From 82abd76cd3df4c0a95534a6e6029fc523c5d1fee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 Aug 2021 11:05:57 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Kapitel=202=20=C3=BCberarbeitet?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex | 60 ++++++++++++++++++--------- 1 file changed, 40 insertions(+), 20 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index cb37d05..febf726 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -8,20 +8,23 @@ Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe. Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung, die additiv +\index{additive Verknüpfung}% \begin{align*} -G\times G \to G&: (g,h) = gh -\intertext{oder multiplikativ } G\times G \to G&: (g,h) = g+h +\intertext{oder multiplikativ } +G\times G \to G&: (g,h) = gh \end{align*} +\index{multiplikative Verknüpfung}% geschrieben werden kann. Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv +\index{neutrales Element}% geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$. \index{neutrales Element}% Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$. In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative -Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die -Beispiele weiter unten. +Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener Verknüpfungen +siehe auch die Beispiele weiter unten. \begin{definition} \index{Gruppe}% @@ -32,24 +35,28 @@ Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$. +\index{assoziativ}% \item Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ \item Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit $hg=e$. \end{enumerate} -Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$. +Das Element $h$ heisst auch das inverse Element zu $g$. +\index{inverses Element}% \end{definition} Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}. \index{Monoid}% -Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}. +Hat man nur eine Verknüpfung, aber kein neutrales Element, +spricht man oft von einer {\em Halbruppe}. \index{Halbgruppe}% \begin{definition} Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$. \end{definition} +\index{abelsch}% Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen, multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein. @@ -63,7 +70,9 @@ Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$. \end{beispiel} \begin{beispiel} -Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden +Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ (definiert +auf Seite~\pageref{buch:zahlen:def:bbbk*}) +eines Zahlekörpers bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$. Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$ ist $a^{-1}=\frac1{a}$. @@ -75,7 +84,7 @@ dem Nullvektor als neutralem Element. Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation mit Skalaren aus den Augen. $\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man -verliert dadurch aber +verliert dadurch aber den Blick auf die Multiplikation mit Skalaren. \end{beispiel} \begin{beispiel} @@ -115,6 +124,7 @@ Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt $xe=x$ für alle $x\in G$ \item Es gibt nur ein neutrales Element. +\index{neutrales Element}% Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$. \item Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt. @@ -171,16 +181,22 @@ f = fe = e \] aus der Eigenschaft~1. -Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist -$xg=e$, dann folgt +Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$. +Dann ist $xg=e$ und es folgt $x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$. \end{proof} -Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in +Der Frage, ob Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen, +sind wir zum Beispiel bereits in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme} -begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. -Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe -bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. +begegnet. +Dort haben wir bereits gezeigt, dass nicht nur $AA^{-1}=I$, +sondern auch $A^{-1}A=I$. +Die dabei verwendete Methode war identisch mit dem hier gezeigten +Beweis. +Da die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, stellt sich +dieses Resultat jetzt als Spezialfall des +Satzes~\ref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} dar. \subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen} Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, @@ -231,17 +247,20 @@ e ghg^{-1}\in\ker\varphi. \] Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$, -der {\em Konjugation} in sich abgebildet. +der {\em Konjugation}, in sich abgebildet. +\index{Konjugation in einer Gruppe} \begin{definition} Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler}, geschrieben $H \triangleleft G$ wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$. -\index{Normalteiler} +\index{Normalteiler}% \end{definition} Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns -bei der Basistransformationsformel schon begegnet. +bei der Basistransformationsformel +\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb} +schon begegnet. Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt, kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter Basistransformation erhalten bleibt. @@ -312,7 +331,7 @@ auf einem geeigneten Vektorraum. \begin{definition} \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} -Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus +Eine {\em Darstellung} einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus $G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. \index{Darstellung} \end{definition} @@ -324,11 +343,12 @@ sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$. -\index{reguläre Darstellung} +\index{reguläre Darstellung}% +\index{Darstellung, reguläre}% \end{beispiel} In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, -dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie +dass Permutationen einer endlichen Menge eine Gruppe bilden und wie sie durch Matrizen dargestellt werden können. -- cgit v1.2.1