From 6c6543a136f7e18bfb002f6cc72381c8d33d1c14 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 15 Jan 2021 17:04:33 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Einleitung=20und=20Kapitel=201=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc | 13 ++ buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex | 37 +++++ buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 114 +++++++++++++ buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 281 +++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 224 ++++++++++++++++++++++++++ buch/chapters/05-zahlen/rational.tex | 113 +++++++++++++ buch/chapters/05-zahlen/reell.tex | 88 +++++++++++ 7 files changed, 870 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/rational.tex create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/reell.tex (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc b/buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..566217d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/Makefile.inc @@ -0,0 +1,13 @@ +# +# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 0.5 +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/05-zahlen/natuerlich.tex \ + chapters/05-zahlen/ganz.tex \ + chapters/05-zahlen/rational.tex \ + chapters/05-zahlen/reell.tex \ + chapters/05-zahlen/komplex.tex \ + chapters/05-zahlen/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..fe294d6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex @@ -0,0 +1,37 @@ +% +% chapter.tex -- Kapitel mit den Grunddefinition und Notationen +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\chapter{Zahlen +\label{buch:chapter:zahlen}} +\lhead{Zahlen} +\rhead{} + +Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter +mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen. +Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen +von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen. +Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen +mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die +komplexen Zahlen machen werden. + +In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten +Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und +komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen +werden. +Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall +einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits +aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können. + +\input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex} +\input{chapters/05-zahlen/ganz.tex} +\input{chapters/05-zahlen/rational.tex} +\input{chapters/05-zahlen/reell.tex} +\input{chapters/05-zahlen/komplex.tex} + +%\section*{Übungsaufgaben} +%\aufgabetoplevel{chapters/05-zahlen/uebungsaufgaben} +%\begin{uebungsaufgaben} +%\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex new file mode 100644 index 0000000..8dd4a62 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -0,0 +1,114 @@ +% +% ganz.tex -- Ganze Zahlen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Ganze Zahlen +\label{buch:section:ganze-zahlen}} +\rhead{Ganze Zahlen} +Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede ganzzahlige +Gleichung der Form $x+a=b$ eine Lösung hat. +Dazu ist erforderlich, den natürlichen Zahlen die negativen Zahlen +hinzuzufügen, also wieder die Existenz neuer Objekte zu postulieren, +die die Rechenregeln weiterhin erfüllen. + +\subsubsection{Paare von natürlichen Zahlen} +Die ganzen Zahlen können konstruiert werden als Paare $(u,v)$ von +natürlichen Zahlen $u,v\in\mathbb{N}$. +Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichn Zahlen, die +Paare $(0,v)$ sind die negativen Zahlen. +Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert: +\begin{equation} +\begin{aligned} +(a,b)+(u,v) &= (a+u,b+v) +\\ +(a,b)\cdot (u,v) &= (au+bv,av+bu) +\end{aligned} +\label{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} +\end{equation} + +\subsubsection{Äquivalenzrelation} +Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} +erzeugt neue Paare, die wir noch nicht interpretieren können. +Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$, die Paare $(u,u)$ +müssen daher alle mit der ganzen Zahl $0$ identifiziert werden. +Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit +``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen, +allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz +noch gar nicht definiert ist. +Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn +\begin{equation} +(a,b) \sim (c,d) +\qquad\Leftrightarrow\qquad +a+d = c+d +\label{buch:zahlen:ganz-aquivalenz} +\end{equation} +gilt. +Diese Bedingung erhält man, indem man zu $a-b=c-d$ die Summe $b+d$ +hinzuaddiert. +Ein ganzen Zahl $z$ ist daher eine Menge von Paaren von natürlichen +Zahlen mit der Eigenschaft +\[ +(a,b)\in z\;\wedge (a',b')\in z +\qquad\Leftrightarrow\qquad +(a,b)\sim(a',b') +\qquad\Leftrightarrow\qquad +a+b' = a'+b. +\] +Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. + +Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen +Äquivalenzklassen. +Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise +darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der +Form $(n,0)$. + +\subsubsection{Entgegengesetzter Wert} +Zu jeder ganzen Zahl $z$ dargestellt durch das Paar $(a,b)$ +stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft +\begin{equation} +z+(b,a) += +(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0. +\label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} +\end{equation} +Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet, +die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit +abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben. + +\subsubsection{Lösung von Gleichungen} +Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen +immer gelöst werden. +Dazu schreibt man $a,b\in\mathbb{N}$ als Paare und sucht die +Lösung in der Form $x=(u,v)$. +Man erhält +\begin{align*} +(a,0) &= (u,v) + (b,0) +\\ +(a+b,b) &= (u+b,v) +\end{align*} +Das Paar $(u,v) = (a,b)$ ist eine Lösung, die man normalerweise als +$a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt. + +\subsubsection{Ring} +\index{Ring}% +Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring, +eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und +Multiplikation definiert sind. +Weitere Beispiel werden später vorgestellt, +der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome} +und +der Ring der $n\times n$-Matrizen in +Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}. +In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ +ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ. +$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe +kommutativ. +Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger +und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie. +\index{Ring!kommutativer}% + + + + + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex new file mode 100644 index 0000000..7198e68 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -0,0 +1,281 @@ +% +% komplex.tex -- komplexe Zahlen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Komplexe Zahlen +\label{buch:section:komplexe-zahlen}} +\rhead{Komplexe Zahlen} +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, +andere, z.~B.~die Gleichung +\begin{equation} +x^2+1=0, +\label{buch:zahlen:eqn:igleichung} +\end{equation} +haben weiterhin keine Lösung. +Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, +die Ordnungsrelation zu erhalten. +Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen +zu definieren. + +Die Ordnungsrelation sagt aber auch, dass $x^2\ge 0$ ist für jedes +$x\in\mathbb{R}$, so dass $x^2+1>0$ sein muss. +Dies ist der Grund, warum die Gleichung \ref{buch:zahlen:eqn:igleichung} +keine Lösung in $\mathbb{R}$ haben kann. +Im Umkehrschluss folgt auch, dass eine Erweiterung der reellen Zahlen, +in der die Gleichung \eqref{buch:zahlen:eqn:igleichung} lösbar ist, +ohne die Ordnungsrelation auskommen muss. +Es muss darin Zahlen geben, deren Quadrat negativ ist und der +Grössenvergleich dieser Zahlen untereinander ist nur eingeschränkt +möglich. + +\subsubsection{Imaginäre und komplexe Zahlen} +Den reellen Zahlen fehlen also Zahlen, deren Quadrat negativ ist. +Nach inzwischen bewährtem Muster konstruieren wird die neuen Zahlen +daher als Paare $(a,b)$. +Die erste Komponente soll die bekannten reellen Zahlen darstellen, +deren Quadrat positiv ist. +Die zweite Komponente soll für die Zahlen verwendet werden, deren Quadrat +negativ ist. +Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir auch mit dem +Paar $(0,1)$ und schreiben dafür auch $i=(0,1)$ mit $i^2=-1$. + +Die Rechenregeln sollen weiterhin erhalten bleiben, sie müssen daher +wie folgt definiert werden: +\begin{equation} +\begin{aligned} +(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) & (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i +\\ +(a,b) \cdot (c,d) & (ad-bd, ad+bc) & (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i. +\end{aligned} +\label{buch:zahlen:cregeln} +\end{equation} +Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln +in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$. + +Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen +ist +\[ +\mathbb{C} += +\{a+bi\;|\;a,b\in\mathbb{R}\} +\] +mit den Rechenoperationen~\eqref{buch:zahlen:cregeln}. +Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler +reeller Vektorraum. + +\subsubsection{Real- und Imaginärteil} +Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ +und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. +Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, +sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen +auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. + +Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: +\[ +\Re (iz) += +-b += +-\Im z +\qquad\text{und}\qquad +\Im (iz) += +a += +\Re z. +\] +Zusätzlich kehrt das Vorzeichen der einen Komponente. +Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in Abschnitt~XXX +komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben. + +\subsubsection{Komplexe Konjugation} +Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte +{\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$. +Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil +algebraisch ausdrücken: +\[ +\Re z += +\frac{z+\overline{z}}2 += +\frac{a+bi+a-bi}{2} += +\frac{2a}2 +=a +\qquad\text{und}\qquad +\Im z += +\frac{z-\overline{z}}{2i} += +\frac{a+bi-a+bi}{2i} += +\frac{2bi}{2i} += +b. +\] +In der Gaussschen Zahlenebene ist die komplexe Konjugation eine +Spiegelung an der reellen Achse. + +\subsubsection{Betrag} +In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden, +ob eine Zahl $0$ ist. +Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. +In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. +Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der +Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist. +Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als +\[ +|z|^2 += +a^2 +b^2 += +(\Re z)^2 + (\Im z)^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +|z| += +\sqrt{a^2+b^2} += +\sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2}. +\] +Der Betrag lässt sich auch mit Hilfe der komplexen Konjugation ausdrücken, +es ist $z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2+abi-abi+b^2 = |z|^2$. +Der Betrag ist immer eine reelle Zahl. + +\subsubsection{Division} +Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten. +Dies ist durchaus nicht selbstverständlich. +Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für +einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. +Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen +Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden +kann, sind $2$, $4$ und $8$. +Nur in Dimension $2$ ist ein kommutatives Produkt möglich, dies muss das +Produkt der komplexen Zahlen sein. + +Wie berechnet man den Quotienten $\frac{z}{w}$ für zwei beliebige komplexe +Zahlen $z=a+bi$ und $w=c+di$ mit $w\ne 0$? +Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners: +\begin{align*} +\frac{z}{w} +&= +\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}} += +\frac{z\overline{w}}{|w|^2} +\end{align*} +Da der Nenner $|w|^2>0$ eine reelle Zahl ist, ist die Division einfach, +es ist die Multiplikation mit der reellen Zahl $1/|w|^2$. + +Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken: +\begin{align*} +\frac{z}{w} +&= +\frac{a+bi}{c+di} += +\frac{(a+bi)(c+di)}{(c+di)(c-di)} += +\frac{ac-bd +(ad+bc)i}{c^2+d^2}. +\end{align*} + +\subsubsection{Gausssche Zahlenebene} +Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ +zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. +Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der +sogenannten Gaussschen Ebene betrachten. +Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle +Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten +genauer untersuchen müssen. + +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=1.5] +\pgfmathparse{atan(2/3)} +\xdef\winkel{\pgfmathresult} +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle; +\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}]; +\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2); +\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$}; +\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$}; +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2); +\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$}; +\def\punkt#1{ + \fill[color=white] #1 circle[radius=0.04]; + \draw #1 circle[radius=0.04]; +} +\punkt{(0,0)} +\punkt{(3,2)} +\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$}; +\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0) + [rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$}; +\end{tikzpicture} +\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der +Gaussschen Zahlenebene +\label{buch:zahlen:cfig}} +\end{figure} +Die Zahlenebene führt auf eine weitere Parametrisierung einer +komplexen Zahl. +Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den Betrag +und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt +beschrieben werden. + + +\subsubsection{Geometrische Interpretation der Rechenoperationen} +Die Addition kompelxer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition +in der Gausschen Zahlenebene. +Die Multiplikation ist etwas komplizierter, wir berechnen Betrag +und Argument von $zw$ separat. +Für den Betrag erhalten wir +\begin{align*} +|zw|^2 +&= +z\overline{z}w\overline{w} += +|z|^2|w|^2 +\end{align*} +Der Betrag des Produktes ist also das Produkt der Beträge. + +Für das Argument verwenden wir, dass +\[ +\tan\operatorname{arg}z += +\frac{\Im z}{\Re z} += +\frac{b}{a} +\qquad\Rightarrow\qquad +b=a\tan\operatorname{arg}z +\] +und analog für $w$. +Bei der Berechnung des Produktes behandeln wir nur den Fall $a\ne 0$ +und $c\ne 0$, was uns ermöglicht, den Bruch durch $ac$ zu kürzen: +\begin{align*} +\tan\arg wz +&= +\frac{\Im wz}{\Re wz} += +\frac{ad+bc}{ac-bd} += +\frac{\frac{d}{c} + \frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}\frac{d}{c}} += +\frac{ +\tan\operatorname{arg}z+\tan\operatorname{arg}w +}{ +1+ +\tan\operatorname{arg}z\cdot\tan\operatorname{arg}w +} += +\tan\bigl( +\operatorname{arg}z+\operatorname{arg}w +\bigr). +\end{align*} +Im letzten Schritt haben wir die Additionsformel für den Tangens verwendet. +Daraus liest man ab, dass das Argument eines Produkts die Summe der +Argumente ist. +Die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl führt also mit der ganzen +komplexen Ebene eine Drehstreckung durch. +Auf diese geometrische Beschreibung der Multiplikation werden wir zurückkommen, +wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen. + + + + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex new file mode 100644 index 0000000..278aa5e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -0,0 +1,224 @@ +% +% natuerlich.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Natürlich Zahlen +\label{buch:section:natuerliche-zahlen}} +\rhead{Natürliche Zahlen} +Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen. +\index{natürliche Zahlen}% +\index{$\mathbb{N}$}% +Sie abstrahieren das Konzept der Anzahl der Elemente einer endlichen +Menge. +Da die leere Menge keine Elemente hat, muss die Menge der natürlichen +Zahlen auch die Zahl $0$ enthalten. +Wir schreiben +\[ +\mathbb{N} += +\{ +0,1,2,3,\dots +\}. +\] + +\subsubsection{Peano-Axiome} +Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano beschreiben: +\index{Peano-Axiome}% +\begin{enumerate} +\item $0\in\mathbb N$. +\item Jede Zahl $n\in \mathbb{N}$ hat einen {\em Nachfolger} +$n'\in \mathbb{N}$. +\index{Nachfolger}% +\item $0$ ist nicht Nachfolger einer Zahl. +\item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, +$n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. +\item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren +Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. +\end{enumerate} + +\subsubsection{Addition} +Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung +die vertrautere Addition konstruieren. +\index{Addition!in $\mathbb{N}$}% +Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also +$n+m$ auszurechnen, kann man rekursiven Regeln +\begin{align*} +n+0&=n\\ +n+m'&=(n+m)' +\end{align*} +festlegen. +Nach diesen Regeln ist +\[ +5+3 += +5+2' += +(5+2)' += +(5+1')' += +((5+1)')' += +((5+0')')' += +(((5)')')'. +\] +Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen. +Sie Zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter. +Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$. + +Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst +eine Halbgruppe. +Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen +lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung. +Die Addition ist nicht immer umkehrbar. + +\subsubsection{Multiplikation} +Es ist klar, dass auch die Multiplikation definiert werden kann, +sobald die Addition definiert ist. +Die Rekursionsformeln +\begin{align} +n\cdot 0 &= 0 \notag \\ +n\cdot m' &= n\cdot m + n +\label{buch:zahlen:multiplikation-rekursion} +\end{align} +legen jedes Produkt von natürlichen Zahlen fest, zum Beispiel +\[ +5\cdot 3 += +5\cdot 2' += +5\cdot 2 + 5 += +5\cdot 1' + 5 += +5\cdot 1 + 5 + 5 += +5\cdot 0' + 5 + 5 += +5\cdot 0 + 5 + 5 + 5 += +5 + 5 + 5. +\] +Doch auch bezüglich der Multiplikation ist $\mathbb{N}$ unvollständig, +die Beispielgleichung $3x=1$ hat eine Lösung in $\mathbb{N}$. + +\subsubsection{Rechenregeln} +Aus den Definitionen lassen sich auch die Rechenregeln ableiten, +die man für die alltägliche Rechnung braucht. +Zum Beispiel kommt es nicht auf die Reihenfolge der Summanden +oder Faktoren an. +Das {\em Kommutativgesetz} besagt +\[ +a+b=b+a +\qquad\text{und}\qquad +a\cdot b = b\cdot a. +\] +\index{Kommutativgesetz}% +Die Kommutativität der Addition werden wir auch in allen weiteren +Konstruktionen voraussetzen. +Die Kommutativität des Produktes ist allerdings weniger selbstverständlich +und wird beim Matrizenprodukt nur noch für spezielle Faktoren zutreffen. + +Eine Summe oder ein Produkt mit mehr als zwei Summanden bzw.~Faktoren +kann in jeder beliebigen Reihenfolge ausgewertet werden, +\[ +(a+b)+c += +a+(b+c) +\qquad\text{und}\qquad +(a\cdot b)\cdot c += +a\cdot (b\cdot c) +\] +dies ist das Assoziativgesetz. +Es gestattet auch eine solche Summe oder ein solches Produkt einfach +als $a+b+c$ bzw.~$a\cdot b\cdot c$ zu schreiben, da es ja keine Rolle +spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet. + +Die Konstruktion der Multiplikation als iterierte Addition mit Hilfe +der Rekursionsformel \eqref{buch:zahlen:multiplikation-rekursion} +hat auch zur Folge, dass die {\em Distributivgesetze} +\[ +a\cdot(b+c) = ab+ac +\qquad\text{und}\qquad +(a+b)c = ac+bc +\] +gilt. +Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des +Ausmultiplizierens aus. +Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den +Objekten so rechnen kann, wie man das in der elementaren Algebra +gelernt hat. +Auch das Distributivgesetz ist daher eine Rechenregel, die wir in +Zukunft immer dann fordern werden, wenn Addition und Multiplikation +definiert sind. +Es gilt immer für Matrizen. + +\subsubsection{Teilbarkeit} +Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$ +gibt aber Anlass zu dem sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit. +\index{Teilbarkeit}% +Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine +Lösung in $\mathbb{N}$ hat. +\index{teilbar}% +Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst, +denn $n\cdot 1 = n$. +Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen +\[ +\mathbb{P} += +\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\} +\] +haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}. +\index{Primzahl}% +Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena +für die Zahlentheorie. +\index{Zahlentheorie}% + +\subsubsection{Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre} +Die Peano-Axiome postulieren, dass es natürliche Zahlen gibt. +Es werden keine Anstrengungen unternommen, die natürlichen Zahlen +aus noch grundlegenderen mathematischen Objekten zu konstruieren. +Die Mengenlehre bietet eine solche Möglichkeit. +Da die natürlichen Zahlen das Konzept der Anzahl der Elemente einer +Menge abstrahieren, gehört die leere Menge zur Zahl $0$. +Die Zahl $0$ kann also durch die leere Menge $\emptyset = \{\}$ +wiedergegeeben werden. +Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit zwei Elementen konstruiert +werden. +Das einzige mit Sicherheit existierende Objekt, das für diese Menge +zur Verfügung steht, ist $\emptyset$. +Zur Zahl $1$ gehört daher die Menge $\{\emptyset\}$, eine Menge mit +genau einem Element. +Stellt die Menge $N$ die Zahl $n$ dar, dann können wir die zu $n+1$ +gehörige Menge $N'$ dadurch konstruieren, dass wir zu den Elemente +von $N$ in zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist, +zum Beispiel $N$: +\[ +N' = N \cup \{ N \}. +\] +Die natürlichen Zahlen existieren also, wenn wir akzeptieren, dass es +Mengen gibt. +Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen +\begin{align*} +0 &= \emptyset +\\ +1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\} +\\ +2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\} +\\ +3 &= 2 \cup \{ 2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\} +\\ +&\phantom{n}\vdots +\\ +n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\} +\\ +&\phantom{n}\vdots +\end{align*} + + + + + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex new file mode 100644 index 0000000..aeb0b6b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -0,0 +1,113 @@ +% +% rational.tex -- rationale Zahlen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Rationale Zahlen +\label{buch:section:rationale-zahlen}} +\rhead{Rationale Zahlen} +In den ganzen Zahlen sind immer noch nicht alle linearen Gleichungen +lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$. +Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie +die negativen Zahlen kennenlernen. + +\subsubsection{Brüche} +Rationale Zahlen sind Paare von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$, +die in der speziellen Schreibweise $\frac{a}{b}$ dargestellt werden. +Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation sind +\begin{align*} +\frac{a}{b}+\frac{c}{d} +&= +\frac{ad+bc}{bd}, +\\ +\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} +&= +\frac{ac}{bd}. +\end{align*} +Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die +Regeln +\begin{align*} +\frac{a}{b}+\frac{0}{d} &= \frac{ad}{bd} +\\ +\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} &= \frac{0}{bc} +\\ +\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} &= \frac{a}{b}. +\end{align*} +Wir sind uns gewohnt, die Brüche $\frac{0}{b}$ mit der Zahl $0$ und +$\frac{1}{1}$ mit der Zahl $1$ zu identifizieren. + +\subsubsection{Kürzen} +Wie bei den ganzen Zahlen entstehen durch die Rechenregeln viele Brüche, +denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten +Zum Beispiel folgt +\[ +\frac{ac}{bc} - \frac{a}{b} += +\frac{abc-abc}{b^2c} += +\frac{0}{b^2c}, +\] +wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten. +Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ +als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt. + +Die Definition bestätigt, dass die beiden Brüche +\[ +\frac{ac}{bc} +\qquad\text{und}\qquad +\frac{a}{b} +\] +als gleichwertig zu betrachten sind. +Der Übergang von links nach rechts heisst {\em Kürzen}, +\index{Kürzen}% +der Übergang von rechts nach links heisst {\em Erweitern}. +\index{Erweitern}% +Eine rationale Zahl ist also eine Menge von Brüchen, die durch +Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können. + +Die Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ist die Menge $\mathbb{Q}$ +der rationalen Zahlen. +In $\mathbb{Q}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation mit den +gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben, +uneingeschränkt möglich. + +\subsubsection{Kehrwert} +Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$, +der sogenannte {\em Kehrwert} +\index{Kehrwert} +konstruieren. +Er hat die Eigenschaft, dass +\[ +\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} += +\frac{ab}{ba} += +1 +\] +gilt. +Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene +rationale Zahl hat eine Inverse. + +\subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen} +Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen. +Die Gleichung $ax=b$ hat die Lösung +\[ +ax = \frac{a}{1} \frac{u}{v} = \frac{b}{1} +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{1}{a} + \frac{a}{1} \frac{u}{v} = \frac{1}{a}\frac{b}{1} +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{u}{v} = \frac{b}{a}. +\] +Dasselbe gilt auch für rationale Koeffizienten $a$ und $b$. +In der Menge $\mathbb{Q}$ kann man also beliebige lineare Gleichungen +lösen. + +\subsubsection{Körper} +$\mathbb{Q}$ ist ein Beispiel für einen sogenannten {\em Körper}, +in dem die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation +und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch +$0$ dividiert werden kann. +Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare +Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen. + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex new file mode 100644 index 0000000..1f241a2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% reell.tex -- reelle Zahlen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Reelle Zahlen +\label{buch:section:reelle-zahlen}} +\rhead{Reelle Zahlen} +In den rationalen Zahlen lassen sich algebraische Gleichungen höheren +Grades immer noch nicht lösen. +Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den +Pythagoräern aufgefallen. +Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach +Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind. +Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber +wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können +wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden, +kleiner werdenden Intervallen +\[ +\biggl[1,\frac32\biggr],\; +\biggl[\frac75,\frac{17}{12}\biggr],\; +\biggl[\frac{41}{29},\frac{99}{70}\biggr],\; +\biggl[\frac{239}{169},\frac{577}{408}\biggr],\; +\dots +\] +enthalten sein muss\footnote{Die Näherungsbrüche konvergieren sehr +schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der +Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}. +Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und +die intervalllänge konvergiert gegen 0. +Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl, +aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. + +Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge +aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$. +Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$ +es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ +für $n,m>N(\varepsilon)$. +Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also +mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar. + +Nicht jede Cauchy-Folge hat eine rationale Zahl als Grenzwert. +Da wir für solche Folgen noch keine Zahlen als Grenzwerte haben, +nehmen wir die Folge als eine mögliche Darstellung der Zahl. +Die Folge kann man ja auch verstehen als eine Vorschrift, wie man +Approximationen der Zahl berechnen kann. + +Zwei verschiedene Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ und +$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ +können den gleichen Grenzwert haben. +So sind +\[ +\begin{aligned} +a_n&\colon&& +1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169}, +\frac{577}{408},\dots +\\ +b_n&\colon&& +1,1.4,1.41,1.412,1.4142,1.41421,1.414213,1.4142135,\dots +\end{aligned} +\] +beide Folgen, die die Zahl $\sqrt{2}$ approximieren. +Im Allgemeinen tritt dieser Fall ein, wenn $|a_n-b_n|$ eine +Folge mit Grenzwert $0$ oder Nullfolge ist. +Eine reelle Zahl ist also die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen, +deren Differenzen Nullfolgen sind. + +Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man also ansehen +als bestehend aus Mengen von Folgen, die alle den gleichen Grenzwert +haben. +Die Rechenregeln der Analysis +\[ +\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) += +\lim_{n\to\infty} a_n + +\lim_{n\to\infty} b_n +\qquad\text{und}\qquad +\lim_{n\to\infty} a_n \cdot b_n += +\lim_{n\to\infty} a_n \cdot +\lim_{n\to\infty} b_n +\] +stellen sicher, dass sich die Rechenoperationen von den rationalen +Zahlen auf die reellen Zahlen übertragen lassen. + + + + -- cgit v1.2.1 From 8dd4a3d16d7386e03adf91177734e813963b0f3b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 17 Jan 2021 21:02:58 +0100 Subject: neue Sachen zur linearen Algebra --- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 116 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 116 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 7198e68..0c5eb70 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -276,6 +276,122 @@ komplexen Ebene eine Drehstreckung durch. Auf diese geometrische Beschreibung der Multiplikation werden wir zurückkommen, wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen. +\subsubsection{Algebraische Vollständigkeit} +Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind als Erweiterung von $\mathbb{R}$ +so konstruiert worden, dass die Gleichung $x^2+1=0$ eine Lösung hat. +Etwas überraschend ist dagegen, dass in dieser Erweiterung jetzt jede +beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden. +Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. + +\begin{satz}[Fundamentalsatz der Algebra] +\index{Fundamentalsatz der Algebra}% +Jede algebraische Gleichung der Form +\[ +p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0,\qquad a_k\in\mathbb{C} +\] +mit komplexen Koeffizienten hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit +gezähle Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$ +lässt sich in Linearfaktoren +\[ +p(x) += +(x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_m)^{k_m} +\] +zerlegen, wobei $k_1+k_2+\dots+k_m=n$. +Die Zahlen $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$. +\end{satz} + +Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Carl Friedrich Gauss +\index{Gauss, Carl Friedrich}% +bewiesen. +Seither sind viele alternative Beweise mit Methoden aus den verschiedensten +Gebieten der Mathematik gegeben worden. +Etwas salopp könnten man sagen, dass der Fundamentalsatz ausdrückt, dass +die Konstruktion der Zahlensysteme mit $\mathbb{C}$ abgeschlossen ist, +soweit damit die Lösbarkeit beliebiger Gleichungen angestrebt ist. + +\subsubsection{Quaternionen und Octonionen} +Die komplexen Zahlen ermöglichen eine sehr effiziente Beschreibung +geometrischer Abbildungen wie Translationen, Spiegelungen und +Drehstreckungen in der Ebene. +Es drängt sich damit die Frage auf, ob sich $\mathbb{C}$ so erweitern +lässt, dass man damit auch Drehungen im dreidimensionalen Raum +beschreiben könnte. +Da Drehungen um verschiedene Achsen nicht vertauschen, kann eine solche +Erweiterung nicht mehr kommutativ sein. + +William Rowan Hamilton propagierte ab 1843 eine Erweiterung von $\mathbb{C}$ +mit zwei zusätzlichen Einheiten $j$ und $k$ mit den nichtkommutativen +Relationen +\begin{equation} +i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. +\label{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} +\end{equation} +Er nannte die Menge aller Linearkombinationen +\[ +\mathbb{H} = \{ a_0+a_1i+a_2j+a_3k\;|\; a_l\in \mathbb{R}\} +\] +die {\em Quaternionen}, die Einheiten $i$, $j$ und $k$ heissen auch +\index{Quaternionen}% +Einheitsquaternionen. +\index{Einheitsquaternionen}% +Konjugation, Betrag und Division können ganz ähnlich wie bei den +komplexen Zahlen definiert werden und machen $\mathbb{H}$ zu einer +sogenannten {\em Divisionsalgebra}. +\index{Divisionsalgebra}% +Alle Rechenregeln mit Ausnahme der Kommutativität der Multiplikation +sind weiterhin gültig und durch jede von $0$ verschiedene Quaternion +kann auch dividiert werden. + +Aus den Regeln für die Quadrate der Einheiten in +\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} folgt zum Beispiel +$i^{-1}=-i$, $j^{-1}=-j$ und $k^{-1}=-k$. +Die letzte Bedingung liefert daraus +\[ +ijk=-1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\quad +\begin{aligned} +ij +&= +ijkk^{-1}=-1k^{-1}=k +\\ +i^2jk&=-i=-jk +\\ +-j^2k&=-ji=k +\end{aligned} +\right. +\] +Aus den Relationen~\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} +folgt also insbesondere auch, dass $ij=-ji$. +Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-kj$ und $ik=-ki$. +Man sagt, die Einheiten sind {\em antikommutativ}. +\index{antikommutativ}% + +Die Beschreibung von Drehungen mit Quaternionen ist in der +Computergraphik sehr beliebt, weil eine Quaternion mit nur vier +Komponenten $a_0,\dots,a_3$ vollständig beschrieben ist. +Eine Transformationsmatrix des dreidimensionalen Raumes enthält +dagegen neun Koeffizienten, die vergleichsweise komplizierte +Abhängigkeiten erfüllen müssen. +Quaternionen haben auch in weiteren Gebieten interessante Anwendungen, +zum Beispiel in der Quantenmechanik, wo antikommutierende Operatoren +bei der Beschreibung von Fermionen eine zentrale Rolle spielen. + +Aus rein algebraischer Sicht kann man die Frage stellen, ob es eventuell +auch noch grössere Divisionsalgebren gibt, die $\mathbb{H}$ erweitern. +Tatsächlich hat Arthur Cayley 1845 eine achtdimensionale Algebra, +die Oktonionen $\mathbb{O}$, mit vier weiteren Einheiten beschrieben. +\index{Cayley, Arthur}% +Allerdings sind die Oktonionen nur beschränkt praktisch anwendbar. +Grund dafür ist die Tatsache, dass die Multiplikation in $\mathbb{O}$ +nicht mehr assoziativ ist. +Das Produkt von mehr als zwei Faktoren aus $\mathbb{O}$ ist von der +Reihenfolge der Ausführung der Multiplikationen abhängig. + + + -- cgit v1.2.1 From 70215b72a37c2191bc6119c008d2117ed122cc7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 27 Jan 2021 15:04:26 +0100 Subject: Typos. --- buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex | 8 ++++---- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 2 +- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 14 +++++++------- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 13 +++++++------ buch/chapters/05-zahlen/reell.tex | 14 +++++++------- 5 files changed, 26 insertions(+), 25 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex index fe294d6..56ef096 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex @@ -10,10 +10,10 @@ Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen. -Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen -von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen. +Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen. +Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen. Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen -mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die +mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die komplexen Zahlen machen werden. In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten @@ -21,7 +21,7 @@ Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen werden. Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall -einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits +einerseits neue Objekte postuliert, andererseits aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können. \input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 8dd4a62..8a13de8 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -57,7 +57,7 @@ a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. -Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen +Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen Äquivalenzklassen. Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 0c5eb70..3cbf473 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Komplexe Zahlen \label{buch:section:komplexe-zahlen}} \rhead{Komplexe Zahlen} -In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, -andere, z.~B.~die Gleichung +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen. +Andere, z.~B.~die Gleichung \begin{equation} x^2+1=0, \label{buch:zahlen:eqn:igleichung} @@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden: \end{aligned} \label{buch:zahlen:cregeln} \end{equation} -Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln +Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$. Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen @@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum. Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, -sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen +sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: @@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden, ob eine Zahl $0$ ist. Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. -Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der -Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist. +Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der +Zahlenebene verschieden von $0$ ist. Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als \[ |z|^2 @@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl. \subsubsection{Division} Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten. Dies ist durchaus nicht selbstverständlich. -Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für +Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 278aa5e..086658f 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -34,7 +34,7 @@ $n'\in \mathbb{N}$. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren -Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. +Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?... \end{enumerate} \subsubsection{Addition} @@ -145,7 +145,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac \qquad\text{und}\qquad (a+b)c = ac+bc \] -gilt. +gelten. Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des Ausmultiplizierens aus. Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den @@ -165,13 +165,14 @@ Lösung in $\mathbb{N}$ hat. \index{teilbar}% Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst, denn $n\cdot 1 = n$. -Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen +Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich. +Die Zahlen \[ \mathbb{P} = -\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\} +\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\} \] -haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}. +haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}. \index{Primzahl}% Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena für die Zahlentheorie. @@ -205,7 +206,7 @@ Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen \begin{align*} 0 &= \emptyset \\ -1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\} +1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\} \\ 2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\} \\ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index 1f241a2..4064887 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -12,8 +12,8 @@ Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den Pythagoräern aufgefallen. Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind. -Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber -wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können +Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber +wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden, kleiner werdenden Intervallen \[ @@ -28,13 +28,13 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. -Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl, +Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. -Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge -aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$. -Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$ -es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ +Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge +aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten. +Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ +eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon)$. Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar. -- cgit v1.2.1 From 8c13f45cc6ea69a4df05f10cf153a0df20fb5034 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 3 Feb 2021 20:15:18 +0100 Subject: Rationale Zahlen als Paare (a, b). --- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 16 +++--- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 35 ++++++++----- buch/chapters/05-zahlen/rational.tex | 93 ++++++++++++++++++++++++++-------- 3 files changed, 103 insertions(+), 41 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 8a13de8..4809e29 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -3,11 +3,13 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Ganze Zahlen \label{buch:section:ganze-zahlen}} \rhead{Ganze Zahlen} -Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede ganzzahlige -Gleichung der Form $x+a=b$ eine Lösung hat. +Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede +Gleichung der Form $x+a=b$ mit $a, b \in \mathbb N$ +eine Lösung $x \in \mathbb N$ hat. Dazu ist erforderlich, den natürlichen Zahlen die negativen Zahlen hinzuzufügen, also wieder die Existenz neuer Objekte zu postulieren, die die Rechenregeln weiterhin erfüllen. @@ -15,9 +17,9 @@ die die Rechenregeln weiterhin erfüllen. \subsubsection{Paare von natürlichen Zahlen} Die ganzen Zahlen können konstruiert werden als Paare $(u,v)$ von natürlichen Zahlen $u,v\in\mathbb{N}$. -Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichn Zahlen, die +Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichen Zahlen, die Paare $(0,v)$ sind die negativen Zahlen. -Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert: +Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: \begin{equation} \begin{aligned} (a,b)+(u,v) &= (a+u,b+v) @@ -30,8 +32,8 @@ Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert: \subsubsection{Äquivalenzrelation} Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} erzeugt neue Paare, die wir noch nicht interpretieren können. -Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$, die Paare $(u,u)$ -müssen daher alle mit der ganzen Zahl $0$ identifiziert werden. +Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$. +Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden. Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen, allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz @@ -40,7 +42,7 @@ Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn \begin{equation} (a,b) \sim (c,d) \qquad\Leftrightarrow\qquad -a+d = c+d +a+d = c+b \label{buch:zahlen:ganz-aquivalenz} \end{equation} gilt. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 086658f..3863191 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -3,6 +3,7 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Natürlich Zahlen \label{buch:section:natuerliche-zahlen}} \rhead{Natürliche Zahlen} @@ -42,7 +43,7 @@ Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung die vertrautere Addition konstruieren. \index{Addition!in $\mathbb{N}$}% Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also -$n+m$ auszurechnen, kann man rekursiven Regeln +$n+m$ auszurechnen, kann man rekursive Regeln \begin{align*} n+0&=n\\ n+m'&=(n+m)' @@ -102,7 +103,7 @@ legen jedes Produkt von natürlichen Zahlen fest, zum Beispiel 5 + 5 + 5. \] Doch auch bezüglich der Multiplikation ist $\mathbb{N}$ unvollständig, -die Beispielgleichung $3x=1$ hat eine Lösung in $\mathbb{N}$. +die Beispielgleichung $3x=1$ hat keine Lösung in $\mathbb{N}$. \subsubsection{Rechenregeln} Aus den Definitionen lassen sich auch die Rechenregeln ableiten, @@ -146,24 +147,27 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac (a+b)c = ac+bc \] gelten. -Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des +Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig, +zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden. + +Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des Ausmultiplizierens aus. Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den Objekten so rechnen kann, wie man das in der elementaren Algebra gelernt hat. -Auch das Distributivgesetz ist daher eine Rechenregel, die wir in +Auch die Distributivgesetze sind daher Rechenregeln, die wir in Zukunft immer dann fordern werden, wenn Addition und Multiplikation definiert sind. -Es gilt immer für Matrizen. +Sie gelten immer für Matrizen. \subsubsection{Teilbarkeit} Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$ -gibt aber Anlass zu dem sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit. +gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit. \index{Teilbarkeit}% Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine Lösung in $\mathbb{N}$ hat. \index{teilbar}% -Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst, +Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar, denn $n\cdot 1 = n$. Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich. Die Zahlen @@ -183,11 +187,13 @@ Die Peano-Axiome postulieren, dass es natürliche Zahlen gibt. Es werden keine Anstrengungen unternommen, die natürlichen Zahlen aus noch grundlegenderen mathematischen Objekten zu konstruieren. Die Mengenlehre bietet eine solche Möglichkeit. + Da die natürlichen Zahlen das Konzept der Anzahl der Elemente einer Menge abstrahieren, gehört die leere Menge zur Zahl $0$. Die Zahl $0$ kann also durch die leere Menge $\emptyset = \{\}$ -wiedergegeeben werden. -Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit zwei Elementen konstruiert +wiedergegeben werden. + +Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit einem Element konstruiert werden. Das einzige mit Sicherheit existierende Objekt, das für diese Menge zur Verfügung steht, ist $\emptyset$. @@ -195,22 +201,23 @@ Zur Zahl $1$ gehört daher die Menge $\{\emptyset\}$, eine Menge mit genau einem Element. Stellt die Menge $N$ die Zahl $n$ dar, dann können wir die zu $n+1$ gehörige Menge $N'$ dadurch konstruieren, dass wir zu den Elemente -von $N$ in zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist, -zum Beispiel $N$: +von $N$ ein zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist, +zum Beispiel $\{N\}$: \[ N' = N \cup \{ N \}. \] + Die natürlichen Zahlen existieren also, wenn wir akzeptieren, dass es Mengen gibt. -Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen +Die natürlichen Zahlen sind dann nacheinander die Mengen \begin{align*} 0 &= \emptyset \\ 1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\} \\ -2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\} +2 &= 1 \cup \{1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\} \\ -3 &= 2 \cup \{ 2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\} +3 &= 2 \cup \{2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\} \\ &\phantom{n}\vdots \\ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex index aeb0b6b..5c76896 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -3,6 +3,7 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Rationale Zahlen \label{buch:section:rationale-zahlen}} \rhead{Rationale Zahlen} @@ -11,34 +12,86 @@ lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$. Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie die negativen Zahlen kennenlernen. +Wir können hierbei denselben Trick anwenden, +wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen. +Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und +\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. +Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten +\[ +(a, b) + (c, d) += +(ad + bc, bd) +\qquad \text{und} \qquad +(a, b) \cdot (c, d) += +(ac, bd) +. +\] +Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als +$z \mapsto (z, 1)$ einbetten. + +Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung +aber nicht eindeutig. +Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor +unterscheiden, +\[ +(a, b) +\sim +(c, d) +\quad \Leftrightarrow \quad +\exists \lambda \in \mathbb Z \colon +\lambda a = c +\wedge +\lambda b = d +. +\] +Dass es sich hierbei wieder um eine Äquivalenzrelation handelt, lässt sich +einfach nachprüfen. + +Durch die neuen Regen gibt es nun zu jedem Paar $(a, b)$ mit $a \ne 0$ +ein Inverses $(b, a)$ bezüglich der Multiplikation, +wie man anhand der folgenden Rechnung sieht, +\[ +(a, b) \cdot (b, a) += +(a \cdot b, b \cdot a) += +(a \cdot b, a \cdot b) +\sim +(1, 1) +. +\] + \subsubsection{Brüche} -Rationale Zahlen sind Paare von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$, -die in der speziellen Schreibweise $\frac{a}{b}$ dargestellt werden. -Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation sind -\begin{align*} +Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von +ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$. +Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation +als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet. +Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten +\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} -&= += \frac{ad+bc}{bd}, -\\ +\qquad\text{und}\qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} -&= -\frac{ac}{bd}. -\end{align*} -Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die += +\frac{ac}{bd} +\] +und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die Regeln -\begin{align*} -\frac{a}{b}+\frac{0}{d} &= \frac{ad}{bd} -\\ -\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} &= \frac{0}{bc} -\\ -\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} &= \frac{a}{b}. -\end{align*} +\[ +\frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b}, +\qquad +\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} = \frac{0}{bc} +\qquad\text{und}\qquad +\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}. +\] Wir sind uns gewohnt, die Brüche $\frac{0}{b}$ mit der Zahl $0$ und $\frac{1}{1}$ mit der Zahl $1$ zu identifizieren. \subsubsection{Kürzen} Wie bei den ganzen Zahlen entstehen durch die Rechenregeln viele Brüche, -denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten +denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten. Zum Beispiel folgt \[ \frac{ac}{bc} - \frac{a}{b} @@ -50,8 +103,8 @@ Zum Beispiel folgt wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten. Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt. - -Die Definition bestätigt, dass die beiden Brüche +Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation +und bestätigt, dass die beiden Brüche \[ \frac{ac}{bc} \qquad\text{und}\qquad -- cgit v1.2.1 From 80a0db65be9dd3d36b3d5503fdcbfac16f6783e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 4 Feb 2021 13:24:09 +0100 Subject: Frobenius+Binomialkoeffizienten farbig --- buch/chapters/05-zahlen/rational.tex | 11 +++++++++++ 1 file changed, 11 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex index 5c76896..9d2f59e 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -143,6 +143,7 @@ rationale Zahl hat eine Inverse. \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen} Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen. +\index{lineares Gleichungssystem}% Die Gleichung $ax=b$ hat die Lösung \[ ax = \frac{a}{1} \frac{u}{v} = \frac{b}{1} @@ -158,9 +159,19 @@ lösen. \subsubsection{Körper} $\mathbb{Q}$ ist ein Beispiel für einen sogenannten {\em Körper}, +\index{Körper}% in dem die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch $0$ dividiert werden kann. Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen. +Wir werden im Folgenden für verschiedene Anwendungszwecke weitere Körper +konstruieren, zum Beispiel die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die +rationalen Zahlen $\mathbb{C}$. +Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den +Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen. +\index{$\Bbbk$}% + + + -- cgit v1.2.1 From ada53a9c225b896c8d7608300427aac475bb7045 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 9 Feb 2021 21:52:16 +0100 Subject: move all iamges to separate files --- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 8 ++++++ buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf | Bin 0 -> 18852 bytes buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex | 39 +++++++++++++++++++++++++++++ buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 22 +--------------- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 13 +++++++++- 5 files changed, 60 insertions(+), 22 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 4809e29..fab2dcb 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -28,6 +28,14 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: \end{aligned} \label{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} \end{equation} +Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen +findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen +{\em Soll} und {\em Haben} verwendet. +Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an. +Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich +nichts. +Viele der Paare $(a,b)$ müssen also als äquivalent angesehen +werden. \subsubsection{Äquivalenzrelation} Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf new file mode 100644 index 0000000..d502e3c Binary files /dev/null and b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf differ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex new file mode 100644 index 0000000..8cda85b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +% +% komplex.tex -- Betrag und Argument einer komplexen Zahl +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1.5} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\pgfmathparse{atan(2/3)} +\xdef\winkel{\pgfmathresult} +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle; +\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}]; +\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2); +\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$}; +\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$}; +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2); +\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$}; +\def\punkt#1{ + \fill[color=white] #1 circle[radius=0.04]; + \draw #1 circle[radius=0.04]; +} +\punkt{(0,0)} +\punkt{(3,2)} +\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$}; +\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0) + [rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 3cbf473..2a9b4a9 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -188,27 +188,7 @@ genauer untersuchen müssen. \begin{figure} \centering -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=1.5] -\pgfmathparse{atan(2/3)} -\xdef\winkel{\pgfmathresult} -\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle; -\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}]; -\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}]; -\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2); -\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$}; -\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$}; -\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2); -\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$}; -\def\punkt#1{ - \fill[color=white] #1 circle[radius=0.04]; - \draw #1 circle[radius=0.04]; -} -\punkt{(0,0)} -\punkt{(3,2)} -\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$}; -\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0) - [rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$}; -\end{tikzpicture} +\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} \caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der Gaussschen Zahlenebene \label{buch:zahlen:cfig}} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 3863191..acad943 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -35,9 +35,20 @@ $n'\in \mathbb{N}$. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren -Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?... +Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$. \end{enumerate} +\subsubsection{Vollständige Induktion} +Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion. +Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$ +mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit +$X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist. +Die Induktionsverankerung beweist, dass $P(0)$ wahr ist, dass also $0\in X$. +Der Induktionsschritt beweist, dass mit einer Zahl $n\in X$ auch der +Nachfolger $n'\in X$ ist. +Nach dem letzten Axiom ist $\mathbb{N}\subset X$, oder anders ausgedrückt, +die Aussage $P(n)$ ist wahr für jede natürliche Zahl. + \subsubsection{Addition} Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung die vertrautere Addition konstruieren. -- cgit v1.2.1 From 91c10b924bdb368cec6c7ad2c11e18f7fc5ba431 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 10 Feb 2021 13:10:49 +0100 Subject: Typos. --- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index acad943..c4bf402 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % % !TeX spellcheck = de_CH -\section{Natürlich Zahlen +\section{Natürliche Zahlen \label{buch:section:natuerliche-zahlen}} \rhead{Natürliche Zahlen} Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen. -- cgit v1.2.1 From d20b4e69550932aec04e00f37169b679c5addcc6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 22 Feb 2021 11:08:01 +0100 Subject: typo --- buch/chapters/05-zahlen/reell.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index 4064887..d5a193f 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -25,7 +25,7 @@ kleiner werdenden Intervallen \] enthalten sein muss\footnote{Die Näherungsbrüche konvergieren sehr schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der -Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}. +Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, -- cgit v1.2.1 From 7c20e14c7fe17b8a5489888d682e7b021c52a72f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 25 Feb 2021 11:32:52 +0100 Subject: new slides --- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 33 +++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 33 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index c4bf402..f378aaf 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -237,7 +237,40 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\} &\phantom{n}\vdots \end{align*} +\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen} +Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus +der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut. +Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen. +Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst, +dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben. +\begin{definition} +Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung +$A\to A$ auch surjektiv ist. +\index{endlich}% +Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig}, +\index{gleich mächtig}% +in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion +$A\to B$ gibt. +\end{definition} +Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten +natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert. +Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen +Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$. +Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz +explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen. +Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse +$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält, die die +gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben. +Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen +Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde. + +Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der +die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach +Konstruktion von $\mathbb{N}$. +Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir +von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern, +dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist. -- cgit v1.2.1 From 917efe64d35cba4ded21cff86e4bcf01f2ec9902 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 2 Mar 2021 11:47:05 +0100 Subject: typos --- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 5 ++++- 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 2a9b4a9..4ccea89 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -149,7 +149,10 @@ Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden -kann, sind $2$, $4$ und $8$. +kann\footnote{Der Beweis dieser Aussage ist ziemlich schwierig und wurde +erst im 20.~Jahrhundert mit Hilfe der Methoden der algebraischen Topologie +erbracht. Eine Übersicht über den Beweis kann in Kapitel~10 von +\cite{buch:ebbinghaus} gefunden werden.}, sind $2$, $4$ und $8$. Nur in Dimension $2$ ist ein kommutatives Produkt möglich, dies muss das Produkt der komplexen Zahlen sein. -- cgit v1.2.1