From 474af74b757abcc54670c8de170c7458543a801a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 29 Jan 2021 20:59:05 +0100 Subject: new stuff about parrondo --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex | 307 +++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 307 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex new file mode 100644 index 0000000..1fd0373 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex @@ -0,0 +1,307 @@ +% +% hadamard.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Hadamard-Algebra +\label{buch:section:hadamard-algebra}} +\rhead{Hadamard-Algebra} +Das Matrizenprodukt ist nicht die einzige Möglichkeit, ein Produkt auf +Vektoren oder Matrizen zu definieren. +In diesem Abschnitt soll das Hadamard-Produkt beschrieben werden, +welches zu einer kommutativen-Algebra-Struktur führt. + +% +% Definition des Hadamard-Produktes +% +\subsection{Hadamard-Produkt +\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:hadamard-produkt}} +Im Folgenden werden wir $\Bbbk^n =M_{n\times 1}(\Bbbk)$ setzen +und den Fall der Vektoren nicht mehr separat diskutieren. +Die Addition und Multiplikation mit Skalaren ist in +$M_{m\times n}(\Bbbk)$ komponentenweise definiert. +Wir können natürlich auch ein Produkt komponentenweise definieren, +dies ist das Hadamard-Produkt. + +\begin{definition} +Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen +$A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix +$A\odot B$ +mit den Komponenten +\[ +(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}. +\] +Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ +auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$. +\end{definition} + +Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem +Produkt eine interessante algebraische Struktur erhält. +Dazu müssen die üblichen Verträglichkeitsgesetze zwischen den +Vektorraumoperationen von $M_{m\times n}(\Bbbk)$ und dem neuen Produkt +gelten, wir erhalten dann eine Algebra. +Da alle Operationen elementweise definiert sind, muss man auch alle +Rechengesetze nur elementweise prüfen. +Es gilt +\begin{align*} +A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C +&&\Leftrightarrow& +a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij} +\\ +A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C +&&\Leftrightarrow& +a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij} +\\ +(A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C +&&\Leftrightarrow& +(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij} +\\ +(\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B) +&&\Leftrightarrow& +(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +\\ +A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B) +&&\Leftrightarrow& +a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +\end{align*} +für alle $i,j$. + +Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$ +kommuativ ist. +Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem +Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende +Algebra nicht kommutativ ist. + +Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix, +die aus lauter Einsen besteht. + +\begin{definition} +Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix +\[ +U=\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +\in +M_{m\times n}(\Bbbk) +\] +mit lauter Einträgen $1\in\Bbbk$. +\end{definition} + +Die Hadamard-Algebra ist ein Spezialfall der Algebra der Funktionen +$\Bbbk^X$. +Ordnet man dem Vektor $v\in \Bbbk^n$ mit den Komponenten $v_i$ +die Abbildung +\[ +v\colon [n] \to \Bbbk: i \mapsto v_i +\] +zu, dann geht die Addition von Vektoren in die Addition von +Funktionen über, die Multiplikation von Skalaren mit Vektoren +geht in die Multiplikation von Funktionen mit Skalaren über +und die Hadamard-Multiplikation geht über in das Produkt von +Funktionen. + +Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra +betrachtet werden. +Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion +\[ +a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij} +\] +zu. +Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über +in die Algebraoperationen der Funktionenalgebra $\Bbbk^{[m]\times [n]}$. +Aus der Einsmatrix der Hadamard-Algebra wird dabei zur konstanten +Funktion $1$ auf $[m]\times[n]$. + +\subsection{Hadamard-Produkt und Matrizenalgebra +\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:vertraeglichkeit}} +Es ist nur in Ausnahmefällen, Hadamard-Produkt und Matrizen-Produkt +gleichzeitig zu verwenden. +Das liegt daran, dass die beiden Produkte sich überhaupt nicht +vertragen. + +\subsubsection{Unverträglichkeit von Hadamard- und Matrizen-Produkt} +Das Hadamard-Produkt und das gewöhnliche Matrizenprodukt sind +in keiner Weise kompatibel. +Die beiden Matrizen +\[ +A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix} +\qquad\text{und}\qquad +B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix} +\] +sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also +$AB=E$. +Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen +\[ +A\odot B += +\begin{pmatrix} +-15& 16\\ + 16&-15 +\end{pmatrix}. +\] +Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat +die Einträge $a_{ij}^{-1}$. +Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes +invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht +invertierbar. + +\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra} +Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra +betrachtet werden. +Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen +nach der Regel +\[ +\operatorname{diag} +\colon +\Bbbk^n \to M_n(\Bbbk) +: +\begin{pmatrix} +v_1\\ +\vdots\\ +v_n +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +v_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&v_n +\end{pmatrix} +\] +Das Produkt von Diagonalmatrizen ist besonders einfach. +Für zwei Vektoren $a,b\in\Bbbk^n$ +\[ +a\odot b += +\begin{pmatrix} +a_1b_1\\ +\vdots\\ +a_nb_n +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +a_1b_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&a_nb_n +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +a_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&a_n +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +b_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&b_n +\end{pmatrix}. +\] +Das Hadamard-Produkt der Vektoren geht also über in das gewöhnliche +Matrizenprodukt der Diagonalmatrizen. + +Für die Hadamard-Matrix ist die Einbettung etwas komplizierter. +Wir machen aus einer Matrix erst einen Vektor, den wir dann mit +dem $\operatorname{diag}$ in eine Diagonalmatrix umwandeln: +\[ +\begin{pmatrix} +a_{11}&\dots&a_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +a_{11}\\ +\vdots\\ +a_{1n}\\ +a_{21}\\ +\vdots\\ +a_{2n}\\ +\vdots\\ +a_{nn} +\end{pmatrix} +\] +Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in +das gewöhnliche Matrizenprodukt über. + +% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie +\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie} + +\subsection{Weitere Verknüpfungen +\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}} + +\subsubsection{Transposition} +Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition: +\[ +(A\odot B)^t = A^t \odot B^t. +\] +Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch +wieder symmetrisch. + +\subsubsection{Frobeniusnorm} +Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$ +nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht +unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt. +Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen +verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen. +Dies führt auf die folgende Definition einer Norm. + +\begin{definition} +Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$ +mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist +\[ +\| A\|_F += +\sqrt{ +\sum_{i,j} a_{ij}^2 +}. +\] +Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen +$A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$ +ist +\[ +\langle A,B\rangle_F += +\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} += +\operatorname{Spur} A^t B +\] +und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. +\end{definition} + +Für komplexe Matrizen muss + +\begin{definition} +Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ +ist +\[ +\| A\| += +\sqrt{ +\sum_{i,j} |a_{ij}|^2 +} += +\sqrt{ +\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij} +} +\] +das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen +$A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt +\[ +\langle A,B\rangle_F += +\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij} += +\operatorname{Spur} (A^* B) +\] +und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. +\end{definition} + +% XXX Frobeniusnorm + +\subsubsection{Skalarprodukt} + +% XXX Skalarprodukt + + + -- cgit v1.2.1