From ada53a9c225b896c8d7608300427aac475bb7045 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 9 Feb 2021 21:52:16 +0100 Subject: move all iamges to separate files --- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 8 ++++++ buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf | Bin 0 -> 18852 bytes buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex | 39 +++++++++++++++++++++++++++++ buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 22 +--------------- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 13 +++++++++- 5 files changed, 60 insertions(+), 22 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf create mode 100644 buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex (limited to 'buch/chapters/05-zahlen') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 4809e29..fab2dcb 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -28,6 +28,14 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: \end{aligned} \label{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} \end{equation} +Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen +findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen +{\em Soll} und {\em Haben} verwendet. +Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an. +Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich +nichts. +Viele der Paare $(a,b)$ müssen also als äquivalent angesehen +werden. \subsubsection{Äquivalenzrelation} Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf new file mode 100644 index 0000000..d502e3c Binary files /dev/null and b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf differ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex new file mode 100644 index 0000000..8cda85b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +% +% komplex.tex -- Betrag und Argument einer komplexen Zahl +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1.5} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\pgfmathparse{atan(2/3)} +\xdef\winkel{\pgfmathresult} +\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle; +\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}]; +\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2); +\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$}; +\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$}; +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2); +\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$}; +\def\punkt#1{ + \fill[color=white] #1 circle[radius=0.04]; + \draw #1 circle[radius=0.04]; +} +\punkt{(0,0)} +\punkt{(3,2)} +\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$}; +\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0) + [rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 3cbf473..2a9b4a9 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -188,27 +188,7 @@ genauer untersuchen müssen. \begin{figure} \centering -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=1.5] -\pgfmathparse{atan(2/3)} -\xdef\winkel{\pgfmathresult} -\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle; -\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}]; -\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}]; -\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2); -\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$}; -\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$}; -\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2); -\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$}; -\def\punkt#1{ - \fill[color=white] #1 circle[radius=0.04]; - \draw #1 circle[radius=0.04]; -} -\punkt{(0,0)} -\punkt{(3,2)} -\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$}; -\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0) - [rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$}; -\end{tikzpicture} +\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} \caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der Gaussschen Zahlenebene \label{buch:zahlen:cfig}} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 3863191..acad943 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -35,9 +35,20 @@ $n'\in \mathbb{N}$. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren -Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?... +Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$. \end{enumerate} +\subsubsection{Vollständige Induktion} +Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion. +Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$ +mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit +$X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist. +Die Induktionsverankerung beweist, dass $P(0)$ wahr ist, dass also $0\in X$. +Der Induktionsschritt beweist, dass mit einer Zahl $n\in X$ auch der +Nachfolger $n'\in X$ ist. +Nach dem letzten Axiom ist $\mathbb{N}\subset X$, oder anders ausgedrückt, +die Aussage $P(n)$ ist wahr für jede natürliche Zahl. + \subsubsection{Addition} Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung die vertrautere Addition konstruieren. -- cgit v1.2.1