From 812a80acf52275699afb285db46aa76be03006c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 18 Jan 2021 21:01:26 +0100
Subject: add more stuff about spectral radius

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 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex | 170 ---------------------------
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@@ -857,173 +857,3 @@ Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum
 \]
 von $\Bbbk^m$, aufgespannt von den Spaltenvektoren $a_i$ von $A$.
 
-\subsubsection{Kern und Bild von Matrixpotenzen}
-In diesem Abschnitt ist $A\in M_n(\Bbbk)$, $A$ beschreibt eine lineare
-Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to \Bbbk^n$.
-In diesem Abschnitt sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht
-werden.
-\begin{definition}
-Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit
-\[
-\mathcal{K}^k(A)
-=
-\ker A^k
-\qquad\text{und}\qquad
-\mathcal{J}^k(A)
-=
-\operatorname{im} A^k.
-\]
-\end{definition}
-
-Durch Iteration wird das Bild immer kleiner.
-Wegen
-\[
-\mathcal{J}^k (A)
-=
-\operatorname{im} A^k
-=
-\operatorname{im} A^{k-1} A
-=
-\{ A^{k-1} Av\;|\; v \in \Bbbk^n\}
-\subset
-\{ A^{k-1} v\;|\; v \in \Bbbk^n\}
-=
-\mathcal{J}^{k-1}(A)
-\]
-folgt
-\begin{equation}
-\Bbbk^n
-=
-\operatorname{im}E
-=
-\operatorname{im}A^0
-=
-\mathcal{J}^0(A)
-\supset
-\mathcal{J}^1(A)
-=
-\operatorname{im}A
-\supset
-\mathcal{J}^2(A)
-\supset\dots\supset
-\mathcal{J}^k(A)
-\supset
-\mathcal{J}^{k+1}(A)
-\supset \dots \supset
-\{0\}.
-\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Jkchain}
-\end{equation}
-Für die Kerne gilt etwas Ähnliches.
-Ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ erfüllt $A^kx=0$.
-Dann erfüllt er aber erst recht auch
-\[
-A^{k+1}x=A\underbrace{A^kx}_{\displaystyle=0}=0,
-\]
-also ist $x\in\mathcal{K}^k(A)$.
-Es folgt
-\begin{equation}
-\{0\}
-\subset
-\mathcal{K}^0(A) = \ker A^0 = \ker E
-\subset
-\mathcal{K}^1(A) = \ker A
-\subset
-\dots
-\subset
-\mathcal{K}^k(A)
-\subset
-\mathcal{K}^{k+1}(A)
-\subset
-\dots
-\subset
-\Bbbk^n.
-\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Kkchain}
-\end{equation}
-Neben diesen offensichtlichen Resultaten kann man aber noch mehr
-sagen.
-Es ist klar, dass in beiden Ketten
-\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Jkchain}
-und
-\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Kkchain}
-nur in höchstens $n$ Schritten eine wirkliche Änderung stattfinden 
-kann.
-Man kann aber sogar genau sagen, wo Änderungen stattfinden:
-
-\begin{satz}
-\label{buch:vektoren-und-matrizen:satz:ketten}
-Ist $A\in M_n(\Bbbk)$ eine $n\times n$-Matrix, dann gibt es eine Zahl $k$
-so, dass
-\[
-\begin{array}{rcccccccccccl}
-0=\mathcal{K}^0(A)
-&\subsetneq& \mathcal{K}^1(A) &\subsetneq& \mathcal{K}^2(A)
-&\subsetneq&\dots&\subsetneq&
-\mathcal{K}^k(A) &=& \mathcal{K}^{k+1}(A) &=& \dots
-\\
-\Bbbk^n= \mathcal{J}^0(A)
-&\supsetneq& \mathcal{J}^1(A) &\supsetneq& \mathcal{J}^2(A)
-&\supsetneq&\dots&\supsetneq&
-\mathcal{J}^k(A) &=& \mathcal{J}^{k+1}(A) &=& \dots
-\end{array}
-\]
-ist.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Es sind zwei Aussagen zu beweisen.
-Erstens müssen wir zeigen, dass die Dimension von $\mathcal{K}^i(A)$ 
-nicht mehr grösser werden kann, wenn sie zweimal hintereinander gleich war.
-Nehmen wir daher an, dass $\mathcal{K}^i(A) = \mathcal{K}^{i+1}(A)$.
-Wir müssen $\mathcal{K}^{i+2}(A)$ bestimmen.
-$\mathcal{K}^{i+2}(A)$ besteht aus allen Vektoren $x\in\Bbbk^n$ derart,
-dass $Ax\in \mathcal{K}^{i+1}(A)=\mathcal{K}^i(A)$ ist.
-Daraus ergibt sich, dass $AA^ix=0$, also ist $x\in\mathcal{K}^{i+1}(A)$.
-Wir erhalten also
-$\mathcal{K}^{i+2}(A)\subset\mathcal{K}^{i+1}\subset\mathcal{K}^{i+2}(A)$,
-dies ist nur möglich, wenn beide gleich sind.
-
-Analog kann man für die Bilder vorgehen.
-Wir nehmen an, dass $\mathcal{J}^i(A) = \mathcal{J}^{i+1}(A)$ und
-bestimmten $\mathcal{J}^{i+2}(A)$.
-$\mathcal{J}^{i+2}(A)$ besteht aus all jenen Vektoren, die als
-$Ax$ mit $x\in\mathcal{J}^{i+1}(A)=\mathcal{J}^i(A)$ erhalten
-werden können.
-Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^i$ mit $x=A^iy$.
-Dann ist $Ax=A^{i+1}y\in\mathcal{J}^{i+1}(A)$.
-Insbesondere besteht $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ genau aus den Vektoren
-von $\mathcal{J}^{i+1}(A)$.
-
-Zweitens müssen wir zeigen, dass die beiden Ketten bei der gleichen
-Potenz von $A$ konstant werden.
-Dies folgt jedoch daraus, dass $\dim\mathcal{J}^i(A) = \operatorname{Rang} A^i
-= n - \dim\ker A^i = n -\dim\mathcal{K}^i(A)$.
-Der Raum $\mathcal{J}^k(A)$ hört also beim gleichen $i$ auf, kleiner
-zu werden, bei dem auch $\mathcal{K}^i(A)$ aufhört, grösser zu werden.
-\end{proof}
-
-\begin{satz}
-Die Zahl $k$ in Satz~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:satz:ketten}
-ist nicht grösser als $n$, also
-\[
-\mathcal{K}^n(A) = \mathcal{K}^l(A)
-\qquad\text{und}\qquad
-\mathcal{J}^n(A) = \mathcal{J}^l(A)
-\]
-für $l\ge n$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Nach Satz~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:satz:ketten} muss die
-Dimension von $\mathcal{K}^i(A)$ in jedem Schritt um mindestens
-$1$ zunehmen, das ist nur möglich, bis zur Dimension $n$.
-Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$
-nicht mehr ändern.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Nilpotente Matrizen}
-
-
-
-
-
-
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cgit v1.2.1

