From 78a408188971844605dc913dc2a5ddcb99023150 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 30 Jan 2021 12:39:53 +0100
Subject: add more algebra stuff

---
 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex | 121 ++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 121 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex')

diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 1f9db81..b4e0982 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -183,6 +183,127 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
 Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
 bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
 
+\subsubsection{Homomorphismen}
+Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
+dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren.
+Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung,
+das neutrale Element und die Inverse respektiert werden müssen.
+
+\begin{definition}
+Ein Abbildung $\varphi\colon G\to H$ zwischen Gruppen heisst ein
+{\em Homomorphismus}, wenn 
+$\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$ für alle $g_1,g_2\in G$ gilt.
+\index{Homomorphismus}%
+\end{definition}
+
+Der Begriff des Kerns einer linearen Abbildung lässt sich ebenfalls auf
+die Gruppensituation erweitern.
+Auch hier ist der Kern der Teil der Gruppe, er unter dem 
+Homomorphismus ``unsichtbar'' wird.
+
+\begin{definition}
+Ist $\varphi\colon G\to H$ ein Homomorphisus, dann ist
+\[
+\ker\varphi
+=
+\{g\in G\;|\; \varphi(g)=e\}
+\]
+eine Untergruppe.
+\index{Kern}%
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Normalteiler}
+Der Kern eines Homomorphismus ist nicht nur eine Untergruppe, er erfüllt
+noch eine zusätzliche Bedingung. 
+Für jedes $g\in G$ und $h\in\ker\varphi$ gilt 
+\[
+\varphi(ghg^{-1})
+=
+\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g^{-1})
+=
+\varphi(g)\varphi(g^{-1})
+=
+\varphi(gg^{-1})
+=
+\varphi(e)
+=
+e
+\qquad\Rightarrow\qquad
+ghg^{-1}\in\ker\varphi.
+\]
+Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$,
+der {\em Konjugation} in sich abgebildet.
+
+\begin{definition}
+Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler},
+geschrieben $H \triangleleft G$
+wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$.
+\index{Normalteiler}
+\end{definition}
+
+Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns
+bei der Basistransformationsformel schon begegnet.
+Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt,
+kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter
+Basistransformation erhalten bleibt.
+
+\subsubsection{Faktorgruppen}
+Ein Unterraum $U\subset V$ eines Vektorraumes gibt Anlass zum
+Quotientenraum, der dadurch entsteht, dass man die Vektoren in $U$
+zu $0$ kollabieren lässt.
+Eine ähnliche Konstruktion könnte man für eine Untergruppe $H \subset G$
+versuchen.
+Man bildet also wieder die Mengen von Gruppenelementen, die sich um
+ein Elemente in $H$ unterscheiden.
+Man kann diese Mengen in der Form $gH$ mit $g\in G$ schreiben.
+
+Man möchte jetzt aber auch die Verknüpfung für solche Mengen 
+definieren, natürlich so, dass $g_1H\cdot g_2H = (g_1g_2)H$ ist.
+Da die Verknüpfung nicht abelsch sein muss, entsteht hier
+ein Problem.
+Für $g_1=e$ folgt, dass $Hg_2H=g_2H$ sein muss.
+Das geht nur, wenn $Hg_2=g_2H$ oder $g_2Hg_2^{-1}=H$ ist, wenn
+also $H$ ein Normalteiler ist.
+
+\begin{definition}
+Für eine Gruppe $G$ mit Normalteiler  $H\triangleleft G$ ist die
+Menge
+\[
+G/H = \{ gH \;|\; g\in G\}
+\]
+eine Gruppe mit der Verknüpfung $g_1H\cdot g_2H=(g_1g_2)H$.
+$G/H$ heisst {\em Faktorgruppe} oder {\em Quotientengruppe}.
+\index{Faktorgruppe}%
+\index{Quotientengruppe}%
+\end{definition}
+
+Für abelsche Gruppen ist die Normalteilerbedingung keine zusätzliche
+Einschränkung, jeder Untergruppe ist auch ein Normalteiler.
+
+\begin{beispiel}
+Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bilden eine abelsche Gruppe und
+die Menge der Vielfachen von $n$
+$n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ ist eine Untergruppe.
+Da $\mathbb{Z}$ abelsch ist, ist $n\mathbb{Z}$ ein Normalteiler
+und die Faktorgruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist wohldefiniert.
+Nur die Elemente
+\[
+0+n\mathbb{Z},
+1+n\mathbb{Z},
+2+n\mathbb{Z},
+\dots
+(n-1)+n\mathbb{Z}
+\]
+sind in der Faktorgruppe verschieden.
+Die Gruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ besteht also aus den Resten
+bei Teilung durch $n$.
+Diese Gruppe wird in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper}
+genauer untersucht.
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel suggeriert, dass man sich die Elemente von $G/H$
+als Reste vorstellen kann.
+
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1

