From 474af74b757abcc54670c8de170c7458543a801a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 29 Jan 2021 20:59:05 +0100 Subject: new stuff about parrondo --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex | 95 +++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 93 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex index 821c408..6b355ee 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex @@ -3,5 +3,96 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Algebren -\label{buch:grundlagen:section:algebren}} +\subsection{Algebren +\label{buch:grundlagen:subsection:algebren}} + +\subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$} +Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$. +Auf $\Bbbk^X$ kann man Addition, Multiplikation mit Skalaren und +Multiplikation von Funktionen punktweise definieren. +Für zwei Funktion $f,g\in\Bbbk^X$ und $\lambda\in\Bbbk$ definiert man +\[ +\begin{aligned} +&\text{Summe $f+g$:} +& +(f+g)(x) &= f(x)+g(x) +\\ +&\text{Skalare $\lambda f$:} +& +(\lambda f)(x) &= \lambda f(x) +\\ +&\text{Produkt $f\cdot g$:} +& +(f\cdot g)(x) &= f(x) g(x) +\end{aligned} +\] +Man kann leicht nachprüfen, dass die Menge der Funktionen $\Bbbk^X$ +mit diesen Verknüfungen die Struktur einer $\Bbbk$-Algebra erhält. + +Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$ hat auch ein Einselement: +die konstante Funktion +\[ +1\colon [a,b] \to \Bbbk : x \mapsto 1 +\] +mit Wert $1$ erfüllt +\[ +(1\cdot f)(x) = 1(x) f(x) = f(x) +\qquad\Rightarrow\qquad 1\cdot f = f, +\] +die Eigenschaft einer Eins in der Algebra. + +\subsubsection{Die Algebra der stetigen Funktionen $C([a,b])$} +Die Menge der stetigen Funktionen $C([a,b])$ ist natürlich eine Teilmenge +aller Funktionen: $C([a,b])\subset \mathbb{R}^{[a,b]}$ und erbt damit +auch die Algebraoperationen. +Man muss nur noch sicherstellen, dass die Summe von stetigen Funktionen, +das Produkt einer stetigen Funktion mit einem Skalar und das Produkt von +stetigen Funktionen wieder eine stetige Funktion ist. +Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn an jeder Stelle der Grenzwert +mit dem Funktionswert übereinstimmt. +Genau dies garantieren die bekannten Rechenregeln für stetige Funktionen. +Für zwei stetige Funktionen $f,g\in C([a,b])$ und einen Skalar +$\lambda\in\mathbb{R}$ gilt +\[ +\begin{aligned} +&\text{Summe:} +& +\lim_{x\to x_0} (f+g)(x) +&= +\lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) += +\lim_{x\to x_0} f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) += +f(x_0)+g(x_0) = (f+g)(x_0) +\\ +&\text{Skalare:} +& +\lim_{x\to x_0} (\lambda f)(x) +&= +\lim_{x\to x_0} (\lambda f(x)) = \lambda \lim_{x\to x_0} f(x) += +\lambda f(x_0) = (\lambda f)(x_0) +\\ +&\text{Produkt:} +& +\lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x) +&= +\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x) += +\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot +\lim_{x\to x_0} g(x) += +f(x_0)g(x_0) += +(f\cdot g)(x_0). +\end{aligned} +\] +für jeden Punkt $x_0\in[a,b]$. +Damit ist $C([a,b])$ eine $\mathbb{R}$-Algebra. +Die Algebra hat auch eine Eins, da die konstante Funktion $1(x)=1$ +stetig ist. + + + + + -- cgit v1.2.1 From 6e8e590acec6c5e94497f386ad36849f9b4825fc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 1 Feb 2021 13:29:17 +0100 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cbersicht=20algebraische=20Strukturen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex | 35 ++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 35 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex index 6b355ee..9e1d3dc 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex @@ -5,6 +5,41 @@ % \subsection{Algebren \label{buch:grundlagen:subsection:algebren}} +Die Skalar-Multiplikation eines Vektorraums ist in einem Ring nicht +vorhanden. +Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch +ein Vektorraum. +Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$} +ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist. +Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation +verträglich sein. +Dazu müssen Assoziativgesetze +\[ +\lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a +\qquad\text{und}\qquad +\lambda(ab) = (\lambda a) b +\] +für $a,b\in A$ und $\lambda,\mu\in\Bbbk$ +und eine Regel der Form +\begin{equation} +a(\lambda b) = \lambda (ab) +\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} +\end{equation} +gelten. +Die Bedingung \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} ist +eine Folge der Forderung, dass die Multiplikation +eine lineare Abbildung sein soll. +Dies bedeutet, dass +\begin{equation} +a(\lambda b+\mu c) = \lambda (ab) + \mu (ac), +\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear} +\end{equation} +woraus +\eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} +für $\mu=0$ folgt. +Die Regel \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear} +beinhaltet aber auch das Distributivgesetz. +$M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra. \subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$} Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$. -- cgit v1.2.1