From 70215b72a37c2191bc6119c008d2117ed122cc7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 27 Jan 2021 15:04:26 +0100 Subject: Typos. --- buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex | 8 ++++---- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 2 +- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 14 +++++++------- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 13 +++++++------ buch/chapters/05-zahlen/reell.tex | 14 +++++++------- 5 files changed, 26 insertions(+), 25 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex index fe294d6..56ef096 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex @@ -10,10 +10,10 @@ Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen. -Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen -von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen. +Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen. +Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen. Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen -mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die +mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die komplexen Zahlen machen werden. In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten @@ -21,7 +21,7 @@ Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen werden. Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall -einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits +einerseits neue Objekte postuliert, andererseits aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können. \input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 8dd4a62..8a13de8 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -57,7 +57,7 @@ a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. -Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen +Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen Äquivalenzklassen. Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 0c5eb70..3cbf473 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Komplexe Zahlen \label{buch:section:komplexe-zahlen}} \rhead{Komplexe Zahlen} -In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, -andere, z.~B.~die Gleichung +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen. +Andere, z.~B.~die Gleichung \begin{equation} x^2+1=0, \label{buch:zahlen:eqn:igleichung} @@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden: \end{aligned} \label{buch:zahlen:cregeln} \end{equation} -Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln +Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$. Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen @@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum. Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, -sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen +sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: @@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden, ob eine Zahl $0$ ist. Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. -Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der -Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist. +Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der +Zahlenebene verschieden von $0$ ist. Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als \[ |z|^2 @@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl. \subsubsection{Division} Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten. Dies ist durchaus nicht selbstverständlich. -Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für +Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 278aa5e..086658f 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -34,7 +34,7 @@ $n'\in \mathbb{N}$. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren -Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. +Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?... \end{enumerate} \subsubsection{Addition} @@ -145,7 +145,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac \qquad\text{und}\qquad (a+b)c = ac+bc \] -gilt. +gelten. Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des Ausmultiplizierens aus. Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den @@ -165,13 +165,14 @@ Lösung in $\mathbb{N}$ hat. \index{teilbar}% Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst, denn $n\cdot 1 = n$. -Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen +Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich. +Die Zahlen \[ \mathbb{P} = -\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\} +\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\} \] -haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}. +haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}. \index{Primzahl}% Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena für die Zahlentheorie. @@ -205,7 +206,7 @@ Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen \begin{align*} 0 &= \emptyset \\ -1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\} +1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\} \\ 2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\} \\ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index 1f241a2..4064887 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -12,8 +12,8 @@ Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den Pythagoräern aufgefallen. Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind. -Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber -wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können +Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber +wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden, kleiner werdenden Intervallen \[ @@ -28,13 +28,13 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. -Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl, +Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. -Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge -aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$. -Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$ -es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ +Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge +aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten. +Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ +eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon)$. Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar. -- cgit v1.2.1