From 812a80acf52275699afb285db46aa76be03006c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jan 2021 21:01:26 +0100 Subject: add more stuff about spectral radius --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex | 170 --------------------------- 1 file changed, 170 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 461bf9f..4e3454d 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -857,173 +857,3 @@ Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum \] von $\Bbbk^m$, aufgespannt von den Spaltenvektoren $a_i$ von $A$. -\subsubsection{Kern und Bild von Matrixpotenzen} -In diesem Abschnitt ist $A\in M_n(\Bbbk)$, $A$ beschreibt eine lineare -Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to \Bbbk^n$. -In diesem Abschnitt sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht -werden. -\begin{definition} -Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit -\[ -\mathcal{K}^k(A) -= -\ker A^k -\qquad\text{und}\qquad -\mathcal{J}^k(A) -= -\operatorname{im} A^k. -\] -\end{definition} - -Durch Iteration wird das Bild immer kleiner. -Wegen -\[ -\mathcal{J}^k (A) -= -\operatorname{im} A^k -= -\operatorname{im} A^{k-1} A -= -\{ A^{k-1} Av\;|\; v \in \Bbbk^n\} -\subset -\{ A^{k-1} v\;|\; v \in \Bbbk^n\} -= -\mathcal{J}^{k-1}(A) -\] -folgt -\begin{equation} -\Bbbk^n -= -\operatorname{im}E -= -\operatorname{im}A^0 -= -\mathcal{J}^0(A) -\supset -\mathcal{J}^1(A) -= -\operatorname{im}A -\supset -\mathcal{J}^2(A) -\supset\dots\supset -\mathcal{J}^k(A) -\supset -\mathcal{J}^{k+1}(A) -\supset \dots \supset -\{0\}. -\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Jkchain} -\end{equation} -Für die Kerne gilt etwas Ähnliches. -Ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ erfüllt $A^kx=0$. -Dann erfüllt er aber erst recht auch -\[ -A^{k+1}x=A\underbrace{A^kx}_{\displaystyle=0}=0, -\] -also ist $x\in\mathcal{K}^k(A)$. -Es folgt -\begin{equation} -\{0\} -\subset -\mathcal{K}^0(A) = \ker A^0 = \ker E -\subset -\mathcal{K}^1(A) = \ker A -\subset -\dots -\subset -\mathcal{K}^k(A) -\subset -\mathcal{K}^{k+1}(A) -\subset -\dots -\subset -\Bbbk^n. -\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Kkchain} -\end{equation} -Neben diesen offensichtlichen Resultaten kann man aber noch mehr -sagen. -Es ist klar, dass in beiden Ketten -\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Jkchain} -und -\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:Kkchain} -nur in höchstens $n$ Schritten eine wirkliche Änderung stattfinden -kann. -Man kann aber sogar genau sagen, wo Änderungen stattfinden: - -\begin{satz} -\label{buch:vektoren-und-matrizen:satz:ketten} -Ist $A\in M_n(\Bbbk)$ eine $n\times n$-Matrix, dann gibt es eine Zahl $k$ -so, dass -\[ -\begin{array}{rcccccccccccl} -0=\mathcal{K}^0(A) -&\subsetneq& \mathcal{K}^1(A) &\subsetneq& \mathcal{K}^2(A) -&\subsetneq&\dots&\subsetneq& -\mathcal{K}^k(A) &=& \mathcal{K}^{k+1}(A) &=& \dots -\\ -\Bbbk^n= \mathcal{J}^0(A) -&\supsetneq& \mathcal{J}^1(A) &\supsetneq& \mathcal{J}^2(A) -&\supsetneq&\dots&\supsetneq& -\mathcal{J}^k(A) &=& \mathcal{J}^{k+1}(A) &=& \dots -\end{array} -\] -ist. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Es sind zwei Aussagen zu beweisen. -Erstens müssen wir zeigen, dass die Dimension von $\mathcal{K}^i(A)$ -nicht mehr grösser werden kann, wenn sie zweimal hintereinander gleich war. -Nehmen wir daher an, dass $\mathcal{K}^i(A) = \mathcal{K}^{i+1}(A)$. -Wir müssen $\mathcal{K}^{i+2}(A)$ bestimmen. -$\mathcal{K}^{i+2}(A)$ besteht aus allen Vektoren $x\in\Bbbk^n$ derart, -dass $Ax\in \mathcal{K}^{i+1}(A)=\mathcal{K}^i(A)$ ist. -Daraus ergibt sich, dass $AA^ix=0$, also ist $x\in\mathcal{K}^{i+1}(A)$. -Wir erhalten also -$\mathcal{K}^{i+2}(A)\subset\mathcal{K}^{i+1}\subset\mathcal{K}^{i+2}(A)$, -dies ist nur möglich, wenn beide gleich sind. - -Analog kann man für die Bilder vorgehen. -Wir nehmen an, dass $\mathcal{J}^i(A) = \mathcal{J}^{i+1}(A)$ und -bestimmten $\mathcal{J}^{i+2}(A)$. -$\mathcal{J}^{i+2}(A)$ besteht aus all jenen Vektoren, die als -$Ax$ mit $x\in\mathcal{J}^{i+1}(A)=\mathcal{J}^i(A)$ erhalten -werden können. -Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^i$ mit $x=A^iy$. -Dann ist $Ax=A^{i+1}y\in\mathcal{J}^{i+1}(A)$. -Insbesondere besteht $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ genau aus den Vektoren -von $\mathcal{J}^{i+1}(A)$. - -Zweitens müssen wir zeigen, dass die beiden Ketten bei der gleichen -Potenz von $A$ konstant werden. -Dies folgt jedoch daraus, dass $\dim\mathcal{J}^i(A) = \operatorname{Rang} A^i -= n - \dim\ker A^i = n -\dim\mathcal{K}^i(A)$. -Der Raum $\mathcal{J}^k(A)$ hört also beim gleichen $i$ auf, kleiner -zu werden, bei dem auch $\mathcal{K}^i(A)$ aufhört, grösser zu werden. -\end{proof} - -\begin{satz} -Die Zahl $k$ in Satz~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:satz:ketten} -ist nicht grösser als $n$, also -\[ -\mathcal{K}^n(A) = \mathcal{K}^l(A) -\qquad\text{und}\qquad -\mathcal{J}^n(A) = \mathcal{J}^l(A) -\] -für $l\ge n$. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Nach Satz~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:satz:ketten} muss die -Dimension von $\mathcal{K}^i(A)$ in jedem Schritt um mindestens -$1$ zunehmen, das ist nur möglich, bis zur Dimension $n$. -Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$ -nicht mehr ändern. -\end{proof} - -\subsubsection{Nilpotente Matrizen} - - - - - - -- cgit v1.2.1