From 7c20e14c7fe17b8a5489888d682e7b021c52a72f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 25 Feb 2021 11:32:52 +0100 Subject: new slides --- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 33 +++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 33 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index c4bf402..f378aaf 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -237,7 +237,40 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\} &\phantom{n}\vdots \end{align*} +\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen} +Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus +der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut. +Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen. +Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst, +dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben. +\begin{definition} +Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung +$A\to A$ auch surjektiv ist. +\index{endlich}% +Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig}, +\index{gleich mächtig}% +in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion +$A\to B$ gibt. +\end{definition} +Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten +natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert. +Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen +Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$. +Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz +explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen. +Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse +$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält, die die +gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben. +Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen +Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde. + +Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der +die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach +Konstruktion von $\mathbb{N}$. +Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir +von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern, +dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist. -- cgit v1.2.1