugation} Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte -{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$. -Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil +{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$ zu. +Mit Hilfe der komplexen Konjugation $z\mapsto\overline{z}$ +kann man den Real- und Imaginärteil \index{komplexe Konjugation}% \index{Konjugation, komplexe}% algebraisch ausdrücken: -- cgit v1.2.1