From 61fc78a9f2f6d524ba506703bfcd766e2a56aa1e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 30 Aug 2021 20:32:46 +0200 Subject: review chapter 1 --- buch/chapters/05-zahlen/rational.tex | 26 +++++++++++++++++++------- 1 file changed, 19 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen/rational.tex') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex index 9d2f59e..4a2342e 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -14,8 +14,8 @@ die negativen Zahlen kennenlernen. Wir können hierbei denselben Trick anwenden, wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen. -Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und -\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. +Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente wir \emph{Zähler} und +\emph{Nenner} nennen, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten \[ (a, b) + (c, d) @@ -27,8 +27,8 @@ Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten (ac, bd) . \] -Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als -$z \mapsto (z, 1)$ einbetten. +Die ganzen Zahlen $z\in\mathbb{Z}$ lassen sich in dieser Darstellung als +$z \mapsto (z, 1)$ in diese Menge von Paaren einbetten. Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung aber nicht eindeutig. @@ -67,6 +67,7 @@ Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$. Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet. +\index{Bruch}% Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} @@ -120,6 +121,7 @@ Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können. Die Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ist die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. +\index{Q@$\mathbb{Q}$}% In $\mathbb{Q}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation mit den gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben, uneingeschränkt möglich. @@ -127,7 +129,7 @@ uneingeschränkt möglich. \subsubsection{Kehrwert} Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$, der sogenannte {\em Kehrwert} -\index{Kehrwert} +\index{Kehrwert}% konstruieren. Er hat die Eigenschaft, dass \[ @@ -139,7 +141,7 @@ Er hat die Eigenschaft, dass \] gilt. Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene -rationale Zahl hat eine Inverse. +rationale Zahl hat eine solche Inverse. \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen} Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen. @@ -165,13 +167,23 @@ und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch $0$ dividiert werden kann. Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen. +Eine formelle Definition eines Körpers werden wir in +Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerper} geben. Wir werden im Folgenden für verschiedene Anwendungszwecke weitere Körper konstruieren, zum Beispiel die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die rationalen Zahlen $\mathbb{C}$. Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen. -\index{$\Bbbk$}% +\index{k@$\Bbbk$}% +Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle ELemente ausser $0$ +invertierbar sind. +Diese wichtige Teilmenge wird mit $\Bbbk^* = \Bbbk \setminus\{0\}$ mit +bezeichnet. +In dieser Relation sind beliebige Multiplikationen ausführbar, das Element +$1\in\Bbbk^*$ ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation. +Die Menge $\Bbbk^*$ trägt die Struktur einer Gruppe, siehe dazu auch +den Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}. -- cgit v1.2.1