From 82abd76cd3df4c0a95534a6e6029fc523c5d1fee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 Aug 2021 11:05:57 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Kapitel=202=20=C3=BCberarbeitet?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex | 70 ++++++++++++-------------- 1 file changed, 32 insertions(+), 38 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex index 1fd0373..787b0f5 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex @@ -25,14 +25,16 @@ dies ist das Hadamard-Produkt. \begin{definition} Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen +\index{Hadamard-Produkt}% $A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix $A\odot B$ mit den Komponenten \[ -(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}. +(A\odot B)_{i\!j} = (A)_{i\!j} (B)_{i\!j}. \] Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ -auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$. +auch die {\em Hadamard-Algebra} $H_{m\times n}(\Bbbk)$. +\index{Hadamard-Algebra}% \end{definition} Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem @@ -46,30 +48,30 @@ Es gilt \begin{align*} A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C &&\Leftrightarrow& -a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij} +a_{i\!j}(b_{i\!j}c_{i\!j}) &= (a_{i\!j}b_{i\!j})c_{i\!j} \\ A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C &&\Leftrightarrow& -a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij} +a_{i\!j}(b_{i\!j}+c_{i\!j}) &= a_{i\!j}b_{i\!j} + a_{i\!j}c_{i\!j} \\ (A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C &&\Leftrightarrow& -(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij} +(a_{i\!j}+b_{i\!j})c_{i\!j}&=a_{i\!j}c_{i\!j} + b_{i\!j}c_{i\!j} \\ (\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B) &&\Leftrightarrow& -(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +(\lambda a_{i\!j})b_{i\!j}&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j}) \\ A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B) &&\Leftrightarrow& -a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +a_{i\!j}(\lambda b_{i\!j})&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j}) \end{align*} für alle $i,j$. Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$ kommuativ ist. Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem -Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende +Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entstehende Algebra nicht kommutativ ist. Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix, @@ -77,6 +79,7 @@ die aus lauter Einsen besteht. \begin{definition} Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix +\index{Einsmatrix} \[ U=\begin{pmatrix} 1&1&\dots&1\\ @@ -106,7 +109,7 @@ Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra betrachtet werden. Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion \[ -a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij} +a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{i\!j} \] zu. Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über @@ -131,7 +134,7 @@ A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix} B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix} \] sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also -$AB=E$. +$AB=I$. Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen \[ A\odot B @@ -141,13 +144,15 @@ A\odot B 16&-15 \end{pmatrix}. \] -Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat -die Einträge $a_{ij}^{-1}$. -Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes +Die Inverse einer Matrix $A$ bezüglich des Hadamard-Produktes hat +die Einträge $a_{i\!j}^{-1}$. +Die Matrix $I$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht invertierbar. +Umgekehrt ist die Einsmatrix $U$ invertierbar bezüglich des +Hadamard-Produktes, aber für $n>1$ nicht für das Matrizenprodukt. -\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra} +\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra in eine Matrizenalgebra} Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra betrachtet werden. Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen @@ -224,36 +229,32 @@ a_{nn} Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in das gewöhnliche Matrizenprodukt über. -% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie -\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie} - -\subsection{Weitere Verknüpfungen -\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}} - \subsubsection{Transposition} Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition: +\index{Transposition}% \[ (A\odot B)^t = A^t \odot B^t. \] Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch wieder symmetrisch. -\subsubsection{Frobeniusnorm} +\subsubsection{Frobenius-Norm} Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$ nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt. Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen -verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen. +verträglichen Norm nicht von den spezifischen Dimensionen $m$ und $n$ abhängen. Dies führt auf die folgende Definition einer Norm. \begin{definition} -Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$ -mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist +Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$ +\index{Frobenius-Norm}% +mit den Einträgen $(a_{i\!j})=A$ ist \[ \| A\|_F = \sqrt{ -\sum_{i,j} a_{ij}^2 +\sum_{i,j} a_{i\!j}^2 }. \] Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen @@ -262,14 +263,15 @@ ist \[ \langle A,B\rangle_F = -\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} +\sum_{i,j} a_{i\!j} b_{i\!j} = \operatorname{Spur} A^t B \] und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. \end{definition} -Für komplexe Matrizen muss +Für komplexe Matrizen muss die Definition angepasst werden, damit +das Skalarprodukt sesquilinear und positiv definit wird. \begin{definition} Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ @@ -278,11 +280,11 @@ ist \| A\| = \sqrt{ -\sum_{i,j} |a_{ij}|^2 +\sum_{i,j} |a_{i\!j}|^2 } = \sqrt{ -\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij} +\sum_{i,u} \overline{a}_{i\!j} a_{i\!j} } \] das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen @@ -290,18 +292,10 @@ $A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt \[ \langle A,B\rangle_F = -\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij} +\sum_{i,j}\overline{a}_{i\!j} b_{i\!j} = \operatorname{Spur} (A^* B) \] und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. \end{definition} -% XXX Frobeniusnorm - -\subsubsection{Skalarprodukt} - -% XXX Skalarprodukt - - - -- cgit v1.2.1